Bài tập tích phân bội
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.71 KB, 4 trang )
BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI
1
Hãy cho biết các tích phân sau dùng để tính thể tích
của vật thể nào, hãy vẽ vật thể đó trong không gian 3
chiều.
1.
2.
2
0
1
0
dx
1
−1
dx
2xdy.
√
1−x2
√
− 1−x2
2dy.
(1 + x2 + y 2 )dxdy, trong đó D là hình tròn x2 + y 2 ≤ 1.
3.
D
4dxdy, trong đó D là tam giác OAB, O(0, 0), A(0, 2), B(1, 1).
4.
D
(x2 + 1)dxdy, trong đó D là hình chữ nhật −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 4.
5.
D
2
Tính tích phân lặp sau đây và vẽ hình miền lấy tích
phân.
1.
2
−1
dx
2
−2
(ex+y − 2x) dy.
2.
2
−1
dx
2
−2
(xy 2 − 2x) dy.
3.
2
0
4.
0
−1
dx
0
5.
−1
−3
dx
√
2x+6
√
− 2x+6
6.
1
−1
dx
2−x2
x2
7.
3
π
2
√
√ 2x
2x−x2
dx
√
− π2
dx
1−x2
cos x
0
(x − 1 + y) dy.
(x − y) dy +
xydy +
5
−1
1
0
dx
1−x
0
(x − y) dy.
√
dx
2x+6
x−1
xydy
dy.
y
1 − y2
dy.
Tính các tích phân kép sau
D
x2
1
dxdy, D giới hạn bởi y = , y = x, x = 2.
2
y
x
D
1
2
1.
2.
x
, với D : xy = 1, x = y, x = 9y, x ≥ 0.
y
ydxdy, G giới hạn bởi y = x2 + 2x, y =
3.
D
x2
x
, y = 1 + , x ≥ 0.
2
2
dxdy , D : y = 3, y = x2 − 2x, 0 ≤ x ≤ 3.
4.
D
y 2 exy dxdy, D : 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y.
5.
D
6.
D
x5
y
dxdy, D : y = 1, y = x2 , x ≥ 0.
+1
7.
D
x3 y 2
dxdy, D : y = 1, y = x2 , x ≥ 0.
y5 + 1
y 2 − x2 , D : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1.
x
8.
D
(x +
9.
√
y)dxdy với D : y ≤ −x2 + 2x + 3, y ≤ x2 + 2x + 1, y ≥ 0.
D
√
ydxdy, với D : y = x x + 2, y = x2 .
10.
D
4
Tính các tích phân sau trong tọa độ cực hoặc tọa độ cực
mở rộng.
1.
y
x2 + y 2 dxdy, với D : −1 ≤ y ≤ 0, −
1 − y2 ≤ x ≤
x
x2 + y 2 dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 2x, y ≥ x.
D
2.
D
xydxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 2x, y ≥ −x.
3.
D
2 +y 2
ex
4.
dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ x ≤ −y.
D
ln (x2 + y 2 + 1) dxdy, với D : 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9.
5.
D
dxdy, với D : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ −2y.
6.
D
ydxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≤ −2y.
7.
D
|x − y| dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ −2x.
8.
D
|x2 + y 2 − 1| dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 4.
9.
D
|x2 − y 2 | dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ y.
10.
D
(x + y)dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 2y, y ≥ 1.
11.
D
2xdxdy, với D : x2 + y 2 + 2x + 2y + 1 ≤ 0, x + y ≤ 2.
12.
D
9x2 + 3y 2 dxdy, với D :
13.
D
5
5.1
x2 y 2
+
≤ 1, y ≥ −x.
3
9
Ứng dụng hình học của tích phân kép
Tính diện tích các miền phẳng dưới đây
1. D : x2 + y 2 ≤ 1, |x| + |y| ≥ 1.
2. D : 2y ≤ x2 + y 2 ≤ 4y, y ≥ −x.
x2 y 2
x y
3. D :
+
≤ 1, + ≥ 1.
25
9
5 3
4. D : x2 + y 2 ≤ 2x, x + y ≤ 2.
1 − y2.
5.2
Tính thể tích các vật thể dưới đây
1. Ω : z = x2 + 2x − y, z = 0, y = x + 2, x ≥ 0.
2. Ω : z = x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 2.
3. Ω : z = x2 + 1, z = 2x, y = x, y = 2x, x = 1.
√
4. Ω : z = 2 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 , 0 ≤ 3x ≤ y.
5. Ω : z = 4 − x2 − y 2 , z = 2, x ≥ y 2 .
6. Ω : y 2 + z 2 = 2y, z = 2x, z = 3x.
x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2 , x ≥ 0, y ≤ 0.
7. Ω : z =
5.3
Tính diện tích các mặt cong sau
1. Phần mặt nón z = 3 x2 + y 2 , phần nằm dưới paraboloid z = 4 − x2 − y 2 .
2. Phần mặt phẳng x + y + z = 1, bị cắt bởi trun y 2 = x và mặt phẳng x = 1.
6
7
3. Phần mặt nón z =
x2 + y 2 nằm trong trụ z 2 = 2y.
4. Phần mặt cầu z =
1 − x2 − y 2 nằm giữa 2 mặt phẳng x = z, x =
√
3z.
Tính các tích phân lặp sau đây và vẽ miền tính tích phân
1.
1
0
dy
2.
1
0
dx
3.
2
−2
4.
1
0
5.
1
−1
dx
dy
y+1
x2 +1
dx
ydz.
y
0
√
x
4
dy 0 xydz.
0
√
√
4−x2
x2 +y 2
dy
0
0
1−y 2
0
dz
√
1−y 2
dy √ 2
−
1−y
2
0
zdz.
dx.
0√
− 4−x2 −y 2
zdz.
Tính các tích phân bội ba sau đây
x2 dxdydz, Ω : 2x + z = 2, z = (x − 1)2 + y 2 .
1.
Ω
z
2.
x2 + y 2 dxdydz, Ω : z = 1, z = 2, x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4.
Ω
y cos(x + z)dxdydz, Ω : y =
3.
Ω
√
π
x, y = 0, z = 0, z + x = .
2
(x + y)dxdydz, Ω : x2 + y 2 ≤ z ≤
4.
2 − x2 − y 2 , y ≥ x.
Ω
xdxdydz, Ω : 0 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
5.
Ω
(x + z)dxdydz, Ω : x2 + y 2 ≤ z ≤
6.
x2 + y 2 .
Ω
x2 dxdydz, Ω : 2x + z = 2, z = (x − 1)2 + y 2 .
7.
Ω
(2 + xy + x)dxdydz, Ω : z = 4 − y 2 , z = 0, x = 0, x = 3.
8.
Ω
8
Theo yêu cầu mỗi bài, đổi các tích phân sau sang tọa
độ trụ hoặc tọa độ cầu.
x2 + y 2 dxdydz, Ω : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥
1. I =
3(x2 + y 2 ): tọa độ cầu.
Ω
x2 + y 2 dxdydz, Ω : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ − 3(x2 + y 2 ), y ≤ x ≤ −y. Tọa
2. I =
Ω
độ cầu.
dxdydz, Ω : x2 + y 2 + z 2 = 1, z = x, z =
3. I =
√
3x, x ≥ 0 : tọa độ cầu.
Ω
(x + y 2 )dxdydz, Ω : x2 + z 2 = 1, x = y 2 , x = 0: tọa độ trụ.
4. I =
Ω
(x + y)dxdydz, Ω : z = x2 + y 2 , z + 2x = 0: tọa độ trụ.
5. I =
Ω
6. I =
xydxdydz, Ω : y =
√
√
x2 + z 2 , y = 2x ≤ z ≤ − 3x: tọa độ trụ.
Ω
9
Dùng tích phân bội ba tính thể tích các vật thể sau:
1. Ω : z = 0, y + z = 4, x2 + y 2 = 4.
2. Ω : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z, x2 + y 2 + z 2 ≤ 1.
3. Ω : 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥
4. Ω : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥
x2 + y 2 .
x2 + y 2 , x2 + y 2 ≥ 1.
