Giáo trình toán cao cấp A1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (792.28 KB, 82 trang )
$1. GIỚI HẠN
1.1 Giới hạn và Đồ thị
VÍ DỤ 1
Hàm số
x2 − 1
f ( x) =
x −1
có quan hệ gần x = 1 như
thế nào?
Giải
lim f ( x ) = 2
x→1
hoặc
x2 − 1
lim
=2
x →1 x − 1
VÍ DỤ 2 Giới hạn
n không ph
phụ thuộc
c vào hàm số
s xác định
tại x0
VÍ DỤ 3 Hàm số có thể không có giới hạn tại một điểm
VÍ DỤ 4
(a) lim x = x0
x → x0
(b) lim k = k
x → x0
1.2 Các định lí giới hạn
ĐỊNH LÍ 1 Các quy tắc giới hạn
Nếu các giới hạn sau tồn tại thì
1. lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x )
x→ c
x→ c
x→ c
2. lim f ( x ) . g ( x ) = lim f ( x ) . lim g ( x )
x→ c
x→ c
x→ c
3. lim k f ( x ) = k lim f ( x )
x→ c
x→ c
f ( x)
f ( x ) lim
x→ c
4. lim
=
x→ c g ( x )
lim g ( x )
( đk : lim g ( x ) ≠ 0)
x→ c
x→ c
5. Nếu r/s là phân thức tối giản thì
r
s
(
lim f ( x ) = lim f ( x )
x→ c
x→ c
(Nếu s chẵn thì giả thiết f(x) > 0)
)
r
s
VÍ DỤ 5 Tìm
Giải
lim ( x + 3x + 5)
3
x→2
ĐỊNH LÍ 2
Nếu P ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + .... + a1 x + a0 thì
lim P ( x ) = P(c)
x→c
VÍ DỤ 6
Giải
2 x2 − x + 2
Tìm lim
x→ 3
x2 + 1
ĐỊNH LÍ 3 Nếu P(x) và Q(x) là đa thức và Q ( c ) ≠ 0 , thì
P ( x) P (c)
lim
=
x →c Q ( x )
Q (c)
x3 − 1
VÍ DỤ 7 Tìm lim 2
x →1 x − 1
Giải
Định lí 4 Giới hạn của hàm lượng giác
1. Với mọi số thực c, limsin x = sin c ; lim cos x = cos c
x→ c
2.
3.
2. Nếu cos c ≠ 0 thì lim tan x = tan c
x→ c
3. Nếu sin c ≠ 0 thì lim cot x = cot c
x→ c
sin x + 2cos x + cos 2 x
VÍ DỤ 8 Tìm lim
x →0
sin x + cos 2 x
Giải
x→ c
ĐỊNH LÍ KẸP Giả thiết g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) với mọi x nằm
trong khoảng chứa c, có thể ngoại trừ tại x = c, và
lim g ( x ) = lim h ( x ) = L
x→ c
x→ c
Khi đó
lim f ( x ) = L
x→ c
E
VÍ DỤ 9
Giải
Chứng minh rằng
1
lim x sin = 0
x →0
x
2
1.3 Định nghĩa chính xác của giới hạn
ĐỊNH NGHĨA
Cho ƒ(x) xác định trên khoảng mở chứa x0 , có thể ngoại trừ tại
x0 .
lim f ( x ) = L ⇔ ε > 0, ∃ δ > 0 : 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε
x→ x0
VÍ DỤ 10 Chứng
ng minh rrằng
lim ( 5 x − 2 ) = 3
x→1
Giải
1.4 Giới hạn một phía và giới hạn tại vô cùng
A. Giới hạn một phía
lim f ( x ) = L : giới hạn 2 phía.
x→ x0
lim− f ( x ) = L : giới hạn trái.
x → x0
lim+ f ( x ) = L : giới hạn phải.
x → x0
VÍ DỤ 11
x
lim+
=
x →0
x
x
lim−
=
x →0
x
ĐỊNH LÍ 6
lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
x→c
VÍ DỤ 11
x
lim
x →0 x
không tồn tại.
x →c
x →c
VÍ DỤ 12
Cho f ( x )
Tìm lim f ( x ) .
x→1
Giải
x − 2
= 1 2
− 2 x
x ≥1
x <1
VÍ DỤ 13
Cho
x − 1
f ( x) =
5 − x
Tìm lim f ( x )
x→3
Giải
x<3
x≥3
