BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN HẢI

KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN HẢI

KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, 2015


i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của
thầy giáo TS. Trần Văn Bằng. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy
trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng
Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 21 tháng 3 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Hải


ii

Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của
TS. Trần Văn Bằng.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa
học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan
rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 21 tháng 3 năm 2015
Tác giả


Nguyễn Văn Hải


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Danh mục kí hiệu

iv

Lời mở đầu

1

1

2

Không gian Sobolev W m,p (Ω) và W0m,p (Ω)

3


1.1

Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Không gian Sobolev W m,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Không gian Sobolev W0m,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Ứng dụng đối với một số bài toán biên

35

2.1

Bài toán biên Dirichlet thuần nhất với toán tử Laplace . . . . . . . . . . .

35

2.2


Bài toán biên Neumann đối với toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3

Tính chính quy của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53


iv

Danh mục kí hiệu
• RN

Không gian Euclide N chiều.

• ∆u

Laplacian của u.


• ∇u

Gradien của u

• p

Liên hợp mũ của p, tức là

• supp f

Giá của hàm f .

• f

Tích chập của f với g.

g

1
p

+

1
p

= 1.

• (τh f )(x) = f (x + h) sự thay đổi của hàm f
• Cc1 (Ω)


Không gian các hàm khả vi cấp 1 có giá compact trên Ω

• .

Chuẩn trong không gian V .

V

• Ω ⊂ RN

Tập mở trong RN .

• ∂Ω = Γ

Biên của Ω.

• W 1,p (Ω), W01,p (Ω), W m,p (Ω), H 1 (Ω), H01 (Ω), H m (Ω) Các không gian Sobolev


1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong xã hội
thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng bằng việc định
lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại lượng toán học. Nhưng ta
cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa
các tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xuất
hiện những khó khăn toán học thực sự. Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta

buộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang
tuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toán
tuyến tính. Vẫn chưa đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với
giả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định. Khi đó,
việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta
xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó là
nghiệm cổ điển của bài toán. Nói như vậy để thấy rằng, không gian nghiệm của bài toán
được giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu. Vì
vậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quan trọng
để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán. Một không gian phiếm hàm tuyến tính được sử
dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về không gian Sobolev nên em chọn đề tài “Không
gian Sobolev và ứng dụng” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian Sobolev: khái niệm, các cấu trúc cơ bản và khả năng ứng dụng
trong nghiên cứu tính chất định tính của phương trình đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết không gian Sobolev.
Tìm hiểu cơ bản về lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.
Trình bày một cách hệ thống về không gian Sobolev và ứng dụng của chúng trong lý
thuyết phương trình đạo hàm riêng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


2

Đối tượng nghiên cứu: không gian Sobolev và ứng dụng.
Phạm vi nghiên cứu: không gian Sobolev W m,p (Ω) và W0m,p (Ω) và ứng dụng trong
Phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo;
Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm và của Phương trình đạo hàm riêng;
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài.
6. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống về không gian Sobolev, một số ứng dụng của không gian
Sobolev trong việc nghiên cứu tính chất định tính của phương trình đạo hàm riêng.


3

Chương 1

Không gian Sobolev W m,p(Ω) và
m,p

W0
1.1

(Ω)

Không gian Lp (Ω)

Định nghĩa. Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, ta đặt
Lp (Ω) = f : Ω → R; f là đo được và |f |p ∈ L1 (Ω)
với

1/p

f


Lp

= f

p

|f (x)|p dµ

=

.

Ω

Định nghĩa. Ta đặt




f là đo được và có một hằng số C
L∞ (Ω) = f : Ω → R

sao cho |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên Ω 
với
f

L∞

= f


∞

= inf C : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên Ω .

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức H¨older). Giả sử f ∈ Lp và g ∈ Lp với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
f g ∈ L1 và
|f g| dx ≤ f

p

g

p

.

(1.1)

Chứng minh. Kết luận là rõ ràng nếu p = 1 hoặc p = ∞, vì vậy ta giả sử rằng 1 < p < ∞.


4

Ta nhớ lại bất đẳng thức Young
1
1
ab ≤ ap + bp
p
p


∀a ≥ 0,

∀b ≥ 0.

(1.2)

Bất đẳng thức (1.2) là một hệ quả đơn giản với tính lõm của một hàm log trên (0, ∞) :
log

1 p 1 p
a + b
p
p

1
1
≥ logap + logbp = logab.
p
p

Ta có
|f (x)g(x)| ≤

1
1
|f (x)|p + |g(x)|p
p
p

x ∈ Ω.


Suy ra f g ∈ L1 và
|f g| dx ≤

1
f
p

p
p

+

1
g
p

p
p

.

1
λp

g

p
p


(1.3)

Thay f bằng λf (λ > 0) trong (1.3) ta có
|f g| dx ≤
Chọn λ = f

−1
p

g

p /p
p ,

λp−1
f
p

p
p

+

.

(1.4)

ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2 (Ascoli–Arzelà). Giả sử K là một không gian metric compact và H là một

tập con bị chặn của C(K). Giả sử H là đồng nhất liên tục khi đó,
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho d(x1 , x2 ) < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε ∀f ∈ H.

(1.5)

Khi đó bao đóng của H trong C(K) là compact.
Định lý 1.3 (Kolmogorov–M. Riesz–Fréchet). Giả sử F là một tập bị chặn trong Lp (RN )
với 1 ≤ p < ∞. Giả sử
lim

|h|→∞

τh f − f

p

= 0 đồng nhất trong f ∈ F,

tức là, ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho τh f − f

p

(1.6)

< ε ∀f ∈ F, ∀h ∈ RN với |h| < δ.

Khi đó bao đóng của F|Ω trong Lp (Ω) là compact với tập đo được bất kì Ω ⊂ RN với
độ đo hữu hạn.
Chứng minh. Ta chứng minh theo các bước sau:



5

Bước 1. Ta chỉ ra rằng
(ρn f ) − f

Lp (RN )

≤ ε,

∀f ∈ F,

∀n > 1/δ.

(1.7)

Thật vậy, ta có
|(ρn f )(x) − f (x)| ≤

|f (x − y) − f (x)| ρn (y)dy
1/p
p

≤

|f (x − y) − f (x)| ρn (y)dy

nhờ bất đẳng thức H¨older.
Vì vậy ta được


|(ρn f )(x) − f (x)|p dx ≤

|f (x − y) − f (x)|p ρn (y)dxdy
|f (x − y) − f (x)|p dx ≤ εp ,

ρn (y)dy

=
B(0,1/n)

với 1/n < δ.
Bước 2. Ta chỉ ra rằng
ρn f

L∞ (RN )

≤ Cn f

Lp (RN )

,

∀f ∈ F

(1.8)

và
|(ρn f )(x1 ) − (ρn f )(x2 )| ≤ Cn f

p


|x1 − x2 | , ∀f ∈ F,

∀x1 , x2 ∈ RN ,

(1.9)

trong đó Cn chỉ phụ thuộc vào n. Bất đẳng thức (1.8) suy ra từ bất đẳng đẳng thức H¨older
với Cn = ρn

p

. Mặt khác, ta có ∇(ρn f ) = (∇ρn ) f và do đó
∇(ρn f )

L∞ (RN )

≤ ∇ρn

Như vậy ta có được (1.9) với Cn = ∇ρn

Lp (RN )

f

Lp (RN )

.

Lp (RN ) .


Bước 3. Cho ε > 0 và Ω ⊂ RN có độ đo hữu hạn, khi đó có một tập con đo được và bị
chặn ω của Ω sao cho
f

Lp (Ω\ω)

< ε,

∀f ∈ F.

(1.10)


6

Thật vậy, ta viết
f

Lp (Ω\ω)

≤ f − (ρn f )

Lp (RN )

+ ρn f

Lp (Ω\ω)

.


Trong (1.8) ta phải chọn ω sao cho |Ω\ω| đủ nhỏ.
Bước 4. Vì Lp (Ω) là đầy đủ nên ta phải chỉ ra rằng F|Ω là hoàn toàn bị chặn tức là, với
bất kì ε > 0 có một phủ hữu hạn của F|Ω bằng hình cầu bán kính ε. Cho ε > 0 ta cố định
một tập đo được và bị chặn ω sao cho (1.10) không đổi. Ta cũng cố định n > 1/δ. Họ
H = (ρn F)|¯ω thỏa mãn các giả thiết của Định lí Ascoli–Arzelà. Do đó H có bao đóng
compact trong C(¯
ω ), do vậy H cũng có bao đóng compact trong Lp (ω). Vì vậy ta có thể
phủ H bằng hữu hạn các hình cầu bán kính ε trong Lp (ω)
H⊂

B(gi , ε)

với gi ∈ Lp (ω).

i

Xét các hàm g¯i : Ω → R định nghĩa bởi

g¯i =



gi

trên ω,


0


trên Ω\ω,

và các hình cầu B(¯
gi , 3ε) trong Lp (Ω).
Ta chỉ ra rằng họ phủ F|Ω . Thật vậy, với f ∈ F có một i sao cho
(ρn f ) − gi

Lp (ω)

< ε.

Vì
f − g¯i

p
Lp (Ω)

|f |p +

=
Ω\ω

|f − gi |p
ω

theo (1.10) ta có
f − g¯i

Lp (Ω)


≤ ε + f − gi

Lp (ω)

≤ ε + f − (ρn f )
Vậy F|Ω có bao đóng bị chặn trong Lp (Ω).

Lp (RN )

+ (ρn f ) − gi

Lp (ω)

< 3ε.


7

Định nghĩa. Một dạng song tuyến tính a : H × H → R được gọi là
(i) liên tục nếu có một hằng số C sao cho
|a(u, v)| ≤ C |u| |v| ,

∀u, v ∈ H;

(ii) bức nếu có một hằng số α > 0 sao cho
a(u, v) ≥ α |v|2 ,

∀v ∈ H.

Định lý 1.4 (Lax-Milgram). Cho không gian Hilbert (H, (., .)) với a(., .) là dạng song

tuyến tính đối xứng liên tục, bức trên H và phiếm hàm tuyến tính liên tục F ∈ H ∗ . Khi đó
tồn tại duy nhất u ∈ H sao cho
a(u, v) = F (v),

∀v ∈ H.

Định lý 1.5 (Stampacchia). Giả sử a(u, v) là một dạng song tuyến tính liên tục bức trên
H. Giả sử K ⊂ H là một tập con khác rỗng lồi và đóng. Khi đó, với bất kì ϕ ∈ H tồn
tại duy nhất u ∈ K sao cho
a(u, v − u) ≥ ϕ, v − u ,

∀v ∈ K.

(1.11)

Hơn nữa, nếu a là đối xứng thì u được mô tả bởi
u∈K

1.2

và

1
a(u, u) − ϕ, u = min
v∈K
2

1
a(v, v) − ϕ, v
2


.

(1.12)

Không gian Sobolev W m,p (Ω)

Cho Ω ∈ RN là một tập mở và cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞.
Định nghĩa 1.1. Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa bởi

W 1,p (Ω) =





p

u ∈ Lp (Ω)

∃g1 , g2 , ..., gN ∈ L (Ω) sao cho
1
Ω

∂ϕ
u ∂x
=−
i

Ω


gi ϕ, ∀ϕ ∈ Cc1 (Ω), ∀i = 1, 2, ..., N

Ta đặt
H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω)






8

Với u ∈ W 1,p (Ω) ta định nghĩa

∂u
∂xi

= gi , và ta viết
∂u
∂u ∂u
,
, ...,
∂x1 ∂x2
∂xN

∇u = gradu =

.


Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được trang bị chuẩn
N

u

W 1,p

Hoặc đôi khi với chuẩn tương đương

= u

u

p
p

p

i=1

∂u
∂xi

N
i=1

∂u
∂xi

+


+

p

p

1/p

nếu 1 ≤ p < ∞ . Không
p

gian H 1 (Ω) được trang bị với tích vô hướng
N

∂u ∂v
,
∂xi ∂xi

(u, v)H 1 = (u, v)L2 +
i=1

N

uv +

=
L2

Ω


i=1

∂u ∂v
∂xi ∂xi

dx.

Chuẩn tính bởi tích vô hướng
N

u

H1

=

u

2
2

+
i=1

∂u
∂xi

2


1/2

2

tương đương với chuẩn trong W 1,2 .
Mệnh đề 1.1. W 1,p (Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ p < ∞. W 1,p (Ω) là phản xạ
với 1 < p < ∞, và là tách được với 1 ≤ p < ∞. H 1 (Ω) là một không gian Hilbert tách
được.
Định nghĩa 1.2. Cho Ω ⊂ RN là một tập mở. Ta nói rằng một tập mở ω trong RN là chứa
compact trong Ω và ta viết ω ⊂⊂ Ω nếu ω ⊂ Ω và ω là compact.
Định lý 1.6 (Friedrichs). Cho u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p < ∞. Khi đó tồn tại một dãy (un )
trong Cc∞ RN sao cho
un|Ω → u trong Lp (Ω)

(1.13)

∇un|ω → ∇u|ω trong Lp (ω)N với mọi ω ⊂⊂ Ω.

(1.14)

và

Trong trường hợp Ω = RN và u ∈ W 1,p RN với 1 ≤ p < ∞ tồn tại một dãy (un )
trong Cc∞ RN sao cho
un → u trong Lp RN


9

và

∇un → ∇u trong Lp RN

N

.

Để chứng minh ta sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. Giả sử ρ ∈ L1 RN và v ∈ W 1,p (RN ) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
ρ v ∈ W 1,p RN

và

∂
(ρ v) = ρ
∂xi

∂v
∀i = 1, 2, ..., N.
∂xi

Chứng minh Định lí 1.6. Đặt

u (x) =



u (x) , nếu x ∈ Ω

0,


và đặt vn = ρn

nếu x ∈ RN \ Ω

u (trong đó ρn là một dãy chỉnh hóa). Ta biết rằng vn ∈ C ∞ RN và

vn → u trong Lp (RN ). Ta chứng tỏ rằng ∇vn|ω → ∇u|ω trong Lp (ω)N với mọi ω ⊂⊂ Ω.
Thật vậy, cho ω ⊂⊂ Ω, cố định một hàm α ∈ Cc1 (Ω) , 0 ≤ α ≤ 1, sao cho α = 1 trên
một lân cận của ω. Nếu n đủ lớn ta có
ρn (αu) = ρn u trên ω,

(1.15)

vì
supp (ρn αu) = supp (ρn (1 − α)u)
⊂ suppρn + supp(1 − α)u ⊂ B 0,

1
n

+ supp (1 − α)

⊂ (ω)c
với n đủ lớn. Từ Bổ đề 1.1 ta có
∂
(ρn αu) = ρn
∂xi

α


∂α
∂u
+
u .
∂xi ∂xi

Suy ra
∂
∂u
∂α
(ρn αu) → α
+
u trong Lp (RN )
∂xi
∂xi ∂xi
và đặc bệt,
∂
∂u
(ρn αu) →
∂xi
∂xi

trong Lp (ω).


10

Do (1.15) ta có
∂
∂u

(ρn u) →
trong Lp (ω).
∂xi
∂xi
Cuối cùng, ta nhân dãy (vn ) với dãy các hàm cắt (ζn ). Dễ dàng chỉ ra rằng dãy un = ζn vn
có các tính chất mong muốn, un ∈ Cc∞ RN , un → u trong Lp (Ω) và ∇un → ∇u
trong (Lp (ω))N với mỗi ω ⊂⊂ Ω.
Dưới đây là một đặc trưng đơn giản của các hàm trong W 1,p
Mệnh đề 1.2. Cho u ∈ Lp (Ω) với 1 < p ≤ ∞. Các tính chất sau là tương đương
(i) u ∈ W 1,p (Ω).
(ii) Tồn tại một hằng số C sao cho
u
Ω

∂ϕ
dx ≤ C ϕ
∂xi

∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ∀i = 1, 2, ..., N.

Lp (Ω)

(iii) Tồn tại một hằng số C sao cho với mọi ω ⊂⊂ Ω và mọi h ∈ RN với |h| <
dist(ω, ∂Ω) ta có
τh u − u

Lp (ω)

≤ C |h| .


(Chú ý rằng τh u(x) = u(x + h) có nghĩa với x ∈ ω và |h| < dist(ω, ∂Ω)).
Hơn nữa, ta có thể lấy C = ∇u

Lp (Ω)N

trong (ii) và (iii).

Nếu Ω = RN , ta có
τh u − u

Lp (RN )

≤ |h| ∇u

Lp (RN )N

.

Chứng minh.
(i)⇒ (ii). Hiển nhiên.
(i) ⇒ (iii). Đầu tiên giả sử rằng u ∈ Cc∞ (RN ). Cho h ∈ RN và đặt
v(t) = u(x + th), t ∈ R.
Khi đó v (t) = h · ∇u(x + th) và do đó
1

u(x + h) − u(x) = v(1) − v(0) =

1

h · ∇u(x + th)dt.


v (t)dt =
0

0


11

Từ đây suy ra, với 1 ≤ p < ∞,
1

|∇u(x + th)|p dt

|τh u(x) − u(x)|p ≤ |h|p
0

và
1

|τh u(x) − u(x)|p dx ≤ |h|p
ω

|∇u(x + th)|p dt

dx
0

ω
1


= |h|p

|∇u(x + th)|p dx

dt
0

ω
1

= |h|p

|∇u(y)|p dy.

dt
0

ω+th

Nếu |h| < dist(ω, ∂Ω), thì tồn tại một tập mở ω ⊂⊂ Ω sao cho ω + th ⊂ ω với mọi
t ∈ [0, 1] và do đó
τh u − u

p
Lp (ω)

≤ |h|p

|∇u|p .


(1.16)

ω

Ta đã chứng minh được (iii) với u ∈ Cc∞ (RN ) và 1 ≤ p < ∞. Bây giờ giả sử rằng
u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p < ∞. Theo Định lí 1.6, tồn tại một dãy (un ) trong Cc∞ (RN ) sao
cho un → u trong Lp (Ω) và ∇un → ∇u trong Lp (ω)N , ∀ω ⊂⊂ Ω. Áp dụng (1.16) đối
với (un ) và cho qua giới hạn ta có (iii) với mọi u ∈ W 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞. Khi p = ∞,
áp dụng kết quả trên (với p < ∞) và cho p → ∞.
(iii) ⇒ (ii). Giả sử ϕ ∈ Cc∞ (Ω), xét tập mở ω sao cho suppϕ ⊂ ω ⊂⊂ Ω. Lấy
h ∈ RN với |h| < dist(ω, ∂Ω). Do (iii) ta có
(τh u − u)ϕ ≤ C |h| ϕ

Lp (Ω)

.

Ω

Mặt khác, từ
(u(x + h) − u(x))ϕ(x)dx =
Ω

u(y)(ϕ(y − h) − ϕ(y))dy,
Ω

suy ra
u(y)
Ω


(ϕ(y − h) − ϕ(y))
dy ≤ C ϕ
|h|

Lp (Ω)

Chọn h = tei , t ∈ R, và cho qua giới hạn khi t → 0, ta được (ii).

.


12

Khi p = 1 thì sự kéo theo sau vẫn đúng
(i) ⇒ (ii) ⇔ (iii).
Các hàm thỏa mãn (ii) (hoặc (iii)) khi p = 1 được gọi là hàm có biến phân bị chặn (trong
lí thuyết hàm suy rộng, hàm có biến phân bị chặn là một hàm L1 có tất cả các đạo hàm
riêng cấp một theo nghĩa hàm suy rộng là các độ đo bị chặn). Không gian này đóng vai
trò quan trọng trong nhiều ứng dụng. Ta có thể bắt gặp hàm có biến phân bị chặn (hoặc
có tính chất tương tự) trong các lý thuyết về các mặt cực tiểu, hay trong các vấn đề về đàn
hồi,...
Mệnh đề 1.2 ((i) ⇒ (iii)) cho thấy mỗi hàm u ∈ W 1,∞ (Ω) đều có một đại diện liên
tục trên Ω. Chính xác hơn, nếu Ω liên thông thì
|u(x) − u(y)| ≤ ∇u

L∞ (Ω)

dist(x, y) ∀x, y ∈ Ω


(1.17)

Ω

(với đại diện liên tục u), trong đó dist(x, y) là khoảng cách trắc địa từ x đến y trong Ω.
Ω

Đặc biệt, nếu Ω lồi thì dist(x, y) = |x − y|. Từ đó ta có thể suy ra rằng nếu u ∈ W 1,p (Ω)
Ω

với một 1 ≤ p ≤ ∞, và nếu ∇u = 0 hầu khắp nơi trên Ω thì u là hằng số trên mỗi thành
phần liên thông của Ω.
Mệnh đề 1.3 (Đạo hàm của tích). Cho u, v ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Thế thì
uv ∈ W 1,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) và
∂
∂u
∂v
(uv) =
v+u
, i = 1, 2, ..., N.
∂xi
∂xi
∂xi
Chứng minh. Trước hết ta xét với 1 ≤ p < ∞. Theo Định lí 1.6, tồn tại dãy (un ), (vn )
c
trong C∞
(RN ) sao cho

un → u,


vn → v trong Lp (Ω) và hầu khắp nơi trên Ω,

∇un → ∇u, ∇vn → ∇v trong Lp (ω)N với mỗi ω ⊂⊂ Ω.
Theo chứng minh của Định lí 1.6, chúng ta thấy rằng
un

L∞ (RN )

≤ u

L∞ (Ω)

và vn

L∞ (RN )

≤ v

L∞ (Ω)

.


13

Mặt khác,
un vn
Ω

∂ϕ

dx = −
∂xi

Ω

∂un
∂vn
vn + un
∂xi
∂xi

ϕdx, ∀ϕ ∈ Cc1 (Ω).

Cho qua giới hạn, theo định lí về sự hội tụ trội ta có
uv
Ω

∂ϕ
dx = −
∂xi

Ω

∂u
∂v
v+u
∂xi
∂xi

∀ϕ ∈ Cc1 (Ω).


ϕdx

Mệnh đề 1.4 (Đạo hàm của hàm hợp). Cho G ∈ C 1 (R) với G(0) = 0 và |G (s)| ≤
M, ∀s ∈ R và M là một hằng số. Giả sử u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
G ◦ u ∈ W 1,p (Ω) và

∂
∂u
(G ◦ u) = (G ◦ u)
, i = 1, 2, ..., N.
∂xi
∂xi

Chứng minh. Ta có |G(s)| ≤ M |s| ∀s ∈ R nên |G ◦ u| ≤ M |u| và do đó, G ◦ u ∈ Lp (Ω)
∂u
và cũng có (G ◦ u) ∂x
∈ Lp (Ω). Ta chỉ còn phải kiểm tra rằng
i

(G ◦ u)
Ω

∂ϕ
=−
∂xi

(G ◦ u)
Ω


∂u
ϕdx
∂xi

∀ϕ ∈ Cc1 (Ω).

(1.18)

Khi 1 ≤ p < ∞, theo Định lí 1.6, ta có thể chọn một dãy (un ) trong Cc∞ (RN ) sao cho
un → u trong Lp (Ω) và hầu khắp nơi trên Ω, ∇un → ∇u trong Lp (ω)N , ∀ω ⊂⊂ Ω. Khi
đó ta có
(G ◦ un )
ω

∂ϕ
dx = −
∂xi

(G ◦ un )
Ω

∂un
ϕdx,
∂xi

∀ϕ ∈ Cc1 (Ω).

∂u
n
→ (G ◦u) ∂x

trong Lp (ω), ∀ω ⊂⊂ Ω,
Nhưng G◦un → G◦u trong Lp (Ω) và (G ◦un ) ∂u
∂xi
i

vì vậy ta có (1.18). Khi p = ∞ cố định một tập mở Ω sao cho suppϕ ⊂ Ω ⊂⊂ Ω. Khi
đó u ∈ W 1,p (Ω ), ∀p < ∞ nên theo chứng minh trên ta có được (1.18).
Mệnh đề 1.5 (Công thức đổi biến). Cho Ω và Ω là hai tập mở trong RN và H :
Ω → Ω là một song ánh, x = H(y), sao cho H ∈ C 1 (Ω ), H −1 ∈ C 1 (Ω), JacH ∈
L∞ (Ω), JacH−1 ∈ L∞ (Ω). Giả sử u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Khi đó u ◦ H ∈ W 1,p (Ω ) và
∂
u(H(y)) =
∂yj

i

∂u
∂Hi
(H(y))
(y),
∂xi
∂yj

∀j = 1, 2, ..., N.

Chứng minh. Khi 1 ≤ p < ∞, ta lấy một dãy (un ) trong Cc∞ (RN ) sao cho un → u trong
Lp (Ω) và ∇un → ∇u trong Lp (ω)N , ∀ω ⊂⊂ Ω. Do đó un ◦ H → u ◦ H trong Lp (Ω )



14

và
∂Hi
→
∂yj

∂un
◦H
∂xi

∂u
◦H
∂xi

∂Hi
∂yj

trong Lp (ω ),

∀ω ⊂⊂ Ω .

Cho ψ ∈ Cc1 (Ω ), chúng ta có
(un ◦ H)
Ω

∂ψ
dy = −
∂yj


Ω

∂un
◦H
∂xi

i

∂Hi
ψdy.
∂yj

Cho qua giới hạn ta được kết quả mong muốn. Khi p = ∞, làm tương tự như chứng minh
của Mệnh đề 1.4.
Cho m ≥ 2 là một số nguyên và p là một số thực với 1 ≤ p ≤ ∞. Chúng ta định nghĩa
bằng quy nạp
W m,p (Ω) =

u ∈ W m−1,p (Ω);

∂u
∈ W m−1,p (Ω),
∂xi

∀i = 1, 2, ..., N

.

Ngoài ra, các tập này cũng có thể được định nghĩa bởi
W m,p (Ω) =





u ∈ Lp (Ω)



p

∀α với |α| ≤ m,

∃gα ∈ L (Ω) sao cho

uDα ϕ = (−1)|α|
Ω

g ϕ,
Ω α




∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) 

,

trong đó ta sử dụng đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αN ), với αi ≥ 0 là số nguyên,
N


αi và Dα ϕ =

|α| =
i=1

∂ |α| ϕ
αN .
∂xα1 1 ∂xα2 2 ...∂N

Đặt Dα u = gα . Thế thì không gian W m,p (Ω) được trang bị chuẩn
u

W m,p

Dα u

=

p

0≤|α|≤m

là một không gian Banach.
Không gian H m (Ω) = W m,2 (Ω) được trang bị tích vô hướng
(u, v)H m =

(Dα u, Dα v)L2
0≤|α|≤m

là một không gian Hilbert.

Ta có thể chứng minh rằng nếu Ω là "đủ trơn" với Γ = ∂Ω bị chặn, thì chuẩn trên W m,p (Ω)


15

là tương đương với chuẩn
u

p

Dα u

+

p

.

|α|=m

Cụ thể hơn, với mỗi đa chỉ số α với 0 < |α| < m và với mỗi ε > 0 tồn tại một hằng số C
(phụ thuộc vào Ω, ε, α) sao cho
Dα u

p

Dβ u

≤ε


p

+C u

p

∀u ∈ W m,p (Ω).

,

|β|=m

Để tiện cho việc thiết lập các tính chất của một hàm trong W 1,p (Ω) ta thường bắt đầu với
trường hợp Ω = RN . Do đó, ta cần tới việc thác triển một hàm u ∈ W 1,p (Ω) thành một
hàm u˜ ∈ W 1,p (RN ). Điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được (với một miền Ω
nói chung). Tuy nhiên, nếu Ω là "trơn" thì có thể xây dựng được thác triển u˜. Chúng ta bắt
đầu bằng cách làm rõ khái niệm về một tập mở trơn.
Kí hiệu. Cho x ∈ RN , ta viết
x = (x , xN ) với x ∈ RN −1 ,

x = (x1 , x2 , ..., xN −1 ),

và đặt
1/2

N −1

x2i

|x | =


.

i=1

Ta định nghĩa
RN
+ = {x = (x , xN ); xN > 0} ,
Q = {x = (x , xN ); |xN | < 1 và |xN | < 1} ,
Q+ = Q ∩ RN
+,
Q0 = {x = (x , 0); |x | < 1} .
Định nghĩa. Ta nói một tập mở Ω là thuộc lớp C 1 nếu với mỗi x ∈ ∂Ω = Γ, tồn tại một
lân cận U của x trong RN và một song ánh H : Q → U sao cho
H ∈ C 1 (Q), H −1 ∈ C 1 (U ), H(Q+ ) = U ∩ Ω, và H(Q0 ) = U ∩ Γ.
Ánh xạ H được gọi là một bản đồ địa phương.
Định lý 1.7. Giả sử rằng Ω thuộc lớp C 1 với biên Γ bị chặn (hay Ω = RN
+ ). Khi đó tồn


16

tại một toán tử thác triển tuyến tính
P : W 1,p (Ω) → W 1,p (RN )

(1 ≤ p ≤ ∞)

sao cho với mọi u ∈ W 1,p (Ω),
P u|Ω = u,
Lp (RN )


≤C u

Lp (Ω)

W 1,p (RN )

≤C u

W 1,p (Ω)

Pu
Pu

,
,

trong đó C chỉ phụ thuộc vào Ω.
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách chứng minh một bổ đề đơn giản nhưng cơ bản liên quan
đến việc thác triển bằng phép phản xạ.
Bổ đề 1.2. Cho u ∈ W 1,p (Q+ ) với 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa hàm thác triển bằng phản
xạ u trên Q bởi

 u(x , x )
N
u (x , xN ) =
u(x , −xN )

nếu xN > 0,
nếu xN < 0.


Khi u ∈ W 1,p (Q) và
u

Lp (Ω)

≤2 u

Lp (Q+ )

,

u

W 1,p (Q)

≤2 u

W 1,p (Q+ )

Chứng minh. Ta cần chứng minh rằng
∂u
=
∂xi

∂u
∂xi

với 1 ≤ i ≤ N − 1


(1.19)

và
∂u
∂u
=
,
∂xN
∂xN
trong đó

∂u
∂xi

là thác triển bằng phản xạ của

∂u
,
∂xi


 f (x , x )
N
f (x , xN ) =
−f (x , −xN )

(1.20)
và với f là xác định trên Q+ thì
nếu xN > 0,
nếu xN < 0.



17

Ta sẽ sử dụng dãy (ηk ) các hàm trong C ∞ (R) xác định bởi
t ∈ R,

ηk (t) = η(kt),

k = 1, 2, ...,

trong đó, η là một hàm cố định, η ∈ C ∞ (R), sao cho

η(t) =



0

nếu t < 1/2,


1

nếu t > 1.

Chứng minh (1.19). Cho c ∈ Cc1 (Q). Với 1 ≤ i ≤ N − 1, ta có
∂ϕ
dx =
∂xi


u
Q

u
Q+

∂ψ
dx,
∂xi

(1.21)

trong đó, ψ(x , xN ) = ϕ(x , xN ) − ϕ(x , −xN ). Các hàm ψ nói chung không thuộc vào
Cc1 (Q+ ) và do đó nó không được sử dụng như một hàm thử (trong định nghĩa của W 1,p ).
Mặt khác, ηk (xN )ψ(x , xN ) ∈ Cc1 (Q+ ) và do đó
u
Q+

Từ

∂
(ηk ψ)
∂xi

∂
(ηk ψ)dx = −
∂xi

Q+


∂u
ηk ψdx.
∂xi

∂ψ
= ηk ∂x
ta có
i,

uηk
Q+

∂ψ
dx = −
∂xi

Q+

∂u
ηk ψdx.
∂xi

(1.22)

Cho qua giới hạn khi k → ∞ (theo định lí hội tụ trội), ta nhận được
u
Q+

∂ψ

dx = −
∂xi

Q+

∂u
ψdx.
∂xi

(1.23)

Kết hợp (1.21) và (1.23), ta suy ra
u
Q

∂ϕ
dx = −
∂xi

Q+

∂u
ψdx = −
∂xi

Q

∂u
∂xi


ϕdx,

từ đó ta có (1.19).
Chứng minh (1.20). Với mỗi ϕ ∈ Cc1 (Q), chúng ta có
u
Q

∂ϕ
dx =
∂xN

u
Q+

∂χ
dx,
∂xN

(1.24)


18

trong đó χ(x , xN ) = ϕ(x , xN ) − ϕ(x , −xN ). Chú ý rằng χ(x , 0) = 0 nên tồn tại một
hằng số M sao cho |χ(x , xN )| ≤ M |xN | trên Q. Từ ηk χ ∈ Cc1 (Q+ ), chúng ta có
∂u
ηk χ.
∂xN

(1.25)


∂
∂χ
(ηk χ) = η
+ kη (kxN )χ.
∂xN
∂xN

(1.26)

ukη (kxN )χ → 0 khi k → ∞.

(1.27)

u
Q+

∂
(ηk χ) = −
∂xN

Q+

Nhưng

Chúng ta khẳng định rằng

Q+

Thật vậy, ta có

|u| dx

|u| xN dx ≤ M C

ukη (kxN )χ ≤ kM C

0
0
Q+

với C = supt∈[0,1] |η (t)| , từ đó ta có (1.27).
Từ (1.25), (1.26) và (1.27) ta suy ra
u
Q+

∂χ
dx = −
∂xN

Q+

∂u
χdx.
∂xN

Cuối cùng, chúng ta có
Q+

∂u
χdx =
∂xN

Q

∂u
ϕdx.
∂xN

(1.28)

Kết hợp (1.24) và (1.28), ta được (1.20). Từ đó Bổ đề 1.2 được chứng minh.
Các kết luận của Bổ đề 1.2 vẫn đúng nếu Q+ được thay bằng RN
+.
Bổ đề 1.3 (Phân hoạch đơn vị). Cho Γ ⊂ RN là một tập compact và U1 , U2 , ..., Uk là một
phủ mở của Γ, tức là, Γ ⊂

k
i=1

Ui . Khi đó tồn tại các hàm θ0 , θ1 , θ2 , ..., θk ∈ C ∞ (RN )

sao cho
k

θi = 1 trên RN ,

0 ≤ θi ≤ 1 ∀i = 0, 1, 2, ..., k và

(1.29)

i=0



suppθi là compact và suppθi ⊂ Ui

suppθ0 ⊂ RN \ Γ.

∀i = 1, 2, ...

.

(1.30)


19

Nếu Ω là một tập mở, bị chặn và Γ = ∂Ω thì θ0|Ω ∈ Cc∞ (Ω).
Chứng minh của Định lí 1.7 Chúng ta "làm thẳng" Γ = ∂Ω bởi các bản đồ địa phương và
phân hoạch đơn vị. Chính xác hơn, vì Γ là compact và thuộc lớp C 1 nên tồn tại các tập
mở (Ui )1≤i≤k trong RN sao cho Γ ⊂
Hi ∈ C 1 (Q),

k
i=1

Hi−1 ∈ C 1 (Ui ),

Ui và các song ánh Hi : Q → Ui sao cho

Hi (Q+ ) = Ui ∩ Ω,

và Hi (Q0 ) = Ui ∩ Γ.

Xét các hàm θ0 , θ1 , θ2 , ..., θk được giới thiệu trong Bổ đề 1.3. Cho u ∈ W 1,p (Ω), chúng ta
viết

k

u=

k

θi u =
i=0

ui ,

với ui = θi u.

i=0

Bây giờ chúng ta thác triển các hàm ui lên RN , chú ý có sự khác nhau giữa u0 và (ui )1≤i≤k .
(a) Thác triển của u0 . Chúng ta định nghĩa thác triển của u0 lên RN bởi

u¯0 (x) =




u0 (x)

nếu x ∈ Ω,


0

nếu x ∈ RN \Ω.

Nhớ lại rằng θ0 ∈ C 1 (RN ) ∩ L∞ (RN ), ∇θ0 ∈ L∞ (RN ), vì ∇θ0 = −

k
i=1

∇θi có giá

N

compact và suppθ0 ⊂ R \Γ. Ta suy ra
u¯0 ∈ W 1,p (RN )

và

∂u
∂θ0
∂
u¯0 = θ0
+
u¯.

∂xi
∂xi ∂xi

Do đó
u¯0

W 1,p (RN )

≤C u

W 1,p (Ω)

.

(b) Thác triển của ui , 1 ≤ i ≤ k.
Xét sự hạn chế của u trên Ui ∩ Ω và sự "chuyển" hàm này thành hàm trên Q+ nhờ ánh xạ
Hi . Cụ thể, đặt vi (y) = u(Hi (y)) với y ∈ Q+ . Ta thấy rằng vi ∈ W 1,p (Q+ ). Ta xác định
thác triển lên Q nhờ phản xạ của vi và gọi là vi . Ta thấy rằng vi ∈ W 1,p (Q). Ta "chuyển
lại" vi thành hàm trên Ui bằng cách sử dụng Hi−1 và gọi nó là ωi :
ωi (x) = vi [Hi−1 (x)]

với x ∈ Ui .