BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————

——————

NGUYỄN THỊ THANH HOA

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU MÔ TẢ BỞI
HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Quang Huy

Hà Nội-2015


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và
bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá
trình học tập để tôi hoàn thành bản khóa luận này.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa


LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định của bài
toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” được hoàn thành
bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn
nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa


BẢNG KÝ HIỆU
¯
R


tập số thực suy rộng

F :X⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

domF

tập xác định của F

gphF

đồ thị của F

x

chuẩn của véc tơ x

BX

hình cầu đơn vị đóng trong không gian X

Bρ (x)

hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ

X∗

không gian đối ngẫu của không gian Banach X


limsup

giới hạn trên cho dãy số thực

Limsup

giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

intΩ

phần trong của Ω

clΩ

bao đóng của Ω

coΩ

bao lồi của Ω

coneΩ

nón lồi sinh bởi Ω

N (¯
x; Ω)

nón pháp tuyến qua giới hạn
(nón pháp tuyến Mordukhovich) của Ω tại x¯


N (¯
x; Ω)

nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x¯

∂f (x)

dưới vi phân giới hạn
(dưới vi phân Mordukhovich) của f tại x

∂ ∞ f (x)
ˆ (x)
∂f

dưới vi phân Fréchet của f tại x

D∗ F (¯
x, y¯)

đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯
x, y¯)

D∗ F (¯
x, y¯)

đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯
x, y¯)

dưới vi phân suy biến của f tại x


Ω

x → x¯, x ∈ Ω

x −→ x¯

f

x → x¯, f (x) → f (¯
x)

α↓α
¯

α→α
¯, α

∇f (x)

gradient của f tại x

(∇f (x))∗

toán tử liên hợp của ∇f (x)

x −→ x¯

α
¯



Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị

. . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Một số phép toán dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich


16

2.1. Dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu . . . . . . .

16

2.2. Dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu . . .

27

3 Tính chất Aubin của tập nghiệm

46

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61

iv


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Xét bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc (Pw ):
N −1

Min

hk (xk , uk , wk ) + hN (xN ),

(0.1)

k=0
N −1

trên véctơ điều khiển u = (u0 , u1 , . . . uN −1 ) ∈ U :=

Uk và các qũy
k=0

N

đạo x = (x0 , x1 , . . . , xN ) ∈ X :=

Xk , thỏa mãn phương trình động
k=0

lực
xk+1 = Ak xk + Bk uk + Tk wk với mọi k = 0, 1, . . . , N − 1,

(0.2)

với ràng buộc

uk ∈ Ωk ⊂ Uk với mọi k = 0, 1, . . . , N − 1,

(0.3)

và điều kiện ban đầu
x0 ∈ C,
ở đó,
xk là biến trạng thái,
uk là tham số điều khiển,
w := (w0 , w1 , . . . , wN −1 ) là tham số nhiễu,
Xk , Uk , Wk là các không gian hữu hạn chiều,

(0.4)


2

Ωk là tập con khác rỗng trong Uk ,
C là tập con lồi đóng khác rỗng của X0 ,
Ak : Xk → Xk+1 , Bk : Uk → Xk+1 , Tk : Wk → Xk+1 là những ánh xạ
tuyến tính.
Bài toán này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu;
chẳng hạn, xem [5, 8, 9] và các tài liệu được trích dẫn trong đó. Một
ví dụ cổ điển cho bài toán (0.1)–(0.4) là bài toán ổn định kinh tế; xem
[8, 9].
Gọi S(w) là tập nghiệm của bài toán (Pw ) tương ứng với tham số
N −1

w = (w0 , w1 , . . . wN −1 ) ∈ W :=


Wk .
k=0

Trong trường hợp C là tập một phần tử, tác giả B. T. Kien và đồng
nghiệp [5] đã thu được một vài công thức cho việc tính toán dưới vi phân
Fréchet của hàm giá trị tối ưu V với giả thiết rằng Tk là toàn ánh với
mọi k.
Bằng cách thiết lập một kết quả mới dựa trên dưới vi phân Fréchet
của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số, tác giả N.
H. Chieu và Jen-Chih Yao [3] đã thu được công thức tính toán dưới vi
phân Fréchet của V dưới một giả thiết yếu hơn trong [5].
Gần đây, tác giả N. T. Toan, B. T. Kien và Jen-Chih Yao [16, 17]
thiết lập đã được công thức tính dưới vi phân Mordukhovich của hàm
giá trị tối ưu của V và các điều kiện đủ cho tính Aubin của ánh xạ
nghiệm S.
Luận văn thạc sĩ với đề tài “Tính ổn định của bài toán điều khiển
tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” nhằm trình bày công thức tính
dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu của V và điều kiện
đủ cho tính chất Aubin (tính giả Lipschitz) của ánh xạ nghiệm S.


3

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến
tính rời rạc, tính ổn định của tập nghiệm và hàm giá trị tối ưu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich;
lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; trình

bày công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich
làm công cụ thiết lập tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc;
dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu trong giải tích biến phân và đạo
hàm suy rộng, giải tích đa trị, đại số tuyến tính và lý thuyết tối ưu.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Nội dung của luận văn trình bày công thức tính dưới vi phân Fréchet
và dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong điều khiển
tối ưu tuyến tính rời rạc; sử dụng kết quả đạt được như là công cụ để
thiết lập điều kiện đủ cho tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Nón pháp tuyến

Trong toàn bộ luận văn chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm, kí hiệu
của giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng; chi tiết đọc giả có thể tham
khảo bộ sách của Mordukhovich [6, 10]. Trừ khi phát biểu khác, tất cả
các không gian được xét là các không gian Banach với chuẩn kí hiệu bởi

· . Với một không gian Banach bất kì X, ta xét không gian đối ngẫu
của nó X ∗ với tôpô yếu∗ được kí hiệu bởi w∗ . BX và BX ∗ kí hiệu tương
ứng là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X và không gian
đối ngẫu của nó. Kí hiệu A∗ toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên
tục A. Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ được kí hiệu bởi Bρ (x).
Với mỗi tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và cone Ω kí hiệu tương ứng
là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón lồi sinh của Ω. Ta nhắc lại rằng
Ω ∈ X là đóng địa phương tại x¯ ∈ Ω nếu có một lân cận U của x¯ sao
cho Ω ∩ clU là tập đóng.
Cho F : X ⇒ X ∗ ánh xạ đa trị từ một không gian Banach X vào
không gian đối ngẫu X ∗ của X. Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa
Painlevé - Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X ∗


5

tại x¯ được xác định bởi
w∗

Lim sup F (x) := {x∗ ∈ X ∗ : ∃ xk → x¯, x∗k −→ x∗ , x∗k ∈ F (xk ), ∀k ∈ N}.
x→¯
x

(1.1)
Định nghĩa 1.1. (Nón pháp tuyến) Cho Ω là tập con khác rỗng trong
không gian Banach X, x¯ ∈ Ω và ε

0.

(i) Tập các ε - véctơ pháp tuyến Fréchet của Ω tại x¯ được xác định bởi

Nε (¯
x; Ω) :=

x∗ , x − x¯
x ∈ X : lim sup
x − x¯
Ω
x→¯
x
∗

∗

ε ,

(1.2)

Ω

ở đó x −
→ x¯ nghĩa là x → x¯ và x ∈ Ω. Khi ε = 0, ta có N (¯
x; Ω) :=
N0 (¯
x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x¯.
(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của
Ω tại x¯ là tập
N (¯
x; Ω) := Lim sup Nε (x; Ω),

(1.3)


Ω

x→¯
x
ε↓0

hay
Ω

w∗

N (¯
x; Ω) := x∗ ∈ X ∗ : ∃εk → 0, xk → x¯, x∗k → x∗ , x∗k ∈ Nεk (xk ; Ω) ∀k ,
ở đó có thể đặt ε = 0 khi Ω là tập đóng trong lân cận của x¯ và X là
không gian Asplund.

Bổ đề 1.1. (Tích Đề các) [6, Proposition 1.2] Lấy tùy ý điểm x¯ =
(¯
x1 , x¯2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2 . Khi đó
N (¯
x; Ω1 × Ω2 ) = N (¯
x1 ; Ω1 ) × N (¯
x2 ; Ω2 ),

(1.4)

N (¯
x; Ω1 × Ω2 ) = N (¯
x1 ; Ω1 ) × N (¯

x2 ; Ω2 ).

(1.5)


6

Bổ đề 1.2. (Tập các ε− véctơ pháp tuyến đối với tập lồi) [6,
Proposition 1.3] Cho Ω là một tập lồi trong không gian Banach X. Khi
đó,
Nε (¯
x; Ω) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x¯

ε x − x¯ , ∀x ∈ Ω} ,

(1.6)

với mỗi ε ≥ 0 và x¯ ∈ Ω. Trường hợp đặc biệt với ε = 0, ta có
N (¯
x; Ω) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x¯

0, ∀x ∈ Ω} ,

(1.7)

là nón pháp tuyến trong giải tích lồi.
Định nghĩa 1.2. (Tập chính quy pháp tuyến) Một tập Ω ⊂ X là
chính quy (pháp tuyến) tại x¯ ∈ Ω nếu
N (¯
x; Ω) = N (¯

x; Ω).

(1.8)

Định lý 1.1. (Tính chính quy của tập lồi địa phương) [6, Proposition 1.5] Cho U là một lân cận của x¯ ∈ Ω ⊂ X sao cho tập Ω ∩ U là
lồi. Khi đó Ω chính quy tại x¯ với
N (¯
x; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯

0, ∀x ∈ Ω ∩ U }.

(1.9)

Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai dạng biểu diễn tương đương
của nón pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều Rn
(trong trường hợp này X ∗ = X = Rn ). Do tất cả các chuẩn trong không
gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid
x =

x21 + ... + x2n ,

x ∈ Rn .

Cho một tập không rỗng Ω ⊂ Rn . Khoảng cách từ x đến Ω được xác
định bởi
dist(x, Ω) := inf x − u , x ∈ Rn
u∈Ω

và hình chiếu Euclid của x trên Ω
Π(x; Ω) := {¯

x ∈ clΩ| x − x¯ = dist(x; Ω)} .


7

Định lý 1.2. (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều)
[6, Theorem 1.6] Cho Ω ⊂ Rn tập đóng địa phương tại x¯ ∈ Ω. Khi đó
các khẳng định sau là đúng:
N (¯
x; Ω) = Lim sup N (x; Ω);

(1.10)

x→¯
x

N (¯
x; Ω) = Lim sup [cone (x − Π (x; Ω))] .

(1.11)

x→¯
x

Ví dụ 1.1. Cho Ω = {(x1 , x2 ) ∈ R | x2 ≥ −|x1 |} và x¯ = (0, 0). Giả sử
x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N (¯
x; Ω). Khi đó,
x∗1 u∗1 + x∗2 u∗2

lim sup

Ω

(u1 ,u2 )→(0,0)

u21 + u22

≤ 0.

(1.12)

Lấy (uk1 , uk2 ) = (1/k, 0) ∈ Ω, k ∈ N, ta có (uk1 , uk2 ) → (0, 0) khi k → ∞.
Từ (1.12) ta có
0 ≥ lim sup
k→∞

x∗1 uk1 + x∗2 uk2
(uk1 )2

+

(uk2 )

= x∗1 .

Do đó x∗1 ≤ 0. Lấy (uk1 , uk2 ) = (−1/k, 0) ∈ Ω, k ∈ N, ta có (uk1 , uk2 ) → 0,
khi k → ∞. Từ (1.12), ta có
0 ≥ lim sup
k→∞

x∗1 uk1 + x∗2 uk2

(uk1 )2 + (uk2 )

= −x∗1 .

Do đó, x∗ ≥ 0. Vậy x∗1 = 0. Do tính chất đối xứng của x∗1 và x∗2 ta cũng
có x∗2 = 0. Ngược lại, với (x∗1 , x∗2 ) = (0, 0) thì (1.12)được thỏa mãn. Vậy
N (¯
x; Ω) = {0}. Với (x1 , x2 ) ∈ Ω, ta có



 {0} nếu (x1 , x2 ) ∈ intΩ,
N ((x1 , x2 ); Ω) =

{(a, −a)|a ≥ 0} nếu x1 = x2 ,


 {(a, a)|a ≤ 0} nếu x = −x .
1
2

Khi đó, ta có
N (¯
x; Ω) = Lim sup N ((x1 , x2 ); Ω)
(x1 ,x2 )→(0,0)

= {(x∗1 , x∗2 ) ∈ R|x∗2 = −|x∗1 |}.


8


1.2.

Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị

Cho F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach X và Y.
Tập xác định và đồ thị của F được kí hiệu bởi
domF := {x ∈ X | F (x) = ∅},

gphF := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}.

Định nghĩa 1.3. Cho F : X ⇒ Y với domF = ∅.
(i) Lấy (¯
x, y¯) ∈ X × Y và ε ≥ 0. ε−đối đạo hàm của F tại (¯
x, y¯) được
định nghĩa là ánh xạ đa trị Dε∗ F (¯
x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ với các giá trị
Dε∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Nε ((¯
x, y¯); gphF )

(1.13)

là ε - đối đạo hàm của của F tại (¯
x, y¯). Nếu (¯
x, y¯) ∈
/ gphF , ta đặt
x, y¯)(y ∗ ) = ∅ với mọi ε
Dε∗ F (¯


0 và y ∗ ∈ Y ∗ . Khi ε = 0 trong (1.13),

biểu diễn này được gọi là đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯
x, y¯) và được
ký hiệu bởi D∗ F (¯
x, y¯), nghĩa là
D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯
x, y¯); gphF ) .

(1.14)

(ii) Đối đạo hàm Mordukhovich hay đối đạo hàm qua giới hạn của F tại
(¯
x, y¯) ∈ gphF là ánh xạ đa trị D∗ F (¯
x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ xác định bởi
D∗ F (¯
x, y¯)(¯
y ∗ ) := Limsup Dε∗ F (x, y)(y ∗ ).

(1.15)

(x,y)→(¯
x,¯
y)
w∗

y∗ −
→y¯∗
ε↓0


Lưu ý rằng đối đạo hàm Mordukhovich cũng có thể được biểu diễn
qua nón pháp tuyến Mordukhovich
D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯
x, y¯); gphF )}.

(1.16)

Nếu F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị thì ta viết D∗ f (¯
x) thay cho
D∗ f (¯
x, y¯) và D∗ f (¯
x) thay cho D∗ f (¯
x, y¯).


9

Nhắc lại rằng một ánh xạ đơn trị f : X → Y là khả vi Fréchet tại
x¯ nếu có một toán tử tuyến tính liên tục ∇f (¯
x) : X → Y , được gọi là
đạo hàm Fréchet của f tại x¯, sao cho
f (x) − f (¯
x) − ∇f (¯
x), x − x¯
lim
= 0.
x→¯
x

x − x¯
Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi chặt tại x¯ nếu
f (x) − f (u) − ∇f (¯
x), x − u
= 0.
lim
x,u→¯
x
x−u
Ta có thể chứng minh được rằng nếu f tương ứng khả vi Fréchet và
khả vi chặt tại x¯ thì
D∗ f (¯
x)(y ∗ ) = (∇f (¯
x))∗ (y ∗ )

∀y ∗ ∈ Y ∗

(1.17)

D∗ f (¯
x)(y ∗ ) = (∇f (¯
x))∗ (y ∗ )

∀y ∗ ∈ Y ∗ .

(1.18)

và

Ví dụ 1.2. Xét hàm số thực

f : R → R,

f (x) = |x|,

và ánh xạ đa trị F : R ⇒ R được cho bởi công thức
F (x) = {f (x)} = |x|,

∀x ∈ R.

Khi đó,
gphF = {(x, y) ∈ R2 |y = |x|}.
Tại điểm (¯
x, y¯) = (0, 0) ∈ gphF , ta có
D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) = {x∗ ∈ R|(x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((0, 0); gphF )}
= {x∗ ∈ R|y ∗ ≥ |x∗ |}
∅ nếu y ∗ < 0,

=

[ − y ∗ , ; y ∗ ] nếu y ∗ ≥ 0.

và
∗

∗

D F (¯
x, y¯)(y ) =


{y ∗ , −y ∗ } nếu y ∗ < 0,
[ − y∗, y∗]

nếu y ∗ ≥ 0.


10

1.3.

Dưới vi phân

¯ hàm nhận giá trị trong
Cho X là không gian Banach và f : X → R
tập số thực suy rộng, hữu hạn tại x¯.
Định nghĩa 1.4. Với mỗi ε
∂ˆε f (¯
x) :=

0, đặt

f (x) − f (¯
x) − x∗ , x − x¯
x ∈ X : lim inf
x→¯
x
x − x¯
∗

∗


−ε . (1.19)

Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức này được gọi là các ε− dưới
gradient Fréchet của f tại x¯, còn bản thân tập hợp đó được gọi là ε−
dưới gradient Fréchet của f tại x¯.
• Tập hợp
ˆ (¯
∂f
x) := ∂ˆ0 f (¯
x),
được gọi là dưới vi phân Fréchet dưới (thường gọi là dưới vi phân
ˆ (¯
Fréchet) của f tại x¯. Rõ ràng ∂f
x) ⊂ ∂ˆε f (¯
x) với mọi ε 0.

• Tập hợp
ˆ
∂ˆ+ f (¯
x) := −∂(−f
(¯
x)),
được gọi là dưới vi phân Fréchet trên của f tại x¯.
Định nghĩa 1.5. Tập hợp
∂f (¯
x) := Limsup ∂ˆε f (x),
f
x→
− x¯


(1.20)

ε↓0

được gọi là dưới vi phân qua giới hạn hay dưới vi phân Mordukhovich tại
x¯.
f

Ta nhận thấy rằng x∗ ∈ ∂f (¯
x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy xk →
− x¯, εk ↓
∗
ω
ˆ ε f (xk ) sao cho x∗ −
0, và x∗ ∈ ∂f
→ x∗ . Hiển nhiên ta có
k

k

k

ˆ (¯
∂f
x) ⊂ ∂f (¯
x).


11


• Tập hợp
∂ ∞ f (¯
x) := Limsup λ∂ˆε f (x),
f
x→
− x¯

(1.21)

ε,λ↓0

được gọi là dưới vi phân qua giới hạn suy biến (thường gọi tắt là
dưới vi phân suy biến) của f tại x¯. Như vậy x∗ ∈ ∂ ∞ f (¯
x) khi và chỉ
f
ˆ ε f (xk ) sao
khi tồn tại các dãy xk →
− x¯, εk ↓ 0, λk ↓ 0, và x∗ ∈ λk ∂f
k

cho

ω∗
x∗k −→

k

x∗ . Ta có thể chứng minh được rằng ∂ ∞ f (¯
x) = {0} nếu


hàm f là Lipschitz địa phương tại x¯.
¯ hữu hạn tại x¯ ∈ X được gọi là chính quy dưới tại
• Hàm f : X → R
x¯ nếu
ˆ (¯
∂f (¯
x) = ∂f
x).
¯ Ta kí hiệu tập xác
Cho một hàm giá trị thực suy rộng f : X → R.
định và trên đồ thị của f bởi
¯ |µ
domf = {x ∈ X | |f (x)| < ∞} , epif = (x, µ) ∈ X × R

f (x) .

Ánh xạ đa trị liên kết với trên đồ thị của f được định nghĩa bởi
Φ : X ⇒ R,
Φ(x) := {µ ∈ R | µ

f (x)} ∀x ∈ X.

Ta có thể chứng minh được rằng
∂f (¯
x) = D∗ Φ(¯
x, f (¯
x))(1) = {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N ((¯
x, f (¯
x)); epif )} ,

∂ ∞ f (¯
x) = D∗ Φ(¯
x, f (¯
x))(0) = {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , 0) ∈ N ((¯
x, f (¯
x)); epif )} .
Ví dụ 1.3. Xét hàm ϕ : R → R được cho bởi công thức ϕ(x) = −|x|.
Ta có
epiϕ = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x2 ≥ −|x1 |},
hypoϕ = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x2 ≤ −|x1 |}.


12

Sử dụng kết quả ở Ví dụ 1.1 với Ω = epiϕ và x¯ = 0 ta thu được
N ((¯
x, ϕ(¯
x)); epiϕ) = {(0, 0)},
N ((¯
x, ϕ(¯
x)); epiϕ) = {(x∗1 , x∗ − 2) ∈ R2 |x∗2 = −|x∗1 |}.
Do hypoϕ là tập lồi, nên ta có
N ((¯
x, ϕ(¯
x)); hypoϕ) = {(x∗1 , x∗ − 2) ∈ R2 |x∗2 | ≥ |x∗1 |}.
Vì vậy,
∂ϕ(¯
x) = ∅,

∂ + ϕ(¯

x) = [ − 1; 1],

∂ϕ(¯
x) = {1; 1},

1.4.

∂ ∞ ϕ(¯
x) = {0}.

Một số phép toán dưới vi phân

Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa các không gian Banach X và Y .
• F là nửa liên tục trên (u.s.c) tại x¯ ∈ domF nếu với mọi tập mở
V ⊂ Y thoả mãn F (¯
x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x¯ sao cho
F (x) ⊂ V

∀x ∈ U.

• F là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x¯ ∈ domF nếu với mọi tập mở
V ⊂ Y thoả mãn F (¯
x) ∩ V = ∅ tồn tại lân cận mở U của x¯ sao cho
F (x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ domF.
Nếu F là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc
domF thì F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trong
X.
• F là liên tục tại x¯ ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và
liên tục dưới tại x¯. Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF thì
F được gọi là liên tục ở trên X.



13

• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là chính quy pháp tuyến tại
(¯
x, y¯) ∈ gphF nếu
D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) = D∗ F (¯
x, y¯)(y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ .
• Tập Ω ⊂ X là compắc pháp tuyến theo dãy (SNC) tại x¯ nếu với
Ω

mọi dãy εk ↓ 0, xk −
→ x¯ và x∗k ∈ Nεk (xk , Ω) có
ω∗

[x∗k −→ 0] ⇒ [ x∗k → 0] khi k → 0,
ở đó εk có thể bỏ qua nếu X là không gian Asplund và Ω là đóng
địa phương quanh x¯. Một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là SNC tại
(¯
x, y¯) ∈ gphF nếu đồ thị của nó có thuộc tính đó.
• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là compắc pháp tuyến một phần theo
dãy (PSNC) tại (¯
x, y¯) nếu với mọi dãy (εk , xk , yk , x∗k , yk∗ ) ∈ [0, ∞) ×
(gphF ) × X ∗ × Y ∗ thoả mãn
ω∗

εk ↓ 0, (xk , yk ) → (¯
x, y¯), x∗k ∈ D∗k F (xk , yk )(yk∗ ), x∗k −→ 0, yk∗ → 0

ta có x∗k → 0 khi k → ∞.
¯ hữu hạn tại x¯. ϕ được gọi là epi-compact pháp
• Cho ϕ : X → R
tuyến theo dãy (SNEC) tại (¯
x, ϕ(¯
x)) nếu trên đồ thị của nó là SNC
tại (¯
x, ϕ(¯
x)).
Cho một ánh xạ đơn trị f : X → Y giữa các không gian Banach.
Lấy x¯ ∈ X. f được gọi là Lipschitz địa phương tại x¯ nếu có một lân cận
U của x¯ và một số

≥ 0 sao cho

f (x1 ) − f (x2 ) ≤

x1 − x2

for all x1 , x2 ∈ U.

Hàm số ϕ : X → R được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại x¯ ∈ X nếu
lim inf ϕ(x)
x→¯
x

ϕ(¯
x).



14

Định lý 1.3. (Quy tắc tính tổng cho dưới vi phân) [6, Theo¯ i = 1, 2, ..., n
rem 3.36] Cho X là một không gian Asplund, fi : X → R,
là các hàm nửa liên tục dưới trong một lân cận của x¯ và có ít nhất một
hàm số là SNEC tại x¯. Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn
[x∗i ∈ ∂ ∞ fi (¯
x) , i = 1, ..., n, x∗1 + ... + x∗n = 0] =⇒ x∗1 = ... = x∗n = 0.
(1.22)
Khi đó ta có các bao hàm thức
∂(f1 + ... + fn )(¯
x) ⊂ ∂f1 (¯
x) + ... + ∂fn (¯
x),

(1.23)

∂ ∞ (f1 + ... + fn )(¯
x) ⊂ ∂ ∞ f1 (¯
x) + ... + ∂ ∞ fn (¯
x).

(1.24)

Hơn nữa, nếu tất cả fi là chính quy dưới tại x¯ thì tổng f1 + ... + fn cũng
chính quy dưới tại điểm đó, và bao hàm thức trong (1.23) trở thành đẳng
thức.
Xét bài toán tối ưu
min{f (x, y) | y ∈ Φ(x)}


(1.25)

phụ thuộc tham số x và hàm giá trị tối ưu tương ứng
µ(x) := inf{f (x, y) : y ∈ Φ(x)},

(1.26)

¯ là một hàm thực suy rộng và Φ : X ⇒ Y ánh xạ
ở đó f : X × Y → R
đa trị giữa các không gian Banach. Ký hiệu
S(x) := {y ∈ Φ(x) | f (x, y) = µ(x)}

(1.27)

là tập nghiệm có tham số của (1.25).
Định lý 1.4. (Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu) [6, Theorem
3.38] Cho ánh xạ đa trị Φ : X ⇒ Y giữa các không gian Asplund với đồ
¯ là hàm nửa liên tục dưới trên gphΦ, và ánh
thị đóng, f : X × Y → R
xạ nghiệm S trong (1.27) là bán compắct nội bộ trong một lân cận của


15

x¯ ∈ domµ. Lấy y¯ ∈ S(¯
x). Giả sử rằng hoặc f là SNEC tại (¯
x, y¯) hoặc Φ
là SNC tại (¯
x, y¯) và điều kiện chính quy
∂ ∞ f (¯

x, y¯) ∩ (−N ((¯
x, y¯); gphΦ)) = {0}

(1.28)

được thỏa mãn. Khi đó ta có các bao hàm thức
∂µ(¯
x) ⊂

[x∗ + D∗ Φ(¯
x, y¯)(y ∗ ) | (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂f (¯
x, y¯)), y¯ ∈ S(¯
x)] ,
(1.29)

∂ ∞ µ(¯
x) ⊂

[x∗ + D∗ Φ(¯
x, y¯)(y ∗ ) | (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ ∞ f (¯
x, y¯)), y¯ ∈ S(¯
x)] .
(1.30)

Hơn nữa, µ là chính quy dưới tại x¯ và (1.29) trở thành một đẳng thức
nếu Φ là đơn trị trong một lân cận của x¯, f chính quy dưới tại (¯
x, Φ(¯
x))
và một trong hai điều sau xảy ra
(a) dimY < ∞, Φ Lipschitz tại x¯ với gphΦ chính quy tại (¯

x, Φ(¯
x)), hoặc
(b) Φ khả vi chặt tại x¯.


16

Chương 2
Dưới vi phân Fréchet và dưới vi
phân Mordukhovich
2.1.

Dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu

Trong mục này, ta đi thiết lập công thức tính dưới vi phân Fréchet
của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số; cụ thể trình
bày một đánh giá trên cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu
trong bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc.
Ta xét bài toán điều khiển tối ưu (Pw ) mô tả bởi hệ tuyến tính rời
rạc (0.1)–(0.4).
Với mỗi x = (x0 , x1 , . . . , xN ) ∈ X, u = (u0 , u1 , . . . , uN −1 ) ∈ U, w =
(w0 , w2 , . . . , wN −1 ) ∈ W ta đặt
N −1

f (x, u, w) =

hk (xk , uk , wk ) + hN (xN ).
k=0

Giả sử

N −1

X = X × U, Ω =

N

Xk , K = C × Z × Ω.

Ωk , Z =
k=0

k=1

Khi đó, bài toán (Pw ) được viết lại như sau:
µ(w) =

inf
z∈G(w)∩K

f (z, w),

(2.1)


17

ở đó,
G(w) := {z = (x, u) ∈ X | Az = T w},
A : X −→ Z và T : W −→ Z được xác định lần lượt bởi Az =
(−A0 x0 +x1 −B0 u0 , −A1 x1 +x2 −B1 u1 , . . . , −AN −1 xN −1 +xN −BN −1 uN −1 )

và
T w = (T0 w0 , T1 w1 , . . . , TN −1 wN −1 ).
Dễ ràng thấy rằng
∗
∗
∗
A∗ z ∗ = (−A∗0 z1∗ , z1∗ − A∗1 z2∗ , . . . , zN
−1 − AN −1 zN ,
∗
∗
− B0∗ z1∗ , −B1∗ z2∗ , . . . , −BN
−1 zN )

và
∗
T ∗ z ∗ = (T0∗ z1∗ , T1∗ z2∗ , . . . , TN∗ −1 zN
),

ở đó A∗ và T ∗ lần lượt là các toán tử liên hợp của A và T .
Ta kí hiệu S(w) là tập nghiệm của bài toán (Pw ) và giả sử rằng (¯
x, u¯)
là một nghiệm của (Pw¯ ) tức là (¯
x, u¯) ∈ S(w)
¯ ở đó x¯ := (¯
x0 , x¯1 , . . . , x¯N ),
u¯ := (¯
u0 , u¯1 , . . . , u¯N −1 ) và w¯ := (w¯0 , w¯1 , . . . , w¯N −1 ). Giả sử thêm rằng Ωk
là bao đóng địa phương của w¯k với mọi k = 0, 1, . . . , N − 1.
Kết quả chính của mục này là thiết lập đánh giá cho dưới vi phân
Fréchet của hàm giá trị tối ưu.

Định lý 2.1. [3, Theorem 1.1] Giả sử hàm giá trị tối ưu được xác định
bởi (2.1) là hữu hạn tại w,
¯ hk là khả dưới vi phân Fréchet tại (¯
xk , u¯k , w¯k ),
hN là khả dưới vi phân Fréchet tại xN và Ωk là chính quy pháp tuyến tại
u¯k với mọi k = 0, 1, . . . , N − 1. Giả thiết rằng
[ − N ((¯
x, u¯); K)] ∩ A∗ (kerT ∗ ) = {0}.

(2.2)

∗
Khi đó điều kiện cần để w∗ = (w0∗ , w1∗ , . . . , wN
¯ là tồn tại x∗0 ∈
−1 ) ∈ ∂V (w)
∗
u; Ω) và z ∗ = (z1∗ , z2∗ , . . . , zN
)∈
N (¯
x0 ; C), u∗ = (u∗0 , u∗1 , . . . , u∗N −1 ) ∈ N (¯

Z ∗ sao cho


18


∂hk

∗

∗

=
(
w
)(¯
xk , u¯k , w¯k ) + Tk∗ zk+1

k


∂wk


∂h


 ( 0 )(¯
x0 , u¯0 , w¯0 ) = −x∗0 − A∗0 z1∗
∂x0
∂h
k

∗

(
)(¯
xk , u¯k , w¯k ) = −zk∗ − A∗k zk+1



∂xk



∂h

k
∗

)(¯
xk , u¯k , w¯k ) = −u∗k − Bk∗ zk+1
(
∂uk

với k = 0, 1, . . . , N − 1,
∗
,
∇hN (¯
xN ) = zN

với k = 0, 1, . . . , N − 1,
với k = 0, 1, . . . , N − 1.

Điều kiện trên cũng là đủ để w¯ ∗ ∈ ∂V (w)
¯ nếu ta giả sử thêm rằng ánh
xạ nghiệm S : G−1 (K) ⇒ X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại
(w,
¯ x¯, u¯).
Chú ý rằng nếu Tk là toàn ánh với mọi k = 0, 1, . . . , N − 1 khi đó
kerT = {0} và (2.2) được thỏa mãn. Vì vậy, cùng với Ví dụ 2.1 chỉ ra

rằng điều kiện (2.2) là thực sự yếu hơn điều kiện tương ứng trong [5], ở
đó Tk được giả thiết là toàn ánh với mọi k = 0, 1, . . . , N − 1.
Cho X, Y và Z là những không gian hữu hạn chiều. Giả thiết rằng
A : X −→ Z và T : W −→ Z là những ánh xạ tuyến tính với ánh xạ
liên hợp A∗ : Z ∗ −→ X ∗ và T ∗ : Z ∗ −→ W ∗ . Giả sử f : X × Y −→ R là
một hàm giá trị thực mở rộng. Với mỗi w ∈ W ta đặt G(w) := {x ∈ X |
Ax = T w} . Giả sử w¯ ∈ W và K là một tập con khác rỗng của X. Xét
bài toán
µ(w) :=

inf

f (x, w).

(2.3)

x∈G(w)∩K

Đặt S(w) là tập nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số w ∈ W .
Giả sử rằng x¯ là một nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số
w¯ tức là x¯ ∈ S(w)
¯ và K là đóng địa phương tại x¯.
Kết quả sau cho ta một công thức tính dưới vi phân Fréchet của µ
tại w.
¯
Định lý 2.2. [3, Theorem 2.1]


19


Cho hàm giá trị tối ưu µ xác định bởi (2.3) là hữu hạn tại w¯ ∈ domS,
và giả sử x¯ ∈ S(w)
¯ sao cho ∂ + f (¯
x, w)
¯ = ∅. Giả sử K là chính quy pháp
tuyến tại x và
[ − N (¯
x; K)] ∩ A∗ (kerT ∗ ) = {0}.

(2.4)

Khi đó
[v ∗ + T ∗ ((A∗ )−1 (x∗ + u∗ ))].

∂µ(w)
¯ ⊂

(2.5)

x;K)
(x∗ ,v ∗ )∈∂ + f (¯
x,¯
v ) u∗ ∈N (¯

Nếu thêm vào giả thiết f là khả dưới vi phân Fréchet tại (¯
x, w)
¯ và ánh
xạ nghiệm S : G−1 (K) ⇒ X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại
(w,
¯ x¯) thì

[∇w f (¯
x, w)
¯ + T ∗ ((A∗ )−1 (∇x f (¯
x, w)
¯ + u∗ ))].

∂µ(w)
¯ =

(2.6)

u∗ ∈N (¯
x;K)

Chứng minh. Giả sử x¯ ∈ S(w)
¯ và H(w) := G(w) ∩ K. Khi đó µ(w) =
inf f (x, w). Bởi [7, Theorem 1],
x∈H(w)

[v ∗ + D∗ H(w,
¯ x¯)(x∗ )].

∂µ(w)
¯ ⊂

(2.7)

(x∗ ,v ∗ )∈∂ + f (¯
x,w)
¯


Lưu ý rằng
D∗ H(w,
¯ x¯)(x∗ ) = {w∗ ∈ W ∗ | (w∗ , −x∗ ) ∈ N ((w,
¯ x¯); gphH)},
ở đó gphH = {(w, x) ∈ W × X | x ∈ H(w)} = P ∩ Q với P := W × K và
Q := gphH. Tiếp theo ta phải tính đối đạo hàm Fréchet D∗ H(w,
¯ x¯)(x∗ ).
Bước 1 (Tính nón N ((w,
¯ x¯); Q). Ta cần khẳng định rằng
N ((w,
¯ x¯); Q) = {(−T ∗ z ∗ , A∗ z ∗ ) | z ∗ ∈ Z ∗ }.

(2.8)

Thật vậy, giả sử rằng ϕ : W × X −→ Z là hàm được xác định bởi
ϕ(w, x) = −T w + Ax với mọi (w, x) ∈ W × X. Khi đó, ϕ là một ánh xạ
tuyến tính liên tục và ánh xạ liên hợp của nó ϕ∗ : Z ∗ −→ W ∗ × X ∗ được


20

xác định bởi ϕ∗ (z ∗ ) = (−T ∗ z ∗ , A∗ z ∗ ) với mọi z ∗ ∈ Z ∗ . Khi Q là không
gian véctơ,
N ((w,
¯ x¯); Q)
= {(w∗ , x∗ ) ∈ W ∗ ×X ∗ | (w∗ , x∗ ), (w−w,
¯ x−¯
x) ≤ 0 ∀(w, x) ∈ Q}
= {(w∗ , x∗ ) ∈ W ∗ × X ∗ | (w∗ , x∗ ), (w, x) = 0 ∀(w, x) ∈ Q}

= {(w∗ , x∗ ) ∈ W ∗ × X ∗ | (w∗ , x∗ ), (w, x) = 0 ∀(w, x) ∈ kerϕ}
= (kerϕ)⊥ .
Bởi [2, Proposition 2.173],
(kerϕ)⊥ = imϕ∗ = {(−T ∗ z ∗ , A∗ z ∗ ) | z ∗ ∈ Z ∗ }.
Vì vậy đẳng thức(2.8) là đúng.
Bước 2 (Phân tích nón N ((w,
¯ x¯); P ∩ Q) và tính D∗ H(w,
¯ x¯)(x∗ )). Ta
bắt đầu bằng việc chứng minh biểu thức
N ((w,
¯ x¯); P ∩ Q) = {0} × N (¯
x, K) + N ((w,
¯ x¯); P ∩ Q).

(2.9)

Trước hết chú ý rằng
N ((w, x); P ) = N (w; W ) × N (x; K) = {0} × N (x; K),

(2.10)

với mọi (w, x) ∈ W × K. Hơn nữa, K là chính quy pháp tuyến tại x.
Khi đó tập P là chính quy pháp tuyến tại (w,
¯ x¯). Khi Q là lồi thì nó là
chính quy pháp tuyến tại (w,
¯ x¯). Ta thấy rằng cặp những tập P, Q thỏa
mãn điều kiện chính quy pháp tuyến
N ((w,
¯ x¯); Q) ∩ [ − N ((w,
¯ x¯); P )] = {(0, 0)}.

Thật vậy, lấy tùy ý (w∗ , x∗ ) ∈ N ((w,
¯ x¯); Q) ∩ [ − N ((w,
¯ x¯); P )]. Từ (2.8)
và (2.10) ta có w∗ = 0, −x∗ ∈ N (¯
x; K) và w∗ = −T ∗ z ∗ , x∗ = A∗ z ∗ với
một vài z ∗ ∈ Z ∗ . Do đó, điều kiện chính quy pháp tuyến thỏa mãn. Theo
[6, Corollary 3.5],
N ((w,
¯ x¯); P ∩ Q) = N ((w,
¯ x¯); P ) + N ((w,
¯ x¯); Q).