Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục

3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục

4-1


Tín hiệu mũ
Tín hiệu mũ và tín hiệu sin là lớp những tín hiệu đặc biệt quan
trọng, chúng tạo thành cơ sở cho những tín hiệu khác.
Tín hiệu mũ phức có dạng tổng quát
trong đó C và a là những số phức
Tín hiệu mũ thực (khi C và a là những số thực)
Tăng theo hàm mũ
a>0
C >0

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

Giảm theo hàm mũ

a<0
C >0

4-2


Tín hiệu sin

Tín hiệu sin phức (khi a là số thuần ảo)
Khi C là số thực
Công thức Euler

x (t ) = C cos ω t + jC sin ω t
0

0

Khi C là số phức có dạng

x (t ) = C e

j ( ω0 t +φ )

= C cos(ω t + φ ) + j C sin (ω t + φ )
0

0

Tín hiệu sin phức là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T =
vì

x(t + T ) = Ce
e

jω 0T

=e


± j 2π

jω0 ( t +T

)

= Ce e
jω0t

jω0T

= Ce = x(t )

2π

ω

0

jω0t

= cos 2π ± j sin 2π = 1

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-3


Tín hiệu sin
Tín hiệu sin thực


x(t ) = C cos(ω t + φ )
0

trong đó C là số thực, có thể được
biểu diễn theo tín hiệu sin phức

x(t ) = Re{Ce }
C
= (e
+e
2
j ( ω0t +φ )

j ( ω0t +φ )

− j ( ω0t +φ )

)

Tương tự

C sin(ω t + φ ) = Im{Ce

j ( ω0t +φ )

0

=


C
(e
2

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

j ( ω0t +φ )

}

−e

− j ( ω0t +φ )

)
4-4


Tín hiệu mũ phức
Khi C và a là những số phức

x (t ) =
x (t )

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-5


Hàm mũ

Hàm mũ e

st

− trong đó s là tần số phức

s = σ + jω

Công thức Euler

Do đó

Nếu

(liên hợp phức) thì

và
So sánh với công thức Euler
là một tổng quát hóa của hàm
được tổng quát hóa thành biến phức
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

trong đó biến tần số

4-6


Hàm mũ
Các trường hợp đặc biệt
Hằng số


Hàm sin

Hàm mũ đơn điệu

Hàm sin thay đổi theo hàm mũ

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-7


Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
• Ý tưởng xuất phát:Tính chất xếp chồng của hệ LTI
• Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
• Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
• Điều kiện Dirichlet
• Các tính chất chuỗi Fourier (liên tục)
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục

4-8


Ý tưởng xuất phát: Tính xếp chồng của hệ LTI
đúng với tất cả

giá trị riêng


hàm riêng

Các hàm mũ phức là các
hàm riêng của bất kỳ hệ
LTI nào

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-9


Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
x(t ) = x(t + T )

với mọi t

– T nhỏ nhất đgl chu kỳ
Ví dụ: x(t ) = A cos(ω0t + θ )
x(t ) = Ae jω0t

A thực

x (t ) =

∞

∑ ak e jω t
0


k =−∞

Chuỗi Fourier
Chu kỳ cơ bản

– tuần hoàn với chu kỳ T
– {ak } là các hệ số chuỗi Fourier
– k = 0 thành phần một chiều (DC)
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

2π

ω0
2π
Tk =
k ω0

A phức

xk (t ) = Ae jkω0t k nguyên

Xét

T=

– k = ±1 thành phần cơ bản
– k = ±2 hài thứ hai, …
4-10



Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
x (t ) = sin ω0t có thể viết thành x(t ) =

1 jω0t − jω0t
(e
−e
)
2j

Do đó các hệ số của chuỗi Fourier của nó là
a1 =

1
1
, a−1 = − , ak = 0 k ≠ ±1
2j
2j

Đồ thị biên độ và góc pha

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-11


Ví dụ 2: Tổng các hàm sin thực
Xét chuỗi các hàm sin có tần số cơ bản là ω0

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục


4-12


Ví dụ 3: Đáp ứng của hệ LTI
Hệ LTI có đáp ứng xung
h(t ) = α e−α t u (t ),

y (t ) =

α >0

∞

∑ ak H ( jkω0 )e jkω

0

k =−∞

H ( jkω0 ) =

với tín hiệu vào

∞

∫ h(τ )e

− jkω0τ

dτ


−∞

Ta có
∞

H ( jkω0 ) = ∫ α e

−ατ − jkω0τ

e

0

∞

dτ = α ∫ e

− (α + jkω0 )τ

0

=−

α
α + jkω0

e

− (α + jkω0 )τ


∞
0

=

α
α + jkω0

.

Tín hiệu ra
y (t ) =

2

∑ ck e

jkω0t

k =−2

trong đó
ck = ak H ( jkω0 )

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

,

c0 = 1,

1 (α − jα )
c1 = 2
,
α + jω0
c2 =

2

(α + jα )

4
α + j 2ω0

1 (α + jα )
c−1 = 2
α + jω0
,

c−2 =

(α − jα )
4
α + j 2ω0

2

4-13


Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực

Với tín hiệu thực, ta luôn có

a− k = ak∗

(Để chứng minh, tìm liên hợp phức của x(t), ký hiệu là x*(t),
với chú ý rằng x(t)=x*(t))
do đó có thể viết
∞

(

x(t ) = a0 + ∑ ak e
k =1

jkω0t

+ a− k e

− jkω0t

∞

) = a + ∑(a e
0

k =1

k

jkω0t


+ ak∗e − jkω0t

)

Một số cách biểu diễn khác
ak = Ak e

jθ k

ak = Bk + jCk

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

∞

x (t ) = a0 + 2∑ Ak cos(kω0t + θ k )
k =1

∞

x(t ) = a0 + 2∑ ( Bk cos kω0t − Ck sin kω0t )
k =1

4-14


Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực
Ví dụ


Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-15


Xác định các hệ số chuỗi Fourier
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ

Ở đây

1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ

chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ)

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-16


Tiếp tục …

⇓

⇓

Cặp chuỗi Fourier liên tục

(Phương trình

tổng hợp)
(Phương trình
phân tích)

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-17


Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
Các hệ số chuỗi Fourier được xác định như sau
1
jkω0t
(sin
ω
t
)
e
0
T ∫T
1
1
j (1− k )ω0t
=
e
dt
−
2 jT ∫T
2 jT


x(t ) = sin ω0t

ak =

∫T

e j ( −1−k )ω0t dt

Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1
Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1
Do đó ta có
a1 =

1
1
, a−1 = − , ak = 0 k ≠ ±1
2j
2j

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-18


Ví dụ 2: Sóng vuông tuần hoàn

Với k = 0
Với k ≠ 0

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục


4-19


Một số chuỗi Furier có ích
x (t ) =

∞

∑

k =−∞

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

Ck e jkω0t ,

Ck =

1
T0

∫T

x(t )e − jkω0t dt

0

4-20



Một số chuỗi Furier có ích

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-21


Điều kiện Dirichlet
Điều kiện 1.

Điều kiện 2.

Ví dụ.

Điều kiện 3.

Ví dụ.

x(t) khả tích tuyệt đối trong một chu kỳ

Trong một khoảng thời gian
hữu hạn, x(t) có hữu hạn
các cực đại và cực tiểu
Ví dụ không thỏa mãn
điều kiện 2

Trong một khoảng thời gian
hữu hạn, x(t) có hữu hạn
các điểm không liên tục

Ví dụ không thỏa mãn
điều kiện 3

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-22


Các tính chất của chuỗi Fourier
Dịch thời gian
Nhân
F.S. của dãy xung

là

Quan hệ Parseval
Đáp ứng ở chế độ xác lập của các hệ LTI với các tín hiệu tuần hoàn
− Hàm truyền
− Các hệ số chuỗi Fourier đầu ra của hệ LTI

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-23


Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục

4-24