BÀI TẬP KHÍ ĐÀN HỒI
(17-04-2014)

1. Nguyễn Thanh Phong
2. Phạm Tiến Hoàng
3. Đinh Minh Tùng
4. Hoàng Tiến Đạt

–
–
–
–

G1002398
G1001131
G1003867
G1000610

1


BÀI 1
Cánh máy bay với vận tốc V=100 m/s tại sea-level. Thông số cánh:
Sãi cánh b =11.4m, semi-span l = 5m, chord cánh: croot=1.8m và giảm dần còn ctip=1.2m,
khoảng cách tâm khí động và tâm đàn hồi e = 0.25c, góc tới khi chưa biến dạng
α 0 =3o =0.05236 rad.
Cánh được mô hình hóa thành hình chóp cụt rỗng: đường kính Droot=0.18m, Dtip=0.12m, bề
dày t=0.003m, dài l=5m, vật liệu G=29 GPa.
Tính góc xoắn tại mũi cánh.
Giải
Hình

Ta có:
Phương trình cân bằng moment trên cánh có tính chất thay đổi như sau:
d  dα e 
2
γ
+
λ
α e β = K ,với

÷
d %y  d %y 

%y = y
l

GJ
γ=
( GJ ) ref

 ∂CL 
c e  ∂α ÷

β=
cref eref  ∂CL 

÷
 ∂α ref

ql 2cref  ∂CL 

λ =
e
( GJ ) ref  ∂α ÷ref ref
2

qcl 2
K =−
( GJ ) ref

 ∂CL
 ∞
%
e ∂α α 0 + CMAC0 c  = ∑ Anα n y
n =1

( )
2


Nghiệm có dạng:
∞

( )

( )

1
−1
ae %y = ∑ anα n %y với { an } = [ Cmn ] { Am }
2

n =1
1

( ) ( )

Am = 2∫ K %y α m %y d %y
0

1
 1 d  dα n 

2
%
Cm = an  ∫ %  γ % ÷α m d y + λ ∫ βα nα m d %y 
 0 d y  d y 

0

• Áp dụng vào bài này:
- Ta tìm nghiệm gần đúng với n lấy từ 1 đến 5

( )

5

( )

ae %y = ∑ anα n %y
n =1


với

π
an %y = sin ( 2n − 1) %y
2

( )

( )

5

( )

K được biểu diễn dưới dạng K %y = ∑ Anα n %y
n =1

- Giá trị tham chiếu được lấy ở gốc cánh.
- Do Cánh đối xứng nên CMAC0 = 0

∂CL
2π
=
2π với:
- Đường hệ số lực nâng CL là thẳng, ∂α
1+
π AR
b2
b2
AR = =

S ( croot + ctip ) l + croot ( b − 2l )

3


- Moment quán tính độc cực J =

π  4
4
D − ( D − 2t ) 

32 

Ta Tính toán bằng MATLAB:
 Đoạn code M-file:
clc
clear all
format short
%Thong So De Bai Cho:
V=100; % m/s
b=11.4; % m
l=5;% m
cr=1.8;% m
ct=1.2;% m
Dr=0.18;% m
Dt=0.12;% m
t=0.003;% m
G=29*10^9;% Pa
rho=1.2256;
alpha0=0.05236; %rad

% Tinh Toan:
S = (cr+ct)*l+cr*(b-2*l);
AR = b^2/S;
q = 1/2*rho*V^2;
d_CL = 2*pi/(1 + 2/AR);
J_ref = pi/32*(Dr^4 - (Dr-2*t)^4);
syms y
c = cr - (cr - ct)*y;
D = c/10;
J = pi/32*(D^4 - (D - 2*t)^4);
K = -q*5^2*c*(d_CL*0.25*c*3*pi/180)/(G*J_ref); % e
lambda2 = q*5^2*1.8*d_CL*0.25*1.8/(G*J_ref); % e
gamma = J/J_ref;
beta = c^2/(1.8^2);
for m = 1:5
alpha(m)=sin((2*m-1)*pi/2*y);
end
A = 2*int(K*alpha,0,1);
for n=1:5
for m=1:5
C(m,n)=int(alpha(m)*diff(gamma*diff(alpha(n))),0,1)+lambda2*int(beta*alpha(m)*alpha(n
),0,1);
end
end
a = eval(1/2*C^(-1)*A');
an = (eval(1/2*C^(-1)*A'))'
alpha_e = alpha*a;
eval(C)
(eval(A))'
y = (0:0.2:1)

gocxoan = 3+eval(alpha_e)*180/pi

4


 Kết quả tính:

[ Cmn ]

 −0.4340
 −0.4972

=  −0.1961

 −0.1638
 −0.1084

{ an } = { 0.0820

−0.4972 −0.1961 −0.1638 −0.1084 
 −0.0677 
 −0.0390 
−6.2481 −2.6278 −0.5280 −0.5900 



−2.6278 −18.0216 −6.1639 −0.9699  { An } =  −0.0203




−0.5280 −6.1639 −35.6894 −11.1126 
 −0.0160 
 −0.0116 
−0.5900 −0.9699 −11.1126 −59.2481

−0.0035 0.0002 −0.0001 0.0000}

T

Góc xoắn tại các vị trí
%y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (mũi cánh)

y ( m)

0

1


2

3

4

5

α( o)

3.0000

4.2963

5.5779

6.7221

7.5781

7.9166

5


BÀI 2:
Cánh máy bay với vận tốc V=120m/s tại Sea-Level. Thông số cánh như bài 1, chỉ khác
e=0.15c.
Tính góc xoắn tại mũi cánh.
Giải

Áp dụng giống Bài 1. Ta thay V=100m/s thành 120m/s và e=0.25c thành 0.15c
Ta Tính toán bằng MATLAB:
 Đoạn code M-file:
clc
clear all
format short
%Thong So De Bai Cho:
V=120; % m/s
b=11.4; % m
l=5;% m
cr=1.8;% m
ct=1.2;% m
Dr=0.18;% m
Dt=0.12;% m
t=0.003;% m
G=29*10^9;% Pa
rho=1.2256;
alpha0=0.05236; %rad
% Tinh Toan:
S = (cr+ct)*l+cr*(b-2*l);
AR = b^2/S;
q = 1/2*rho*V^2;
d_CL = 2*pi/(1 + 2/AR);
J_ref = pi/32*(Dr^4 - (Dr-2*t)^4);
syms y
c = cr - (cr - ct)*y;
D = c/10;
J = pi/32*(D^4 - (D - 2*t)^4);
K = -q*5^2*c*(d_CL*0.15*c*3*pi/180)/(G*J_ref); % e
lambda2 = q*5^2*1.8*d_CL*0.15*1.8/(G*J_ref); % e

gamma = J/J_ref;
beta = c^2/(1.8^2);
for m = 1:5
alpha(m)=sin((2*m-1)*pi/2*y);
end
A = 2*int(K*alpha,0,1);
for n=1:5
for m=1:5
C(m,n)=int(alpha(m)*diff(gamma*diff(alpha(n))),0,1)+lambda2*int(beta*alpha(m)*alpha(n
),0,1);
end
end
a = eval(1/2*C^(-1)*A');
an = (eval(1/2*C^(-1)*A'))'
alpha_e = alpha*a;
eval(C)

6


(eval(A))'
y = (0:0.2:1)
gocxoan = 3+eval(alpha_e)*180/pi

 Kết quả tính

[ Cmn ]

 −0.4992
 −0.5090


=  −0.1954

 −0.1651
 −0.1081

{ an } = { 0.0609

−0.0023 0.0002 −0.0001 0.0000}

%y
y ( m)

α( o)

−0.5090 −0.1954 −0.1651 −0.1081 
 −0.0585 
 −0.0337 
−6.3242 −2.6400 −0.5281 −0.5913 



−2.6400 −18.0987 −6.1763 −0.9703  { An } =  −0.0175 



−0.5281 −6.1763 −35.7667 −11.1250 
−
0.0138





−0.5913 −0.9703 −11.1250 −59.3254 
 −0.0100 

T

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1(mũi cánh)

0

1

2

3

4


5

3.0000

3.9787

4.9304

5.7707

6.3939

6.6398

 Nhận xét:

α( o)

y ( m)

%y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 (mũi cánh)

V=100m/s ; e=0.25c
3.0000

4.2963
5.5779
6.7221
7.5781
7.9166

0
1
2
3
4
5

V=120m/s ; e=0.15c
3.0000
3.9787
4.9304
5.7707
6.3939
6.6398

So sánh với Bài 1 ta thấy mặc dù vận tốc cánh ở Bài 2 lớn hơn 20m/s so với Bài 1,
nhưng do khoảng cách tâm khí động và trục đàn hồi nhỏ hơn nên cuối cùng góc xoắn của
cánh vẫn nhỏ hơn.
Nếu giữ nguyên e=0.25c mà tăng vận tốc lên 120m/s:
%y
y ( m)

0


0.2

0.4

0.6

0.8

1(mũi cánh)

0

1

2

3

4

5
7


α( o)

3.0000

6.7163


10.6068

14.2096

16.9852

18.0908

thì góc xoắn ở mũi cánh sẽ lớn, lên đến 18.0908o . Nhưng do e giảm còn 1.5c nên góc
xoắn chỉ còn 6.6398o .
 Như vậy việc chý ý đến khoảng cách e là rất quan trọng trong thiết kế cánh máy
bay.

8


BÀI 3:
Máy bay có V = 110m/s ở Sea-Level. Sải cánh L = 9.5m, phần ngang thân 1.5, dây cung
cánh c = 2m ở chân cánh và giảm dần 1.2m ở mũi cánh. Phản ứng về kết cấu như một hình
trụ côn đường kính ngoài bằng 10% dây cung và bề dày 3mm, vật liệu có G = 29 GPa, ρ =
2800 kg/m3. Góc tới không biến dạng α 0 = 3o . Trục đàn hồi là đường thẳng từ mũi cánh
này đến mũi cánh kia ở vị trí 40% dây cung và tâm khí động ở vị trí 25% dây cung tính từ
cạnh trước (e=0.15c).
Tìm vận tốc gây bất ổn định VD. Tìm góc xoắn biến dạng đàn hồi ở mũi cánh khi vận tốc
là V.
Giải
 Vận tốc bay bất ổn định VD:
-

Từ nghiệm α e trong phương trình vi phân cân bằng moment, ta thấy vận tốc gây bất ổn

định khi các hệ số an tiến đến vô cùng, ứng với det ( Cmn ) = 0 .

-

Để tìm ra [ Cmn ] cũng như bài 1, chỉ thay đổi các số liệu (giả thuyết đề cho) và q bây
giờ đóng vai trò là biến, ta tìm 1 để det ( Cmn ) = 0

Code Matlab:
clc
clear all
format short
b = 9.5
S = (1.5*2) + (2+1.2)/2*(9.5-1.5)
AR = b^2/S
d_CL = 2*pi/(1 + 2/AR)
G = 29*10^9;
J_ref = pi/32*(0.2^4 - (0.2-0.006)^4);
syms q
syms eta
c = 2 - (2 - 1.2)*eta;
D = c*0.1;
J = pi/32*(D^4 - (D - 0.006)^4);
K = -q*((9.5-1.5)/2)^2*c*(d_CL*0.15*c*3*pi/180)/(G*J_ref);
lambda2 = q*((9.5-1.5)/2)^2*2*d_CL*0.15*2/(G*J_ref);
gamma = J/J_ref;
beta = c^2/(2^2);
for m = 1:5
alpha(m)=sin((2*m-1)*pi/2*eta);
end
A = 2*int(K*alpha,0,1);

for n=1:5
for m=1:5

9


C(m,n)=int(alpha(m)*diff(gamma*diff(alpha(n))),0,1)+lambda2*int(beta*alpha(m)*alpha(n
),0,1);
end
end
Determine = det(C)
q_D=solve(Determine,q)
V_D=(q_D*2/1.2256).^(1/2)
q = (30000:1000:40000)
f = eval(Determine)
plot(q,f)
xlabel('q')
ylabel('q-det[Cmn]')

Đồ thị:

Nhận xét:
Để tìm trên đồ thị điểm q gây bất ổn, dĩ nhiên ta sẽ không tìm điểm q để det ( C ) có giá trị
bằng 0, chỉ cần xác định q để det ( C ) có giá trị nhỏ tương đối so với giá trị det ( C ) khác vì
khi đó các hệ số sẽ có giá trị lớn và góc xoắn cũng lớn.
 Theo đồ thị ta lấy qD = 3650 → giá trị vận tốc gây bất ổn định VD = 244m / s
 Góc xoắn biến dạng đàn hồi ở mũi cánh khi vận tốc là V
Vẫn lấy đoạn mã ở bài 1 và thay số của bài 3 vào ta được các kết quả

10



[ Cmn ]

 −0.6949
 −0.6228

=  −0.2390

 −0.1985
 −0.1304

−0.6228 −0.2390 −0.1985 −0.1304 
 −0.0239 

 −0.0153
−5.9880 −2.9889
−06891
−0.6842



−2.9889 −16.6270 −6.9080 −1.2959  { An } =  −0.0079 



−0.6891 −6.9080 −32.5883 −12.3914 
 −0.0063
 −0.0045 
−0.6842 −1.2959 −12.3914 −53.8705 


{ an } = { 0.0177
%y
y ( m)

α ( o)

−0.0006 0.0001 −0.0000 0.0000}

0
0
3.0000

0.2
1
3.3603

0.4
2
3.6893

T

0.6
3
3.9458

0.8
4
4.0563


11