1. Điều tra năng suất lao động của 100 công nhân tại một xí nghiệp công nghiệp kết quả thu được
theo bảng thống kê như sau:
Số SP/Ngày công 50 60 70 80 90 100
Số công nhân
6
12 22 33 17
10
a) Ước lượng khoảng năng suất trung bình của công nhân, với độ tin cậy 95%
b) Quy ước năng suất trên 80 sản phẩm ngày là đạt danh hiệu công nhân giỏi. Hãy ước lượng
khoảng tỷ lệ công nhân giỏi, với độ tin cậy 99%
2. Một lô trái cây được đóng thành từng sọt, mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái cây
không đạt tiêu chuẩn.
a) Hãy ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%?
b) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn vớ i độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt
bao nhiêu?
c) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1%
thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt?
3. Theo dõi số hàng bán được trong một ngày ở một cửa hàng, ta được kết quả ghi ở bảng sau :
Số hàng bán được
1900 – 1950
(kg/ngày)
Số ngày
6

1950 - 2000

2000 – 2050

2050 - 2100

12

22

33

Hãy ước lượng phương sai của lượng hàng bán được mỗi ngày với độ tin cậy 95%?
4. Kết quả quan sát về hàm lượng Vitamin C của một loại trái cây cho ở bảng sau:
Hàm lượng vitamin C (%)
Số trái
5–7
5
7–9
10
9 – 11
20
11 – 13
35
13 – 15
25
15 – 17
5
(a) Hãy ước lượng hàm lượng Vitamin C trung bình trong một trái với độ tin cậy 95%?
(b) Qui ước những trái có hàm lượng Vitamin C trên 11% trở lên là trái loại I. Ước lượng tỷ lệ
trái loại I với độ tin cậy 98%?
(c) Muốn độ chính xác khi ước lượng hàm lượng Vitamin C trung bình là 1=0,3 và độ chính xác
khi ước lượng tỷ lệ trái loại I là 2= 5% với cùng độ tin cậy 95% thì cần quan sát thêm bao
nhiêu trái cây nữa?
5. Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là 5%. Sau khi tiến hành cải
tiến kỹ thuật, người ta kiểm tra 400 sản phẩm thấy có 16 phế phẩm. Với mức ý nghóa 1%, hãy kết
luận việc cải tiến kỹ thuật có làm giảm tỷ lệ phế phẩm không?

6. Quan sát tuổi thọ 100 bóng đèn do một phân xưởng sản xuất thu được bảng kết quả như sau:
Thời gian

1100–1300

1300–1500

1500–1700

Số bóng

6

15

20

1700
1900

– 1900
2100
34

– 2100
2300
20

–
5


1


a) Nếu phân xưởng báo cáo tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn đó là 2000 thì có chấp
nhận được không với mức ý nghóa 1%?
b) Nếu quy ước những bóng đèn có tuổi thọ từ 1900 giờ trở lên là bóng loại I. Nếu phân
xưởng báo cáo tỷ lệ bóng loại I là 28% thì có chấp nhận được không với mức ý nghóa
5%?
7. Trọng lượng trung bình khi xuất chuồng ở một trại gà trong năm trước là 3 kg. Năm nay người
ta sử dụng một loại thức ăn mới, cân thử 15 con khi xuất chuồng ta có số liệu trọng lượng của mỗi
con như sau:
3,25 2,5 4,0 3,75 3,8 3,9 4,02 3,6

3,8 3,2

3,82

3,4

3,75

2,5

4,0

Giả thiết trọng lượng mỗi con gà là BNN có luật phân phối chuẩn.
a) Với mức ý nghóa  = 0,01 hãy kết luận tác dụng của loại thức ăn này.
b) Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng khi xuất chuồng là 3,5kg mỗi con thì có chấp
nhận được không với mức ý nghóa 3%?

8. Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5%. Năm nay nhà máy áp dụng một biện pháp
kỹ thuật mới. Để nghiên cứu tác dụng của biện pháp kỹ thuậ t mới có làm giảm tỷ lệ phế phẩm hay
không người ta lấy một mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra và thấy có 24 phế phẩm trong mẫu
này.
a) Với mức ý nghóa  = 5%, hãy kết luận xem biện pháp kỹ thuật mới này có thực sự làm
giảm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy hay không?
b) Nếu nhà máy báo cáo tỷ lệ phế phẩm sau khi áp dụng biện pháp kỹ thuật mới đã giảm
xuống chỉ còn 2% thì có chấp nhận được không? (với mức ý nghóa 5%)
9. Nếu máy làm việc một cách bình thường thì trọng lượng của một loại sản phẩm là BNN phân
phối theo qui luật chuẩn với phương sai 25. Nghi ngờ máy làm việc không bình thường, người ta
tiến hành cân thử 20 sản phẩm và tính được phương sai 27,5. Với mức ý nghóa  = 2% hãy kết
luận xem máy này làm việc có bình thường hay không?
10. Trọng lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là BNN phân phối theo qui luật
chuẩn với trọng lượng trung bình là 500gr. Sau một thời gian sản xuất người ta nghi ngờ trọng
lượng của loại sản phẩm này có xu hướng giảm sút nên tiến hành cân thử 25 sản phẩm và thu được
kết quả cho ở bảng sau:
Trọng lượng (gr) 480 485 490 495 500 510
Số sản phẩm
2
3
8
5
3
4
Với mức ý nghóa 5%, hãy kết luận điều nghi ngờ trên có đúng hay không?
11. Để nghiên cứu nhu cầu của một loại hàng, người ta tiến hành khảo sát nhu cầu của mặt hàng
này ở 400 hộ. Kết quả cho ở bảng sau:
Nhu cầu
Số hộ
Nhu cầu

Số hộ
(kg/ tháng)
(kg/tháng)
0
10
3–4
78
0–1
35
4–5
31
1–2
86
5–6
18
2–3
132
6–8
10

2


Giả sử khu vực đó có 4000 hộ. Nếu cho rằng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn
khu vực là 14 tấn/ tháng thì có chấp nhận được không? (với mức ý nghóa 1 %)
12. Bệnh A có thể chữa bằng hai loại thuốc là H và K. Người ta dùng thử thuốc H cho 250 bệnh
nhân bò bệnh A và thấy có 210 người khỏi bệnh, dùng thử thuốc K cho 200 bệnh nhân bò bệnh A và
thấy có 175 người khỏi bệnh.
a) Với mức ý nghóa 1% có thể kết luận thuốc K có khả năng chữa bệnh A tốt hơn không?
b) Hiệu quả chữa bệnh của thuốc H có đúng như công ty quảng cáo là 85% người khỏi bệnh không?

Cho kết luận với mức ý nghóa 5%.
13. Độ chính xác của một chiếc đồng hồ theo thiết kế là 0,5giây/ngày. Sau 1 tháng (31 ngày) theo
dõi, người ta tính được s = 0,75giây/ngày. Hỏi đồng hồ có hoạt động bình thường không? Cho kết
luận với mức ý nghóa 5%. Giả thiết rằng sai số của đồng hồ là BNN tuân theo luật phân phối
chuẩn.
14. Trước đây đònh mức tiêu dùng điện cho 1 hộ gia đình trong một tháng là 140kW. Do đời sống
nâng cao, người ta theo dõi 100 hộ gia đình và thu được các số liệu sau:
Lượng tiêu dùng

100 – 120

120 – 140

140 – 160

160 – 180

180 – 200

14

25

30

20

11

Số hộ


Theo bạn có cần thay đổi đònh mức đó không với mức ý nghóa 5%?
15. Một hợp tác xã trồng thử 2 giống lúa, mỗi giống trên 30 thửa ruộng và được chăm sóc như
nhau. Cuối vụ thu hoạch người ta được số liệu như sau:
Năng suất trung bình

Độ lệch tiêu chuẩn

Giống lúa I

45

2,5

Giống lúa II

46,5

4,0

Cho biết ý kiến của bạn về một số nhận đònh sau nay: Năng suất trung bình của hai giống lúa có
thể coi là như nhau. Biết rằng năng suất của 2 giống lúa là hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Chọn mức ý nghóa 5%.
16. Thống kê 10650 trẻ sơ sinh ở một đòa phương người ta thấy có 5410 con trai. Hỏi tỷ lệ sinh con
trai có thực sự cao hơn tỷ lệ sinh con gái không? Cho kết luận với mức ý nghóa 1%.
17. Phát cho 250 khách hàng sử dụng máy nghe Sony mỗi người một đôi pin, trong đó 150 người
dùng pin của hãng Sony và 100 người dùng pin của hãng Energizer. Sau khi sử dụng hết pin người
ta thống kê và tính toán được kết quả như sau:
x1  1200 phút/pin; x2  1280 phút/pin; s1 = 54 phút/pin; s2 = 70phút/pin


trong đó X1,X2 là thời gian sử dụng được của một chiếc pin của hãng Sony và Energizer tương ứng.
Giả thiết X1,X2 tuân theo luật phân phối chuẩn. Hỏi với mức ý nghóa 0,05 có thể kết luận tuổi thọ
trung bình của pin Energizer lớn hơn pin Sony không?
18. Theo dõi 2 loài ong A và B người ta thấy số lượng ong thợ tương ứng như sau: Loài A : Trong
2615 con có 2222 con ong thợ. Loài B : Trong 1010 con có 757 con ong thơ. Từ đó có thể rút ra kết
luận gì về cơ cấu tỷ lệ ong thợ của 2 loài ong trên với mức ý nghóa 5%.
3


19. Mẫu điều tra doanh thu của các hộ kinh doanh mặt hàng M trong 1 vùng (đv chục triệu
đồng/tháng) cho kết quả như sau:
X
Số hộ

0–1

1–2

2–3

3–4

4–5

5–6

6–7

3


14

22

31

16

10

4

a) Những hộ kinh doanh mặt hàng M có doanh thu 40 triệu đ/tháng là những hộ có doanh thu
cao. Có thể cho rằng tỷ lệ những hộ có doanh thu cao ở mức 35% hay không?kết luận với
mức ý nghóa 3%.
b) Có ý kiến cho rằng trước đây doanh thu trung bình của các hộ kinh doanh mặt hàng M là 37
triệu đ/tháng, nhưng nay do tác động của lạm phát nên mức doanh thu này giảm. Cho nhận
xét về ý kiến đó với mức ý nghóa 2%?
c) Có thể cho rằng phương sai doanh thu của những hộ có doanh thu cao lớn hơn 2 hay
không?yêu cầu kết luận với mức ý nghóa 2%.
20. Gọi X là chỉ số thông minh (IQ) của học sinh lứa tuổi 12 – 15, giả sử X có phân phối chuẩn. Đo
IQ của 50 học sinh trường A ta có kết quả sau:
X
75 – 78 78 – 81 81 – 84 84 – 87 87 – 90 90 – 93
Số HS
3
8
9
12
10

8
Từ kết quả trên có thể nói chỉ số IQ trung bình của trường A là trên 84 hay không? kết luận
với mức 5%.
21. Điều tra 100 dân cư để xem xét mức tiêu dùng nước sạch bình quân theo đầu người trong một
tháng (đv: m3/người), thu được kết quả như sau:
Mức tiêu dùng

1

2

3

4

6

8

Thò xã A

4

15

35

30

10


6

Thò xã B

5

10

30

40

10

5

a) Ước lượng mức tiêu dùng nước sạch bình quân người của thò xã A với độ tin cậy 95%?
b) Theo quy đònh những hộ dùng nước từ 6m3/người trở lên là dùng lãng phí. Những hộ
dùng không quá 2m3/người là do thiếu nước. Có thể nói rằng tỷ lệ hộ bò thiếu nước của
thò xã A cao hơn thò xã B được không?yêu cầu kết luận với mức ý nghóa 5%.
22. Trong kho để rất nhiều sản phẩm của xí nghiệp A, lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm cân có kết
quả:
Trọng lượng (g) Số sản phẩm
800 – 850
5
850 – 900
10
900 – 950
20

950 – 1000
30
1000 – 1050
15
1050 – 1100
10
1100 – 1150
10
4


a) Giả sử sau đợt kiểm tra, người ta áp dụng một cải tiến làm cho trọng lượng trung bình là
1000g. Cho nhận xét về hiệu quả cải tiến với mức ý nghóa 5%.
b) Các sản phẩm có trọng lượng từ 1000g trở lên là loại I. Hãy ước lượng trọng lượng trung
bình các sản phẩm loại I với độ tin cậy 98% (giả thiết trọng lượng này có phân phối
chuẩn).
c) Muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I với độ tin cậy 90% và độ chính xác 3% thì cần
điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
d) Giả sử trong kho để lẫn 1000 sản phẩm của xí nghiệp B và trong 100 sản phẩm lấy ra có 12
sản phẩm của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sản phẩm của xí nghiệp A với độ tin cậy 90%?
23. Điều tra mức chi tiêu năm 2006 của 400 hộ ở mộït vùng thì thấy 80 hộ có mức chi tiêu lớn hơn
24,5 triệu đồng. Hãy ước lượng số hộ trong vùng có mức chi tiêu lớn hơn 24,5 triệu đồng với độ tin
cậy 95%. Biết rằng vùng đó có 10000 hộ.
24. Người ta chế tạo một loại chi tiết máy có độ dài qui đònh là 47cm, khi chế tạo xong lấy ra 25 chi
tiết kiểm tra được độ dài trung bình là 47,8 cm và độ lệch tiêu chuẩn 2,5 cm. Vậy việc chế tạo các
chi tiết máy có đáp ứng được yêu cầu đề ra không? Mức ý nghóa 5%.
25. Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:
X(cm)
95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165
Số cây

10
10
15
30
10
10
15
a) Ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy 96%.
b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy
99% và độ chính xác 4cm thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa?
c) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ chính xác
4,58cm thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?
d) Một tài liệu thống kê cũ cho rằng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên là
127cm. Hãy cho kết luận về tài liệu đó với mức ý nghóa 1%
e) Những cây trồng có chiều cao từ 105cm đến 125cm được gọi là những cây loại A.
Hãy ước lượng chiều cao trung bình của những cây loại A với độ tin cậy 95%(Giả sử X có phân
phối chuẩn)
f) Sau khi áp dụng một phương pháp sản xuất mới, người ta thấy tỷ lệ các cây loại A là
35%. Hãy kết luận xem phương pháp mới có làm tăng tỷ lệ các cây loại A lên hay không với mứ c
ý nghóa 2%?
g) Giả sử X có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95% hãy ước lượng phương sai của X.
h) Khi canh tác bình thường thì phương sai của chiều cao X là 300cm 2 . Hãy nhận đònh
về tình hình canh tác với mức ý nghóa 5%. X có phân phối chuẩn.
i) Những cây trồng có chiều cao từ 135cm trở lên được gọi là những cây cao. Hãy ước
lượng tỷ lệ những cây cao với độ tin cậy 95%.
j) Nếu ước lượng tỷ lệ cây cao với độ chính xác 10% thì đạt độ tin cậy là bao nhiêu?

5



k) Nếu ước lượng tỷ lệ cây cao với độ chính xác 11% và độ tin cậy 95% thì cần điều tra
tối thiểu bao nhiêu cây?
l) Trước đây phương sai của chiều cao X là 350cm 2. Các số liệu trên thu thập được sau
khi áp dụng một biện pháp kỹ thuật mới. Với mức ý nghóa 5% hãy xét xem kỹ thuật mới có làm
chiều cao của giống cây trồng trên ít biến động hơn hay không?
26. Để khảo sát đường kính của một chi tiết máy người ta kiểm tra một số sản phẩm của hai nhà
máy. Trong kết quả sau đây, X là đường kính của chi tiết máy do nhà máy I sản xuất, Y là đường
kính của chi tiết máy do nhà máy II sản xuất. Những sản phẩm có chi tiết máy nhỏ hơn 19cm được
xếp vào loại C.
X(cm)

11-15

15-19

19-23

23-27

27-31

31-35

35-39

Số sp

9

19


20

26

16

13

18

Y(cm)

13-16

16-19

19-22

22-25

25-28

28-31

31-34

Số sp

7


9

25

26

18

15

11

a) Có thể kết luận rằng đường kính trung bình của một chi tiết máy do hai nhà máy sản xuất
bằng nhau hay không với mức ý nghóa 1%?
b) Có thể cho rằng đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy I sản xuất lớn hơn
đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy II sản xuất hay không với mức ý
nghóa 5%?
c) Xét xem đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy II sản xuất có nhỏ hơn
đường kính trung bình của một chi tiết máy do nhà máy I sản xuất hay không với mức ý
nghóa 2%?
d) Với mức ý nghóa 4%, tỷ lệ sản phẩm loại C do hai nhà máy sản xuất có như nhau không?

6