Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

03. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN KHÁC
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải các phương trình sau:
2 x2 + 1
x
4
+ 2
= .
3x
2x +1 3
Câu 2: Giải các phương trình sau:

b)

2 x2 + x + 1
x +1
+ 2
= 2.
x +1
2x + x + 1

a)

b)

x4

2x2 +1
+
= 2.
2 x2 + 1
x4

x2
2x +1
−1
a)
+
=
.
2
2
x
2
2 3x + 4 x + 2

3x 2 + 3x + 4 6 x 2 + 4 x + 5
b)
+
= 5.
2x + 3
3x 2 + x + 1

a)

x2 + 1
3x

5
+ 2
= .
3x
x +1 2
Câu 3: Giải các phương trình sau:

(

)

Câu 4: Giải các phương trình sau:
a)

x 2 + 3x
3 + 3x
+ 2
= 3.
1+ x
x + 4x + 1

b)

8x + 3
6 x2 + 9
+
= 4.
2 x 2 + 3 ( x + 1)( x + 3)

b)


5x2 + 4 x + 5 x2 + 5x + 8
+ 2
= x + 3.
4x + 3
x + x+5

b)

2
5 x3 + x 2 + x + 1 6 4 x + 1
+
= x +7.
4 x2 + 1
x3 + x 2 + 1

Câu 5: Giải các phương trình sau:
x +1
x
+
= x+3.
x
1 − x2
Câu 6: Giải các phương trình sau:

a)

x 3 − x 2 + 1 x3 + 2 x + 1
+ 3
= 2− x .

x
x + x +1
Câu 7: Giải các phương trình sau:
1
5
a) x 2 + 4 x + 2
+ =0.
x + 4x + 5 2
Câu 8: Giải các phương trình sau:
2
a)
+ x x 2 − 3x + 3 = 3 .
3
( x − 1) + 1

a)

(

)

Câu 9: Giải các phương trình sau:
3x
5x
a) 2
+ 2
= 2.
x + x + 1 x + 3x + 1
Câu 10: Giải các phương trình sau:
5

8
7
a) 2
+ 2
+
=0.
x + x + 1 x − 4 x + 1 3x
Câu 11: Giải các phương trình sau:
x 2 − 3x + 5 1 x 2 − 5 x + 5
+ =
.
x2 − 4 x + 5 4 x2 − 6 x + 5
Câu 12: Giải các phương trình sau:

a)

a) 2 ( x + 1) ( x + 3) + 3 ( x + 2 ) = 66 .
3

3

2

(

b) x ( x 2 − 2 ) +

b)

6


( x + 1)

3

+4

)

1
= 1.
x − 2x +1
3

(

)

+ x x2 + 3x + 3 = 2 .

b)

2x
3x
9
+
= .
2
x + x + 3 ( x + 1) + 2 10


b)

4
7
5
+ 2
=
.
x − 6x +1 x +1 2x

b)

x 4 + 3x 2 + 1
= 3.
x3 + x2 − x

2

2

b) 3 ( x − 1) ( x + 4 ) + ( 2 x + 3) − 32 = 0 .
3

3

2

Câu 13: Giải các phương trình sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !



Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(

)

Facebook: Lyhung95

a) ( x + 3)( x − 2 ) ( x 2 + x − 4 ) = −1 .

b) x 2 + 2 x − 1 ( x + 1) = −1 .

c) ( 4 x + 3) ( x + 1)( 2 x + 1) = 9 .

d) ( x + 1)( x − 3) ( x 2 − 2 x ) = −2 .

2

2

Câu 14: Giải các phương trình sau:
a) ( 5 x 2 + 3) ( 5 x 2 + 2 )( 5 x 2 + 4 ) = 72 .

b) 3 ( 2 x 2 + 3 x )( 4 x 2 + 6 x + 5 ) = ( 2 x 2 + 3 x + 10 ) .

2

2


Câu 15: Giải các phương trình sau:
a) x 2 +

1
1

= 3 x +  − 4 .
2
x
x


1
1



b)  2 x − + 5   4 x 2 + 2 + 1 = 36 .
x
x




c) x3 +

1
1

= 78  x +  .

3
x
x


d) 8 x3 −

1
1

− 4  2x −  = 3 .
3
x
x


Câu 16: Giải các phương trình sau:
a) (1 + x 2 ) + 3 x 2 = 4 (1 + x 2 ) x .

b) ( x 2 + x + 1) + 4 ( x − 1) + 5 = 5 x 3 .

2

2

c) ( x 2 + x + 1) − 5 ( x 4 + x 2 + 1) + 4 ( x 2 − x + 1) = 0
2

2


d) ( x + 3) = ( x 2 + x − 6 ) + 2 ( x − 2 )

2

2

4

4

Câu 17: Giải các phương trình sau:
a)

2x −1

( x − 1)

+ 4 x 2 − 16 x + 17 =

2

5x ( x − 2)

x −1

b) x3 +

.

2 x 2 ( x − 1)

x +1

2 
 x −1 

+ 3x 
 = 6 1 −
 .
 x +1 
 x +1 
2

3

Câu 18: Giải các phương trình sau:

(x
a)

2

−2

)

2

= 5x − 6x − 4 .

b)


x −1
Câu 19: Giải các phương trình sau:

(

2 ( x − 1) ( x + 2 )
2

2

)(

)

3x + 2 x − 4
2

=

x−2
.
x+2

 x2 − 2  
9 − 4x 
b) 
+ 1 3x +
 = 5.
x+3 

 x+3


a) 3x 2 − 1 3x 2 − 7 x + 13 + 10 ( 2 − x ) = 0 .
2

Câu 20: Giải các phương trình sau:

 x2 − 2  
9 − 4x 
b) 
+ 1 3x +
 = 5.
x+3 
 x+3


5  2x +1

a) x ( x + 2 )  4 +
=5.

x−2 x−2


Câu 21: Giải các phương trình sau:

(

)(


)

a) x 2 + x + 1 x 4 + 2 x 3 + 7 x 2 + 26 x + 36 = 5 ( x + 3) .
3

b) ( x + 3) ( 3 x 4 + 8 x 2 + 12 x + 21) = 5 ( x 2 + 1) .
3

Câu 22: Giải các phương trình sau:
a) 27 x + 2 ( 5 − 2 x 2 ) = 45 .

b) 5 ( 5 x 2 − 17 ) − 343 x − 833 = 0 .

2

2

Câu 23: Giải các phương trình sau:
a) ( x 2 − 4 x + 1) + ( 8 x − x 2 + 4 ) + ( x − 5 ) = 125 x 3 .
3

3

Câu 24: Giải các phương trình sau:
1
1
1
1
a) 2

+
+
= 2
.
x − x + 1 1 − 2 x 3x x + 2

3

b) ( x 2 − x + 1) + ( x − 1) + 8 x3 = ( x 2 + 2 x ) .
3

b)

3

3

1
1
1
1
+
+
= 2
.
x + 1 x + 3 4x + 3 x + 5x + 7
2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !



Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a)

2 x2 + 1
x
4
+ 2
= .
3x
2x +1 3

b)

2 x2 + x + 1
x +1
+ 2
= 2.
x +1
2x + x + 1

Lời giải
2x + 1
khi đó phương trình đã cho trở thành
x

t = 1
1 1 4
1
4
t + = ⇔ t2 − t +1 = 0 ⇔ 
3 t 3
3
3
t = 3
2

a) Điều kiện : x ≠ 0 . Đặt t =

Trường hợp 1 : t = 1 ⇒

2x2 + 1
= 1 ⇔ 2 x 2 − x + 1 = 0 ( vn )
x

x = 1
2x2 + 1
2
= 3 ⇔ 2 x − 3x + 1 = 0 ⇔ 
Trường hợp 2 : t = 3 ⇒
x = 1
x

2
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; x =

2

2 x2 + x + 1
b) Điều kiện : x ≠ −1 . Đặt t =
khi đó phương trình đã cho tương đương
x +1
1
2 x2 + x + 1
2
t + = 2 ⇔ t − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇒
= 1 ⇔ 2 x2 = 0 ⇔ x = 0
t
x +1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Câu 2: Giải các phương trình sau:
a)

x2 + 1
3x
5
+ 2
= .
3x
x +1 2

b)

x4
2x2 +1

+
= 2.
2 x2 + 1
x4

Lời giải
x +1
khi đó phương trình đã cho tương đương
3x
t = 2
1 5
5
2
t + = ⇔ t − t +1 = 0 ⇔  1
t =
t 2
2
 2

a) Điều kiện : x ≠ 0 . Đặt t =

Trường hợp 1 : t = 2 ⇒
Trường hợp 2 : t =

2

x2 + 1
= 2 ⇔ x2 − 6 x + 1 = 0 ⇔ x = 3 ± 2 2
3x


1
x2 + 1 1
⇒
= ⇔ 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 ( vn )
2
3x
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 + 2 2; x = 3 − 2 2

b) Điều kiện : x ≠ 0 . Đặt t =

x4
khi đó phương trình đã cho tương đương
2 x2 + 1

1
x4
t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ 2
= 1 ⇔ x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
t
2x + 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; x = −1

Câu 3: Giải các phương trình sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


a)

2x +1
−1
x2
+
=
.
2
2
x
2 3x 2 + 4 x + 2

(

b)

)

Lời giải
2x + 1
+
a) Điều kiện : x ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương
x2

Facebook: Lyhung95

3x 2 + 3x + 4 6 x 2 + 4 x + 5
+
= 5.

2x + 3
3x 2 + x + 1

1
1
=−
2x + 1
2
6+4 2
x

2x + 1
1
1
⇒t+
= − ⇔ 4t 2 + 8t + 4 = 0 ⇔ t = −1
2
6 + 4t
2
x
2x + 1
⇒
= −1 ⇔ 2 x + 1 = − x 2 ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = −1
x2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = −1

Đặt t =

b) Điều kiện : x ≠ −
Đặt t =


3
3x 2 + x + 1
2x + 3
. Phương trình đã cho tương đương
+ 2
=2
2
2x + 3
3x + x + 1

3x 2 + x + 1
1
⇒ t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1
2x + 3
t

x = 1
3x 2 + x + 1
2
2
⇒
= 1 ⇔ 3x + x + 1 = 2 x + 3 ⇔ 3x − x − 2 = 0 ⇔ 
2
x = −
2x + 3
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; x = −


2
3

Câu 4: Giải các phương trình sau:
x 2 + 3x
3 + 3x
a)
+ 2
= 3.
1+ x
x + 4x + 1

8x + 3
6 x2 + 9
b)
+
= 4.
2 x 2 + 3 ( x + 1)( x + 3)

Lời giải
a) Điều kiện : x ≠ −1 . Phương trình đã cho tương đương
Đặt t =

x2 + 4 x + 1
3
⇒ t + = 4 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔
x +1
t

x2 + 4 x + 1

3x + 3x
+ 2
=4
1+ x
x + 4x + 1

t = 1
t = 3


x2 + 4 x + 1
Trường hợp 1 : t = 1 ⇒
= 1 ⇔ x2 + 4 x + 1 = x + 1 ⇔ x2 + 3x = 0 ⇔
x +1

x = 0
 x = −3


x = 1
x2 + 4 x + 1
= 3 ⇔ x 2 + 4 x + 1 = 3x + 3 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ 
x +1
 x = −2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0; x = −3; x = 1; x = −2
Trường hợp 2 : t = 3 ⇒

b) Điều kiện : x ≠ −1; x ≠ −3 . Phương trình đã cho tương đương
8x + 3
6x2 + 9

2x2 + 8x + 6
6x2 + 9
+
=4⇔
+ 2
=5
2x2 + 3 x2 + 4x + 3
2x2 + 3
x + 4x + 3
t = 1
x2 + 4x + 3
3
2
Đặt t =
⇒ 2t + = 5 ⇔ 2t − 5t + 3 = 0 ⇔  3
2
t =
t
2x + 3
 2

x2 + 4 x + 3
Trường hợp 1 : t = 1 ⇒
= 1 ⇔ x2 + 4 x + 3 = 2 x2 + 3 ⇔ x2 − 4 x = 0 ⇔
2
2x + 3

x = 0

x = 4


Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95


x =
x + 4x + 3 3
3
2
2
2
Trường hợp 2 : t = ⇒
= ⇔ 2 x + 8x + 6 = 6 x + 9 ⇔ 4 x − 8x + 3 = 0 ⇔ 
2
2
2 x2 + 3
x =

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0; x = 4; x =

3
2
1
2


3
1
;x =
2
2

Câu 5: Giải các phương trình sau:
a)

x +1
x
+
= x+3.
x
1 − x2

b)

5x2 + 4 x + 5 x2 + 5x + 8
+ 2
= x + 3.
4x + 3
x + x+5

Lời giải
a) Điều kiện : x ≠ {0;1; −1} . Phương trình đã cho tương đương
−x2 + x + 1
x
− x2 + 1

x
1 − x2
x
+
=
3
⇔
+
1
+
=
3
⇔
+
=2
2
2
x
x
x
1− x
1− x
1 − x2

Đặt t =
⇒

1 − x2
1
⇒ t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1

x
t

1 − x2
−1 ± 5
= 1 ⇔ 1 − x2 = x ⇔ x2 + x − 1 = 0 ⇔ x =
x
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

b) Điều kiện : x ≠ −
Đặt t =

−1 + 5
−1 − 5
;x =
2
2

3
x2 + x + 5
4x + 3
. Phương trình đã cho tương đương
+ 2
=2
4
4x + 3
x + x+5


x2 + x + 5
1
⇒ t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1
4x + 3
t

x = 1
x2 + x + 5
= 1 ⇔ x 2 + x + 5 = 4 x + 3 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
4x + 3
x = 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; x = 2
⇒

Câu 6: Giải các phương trình sau:

(

)

2
5 x3 + x 2 + x + 1 6 4 x + 1
b)
+ 3
= x +7.
4 x2 + 1
x + x2 + 1

x 3 − x 2 + 1 x3 + 2 x + 1
a)

+ 3
= 2− x .
x
x + x +1

Lời giải

x ≠ 0
a) Điều kiện:  3
. Phương trình đã cho tương đương
x + x + 1 ≠ 0
x3 − x 2 + 1
x3 + 2 x + 1
x3 + x + 1
x
+ x +1+ 3
−1 = 2 ⇔
+ 3
=2
x
x
x + x +1
x + x +1

Đặt t =
⇒

x3 + x + 1
1
⇒ t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1

x
t

x3 + x + 1
= 1 ⇔ x3 + x + 1 = x ⇔ x 3 + 1 = 0 ⇔ x = −1
x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = −1

b) Điều kiện: x3 + x 2 + 1 ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

2
6 ( 4 x 2 + 1)
5 x3 + x 2 + x + 1
x3 + x 2 + 1 6 ( 4 x + 1)
−x+ 3
=7⇔
+ 3
=7
4 x2 + 1
x + x2 + 1
4 x2 + 1
x + x2 + 1


Đặt t =

x3 + x2 + 1
6
⇒ t + = 7 ⇔ t 2 − 7t + 6 = 0 ⇔
2
t
4x + 1

t = 1
t = 6


x = 0
x3 + x2 + 1
3
2
2
3
2
Trường hợp 1: t = 1 ⇒
1
1
4
1
3
0
=
⇔
x

+
x
+
=
x
+
⇔
x
−
x
=
⇔
x = 3
4 x2 + 1

Trường hợp 2: t = 6 ⇒

x3 + x2 + 1
= 6 ⇔ x 3 + x 2 + 1 = 24 x 2 + 6 ⇔ x 3 − 23 x 2 − 5 = 0
2
4x + 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0; x = 3
Câu 7: Giải các phương trình sau:
1
5
a) x 2 + 4 x + 2
+ =0.
x + 4x + 5 2


b) x ( x 2 − 2 ) +

1
= 1.
x − 2x +1
3

Lời giải :
t = 2
1 5
2t 2 − 5t + 2
a) Đặt x + 4 x + 5 = t ta có: PT ⇒ t − 5 + + = 0 ⇔
=0⇔ 1
t =
t 2
t
 2
 x = −1
Với t = 2 ⇒ x 2 + 4 x + 5 = 2 ⇔ 
.
 x = −3
1
1
Với t = ⇒ x 2 + 4 x + 5 = ( vn ) .
2
2
Vậy nghiệm của PT là x = −1; x = −3 .
2

1

t 2 − 2t + 1
b) ĐK : x − 2 x + 1 ≠ 0 . Đặt t = x − 2 x + 1 ta có: PT ⇒ t − 1 + = 1 ⇔
= 0 ⇔ t = 1.
t
t
3

3

x = 0
Với t = 1 ta có: x3 − 2 x = 1 ⇔ 
(t / m )
x = ± 2
Vậy nghiệm của PT là x = 0; x = ± 2 .

Câu 8: Giải các phương trình sau:
2
a)
+ x ( x 2 − 3 x + 3) = 3 .
3
( x − 1) + 1

b)

6

( x + 1)

3


+4

(

)

+ x x2 + 3x + 3 = 2 .

Lời giải :
a) ĐK : x ≠ 0 . Ta có : PT ⇔
⇔

2

( x − 1)

2

( x − 1)

+1

+1

+ x3 − 3x 2 + 3x − 1 = 2

+ ( x − 1) = 2 .Đặt t = ( x − 1) + 1 ta có: PT ⇒
3

3


3

3

2
+ t −1 = 2
t

t = 1
t 2 − 3t + 2
⇔
=0⇔
.
t
t = 2
Với t = 1 ⇒ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1
3

Với t = 2 ⇒ ( x − 1) = 1 ⇔ x = 2 .
3

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x = 2 .

b) ĐK : x ≠ −1 − 3 4 . Ta có:

6

( x + 1)

3

+4

+ x3 + 3x 2 + 3x + 1 = 3

t = 1
6
t 2 − 7t + 6
t
⇔
+
x
+
1
=
3
.
Đặ
t
x
+
1
+

4
=
t
.
Ta
có:
+
−
4
=
3
⇔
=
0
⇔
(
)
(
)
t = 7
3
t
t
( x + 1) + 4

6

3

3


Với t = 1 ⇒ ( x + 1) = −3 ⇔ x = −1 − 3 3
3

Với t = 7 ⇒ ( x + 1) = 3 ⇔ x = −1 + 3 3 .
3

Vậy nghiệm của PT là: x = −1 ± 3 3 .

Câu 9: Giải các phương trình sau:
3x
5x
a) 2
+ 2
= 2.
x + x + 1 x + 3x + 1

b)

2x
3x
9
+
= .
2
x + x + 3 ( x + 1) + 2 10
2

Lời giải :
a) ĐK : x + 3 x + 1 ≠ 0 . Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của PT đã cho.

3
5
1
Với x ≠ 0 . PT ⇔
+
= 2 . Đặt t = x + + 1
1
1
x
x +1+
x +3+
x
x
 t = −1
3
5
= 2 ⇔ 8t + 6 = 2t 2 + 4t ⇔ 2t 2 − 4t − 6 = 0 ⇔ 
.
Khi đó : PT ⇒ +
t t+2
t = 3
2

Với t = −1 ⇒ x +

1
2
= −2 ⇔ ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1 .
x


1
2
= 2 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 .
x
Vậy nghiệm của PT là: x = ±1
b) Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của PT đã cho.
2
3
9
3
Với x ≠ 0 . PT ⇔
+
= . Đặt t = x + 1 +
3
3 10
x
x +1+
x+2+
x
x

Với t = 3 ⇒ x +

t = 5
2
3
9
9 2
9 2 41
Khi đó PT ⇒ +

=
⇔ 5t + 2 = ( t + t ) ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔  −4 .
t =
10
10
10
t t + 1 10
9

Với t = 5 ⇔ x +

 x = −1
3
= 4 ⇔ x2 + 4 x + 3 = 0 ⇔ 
x
 x = −3

4
3 −13
Với t = − ⇒ x + =
( vn )
9
x
9
Vậy nghiệm của PT là: x = −1; x = −3 .

Câu 10: Giải các phương trình sau:
5
8
7

a) 2
+ 2
+
=0.
x + x + 1 x − 4 x + 1 3x

b)

4
7
5
+ 2
=
.
x − 6x +1 x +1 2x
2

Lời giải :

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a) ĐK : x ( x 2 − 4 x + 1) ≠ 0 . Khi đó : PT ⇔

5
1
x +1+
x


+

8
1
x−4+
x

Facebook: Lyhung95

7
=0
3

+

t = 3
1
5
8
7
7 2
Đặt t = x + 1 + . Khi đó PT ⇒ +
+ = 0 ⇔ 13t − 25 + ( t − 5t ) = 0 ⇔  −25 .
t =
x
t t −5 3
3
7


Với t = 3 ⇒ x +
Với t =

1
2
= 2 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1
x

−25
1 −32
32
−16 ± 3 23
⇒ x+ =
⇔ x2 + x + 1 = 0 ⇔ x =
.
7
x
7
7
7

Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x =

−16 ± 3 23
.
7

b) ĐK : x ( x 2 − 6 x + 1) ≠ 0 . Khi đó: PT ⇔

4

x−6+

1
x

+

7
x+

1
x

=

5
.
2

t = 2
1
4
7 5
5 2
5 2
Đặt t = x + . Khi đó PT ⇒
+ = ⇔ 11t − 42 = ( t − 6t ) ⇔ t − 26t + 42 = 0 ⇔  42
t =
x
2

2
t −6 t 2
5

Với t = 2 ⇒ x +
Với t =

1
2
= 2 ⇔ ( x − 1) = 1 ⇔ x = 1
x

42
1 42
21 ± 4 26
⇒ x+ =
⇔ x=
.
5
x 5
5

Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = 1; x =

21 ± 4 26
.
5

Câu 11: Giải các phương trình sau:
a)


x 2 − 3x + 5 1 x 2 − 5 x + 5
+ =
.
x2 − 4 x + 5 4 x2 − 6 x + 5

b)

x 4 + 3x 2 + 1
= 3.
x3 + x2 − x

Lời giải:
a) ĐK: x − 6 x + 5 ≠ 0 . Do x = 0 không phải là nghiệm của PT đã cho
5
5
x −3+
x−5+
1
x+ =
x . Đặt t = x − 4 + 5 .
Với x ≠ 0 ta có:
5 4
5
x
x−4+
x−6+
x
x
t + 1 1 t −1

1 1
1
t+4
1
Khi đó: PT ⇒
+ =
⇔ 1+ + = 1+
⇔
=
.
t
4 t−2
t 4
t−2
4t
t−2
t = 4
⇔ t 2 − 6t − 8 = 0 ⇔ 
 t = −2
5
Với t = 4 ⇒ x + = 8 ⇔ x 2 − 8 x + 5 = 0 ⇔ x = 4 ± 11 ( t / m )
x
5
Với t = −2 ⇒ x + = 2 ⇔ x 2 − 2 x + 5 = 0 ( vn )
x
2

Vậy nghiệm của PT là: x = 4 ± 11

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !



Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

1
x +3+ 2
x =3⇔
b) ĐK: x3 + x 2 − x ≠ 0 . Khi đó PT ⇔
1
x +1−
x
2

Facebook: Lyhung95

2

1

x−  +5
x

=3
1

 x −  +1
x


t = 1

1
t2 + 5
Đặt t = x − khi đó: PT ⇒
= 3 ⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ 
x
t +1
t = 2
Với t = 1 ⇒ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =
Với x −

1± 5
2

1
= 2 ⇒ x2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 3
x

Vậy nghiệm của PT là: x = 1 ± 3 ; x =

1± 5
.
2

Câu 12: Giải các phương trình sau:
a) 2 ( x + 1) ( x + 3) + 3 ( x + 2 ) = 66 .
3

3

b) 3 ( x − 1) ( x + 4 ) + ( 2 x + 3) − 32 = 0 .


2

3

3

2

Lời giải:
a) ĐK: x ∈ ℝ (*)

Khi đó (1) ⇔ 2 ( x 2 + 4 x + 3) + 3 ( x 2 + 4 x + 4 ) − 66 = 0.
3

Đặt t = x 2 + 4 x + 3 ⇒ 2t 3 + 3 ( t + 1) − 66 = 0 ⇔ 2t 3 + 3t − 63 = 0
2
⇔ ( t − 3) ( 2t 2 + 6t + 21) = 0 ⇔ ( t − 3) ( t + 3) + t 2 + 12 = 0 ⇔ t = 3



x = 0
thỏa mãn (*)
⇒ x2 + 4x + 3 = 3 ⇔ 
 x = −4

b) ĐK: x ∈ ℝ (*)

Khi đó (1) ⇔ 3 ( x 2 + 3 x − 4 ) + ( 4 x 2 + 12 x + 9 ) − 32 = 0.
3


Đặt t = x 2 + 3 x − 4 ⇒ 4 x 2 + 12 x + 9 = 4t + 25 ⇒ 3t 3 + 4t + 25 − 32 = 0
2

3  25 
⇔ ( t − 1) ( 3t + 3t + 7 ) = 0 ⇔ ( t − 1)  t 3 +
 +  = 0 ⇔ t =1
2 
4



2

⇒ x 2 + 3x − 4 = 1 ⇔ x =

−3 ± 29
thỏa mãn (*)
2

Câu 13: Giải các phương trình sau:

(

)

a) ( x + 3)( x − 2 ) ( x 2 + x − 4 ) = −1 .

b) x 2 + 2 x − 1 ( x + 1) = −1 .


c) ( 4 x + 3) ( x + 1)( 2 x + 1) = 9 .

d) ( x + 1)( x − 3) ( x 2 − 2 x ) = −2 .

2

2

Lời giải:
a) ĐK: x ∈ ℝ (*)

Khi đó (1) ⇔ ( x 2 + x − 6 )( x 2 + x − 4 ) + 1 = 0.

Đặt t = x 2 + x − 6 ⇒ t ( t + 2 ) + 1 = 0 ⇔ ( t + 1) = 0 ⇔ t = −1
2

⇒ x 2 + x − 6 = −1 ⇔ x =

−1 ± 21
thỏa mãn (*)
2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

b) ĐK: x ∈ ℝ (*)


Khi đó (1) ⇔ ( x 2 + 2 x − 1)( x 2 + 2 x + 1) + 1 = 0.

Đặt t = x 2 + 2 x − 1 ⇒ t ( t + 2 ) + 1 = 0 ⇔ ( t + 1) = 0 ⇔ t = −1
2

x = 0
⇒ x 2 + 2 x − 1 = −1 ⇔ 
thỏa mãn (*)
 x = −2
x = 0
Đ/s: 
 x = −2
c) ĐK: x ∈ ℝ (*)

Khi đó (1) ⇔ (16 x 2 + 24 x + 9 )( 2 x 2 + 3 x + 1) − 9 = 0.

t = 1
Đặt t = 2 x + 3 x + 1 ⇒ 16 x + 24 x + 9 = 8t + 1 ⇒ t ( 8t + 1) − 9 = 0 ⇔ 
9
t = −
8

2

2

x = 0
thỏa mãn (*)
• TH1. t = 1 ⇒ 2 x + 3 x + 1 = 1 ⇔ 

x = − 3

2
9
9
17
17
• TH2. t = − ⇒ 2 x 2 + 3 x + 1 = − ⇔ 2 x 2 + 3 x + = 0, vô nghiệm vì ∆ = 9 − 4.2. = −8 < 0.
8
8
8
8
x = 0
Đ/s: 
x = − 3

2
d) ĐK: x ∈ ℝ (*)
2

Khi đó (1) ⇔ ( x 2 − 2 x − 3)( x 2 − 2 x ) + 2 = 0.

t = 1
Đặt t = x 2 − 2 x ⇒ t ( t − 3) + 2 = 0 ⇔ 
t = 2
•

TH1. t = 1 ⇒ x 2 − 2 x = 1 ⇔ x = 1 ± 2 thỏa mãn (*)

•


TH2. t = 2 ⇒ x 2 − 2 x = 2 ⇔ x = 1 ± 3 thỏa mãn (*)

Câu 14: Giải các phương trình sau:
a) ( 5 x 2 + 3) ( 5 x 2 + 2 )( 5 x 2 + 4 ) = 72 .

b) 3 ( 2 x 2 + 3 x )( 4 x 2 + 6 x + 5 ) = ( 2 x 2 + 3 x + 10 ) .

2

2

Lời giải:
a) ĐK: x ∈ ℝ (*)

Đặt t = 5 x 2 + 3 ≥ 3 ⇒ t 2 ( t − 1)( t + 1) = 72 ⇔ t 2 ( t 2 − 1) − 72 = 0
t 2 = 9
⇔ t − t − 72 = 0 ⇔  2
⇔ t 2 = 9 ⇔ t = ±3.
 t = −8
4

2

Mà t ≥ 3 nên t = 3 ⇒ 5 x 2 + 3 = 3 ⇔ x = 0 thỏa mãn (*)
Đ/s: x = 0
b) ĐK: x ∈ ℝ (*)
t = 5
2
Đặt t = 2 x 2 + 3 x ⇒ 4 x 2 + 6 x = 2t ⇒ 3t ( 2t + 5 ) = ( t + 10 ) ⇔ 5t 2 − 5t − 100 = 0 ⇔ 

 t = −4

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

•

x = 1
TH1. t = 5 ⇒ 2 x + 3 x = 5 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = − 5

2

•

TH2. t = −4 ⇒ 2 x 2 + 3 x = −4 ⇔ 2 x 2 + 3 x + 4 = 0, vô nghiệm vì ∆ = 9 − 4.2.4 = −23 < 0.

2

Câu 15: Giải các phương trình sau:
a) x 2 +

1
1


= 3 x +  − 4 .
2
x
x


1
1



b)  2 x − + 5   4 x 2 + 2 + 1 = 36 .
x
x




c) x3 +

1
1

= 78  x +  .
3
x
x


d) 8 x3 −


1
1

− 4  2x −  = 3 .
3
x
x


Lời giải:
a) ĐK : x ≠ 0 (*)
1
1
1
Đặt t = x + ⇒ t 2 = x 2 + 2 + 2 ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2
x
x
x
t = 1
⇒ t 2 − 2 = 3t − 4 ⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ 
t = 2
1
= 1 ⇔ x 2 − x + 1 = 0, vô nghiệm vì ∆ = 1 − 4.1.1 = −3 < 0.
x
1
2
• TH2. t = 2 ⇒ x + = 2 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)
x
Đ/s: x = 1

b) ĐK : x ≠ 0 (*)
1
1
1
Đặt t = 2 x − ⇒ t 2 = 4 x 2 + 2 − 4 ⇒ 4 x 2 + 2 = t 2 + 4
x
x
x
•

TH1. t = 1 ⇒ x +

⇒ ( t + 5 ) ( t 2 + 5 ) = 36 ⇔ t 3 + 5t 2 + 5t − 11 = 0

2
⇔ ( t − 1) ( t 2 + 6t + 11) = 0 ⇔ ( t − 1) ( t + 3) + 2  = 0 ⇔ t = 1



x =1
1
2
thỏa mãn (*)
⇒ 2x − = 1 ⇔ 2x − x −1 = 0 ⇔ 
x = − 1
x

2

c) ĐK : x ≠ 0 (*)

Đặt t = x +

1
1
1
1
1
⇒ t 3 = x3 + 3 + 3 x.  x +  ⇒ x3 + 3 = t 3 − 3t
x
x
x
x
x
t = 0
⇒ t 3 − 3t = 78t ⇔ t ( t 2 − 81) = 0 ⇔ 
t = ±9

•

TH1. t = 0 ⇒ x +

1
= 0 ⇔ x 2 + 1 = 0 ⇒ Loại
x

•

TH2. t = 9 ⇒ x +

1

9 ± 77
= 9 ⇔ x2 − 9 x + 1 = 0 ⇔ x =
thỏa mãn (*)
x
2

•

TH3. t = −9 ⇒ x +

1
−9 ± 77
= −9 ⇔ x 2 + 9 x + 1 = 0 ⇔ x =
thỏa mãn (*)
x
2

d) ĐK : x ≠ 0 (*)
Đặt t = 2 x −

1
1
1
1
1
⇒ t 3 = 8 x3 − 3 − 3.2 x.  2 x −  ⇒ 8 x3 − 3 = t 3 + 6t
x
x
x
x

x

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 1 2 11 
⇒ t 3 + 6t − 4t = 3 ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t + 3) = 0 ⇔ ( t − 1)  t +  +  = 0 ⇔ t = 1
4 
 2 
x =1
1
2
⇒ 2x − = 1 ⇔ 2x − x −1 = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = − 1
x

2

Câu 16: Giải các phương trình sau:
a) (1 + x 2 ) + 3 x 2 = 4 (1 + x 2 ) x .

b) ( x 2 + x + 1) + 4 ( x − 1) + 5 = 5 x 3 .

2


2

c) ( x 2 + x + 1) − 5 ( x 4 + x 2 + 1) + 4 ( x 2 − x + 1) = 0
2

2

2

d) ( x + 3) = ( x 2 + x − 6 ) + 2 ( x − 2 )
4

2

4

Lời giải:
a) ĐK: x ∈ ℝ (*)
2

x
 x 
.
Khi đó (1) ⇔ 1 + 3. 
= 4.
2 
1 + x2
1+ x 

t = 1

x
2
Đặt t =
⇒ 1 + 3t = 4t ⇔  1
t =
1 + x2
 3

•

TH1. t = 1 ⇒

•

TH2. t =

x
= 1 ⇔ x 2 − x + 1 = 0, vô nghiệm vì ∆ = 1 − 4.1.1 = −3 < 0.
1 + x2

1
x
1
3± 5
⇒
= ⇔ x2 − 3x + 1 = 0 ⇒ x =
thỏa mãn (*)
2
3 1+ x
3

2

3± 5
2
b) ĐK: x ∈ ℝ (*)

Đ/s: x =

Khi đó (1) ⇔ ( x 2 + x + 1) + 4 ( x − 1) = 5 ( x 3 − 1) = 5 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
2

2

x −1
1 3
 x −1 

⇔ 1 + 4.  2
, vì x 2 + x + 1 =  x +  + > 0.
 = 5. 2
x + x +1
2 4
 x + x +1 

2

2

t = 1
x −1

2
Đặt t = 2
⇒ 1 + 4t = 5t ⇔  1
t =
x + x +1
 4
x −1
• TH1. t = 1 ⇒ 2
= 1 ⇔ x 2 + x + 1 = x − 1 ⇒ x 2 + 2 = 0 vô nghiệm.
x + x +1
•

TH2. t =

Đ/s: x =

1
x −1
1
5± 5
⇒ 2
= ⇔ x2 + x + 1 = 4 x − 4 ⇔ x2 − 5x + 5 = 0 ⇔ x =
thỏa mãn (*)
4
x + x +1 4
2

5± 5
2


c) ĐK: x ∈ ℝ (*)

Ta có x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + 1) − x 2 = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) .
2

Khi đó (1) ⇔ ( x 2 + x + 1) − 5 ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) + 4 ( x 2 − x + 1) = 0
2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
2

Facebook: Lyhung95

x2 − x + 1  x2 − x + 1 
1 3

2
⇔ 1 − 5. 2
+ 4 2
 = 0, vì x + x + 1 =  x +  + > 0.
x + x +1  x + x +1 
2 4

2


t = 1
x2 − x + 1
2
⇒ 1 − 5t + 4t = 0 ⇔  1
Đặt t = 2
t =
x + x +1
 4

•

TH1. t = 1 ⇒

•

TH2. t =

x2 − x + 1
= 1 ⇔ x 2 + x + 1 = x 2 − x + 1 ⇔ x = 0 thỏa mãn (*)
2
x + x +1

1
x2 − x + 1 1
⇒ 2
= ⇔ 4 ( x 2 − x + 1) = x 2 + x + 1
4
x + x +1 4

⇔ 3 x 2 − 5 x + 3 = 0, vô nghiệm vì ∆ = 52 − 4.3.3 = −11 < 0.

Đ/s: x = 0
d) ĐK: x ∈ ℝ (*)
Khi đó (1) ⇔ ( x + 3) = ( x + 3)( x − 2 )  + 2 ( x − 2 )
2

4

4

(2)

 x−2
 x−2
Thấy x = −3 không thỏa mãn (2) nên (2) ⇔ 1 = 
 + 2
 .
 x+3
 x+3
2

4

t = −1
2
1
 x−2
2

Đặt t = 
 ≥ 0 ⇒ 1 = t + 2t ⇔  1 ⇒ t = thỏa mãn.

2
t=
 x+3
 2
 x−2 1
2
2
Do đó 
 = ⇔ 2 ( x − 4 x + 4) = x + 6x + 9
2
 x+3
2

⇔ x 2 − 14 x − 1 = 0 ⇔ x = 7 ± 5 2 thỏa mãn x = −3 và (*)
Đ/s: x = 7 ± 5 2
Câu 17: Giải các phương trình sau:
a)

2x −1

( x − 1)

2

+ 4 x − 16 x + 17 =
2

5x ( x − 2)
x −1


b) x +
3

.

2 x 2 ( x − 1)
x +1

2

3

2 
 x −1 

+ 3x 
 = 6 1 −
 .
 x +1 
 x +1 

Lời giải:
a) ĐK: x ≠ 1 (*)
Khi đó (1) ⇔

2x −1

( x − 1)

2


− 1 + 4 ( x − 4 x ) + 18 =
2

⇔

5 ( x2 − 2x )

2 x − 1 − ( x 2 − 2 x + 1)

( x − 1)

2

⇔ 4 ( x − 4x + 2) −
2

x −1

− 10 + 10

+ 4 ( x − 4x + 2) =
2

x2 − 4x + 2

( x − 1)

2


=

5 ( x2 − 2x − 2x + 2)
x −1

5 ( x2 − 4x + 2)
x −1


1
5 
⇔ ( x2 − 4x + 2)  4 −
−
=0
2

( x − 1) x − 1 

⇔ ( x 2 − 4 x + 2 )( 4 x 2 − 8 x + 4 − 1 − 5 x + 5 ) = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

x = 2 ± 2

⇔ ( x − 4 x + 2 )( 4 x − 13x + 8 ) = 0 ⇔ 

13 ± 41 thỏa mãn (*)
x
=

8
2

2

x = 2 ± 2

Đ/s: 
13 ± 41
 x =
8
b) ĐK: x ≠ −1 (*)
x −1
 x −1 
 x −1 
Khi đó (1) ⇔ x + 2 x .
+ 3 x. 
 − 6
 =0
x +1
 x +1 
 x +1
2

3


3

2

(2)

x −1
 x −1 
 x −1 




Thấy x = 0 không thỏa mãn (2) nên (2) ⇔ 1 + 2. x + 1 + 3.  x + 1  − 6  x + 1  = 0.
x
 x 
 x 




2

3

x −1
Đặt t = x + 1 ⇒ 1 + 2t + 3t 2 − 6t 3 = 0 ⇔ 6t 3 − 3t 2 − 2t − 1 = 0
x
2


3  5
⇔ ( t − 1) ( 6t + 3t + 1) = 0 ⇔ ( t − 1)  t 6 +
 +  = 0 ⇔ t =1
2 6  8 

x −1
x −1
⇒ x +1 = 1 ⇔
= x ⇔ x 2 + x = x − 1 ⇔ x 2 = −1, vô nghiệm.
x
x +1
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2

Câu 18: Giải các phương trình sau:

(x
a)

2

−2

)

2

x −1

2 ( x − 1) ( x + 2 )

2

= 5x − 6x − 4 .
2

b)

3x + 2 x − 4
2

=

x−2
.
x+2

Lời giải :
a) Điều kiện: x ≠ 1 . Phương trình đã cho tương đương với ( x 2 − 2 ) = ( x − 1) ( 5 x 2 − 6 x − 4 ) .
2

⇔ x 4 − 4 x 2 + 4 = 5 x3 − 11x 2 + 2 x + 4 ⇔ x 4 − 5 x3 + 7 x 2 − 2 x = 0 ⇔ x ( x3 − 5 x 2 + 7 x − 2 ) = 0

 x = 0; x = 2
⇔ x ( x − 2 ) ( x − 3 x + 1) = 0 ⇔ 
( thỏa mãn điều kiện ).
x = 3 ± 5

2
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.
2


3x 2 + 2 x − 4 ≠ 0
2
b) Điều kiện: 
. Phương trình đã cho ⇔ 2 ( x − 1)( x + 2 )  = ( x − 2 ) ( 3 x 2 + 2 x − 4 ) .
x + 2 ≠ 0
⇔ 2 ( x 2 + x − 2 ) = ( x − 2 ) ( 3x 2 + 2 x − 4 ) .
2

⇔ 2 ( x 4 + x 2 + 4 + 2 x3 − 4 x 2 − 4 x ) = 3x 3 − 4 x 2 − 8 x + 8 .

x = 0
⇔ 2 x + x − 2 x = 0 ⇔ x ( 2x + x − 2) = 0 ⇔ 
 x = −1 ± 17

4
4

3

2

2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


Facebook: Lyhung95

Câu 19: Giải các phương trình sau:

(

)(

)

 x2 − 2  
9 − 4x 
b) 
+ 1 3x +
 = 5.
x+3 
 x+3


a) 3x 2 − 1 3x 2 − 7 x + 13 + 10 ( 2 − x ) = 0 .
2

Lời giải :
a) Đặt a = 3 x 2 − 1; b = 3 x 2 − 7 x + 13 . Ta có a − b = 3 x 2 − 1 − 3 x 2 + 7 x − 13 = 7 ( x − 2 ) ⇔ x − 2 =

a−b
7

2

a−b
Nên phương trình đã cho tương đương với : b + 10 
 = 0 ⇔ 10 ( a − b ) + 49ab = 0 .
 7 
2

 2a + 5b = 0
⇔ 10a 2 + 29ab + 10b 2 = 0 ⇔ ( 2a + 5b )( 5a + 2b ) = 0 ⇔ 
.
5a + 2b = 0
TH1. Với 2a + 5b = 0 , ta có 2 ( 3 x 2 − 1) + 5 ( 3 x 2 − 7 x + 13) = 0 ⇔ 21x 2 − 35 x + 63 = 0 ( vô nghiệm ).
TH2. Với 5a + 2b = 0 , ta có 5 ( 3 x 2 − 1) + 2 ( 3 x 2 − 7 x + 13) = 0 ⇔ 21x 2 − 14 x + 21 = 0 ( vô nghiệm ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 20: Giải các phương trình sau:

 x2 − 2  
9 − 4x 
b) 
+ 1 3x +
 = 5.
x+3 
 x+3


5  2x +1

a) x ( x + 2 )  4 +
=5.


x−2 x−2


Lời giải :
a) Điều kiện : x ≠ 2 . Phương trình đã cho tương đương với x ( x + 2 ) .

4x − 3 2x + 1
.
= 5.
x−2 x−2

⇔ x ( x + 2 )( 4 x − 3)( 2 x + 1) = 5 ( x − 2 ) ⇔ ( 2 x 2 + x )( 4 x 2 + 5 x − 6 ) = 5 ( x − 2 ) .
2

2

(

)

Dặt a = 2 x 2 + x; b = 4 x 2 + 5 x − 6 . Ta có b − 2a = 4 x 2 + 5 x − 6 − 2 2 x 2 + x = 3 ( x − 2 ) ⇔ x − 2 =

b − 2a
.
3

2
 b − 2a 
2
2

Nên phương trình đã cho tương đương với ab = 5 
 ⇔ 5 ( 2a − b ) = 9ab ⇔ 20a − 29ab + 5b = 0
 3 
2

(
(

) (
) (

)

4 2 x 2 + x − 5 4 x2 + 5x − 6 = 0
 4a − 5b = 0
⇔ ( 4a − 5b )( 5a − b ) = 0 ⇔ 
⇔
5
−
=
0
a
b
5 2 x 2 + x − 4 x 2 + 5 x − 6 = 0



7 ± 209
12 x 2 + 21x − 30 = 0
x=−


⇔ 2
⇔
8

6 x = 6
 x = ±1

)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

(x
b) Điều kiện : x ≠ −3 . Phương trình đã cho tương đương với

2

+ x + 1)( 3 x 2 + 5 x + 9 )

( x + 3)

2

= 5.

⇔ ( x 2 + x + 1)( 3x 2 + 5 x + 9 ) = 5 ( x + 3) . Dặt a = x 2 + x + 1; b = 3 x 2 + 5 x + 9 .
2

Ta có b − 3a = 3 x 2 + 5 x + 9 − 3 x 2 − 3 x − 3 = 2 x + 6 = 2 ( x + 3) ⇔ x + 3 =


b − 3a
.
2

2
 b − 3a 
2
2
Nên phương trình đã cho trở thành ab = 5 
 ⇔ 4ab = 5 ( 3a − b ) ⇔ 45a − 34ab + 5b = 0 .
 2 
2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(
(

)
) (

Facebook: Lyhung95

5 x 2 + x + 1 = 3 x 2 + 5 x + 9
 x2 = 2
 5a = b
⇔ ( 5a − b )( 9a − 5b ) = 0 ⇔ 

⇔
⇔ 2
⇔x=± 2
9 x 2 + x + 1 = 5 3 x 2 + 5 x + 9
6 x + 16 x + 36 = 0
9a = 5b


)

Câu 21: Giải các phương trình sau:

(

)(

)

a) x 2 + x + 1 x 4 + 2 x3 + 7 x 2 + 26 x + 37 = 5 ( x + 3) .
3

b) ( x + 3) ( 3 x 4 + 8 x 2 + 12 x + 21) = 5 ( x 2 + 1) .
3

Lời giải :
a) Ta có x 4 + 2 x3 + 7 x 2 + 26 x + 37 = ( x 2 + x + 1) + 4 ( x + 3) nên phương trình đã cho trở thành :
2

(x


2

2

2
3
2
3
3
2
+ x + 1) ( x 2 + x + 1) + 4 ( x + 3 )  = 5 ( x + 3) ⇔ 5 ( x + 3) − 4 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 1) − ( x 2 + x + 1) = 0



x+3
 x+3 
 x+3 
⇔ 5 2
= 1 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ± 2
 − 4 2
 −1 = 0 ⇔ 2
x + x +1
 x + x +1
 x + x +1
3

2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ± 2 .


b) Ta có 3 x 4 + 8 x 2 + 12 x + 21 = 3 ( x 2 + 1) + 2 ( x + 3) nên phương trình đã cho trở thành :
2

( x + 3) 3 ( x 2 + 1)

2

2

3
2
3
2
3
+ 2 ( x + 3)  = 5 ( x 2 + 1) ⇔ 2 ( x + 3) + 3 ( x + 3) ( x 2 + 1) − 5 ( x 2 + 1) = 0


3
 x = −1
x+3
x+3
 x+3 
⇔ 2 2
−5= 0 ⇔ 2
= 1 ⇔ x2 + 1 = x + 3 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ 
 + 3. 2
x +1
x +1
 x +1
x = 2


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −1; x = 2 .

Câu 22: Giải các phương trình sau:
a) 27 x + 2 ( 5 − 2 x 2 ) = 45 .
2

b) 5 ( 5 x 2 − 17 ) − 343 x − 833 = 0 .
2

Lời giải :
a) Đặt 3 y = 5 − 2 x nên phương trình đã cho trở thành 27 x + 18 y 2 = 45 ⇔ 3 x + 2 y 2 = 5 .
2

2
2
2
3 x + 2 y = 5
3 x + 2 y = 3 y + 2 x
3 ( x − y ) = 2 ( x − y )( x + y )
Khi đó, ta có hệ phương trình 
⇔
⇔
2
2
2
3 x + 2 y = 5
3 x + 2 y = 5
3 y + 2 x = 5


2 x 2 + 3x − 5 = 0
5


 x = y
x = 1; x = −
3 − 2x
2




2
x
+
3
x
−
5
=
0
y=
2

⇔  2 x + 2 y = 3 ⇔  
⇔
⇔
2
2
3 ± 13



6 x + ( 3 − 2 x ) = 10
2

2
 3 x + 2  3 − 2 x  = 5
3 x + 2 y = 5
 x =
4


 
 2 
5
3 ± 13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = − ; x =
.
2
4
b) Đặt 7 y = 5 x 2 − 17 nên phương trình đã cho trở thành 5 ( 7 y ) − 343 x − 833 = 0 ⇔ 5 y 2 − 7 x − 17 = 0
2

5 x 2 − 7 y = 17
5 x 2 − 7 y = 5 y 2 − 7 x
5 ( x − y )( x + y ) + 7 ( x − y ) = 0
Khi đó, ta có hệ phương trình  2
⇔ 2
⇔ 2
5 y − 7 x = 17

5 x − 7 y = 17
5 x − 7 y = 17

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

5 x 2 − 7 x − 17 = 0

7 ± 389

 x = y
x=
7 − 5x
2




5
−
7
−
17
=
0
=

0
x
x
y=

10
⇔  5 x + 5 y = 7 ⇔  
⇔
⇔
5
2


7 ± 193
 25 x − 35 x − 36 = 0
 2
x = −
5 x − 7 y = 17
5 x 2 − 7  7 − 5 x  = 17
10


 5 

Câu 23: Giải các phương trình sau:
a) ( x 2 − 4 x + 1) + ( 8 x − x 2 + 4 ) + ( x − 5 ) = 125 x 3 .
3

3


3

b) ( x 2 − x + 1) + ( x − 1) + 8 x3 = ( x 2 + 2 x ) .
3

3

3

Lời giải :
a) Đặt a = x 2 − 4 x + 1; b = 8 x − x 2 + 4; c = x − 5 , ta có a + b + c = 5 x .
Nên phương trình đã cho trở thành a 3 + b3 + c 3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c3 = 0 .
3

3

a + b = 0
⇔ 3 ( a + b )( b + c )( c + a ) = 0 ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = 0 ⇔ b + c = 0
c + a = 0
4

 x 2 − 4 x + 1 + 8x − x2 + 4 = 0
5 x + 4 = 0
x = − ; x = 4; x = −1


5

⇔ 8 x − x 2 + 4 + x − 5 = 0
⇔ 9 x − 1 − x 2 = 0 ⇔ 

9 ± 77

 x2 − 4x + 1 + x − 5 = 0
 2
 x − 3x − 4 = 0
 x =

2
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

b) Đặt a = x 2 − x + 1; b = x − 1; c = 2 x , ta có a + b + c = x 2 + 2 x .
Nên phương trình đã cho trở thành a 3 + b3 + c 3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c3 = 0 .
3

3

a + b = 0
⇔ 3 ( a + b )( b + c )( c + a ) = 0 ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = 0 ⇔ b + c = 0
c + a = 0
 x2 − x + 1 + x − 1 = 0
 x2 = 0
x = 0


⇔  x − 1 + 2x = 0
⇔ 3 x − 1 = 0
⇔
x = 1
2
2



3

 x − x + 1 + 2x = 0
x + x +1 = 0
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.

Câu 24: Giải các phương trình sau:
1
1
1
1
a) 2
+
+
= 2
.
x − x + 1 1 − 2 x 3x x + 2

b)

1
1
1
1
+
+
= 2
.

x + 1 x + 3 4x + 3 x + 5x + 7
2

Lời giải:
1
. Đặt a = x 2 − x + 1; b = 1 − 2 x; c = 3 x , ta có a + b + c = x 2 + 2 .
3
1 1 1
1
1
1
 1 1
Nên phương trình đã cho trở thành + + =
⇔ −
+ +  = 0.
a b c a+b+c
a a+b+c b c

a) Điều kiện : x ≠ 0; x ≠

⇔


b + c = 0
b+c
b+c
1
1
+
= 0 ⇔ (b + c) 

+ =0⇔
a (a + b + c)
bc
 a ( a + b + c ) + bc = 0
 a ( a + b + c ) bc 

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

x +1 = 0
1 − 2 x + 3 x = 0
 x = ±1
⇔
⇔ 2
⇔
2

x = 2
( a + b )( a + c ) = 0
( x − 3 x + 2 )( x + 2 x + 1) = 0
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = ±1; x = 2 .
4
b) Điều kiện : x ≠ −3; x ≠ − . Đặt a = x 2 + 1; b = x + 3; c = 4 x + 3 , ta có a + b + c = x 2 + 5 x + 7 .
3
Nên phương trình đã cho trở thành


⇔

1 1 1
1
1
1
 1 1
+ + =
⇔ −
+ +  = 0.
a b c a+b+c
a a+b+c b c


b + c = 0
b+c
b+c
1
1
+
= 0 ⇔ (b + c) 
+ =0⇔
a (a + b + c)
bc
 a ( a + b + c ) + bc = 0
 a ( a + b + c ) bc 

6

5 x + 6 = 0

 x + 3 + 4x + 3 = 0
x=−

⇔
⇔ 2
⇔
5
2

( x + x + 4 )( x + 4 x + 4 ) = 0
( a + b )( a + c ) = 0
 x = −2
6
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = − ; x = −2 .
5

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !