Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc

fb.com/Ad.theluc

TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH–
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Trích các Đề thi thử năm 2015 – 2016)
Phần 1
I.Giải phương trình
II. Giải bất phương trình
1.( Lần 1 – THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An)
1  x x2  1  x2  x  1(1  x2  x  2)
Giải:
Bất phương trình đã cho tương đương :
( x x2  1  x2  x  1 x2  x  2)  (1  x2  x  1)  0


( x  1)(2 x 2  x  2)



x(1  x)

x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1

 ( x  1)(

2 x2  x  2



0

x

x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1

 ( x  1). A  0 (1) với A 

2 x2  x  2

)0



x

x x2  1  x2  x  1 x 2  x  2 1  x 2  x  1

2
2

 x  x 1  x 1
 x2  x  1 x2  x  2   x x2  1
Nếu x  0 thì 
2

 x  x  2  x

 x2  x  1 x 2  x  2  x x 2  1  0  A  0
Nếu x>0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

 2
x2  x  1  x2  x  2
3
2
 x2  x 
 x  x  1 x  x  2 
2
2

2
2
 x x2  1  x  x  1  x2  1

2
2

 x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  2 x2  x  2
 A  1

x
1  x2  x  1

Tóm lại , với mọi

0

ta có A>0. Do đó (1) tương đương x 1  0  x  1.
Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG



Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc

fb.com/Ad.theluc

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1; ) .
Chú ý : Cách 2. Phương pháp hàm số
Đặt u  x 2  x  1  u 2  x 2  x  1 thế vào bpt đã cho ta có
u 2  x 2  x  x x 2  1  u (1  u 2  1)
 u2  u  u u2 1  x2  x  x x2 1

Xét f (t )  t 2  t  t t 2  1 )
f ' (t )  (t  t 2  1) 2  t 2  1  0t nên hàm nghịch biến trên R
Do đó bpt  u  x  x  1

III. Giải hệ phương trình
1.( Lần 3- THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh)

Giải:
Pt(1)  x  3 

a  x  3

Đặt 

b 


y 1

 x  3 y  1  x  2 y  1 


y 1

a  b
a  2b  1  0

 a, b  0  , (1) trở thành: a 2  2b2  ab  a  b  0  

+ a  2b 1  0 vô nghiệm do a, b  0
+ Xét a = b  y  x  2 thay vào (2) ta được:

 x  3 x  3   x  1  x 2  2x  3 

x 1  2



  x  3 x  3   x  1  x 2  2x  3  .

x 3
x 1  2

 x  3  y  5(tm)

2
 x  3 x  1  2   x  1  x  2x  3 *







(*)  





x  1  2

2





2
x  1  2   x  1  2   x  1  2 



2
Xét hàm số f  t    t  2  t  2 , t  0 có

Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG


Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc
Suy ra f t  đồng biến mà f




fb.com/Ad.theluc



x  1  f  x  1  x  1  x  1

x  1
 2
 x  3 y  5
x

3x

0

Vậy hệ phương trình có nghiệm:  3;5

2.(Lần 2 – THPT Lê Lợi – Thanh Hóa)
2
2

2 x  y  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3x (1)
 2

 x  y  1  4 x  y  5  x  2 y  2 (2)

Giải:
Điều kiện : y  2 x  1  0,4 x  y  5  0, x  2 y  2  0, x  1

 y  2x  1  0
 x  1 0  0


* Xét trường hợp: 
(Không thỏa mãn hệ)
3  3 x  0
 y  1 1  10  1
* Xét trường hợp: x  1, y  1. Đưa pt (1) về dạng tích ta được:
x y2
( x  y  2)(2 x  y  1) 
y  2 x  1  3  3x


1
( x  y  2) 
 y  2 x  1  0 . Do y  2 x  1  0
 y  2 x  1  3  3 x

1
 y  2x  1  0  x  y  2  0
nên
y  2 x  1  3  3x
2
* Thay y  2  x vào pt (2) ta được x  x  3  3 x  7  2  x
3x  6
2 x
 x 2  x  2  3 x  7  1  2  2  x  ( x  2)( x  1) 

3x  7  1 2  2  x

3
1


 ( x  2) 

 1  x  0  x  2  0
 3x  7  1 2  2  x

3
1

1 x  0)
(vì x  1 nên
3x  7  1 2  2  x
* x  2  0  x  2  y  4 (Thỏa mãn ĐK).
Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y)  (2; 4)
3. (Lần 2 - THPT Sông Lô)

Giải:
Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG


Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc
Điều kiện : | x |

fb.com/Ad.theluc

2
3


(1)  2016 x ( x 2  2  x)  2016 y ( y 2  2  y )
 x ln 2016  ln( x 2  2  x)   y ln 2016  ln[ (  y) 2  2  (  y)]

Xét hàm số : f (t )  t ln 2016  ln( t 2  2  t ), t  R có :
. Do đó hàm số đồng biến trên R,
do đó x   y
2
2
Thay vào (2) ta có : 25 x  9 x 9 x  4  2 

Nếu x 

18 x 2
(3)
x2  1

2
18 x 2
thì 18 x 2  2 ,7 x 2  2  VT (3)  VP (3) (loại)
3
x 1

2
4
2
18
thì 25  9 9  2  2  2
3
x

x
x 1
1
9
Đặt t  2 (0  t  ) ta được
x
4
Nếu x  

25  9 9  4t  2t 

18t
 18t


 12   2t  4  9 9  4t  9  0
t 1  t 1


6
36(t  2)
(t  2)  2(t  2) 
0
t 1
9  4t  1
t  2
 6
36

2

 0 (4)
 t  1
9  4t  1


Vì 0  9  4t  3  12 
 t  2 . Suy ra : x 

36
 9
 36  VT (4)  0, t   0; 
9t  4  1
 4

1
1
,y 
2
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm :
4.( Lần 1 – THPT Chuyên Quang Diêu)

Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG


Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc
2
2


3x  2xy  2y  3x  2y  0
 2
2

5x  2xy  5y  3x  3y  2  0

fb.com/Ad.theluc

(1)
(2)

Giải:
Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 rồi trừ theo vế cho (2), ta được phương
trình:

4x2  4xy  y2  6x  3y  2  0
 2x  y  1

2
 (2x  y)  3(2x  y)  2  0  

.
 2x  y  2
Nếu 2x  y  1 thì y  1 2x , thay vào (1) ta được:
x  0  y  1
7x  5x  0  
x  5  y   3

7
7

2

Nếu 2x  y  2 thì y  2  2x , thay vào (1) ta được:
 x  1 y  0
7x  11x  4  0  
x  4  y  6

7
7
2

5

3  4 6

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là  0;1 ; 1; 0 ;  ;   ;  ;  .
 7 7  7 7
5. ( Lần 2 – Thuận Thành số 1 – Bắc Ninh)

 2x  y  1  3y  1  x  x  2y
 2

x  x  3y  17  6 x  7  2x 3y  1  0
Giải:
x  0

1
 y  
ĐK: 
3

 2x  y  1  0

 x  2y  0

1
 2

1 

2x  y  1  x  3y  1  x  2y  0
* Nhận xét:
 2x  y  1  0  x  0
 2x  y  1  x  0

- Nếu 
y


1
L



 x  0
Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG


Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc

fb.com/Ad.theluc


2

x

 3y  1  0 
3
- Nếu 
. Thay vào PT(2) thấy không thỏa mãn

1
x

2y

0
y  


3
 3y  1  x  2y  0
x  y 1
x  y 1


0
2x  y  1  x
3y  1  x  2y

x  y  1  0


 2x  y  1  x  3y  1  x  2y
+ TH1: x  y  1  0  y  x  1 . Thế vào PT (2) ta được:
2
x 2  4x  14  6 x  7  2x 3x  2  0 (3). ĐK: x 
3
(3)  2 6 x  7   x  16    x  4 3x  2   3x  2    x 2  4x  4  0
2
9x


   x 2  4x  4  

 1  0
 6 x  7  x  16 4 3x  2  3x  2 
2
6x  2  4 3x  2 
2
  x  2 

0
 6 x  7  x  16 4 3x  2  3x  2 
2


2
3x

2


1
2
2
0
  x  2

 6 x  7  x  16 4 3x  2  3x  2 




 x  2 (TM)  y  1 (TM).



+ TH2:



2x  y  1  x  3y  1  x  2y


 2x  y  1  3y  1  x  x  2y
Ta có: 

 2x  y  1  x  3y  1  x  2y
Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình ta được:

x  3y  1  3y  x  1 .
Thế vào PT (2) ta được:

x2  2x  16  6 x  7  2x x  0
PT(4) 



 
2

x 7 3  x  x



2

(4). ĐK: x  0
0

Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG


Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc

fb.com/Ad.theluc

 x  7  3  0  x  2
(vô lý)  PT vô nghiệm


x


0

 x  x  0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x; y) = (2; 1).
6. ( Lần 2 – THPT Thuận Châu)

Giải:
Điều kiện:
Xét phương trình:
Đặt

Từ phương trình
được:

ta được phương trình:

ta có

thay vào phương trình

Ta có:

Xét hàm số
Do đó hàm số

đồng biến trên

Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG

ta



Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc

fb.com/Ad.theluc

Từ
Ta có:

+) Với
+) Với
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
7. ( THPT Lệ Thủy – Quảng Bình)
 x x 2  y  y  x 4  x3  x
(1)


9
 x  y  x  1  y ( x  1)  (2)
2

Giải:

(x,y  R )

x  1
y  0

Đk: 


(1)  x( x 2  y  x 2  x)  ( x  y )  0
x

yx
x y x x
2

2

 x  y  0  ( x  y )( x 2  y  x 2  x  x)  0

Do đó x=y thay vào pt (2) : x  x  x  1  x( x  1) 

9
2

Đặt t  x  x 1(t  0)  t 2  2x 1  2 x( x 1)
Pt trở thành t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 chỉ lấy t=2  x  1  x  2
5

25
x 
2 x( x  1)  5  2 x  
x
2
16
4 x 2  4 x  25  20 x  4 x 2


Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y)=(


25 25
; )
16 16

8.( THPT Hà Huy Tập – Khánh Hòa )
x
 2
 x  x  1   y  2   x  1 y  1

3x 2  8 x  3  4  x  1 y  1


 x, y  R 

Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG


Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc

fb.com/Ad.theluc

Giải:

 x  1
Điều kiện: 
 y  1
x3  x 2  x
  y  2
1 

x 1
3

x
 x 


 
x 1
 x 1 

 x  1 y  1 



x3  x  x  1

 x  1

x 1

  y  2 y  1



3

y 1  y 1 .

Xét hàm số f t   t 3  t trên R có f  t   3t 2 1  0t  R suy ra f(t) đồng biến trên R.



x



Nên f 
 f
 x 1 





y 1 

x
 y  1 . Thay vào (2) ta được
x 1

3x 2  8 x  3  4 x x  1 .



  2 x  1  x  2 x  1
2



2


 
x 1
  2
 x  3 2 3
 x  6x  3  0
 2 x 1  x 1


 

1
5  2 13
x

x
 2 x  1  1  3x

3
9


2

 9 x  10 x  3  0

x2
1
Ta có y 
x 1


ới x  3  2 3  y 

43 3
.
2

ới x 

5  2 13
41  7 13
 y
.
9
72

C c nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm


 x; y    3  2


3;

 5  2 13 41  7 13 
43 3 
;
 &  x; y   
 .

2 
9
72



9.( Phan Bội Châu – Khánh Hòa)
2

(1)
 xy  2  y x  2
 2
2
2

 y  2( x  1) x  2 x  3  2 x  4 x (2)
Giải:

Vì

x2  2  x  x2  x | x |  x  0, x  R

 x2  x  x  0, x  R

Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG


Chuyên đề PT-BPT-Hệ PT – Luyện thi cấp tốc
2
Nên (1)  y ( x  2  x)  2  y 


2
x 2x
2

fb.com/Ad.theluc

 x2  2  x

Thế y  x2  2  x vào (2) :





2

x 2  2  x  2( x  1) x 2  2 x  3  2 x 2  4 x  1  x x 2  2  2 x  ( x  1) x 2  2 x  3  0

 ( x  1) 1  ( x  1) 2  2   ( x) 1  ( x) 2  2  (*)





Xét hàm số f (t )  t (1  t 2  2)
f '(t )  1  t 2  2 

t2
t2  2


 0, t  R  f đồng biến trên R.

(*)  f ( x  1)  f ( x)  x  1   x  x 

Với x 

1
2

1
thì y  1 .
2
 1





Vậy nghiệm của hệ phương trình là   ;1  .
2

Bikiptheluc.com - Bí kíp công phá THPT QG