Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
 xy  2 2  7 xy  2

Bài toán 1: Giải hệ 
 x, y  R 
4
4
2
2

 xy  3   xy  5   82
Giải
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có:

 xy  2 
-

2

 xy  1
2
 7 xy  2   xy   3xy  2  0  
 xy  2

Với xy  1 ta thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình:

 y  3   y  5 
4

4

 82 (1)

Đặt y  t  4 thay vào phương trình (1) ta thu được phương trình:

 t  1

4

  t  1  82
4

 t 4  4t 3  6t 2  4t  1  t 4  4t 3  6t 2  4t  1  82
 t 4  6t 2  40  0
1

t

2

y

6

x


t  4
6

 2

t  2  y  2  x  1
t  10( L)

2
- Với xy  2 ta thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình:
2

4

4

3
5
41
 2t  3   2 y  5  82   y     y    (2)
2 
2
8

Đặt y  t  2 thay vào phương trình (2) ta thu được phương trình:
4

4

4

4


 1   1  41
t    t   
8
 2  2
1
1
1
1 41
 t 4  2t 3  t 2  t   t 4  2t 3  t 2  t  
2 16
2 16 8
 2t 4  2t 2  5  0

1  11
1  11
4
 2 1  11
t 
y
2 x 
t


2
2

4  2 11  2
2



2
1  11

1  11
1  11
4
t  
t
 y
2 x 


2
2
2
4  2 11  2


190
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com
2

 y   5 x  4  4  x 
Bài toán 2: Giải hệ phương trình  2
2

 y  5 x  4 xy  16 x  8 y  16  0


Giải
Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng:
y 2   4 x  8 y  5x 2  16 x  16  0

Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là y ta được:





 y   4 x  8  4 5x 2  16 x  16  36 y 2
2

4x  8  6x

 5x  4
y 
2
Suy ra 
 y  4x  8  6x  4  x

2

Th1: Với y  5x  4 , thay vào phương trình đầu của hệ ta được:
x  0  y  4
x 5x  4  0  
x   4  y  0
5



Th2: Với y  4  x thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
x  0  y  4
x 4  x  0  
x  4  y  0
 4





Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là  x; y    0; 4  ;  4;0  ;   ;0 
5

 x3  y 3  8   x  y    x  y  1  3x   2 

2
Bài toán 3: Giải hệ 
16  2  y 
2
 20
x 
2
2
y

3
x




Giải
Điều kiện: 2 y  3x  0
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta biến đổi về phương trình:

x3  y 3  3xy  x  y     x  y   2  x  y   8
2

  x  y    x  y   2 x  y   8  0
3

2





  x  y  2   x  y   3 x  y   4  0
2

 y 2 x
Vì  x  y   3 x  y   4  0 vô nghiệm
2

Thay y  2  x vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình:

191
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831



Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

x 
2

2

16 x 2

 x  4

2

4x 

 4x 
 20   x 
  2x 
  20
x4

 x4

2

 x2 
8x2

 20  0 (1)
 

 x4 x4

x2
Đặt t 
. Lúc đó phương trình (1) trở thành:
x4
t  10
t 2  8t  20  0  
t  2
x2
 10  x 2  10 x  40  0 (vô nghiệm)
- Với t  10 
x4
 x  4  y  2
x2
- Với t  2 
 2  x2  2 x  8  0  
x4
 x  2  y  4
 x  1 x  4 y   4 y  y  1  5  3x
 x, y  R 
y

4
1

y
y

4


2
x

y

y


Bài toán 4: Giải hệ 





Giải

 y  4
x  y  0

Điều kiện: 

Từ phương trình thứ nhất trong hệ biến đổi ta có:

 x  1 x  4 y   4 y  y  1  5  3x
 x 2  4 xy  4 x  8 y  4 y 2  5  0
  x  2 y   4 x  2 y   5  0
2

x  2y 1

x 1 2y


 x  2 y  5  x  5  2 y
- Với x  5  2 y thế vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:





y  4 1  y y  4  2  y  5  y (1)
y  4  0
 y  4
(vô lý)

 y  5  0  y  5

Ta có điều kiện để giải phương trình này là: 

-

Như vậy phương trình (1) vô nghiệm
Với x  1  2 y thế vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:





y  4 1 y y  4  2 1 y  y
 y  4  2 1  y  y  y  5  0 (2)

192
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

Điều kiện: 4  y  1
Lúc đó ta biến đổi phương trình (2) được biến đổi tương đương với phương trình:

y  4  4 1  y 

y  4  2 1 y

 y  y  5  0



5

 y  5   0 (3)
 y  4  2 1 y



5
Với 4  y  1 ta có
 y50
y  4  2 1 y
Do đó từ (3) ta có y  0  x  1
3

3
2
2

 x  4 y  6 x y  9 xy
Bài toán 5: Giải hệ phương trình 

 x y  x y 2

Giải
x  y  0
x  y  0

Điều kiện: 

Nhận xét: Hệ có phương trình đầu là phương trình đẳng cấp nên ta xử lý phương trình này
trước tiên.





x3  4 y 3  6 x 2 y  9 xy 2   x  4 y  x 2  2 xy  y 2  0
x  4y
2
  x  4 y  x  y   0  
x  y
Th1: nếu x  y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

2x  2  x  2  y  2


Th2. Nếu x  4 y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
3 y  5 y  2  y  8  2 15  x  32  8 15



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  x; y    2; 2  ; 32  8 15;8  2 15




2  y 2  3
2
 y  x
 3  4 x  1
Bài toán 6: Giải hệ 
x
3 2
2
 y  7 x  27  12  x  2 8 x  y 
Giải
Điều kiện: 0  x  12
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:

193
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com


y2  3
y2  3
y2  3
2
 12  0 

x
2x
2x

y2  3
60
2x

 y2  3
 y 2  3


 2 
 3  0



2x
2x



y2  3
y2  3


20
 4  y2  8x  3
2x
2x
Thay y 2  8 x  3 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình:
3

x  24  12  x  6 (1)

Đặt t  3 x  24
Ta có: x  t 3  24
Lúc đó (1) trở thành:

t  6
6  t  0
36  t 3  6  t  

 2
2
3
36  t   6  t 
t  t  t  12   0
t  6
 3 x  24  0
 x  24


 t  0
 

  3 x  24  4   x  88

3
 t  4
 x  3
 x  24  3
 t  3
Đối chiếu điều kiện ta có: x  3  y   21
 x2  2 y  3  2 y  3  0

Bài toán 7: Giải hệ phương trình  3
2
3
2
2 x  2 y  3 y  x  1  6 x  6 x  2  0





Giải
Điều kiện: x  2 y  3  0
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
2

2 x3  6 x 2  6 x  2  4 y 3  3 y  x  1  0
2






 2  x  1  3 y  x  1  4 y 3  0   x  1  2 y  2  x  1  y  x  1  2 y 2  0
3

2

2

2 y   x  1
2 y   x  1


   x  1
2
2
 2  x  1  y  x  1  2 y  0
  y  0

TH1: Nếu  x; y     1;0  thử lại thấy không thỏa mãn.
TH2: Nếu 2 y   x  1 thay vào phương trình đầu của hệ ta được:
x2  x  2  x  4  x  

14
5
y
9
8
194


LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

 14 5 
; 
 9 8

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    

 x3  2 x 2 y  3xy 2  xy  x  2 y  2 y 2  5 y  1

Bài toán 8: Giải hệ phương trình  2
2
2
 x  17 y  12  4  x  y  7  x  3x  8 y  5









Giải
Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng:

 x  2 y   x 2  4 xy  5 y 2  y  1  0






  x  2 y   x  2 y   y2  y  1  0  x  2 y
2

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

4 y

2

 17 y  12





 

 4  3 y  7  4 y 2  14 y  5  4 y 2  11y  2

2



2


0



11  3 17
11  3 17
11  3 17
;y 
y  
x  
8
4
8
 4 y 2  11y  2  0  



11  3 17
11  3 17
11  3 17
;y 
y 
x 
8
4
8



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:

 11  3 17 11  3 17   11  3 17 11  3 17 
;
;
 ; 

4
8
4
8

 


 x; y    

2
2
2
2

2 2 x  y  y  2 x  3

Bài toán 9: Giải hệ 


x  2 y  y  2x
3

3


 x, y  R 

Giải
Điều kiện: 2 x 2  y 2  0
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:

2x2  y 2  2 2 x  y 2  3  0
 2 x2  y 2  1

 2 x 2  y 2  3( L)

Với

2 x2  y 2  1  2 x 2  y 2  1 . Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ ta thu được

2 x 2  y 2  1
hệ phương trình:  3
3
 x  2 y  y  2 x
Thế 1  2x 2  y 2 vào phương trình thứ hai trong hệ mới ta được phương trình:
x3  2 y 3   2 x 2  y 2   y  2 x 
 5 x3  2 x 2 y  2 xy 2  y 3  0 (1)
Không khó để nhận thấy  x, y    x,0  không thỏa hệ
195
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

Với y  0 ta biến đổi phương trình (1) về phương trình:

3

2

x
x
x
5   2    2    1  0
 y
 y
 y
2
 x   x 
x 
   1  5    3    1  0
 y    y 
 y  
2

x
x
 x  y do 5    3   1  0 vô nghiệm
 y
 y
Với x  y  2 x 2  y 2  1  x 2  1  x  y  1
2
2

17  x  y   3xy  2 x  y
Bài toán 10: Giải hệ 

2

 x  3  10  y  x  7 y  11

Giải

 x  3
 y  10

Điều kiện: 

Từ phương trình thứ nhất ta biến đổi thành phương trình:

2 x2   3 y  17  x  y 2  17 y  0 (1)
Xem phương trình (1) là phương trình bậc hai với biến x và y là tham số.





Ta có:    3 y  17   8 y 2  17 y  y 2  34 y  289   y  17 
2

2

Do phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

3 y  17  y  17

x



x  y
4


 y  2 x  17
 x  3 y  17  y  17

4
Do x  3  2 x  6  2 x  17  11  y  11 (vô lý). Vậy y  2 x  17 loại
- Với x  y ta thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình:
x  3  10  x  x 2  7 x  11 (1)
Lúc này ta có điều kiện cho (1) là 3  x  10
Khi đó phương trình (1) trở thành:

x 2  7 x  11  x  3  10  x  0
 5 x 2  35 x  55  5 x  3  5 10  x  0



 



 5  x 2  7 x  6   x  9  5 x  3  16  x  5 10  x  0 (2)
Nhận xét với 3  x  10 ta có: x  9  5 x  3  0; 16  x  5 10  x  0 nên ta
có (2) được biến đổi tương đương với phương trình sau:
196
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831



Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

x2  7 x  6
x2  7 x  6
5 x  7 x  6 

0
x  9  5 x  3 16  x  5 10  x
1
1


  x2  7 x  6  5 

0
x

9

5
x

3
16

x

5

10

x


2

x 1 y 1
 x2  7 x  6  0  
x  6  y  6
2
  y 1
 y  2y  7
2

xy

 x  3x 2  2 

  x3
x
Bài toán 11: Giải hệ  

2 x  1  3x 4  y  x 2 y  72


Giải

x  1
 y  4


Điều kiện: 

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:

2  y  1  x 4 y   x 2  y 2  2 y  7   x 4  3x 2  2 

 x 2  y  1  2  x 4  1  y  1  3x 6  6 x 2  0 (1)
2

Xét phương trình (1) là phương trình bậc hai theo biến y  1 ta có:

 '   x 4  1  x 2  3x6  6 x 2    2 x 4  1
2

2


x4  2
y
1
2
Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
x

 y  3x 2  1
-

Với y  3x 2  1 thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình:


2 x  1  3 x 3 x 2  3  x 2  3 x 2  1  72
 2 x  1  3x 3x 2  3  3 x 4  x 2  72  0
2





x  1  1  3x





3 x 2  3  3  3 x 4  x 2  9 x  70  0


x2  4 
 x2 
3
2
 2

9
x

   x  2   3 x  6 x  13x  35   0

2
 x 1 1

 3x  3  3 


9x  x  2
2
  x  2 

 3x3  6 x 2  13x  35   0
3x 2  3  3
 x 1 1

 x  2  y  13
-

Với y 

x4  2
 1 . Do x  1  y  2
x2
197

LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

x4  2
 1  2   x 2  1 x 2  2   0 luôn đúng x  1
Thật vậy
2

x
 y  4
Do đó từ điều kiện ta có: 
(vô lý)
y


2


 x  x  21  y  x  33  2  y 2  50 

Bài toán 12: Giải hệ 
3

x

2

2
y

11

4
y

x

14




Giải

 x  2

Điều kiện:  y  11
4 y  x  14  0

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành:

x2   y  21 x  2 y 2  33 y  100  0 (1)





Phương trình (1) có    y  21  4 2 y 2  33 y  100   3 y  29 
2

2

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x  y  4
 x  2 y  25

- Với x  2 y  25  0


 x  2
 x  2 y  25  1  x  2 y  9  0 (loại)
y


11


Do 
-

Với y  x  4 ta có phương trình thứ hai được biến đổi thành:

x2 2 x7 

 3x  2 

Điều kiện cho (2) là x 

3

(2)

2
3

Bình phương hai vế của phương trình (2) ta được phương trình tương đương sau:

5 x  30  4 x 2  9 x  14  27 x 3  54 x 2  36 x  8
 4 x 2  9 x  14  27 x3  54 x 2  31x  38

4





x 2  9 x  14  6  27 x3  54 x 2  31x  62

  x  2  x  11 
2
 4
   x  2   27 x  31
2
 x  9 x  14  6 


4 x  44
  x  2 
 27 x 2  31  0 (3)
2
 x  9 x  14  6

198
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

Nhận xét với x 


4 x  44

2
ta luôn có:
3

x 2  9 x  14  6

 5 (*)

Thật vậy ta có:

(*)  4 x  14  5 x 2  9 x  14  9 x 2  113x  154  0
  9 x  14  x  11  0
4 x  44

Vậy ta có:

 27 x 2  31  5  12  31  24  0 với x 

x 2  9 x  11  6
Do đó từ (3) ta có: x  2  0  x  2  y  2

2
3

Bài toán 13: Giải hệ phương trình






 x5   7  4 y  x3   4  y  x 4   4  9 y  x 2  4 y 2  6 y  2 x  2 y 3  2 y 2  2 y  0


4 x  y 2  1  1  5 x  2 y 3  4 y 2  x 4

Giải
2
Điều kiện: x  y  1  0
Nhân xét. Việc phương trình đầu của hệ rất cồng kềnh có dụng ý của tác giả nên suy nghĩ
ngay đến việc rút được y theo x và ngược lại.
Viết lại phương trình thứ nhất của hệ phương trình dưới dạng:

 x  y    x  1

4

 x 2  y 2   y  1

2

0 x y

Thay y  x vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
4 x 2  x  1  1  5 x  2 x3  4 x 2  x 4








 x2  x x2  x  5  4 x2  x  1  1  0
2

1
3
3

Đặt u  x  x  1   x    
khi đó hệ phương trình trở thành:
2
4
2

2

u

2












 1 u 2  6  4u  1  0  u 2  u  1 u 2  u  5  0


1 5
u 
2
 

1  21
u 
2

3
u
2


 2
1 5
1  3  2 5
x 
x

x

1



2
2



 2
1  21
 x  1  19  2 21
 x  x 1 
2


2

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là:
 1  3  2 5 1  3  2 5   1  19  2 21 1  19  2 21 
;

;
;
 

2
2
2
2

 



 x; y   

199
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

43
 3
2
0
2 xy  3 y  4 xy 
Bài toán 14: Giải hệ phương trình 
27
6 x3 y  3xy 3  5 xy  6 x 2 y 2  2 x 2  y 2  1


Giải
Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng:

 3xy  1  2 x2  y 2  xy  1  0  xy 


y

2

1
3


3y2

 1  0,  x, y 
Vì 2 x 2  y 2  xy  1   x    x 2 
2
4

1
3

Thay xy  vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
43
2
4 43
 0  y2  3y2  
0
27
3
3 27
1
1


y   3
 x  1, y   3


y  1
 x  1, y  1



3
3

2 xy. y 2  3 y 2  4 xy 




1  1
 


Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:  x; y    1;   ; 1; 
3
3

 y 2  y 2  2 x 2   x  y 2  1  1  2 x  x 2  x 


Bài toán 15: Giải hệ 

  x, y  R 
1
1
2
2



8  x  6 y  14   3 
2

3
x

11
y

4




Giải

 11
x 
Điều kiện: 
3
 y  2; y  2
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:

y 4   2 x 2  x  y 2  2 x3  2 x 2  x  1  0 (*)



Ta có (*) có:   2 x 2  x




2

 4  2 x3  2 x 2  x  1   2 x 2  x  2 

2

Suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt:

 2 2 x 2  x  2 x 2  x  2
 x 1
y 
2

2
2
 2 2 x  x  2 x  x  2
 2 x 2  1
 y 
2
Ta có y 2  2 x 2  1  0 vô lý
Với y 2  x  1 ta có phương trình thứ hai được viết lại:
200
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

1
1 


8 x 2  48 x  64  3 

0
x3 
 3x  11
3
3
2
  3x  8 
 x2 
(2)
x3
 3x  8  3

3
, t  3
t 3
3
 0, t  3
Ta có: f '  t   2t 
2
2  t  3
Xét hàm số f  t   t 2 

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 1; 
Vậy từ (2) ta có: f  3x  8  f  x   3x  8  x  x  4  y   5
 x 2  2 x   xy  12  2 x 2 y
Bài toán 16: Giải hệ phương trình 
3 3

2
3
 x y  3xy  7 y  1

Giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
x2  2 x  x2 y 2  2 xy  1  2 x2 y  0   xy  x   2  xy  x   1  0
2

  xy  x  1  0  xy  x  1  0  y 
2

Thay y 

x 1
( do x=0 không thỏa hệ phương trình)
x

x 1
vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
x

3
2
3
 x 1
 x 1
 x 1
3
2

3
x 
  3x 
  7
  1  x  x  1  3x  x  1  7  x  1  x
 x 
 x 
 x 
3

2

3

3

  x  x  1  1  8  x  1  x 2  x  1  2  x  1
3

3



1 5
1 5
1 5
;y 
x 
x 
2 

2
2
 x2  x  1  0  


1 5
1 5
1 5
;y 
x 
x 
2
2
2



Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:
1 5 1 5  1 5 1 5 
;
;
 ; 

2
2
2
2 

 


 x; y   

2
2

 x  2 y  10 xy  3x  5 y  9  0
Bài toán 17: Giải hệ  2
2

 x  2 y  xy  x  7 y  6  0

Giải
Phương trình thứ hai trong hệ được biến đổi trở thành phương trình:

x2   y  1 x  2 y 2  7 y  6  0 (1)
201
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com





Phương trình (1) có    y  1  4 2 y 2  7 y  6   3 y  5
2

2


x  2y  3

Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt: 
x   y  2
-

Với x   y  2 thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có phương trình:

2  y

2

 2 y 2  10  2  y  y  3  2  y   5 y  9  0

 13 y 2  32 y  19  0
 y 1 x 1

19
7
y   x 
13
13

- Với x  2 y  3 thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có phương trình:

 2 y  3

2

 2 y 2  10  2 y  3 y  3  2 y  3  5 y  9  0


 14 y 2  7 y  27  0

7  1561
35  1561
x
y 
28
14


7  1561
35  1561
x
y 
28
14


 x  y  6  2  2 y  x  x  4 

Bài toán 18: Giải hệ 
 x, y  R 
12  y  x 
 y4
2 x 5 x  y  3  5 
x3  4







Giải

 2 x  y  x  4   0

5 x  y  3  0
Điều kiện: 
y  4
x  3 4

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có:

x  y  6

 2 x  y  x  4   
2

 x  y  6   4  2 x  y  x  4 
Ta có (1) được biến đổi thành: y 2  2  3x  10  y  5x 2  28x  36  0 (*)
2
2
Từ (*) ta có:  '   3x  10    5 x 2  28 x  36    2 x  8
x y62

(1)

y  x  2


Do đó (*) có hai nghiệm phân biệt: 
 y  5 x  18
Vì 5x  y  3  0  y  5x  3  y  5x  18 loại
202
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

Với y  x  2 phương trình thứ hai trong hệ được biến đổi thành phương trình:

2x 4x  1  x  2 

24
 10 (2)
x3  4

Điều kiện cho (2) là x  2

24
, x  2
x3  4
4x
1
72 x 2
Ta có f '  x   2 4 x  1 

 3
 0, x  2
4x  1 2 x  2 x  4

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2; )
Xét hàm số f  x   2 x 4 x  1  x  2 

Nên phương trình f  x   10 nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất
Mà f  2   10  x  2  y  4
 xy  x  2  0

Bài toán 19: Giải hệ phương trình:v 

3
2
2
2
2 x  x y  x  y  2 xy  y  0

Giải
Bài toán này nhắc đến trong chủ đề phương pháp thế. Tinh ý ta phân tích được phương trình
thứ hai của hệ dưới dạng:

x

2

 y  x2
 y  2 x  y  1  0  
 y  2x  1



Xét từng trường hợp kết hợp với phương trình đầu của hệ ta tìm được các nghiệm:

 1 5
  11  5

;  5  ; 
; 5 
2

  2


 x; y   1;1 ;  

 2 y 2  7 y  10  x  y  3  y  1  x  1

Bài toán 20: Giải hệ 
3
 x  2y
 y 1 
x 1

Giải

2 y  7 y  10  x  y  3  0

x  1  0
Điều kiện: 
y 1 0
x  1  y  1  0

2


Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có:

 x  1

y  1   x  2 y  x  1  3 (1)

Phương trình thứ hai biến đổi trở thành phương trình:

203
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

2 y 2  7 y  10  x  y  3  x  1  y  1
 2 y 2  7 y  10  x  y  3  x 2  2 x  2  y  2  x  1 y  1 (2)
Thế (1) vào (2) ta có:

2 y 2  7 y  10  x  y  3  x 2  2 x  y  2  2  x  2 y  x  1  3
 2 y 2   4  3x  y  x 2  3x  2  0 (3)





Phương trình (3) có    4  3x   8 x 2  3x  2  x 2
2

1


y 1 x

Suy ra phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt:
2

 y 1 x
- Với y  1  x thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình:

 x  1

2  x    x 2  x  1 (4)





Nhận thấy:  x  1 2  x  0;  x 2  x  1  0 . Do đó (4) vô nghiệm
-

Với x  2  2 y thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình:

3  2 y 

y  1  3  4 y   3  2 y   y  1   3  4 y 
2

2

  4 y 2  24 y  21  0



y  0

y  0
6  15
 2
 y 

2
 4 y  24 y  21  0

 y  6  15

2
y  0 x  2
Thử lại ta có nghiệm của hệ: 
 y  6  15  x  3  15

2

 x3  3 y 3  x 2 y  5 xy 2
Bài toán 21: Giải hệ 
 x, y  R 
2
3
x

2
y


1

7

11
y

6
y
x

y

1








Giải

x  0

1

Điều kiện:  y 

2

 x  y  1
204
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

Do y 

1
nên phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:
2
3

2

x x
x
      5   3  0
 y  y
 y
2

x
 x 
   3   1  0  x  3 y
y
 y 

Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình:





2 3 y  2 y  1  11y  7  6 y  2 x  1




2 y  1  2 3

 2 3 y  2 y  1  4  9 y  6 y  2 x  1  2 y  1



 3 y

2



y  2 y 1  8  0

3 y  2 y  1  4

3 y  2 y  1  2 (L)
Với 3 y  2 y  1  4  11y  1  6 y  2 y  1  16  6 y  2 y  1  17  11y


17

y


11

17  11y  0

  y  1  y  1  x  3
2
49 y  338 y  289  0  
289
 y 
49


 x  y  9 x  y   5  3x  y  xy

Bài toán 22: Giải hệ 

2
2

x  3 y  6x  5 y  9  0

Giải
Điều kiện: xy  0
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi trở thành phương trình:


9 x 2  10 xy  y 2  5  3x  y  xy
 9 x 2  6 xy  y 2  5  3x  y  xy  4 xy  0

  3x  y   5  3x  y  xy  4 xy  0
2

  3x  y    3x  y  xy  4  3x  y  xy  4 xy  0
2







 3x  y  xy 3x  y  4 xy  0
3x  y  xy

3x  y  4 xy
205
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com
2

5 y  11y 2

 0 (vô lí)
- Với 3x  y  xy  9 y  5 xy  y  0   3x 

 
6 
36

2

-

2

Với

3x  y  0
3x  y  0
3x  y  0

3x  y  4 xy   2


x  y


2
9 x  10 xy  y  0  x  y  9 x  y   0   y  9 x

- Với x  y thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:

x 1 y 1
2 x  11x  9  0  
9

9
x   y 

2
2
- Với y  9 x thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:
2

242 x2  51x  9  0 (vô lý)
2 xy  y  x  y  5

Bài toán 23: Giải hệ phương trình 

 5  x  1  y  1

Giải
Điều kiện: xy  y  0, y  1, x  5
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
x  y  5
2 xy  y  5  x  y

 4  xy  y   25  10  x  y   x 2  y 2  2 xy

 5  x  1  y  1

6  x  y  2 5  x  5 y  xy  1
x  y  5
x  y  5
 2
 2

2
2
 x  y  2 xy  10 x  6 y  25  0   x  y  2 xy  10 x  6 y  25  0


2 5  x  5 y  xy  x  y  5
2 5  x  5 y  xy  x  y  5
x  5

y  0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:  x; y    5;0 
 x  2 y  xy

Bài toán 24: Giải hệ phương trình 

 x  1  2 y  1  1

Giải
Điều kiện: x  1, y 

1
2

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

206
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831



Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com











 x  y  y  xy  0
 x y
x 2 y 0




 x  1  2 y  1  1
 x  1  2 y  1  1
 x  4 y
 x  4 y


 x  1  2 y  1  1  4 y  1  2 y  1  1
 x  2  x  10
 x  4 y
 x  4 y






1
5
 4 y  1  1  2 y  1
4 y  1  2 y  2 2 y  1
 y  2  y  2



1 
 

5

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:  x; y    2;  ; 10; 
2
2



2 y  x  xy  2 x  4 y  8

Bài toán 25: Giải hệ 
 x, y  R 

2 3 y  x   5 8  3x  3 10  y 
Giải


2 y  x  0

x  2 y
 x  4  y  2   0

8  3x  0
3  y  x   5 8  3 x  0



Điều kiện: 
64
3  y  x   5 8  3x  0 0  x 
3


x

0

2  y  10
 y  10
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:

2y  x 

 x  4  y  2 

  x  4 


 x  4  y  2   2  y  2   0

 x42

 x  4  y  2    x  4  y  2   2  y  2   0





x4 y2





x42 y2 0

 x4  y2  y x2
Thay y  x  2 vào phương trình thứ hai trong hệ phương trình ta có:

2 6  5 8  3x  38  x 
 x  8

2
24  20 8  3x  9  8  x 
Kết hợp với điều kiện đã xét ta có: 0  x  8
Ta có: 24  20 8  3x  9 8  x   20
2






8  3x  2   24  3x   82 


2

207
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com



4 

20 16  3x 
3x



8  3x  2



 16  3x  

 4  3x








 16  3 x  32  3 x 



  32  3 x    0 (*)
8  3x  2



20



20
5


1

2


2
2
8  3x  2
Nhận xét rằng 0  x  8 ta có:  4  3x

8  32  3x  32
20

  32  3x   0 nên
4  3x
8  3x  2













(*)  16  3x  0  x 

16
22
y
3

3

 x  1  y  1  4  x  5 y

Bài toán 26: Giải hệ 

2
 x  y  2  5  2 x  y  1  3x  2

Giải

2

x   3

 y  1

Điều kiện:  4  x  5 y  0
2 x  y  1  0

 x2  y  2  0

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có:

x 1  y 1  4  x  5y
 x y22

 x  1 y  1  4  x  5 y

 x  2 y 1


 x  1 y  1  0

 x 1




 x  1 y  1  2  y  1  0

x 1  y 1





x 1  2 y 1  0

 x 1  y 1  x  y
Thay x  y vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình:
208
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

x 2  x  2  5 x  5  3x  2




 



 x 2  x  1  x  2  5 x  5  x  1  3x  2  0
x2  x  1
x2  x  1
 x  x 1

0
5x  5  x  1
3x  2  x  1
1
1


  x 2  x  1 1 

0
5x  5  x  1
3x  2  x  1 

2

 1 5
1 5
y
x 
2
2

 x2  x  1  0  
 1 5
1 5
y
x 

2
2
3y

5
3

5
x

y

2
x


x
Bài toán 27: Giải hệ 
 x, y  R 
91

y

10

x
3
2
3
 2 x  29  x  2 x  9  y 

x2





Giải

5 x  y  0

Điều kiện: 
29
x  3
2

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:

15 x  5 x 5 x  y  2 x 2  3 y
 3 5 x  y   5 x 5 x  y  2 x 2  0
 3 5 x  y   3x 5 x  y  2 x 5 x  y  2 x 2  0









5x  y  2 x 3 5x  y  x  0

 5x  y  2 x  0
 y  4 x2  5x
Vì 3 5 x  y  x  0, x 

3

29
2

Thế vào phương trình thứ hai trong hệ ta được:

4 x 2  5 x  91
2 x  29  5 x  3x  9 
x2
4 x 2  5 x  91
3
2
3
 2 x  29  5 x  3x  9 
 0 (1)
x2
3

3


2

209
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

4 x 2  5 x  91
29
Xét hàm số f  x   2 x  29  5 x  3x  9 
với x  3
x2
2
3

Ta có: f '  x  

2

3

3x 2
2 x3  29



Do hàm số đồng biến với x 


10 x  3
3 3  5 x 2  3x  9 
3

2



4 x 2  16 x  101

 x  2

2

 0, x  3

29
2

29
2

Nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất
Mà f  3  0  x  3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)  y  21





2

2

 y   x  8 x  2
Bài toán 28: Giải hệ phương trình  2
2

 y  8  4 x  y  5 x  16 x  16  0

Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với:









  y 2   x  8  x 2  2
 x  0; y  4

2
2
 x  2; y  6
 y   x  8  x  2
  y  4  x




2
2
 x  5; y  9
  y   x  8  x  2
 y  5 x  4  y  x  4   0


 x  19; y  99
  y  5 x  4





Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là:  x; y    0; 4  ;  2;6  ;  5;9  ; 19;99 
 x 2  3x  y 2  y  2

Bài toán 29: Giải hệ phương trình 
2
 x  y  x  4 x  5   2  x 

 x  y

2

1

Giải
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
 y  x 1

1 
3

x 2  3x  2  y 2  y   y     x    
2 
2

y  2  x
2

2

Xét từng trường hợp kết hợp với phương trình thứ hai của hệ ta tìm được các nghiệm:

 x; y    0; 2 ;  2;0
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  x; y    0; 2  ;  2;0 

 x3  2 x 2 y  3xy 2  x  y  1  2 y  2 y 2  5 y  1

Bài toán 30: Giải hệ 
2
2
x

17
y

12
 4  x  y  7   x 2  3x  8 y  5 





Giải
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình:

210
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

x3  2 x 2 y  3xy 2  10 y 3  xy  2 y 2  x  2 y  0
 x3  8 y 3  y  2 x 2  3xy  2 y 3   y  x  2 y    x  2 y   0
  x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2   y  x  2 y  2 x  y    x  2 y  y  1  0
  x  2 y   x 2  4 xy  5 y 2  y  1  0





  x  2 y   x  2 y   y2  y  1  0
2

 x  2y
Với x  2 y thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình:

4 y

2


 17 y  12   4  3 y  7   4 y 2  14 y  5 
2

  3 y  7    4 y 2  14 y  5    4  3 y  7   4 y 2  14 y  5 
2

  4 y 2  14 y  5    3 y  7    0
2

 4 y 2  11y  2  0


11  3 17
11  3 17
x
y 
8
4


11  3 17
11  3 17
x
y 
8
4

2
2


x  4 y  5
Bài toán 31: Giải hệ phương trình 

 x  y  1 y  1   y  2  x  y

Giải
Điều kiện: x  y  0, y  1
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
 x 2  4 y 2  5

 x  y  y  1  y  1   y  1 x  y  x  y  0
 x 2  4 y 2  5
 x 2  4 y 2  5


x  y  y 1  0
 x  y  y  1
 x  y y  1  1
 x2  4 y 2  5
 x  1; y  1


 x  1; y  1
 x  1








Đối chiếu với điều kiện suy ra  x; y    1; 1 ; 1;1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:  x; y    1; 1 ; 1;1

211
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

x

2

6
y

 x  2y

y
Bài toán 32: Giải hệ phương trình 
 x  x  2 y  x  3y  2


Giải
Điều kiện: y  0, x  2 y  0, x  x  2 y  0
Hệ phương trình đã cho tương đương với:






 x  2 y  3y
x  2 y  y x  2 y  6 y2  0
x  2y  2y




 x  x  2 y  x  3 y  2
 x  x  2 y  x  3 y  2



Xét trường hợp tìm được các nghiệm của hệ phương trình là:

 x; y   12; 2  ; 

8 4
; 
3 9

Bài toán 33: Giải hệ phương trình

 1  x 2 3
3
 2   xy   y 3
 x 
2


1
4

2
 xy  2   x 2  2 y  x

Giải
Điều kiện: x  0
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

 xy  2  
2

Thay y 

1
xy  2
1
1
1 2

 2.
  xy  2    0  xy  2   0  y  2 
2
x
x
x
x
x

x

2

1 2
 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
x2 x
3

 1  x2 
 1 2 3  1 2
 2   x 2      2  
x 2 x
x
x
 x 

3

x0
 x  x  2   3x 4  4 x3  2 x 2  12 x  6   0 
x  2  y 

3
4

Do 3x4  4 x3  2 x2  12 x  6  0, x




3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    2;  
4



y  x  6  x 1  2 7  x
 x, y  R 
3
3
2
2
2
x

y

y

3
x

y
2
x

3








Bài toán 34: Giải hệ 

Giải

x  1  0
1  x  7


Điều kiện: 7  x  0
y  x  6  0 y  x  6  0

212
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

Phương trình thứ hai trong hệ được biến đổi thành phương trình:

2 x3  y 3  x 2 y 2  3x 2  2 xy  3 y  0
 2 x3  2 xy  3x 2  3 y  x 2 y 2  y 3  0
 2 x  x 2  y   3 x 2  y   y 2  x 2  y   0
  x 2  y  2 x  3  y 2   0 (2)
Do 1  x  7  2 x  3  0  2 x  3  y 2  0 nên từ (2) suy ra y  x 2
Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:


x2  x  6  x  1  2 7  x
 x2  x  6  x  1  2 7  x  0



 



 x 2  x  12  2  x  1  4  2 7  x  0
4  x  3
3 x

0
2  x 1 4  2 7  x
1
4


  x  3  x  4 

  0 (3)
2  x 1 4  2 7  x 

1
4
1
4


 x 11
2
Mà x  4 
2  x 1 4  2 7  x
2  x 1
42 7 x
  x  3 x  4  

1 x 1 2  2 7  x

 0, x   1;7
2  x 1 2  7  x
Do đó từ (3) ta có: x  3  y  9
 x 1

27 x3  2 y 3   y 2  3  3x  2 y   9 xy  3x  y 

Bài toán 35: Giải hệ  1
2y 2
 1
 3  x3 
3 9
 3
Giải
Điều kiện:

2y 2
1
 0 y
3 9

3

Phương trình thứ nhất trng hệ được biến đổi để trở thành:

27 x3  27 x 2 y  9 xy 2  y 3  y 3   y 2  3  3x  2 y   0
  3 x  y   y 3   y 2  3  3 x  2 y   0
3

2
  3 x  y  y   3 x  y   y  3 x  y   y 2    y 2  3   3 x  2 y   0



  3 x  2 y   9 x 2  3xy  2 y 2  3  0
 3x  2 y  0

213
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831


Học trực tuyến miễn phí 100% tại FB Hoàng Hải edu-Xem lịch stream tại Hoctuongtac.com

Với 3x  2 y thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:

1 3
2
1
2
 x  x   1  1  x  3  x3  x  x   0
3

9
3
9
1
2
3
x2  x 
1  x    x3
3
9 0


2
2
1
1
2
1  x   1  x  3  x3  3   x3  x  x  9
3
3

3



9 x2  9 x  2

2
3 1  x   1  x  3



9x2  9x  2

0
2


2
1
1

 x3  3   x3   9  x  x  9 
3


3
 







1
1
0
 9x2  9x  2 

2





2 
1
2
1
3
3
 3 1  x   1  x  3  x  3   x   9  x  x  9  
3


 
3
 
 

1
1

x  y

3
2
 9x2  9x  2  0  
x  2  y 1

3



 x  6 y  8 x  2  x  5 y  5  4 x
Bài toán 36: Giải hệ 
 x, y  R 
2
3
4
y
1

y

3
2
y

1
x

4

x

15







Giải
Điều kiện: x  0
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành:

x x  6 y x  8 x  2 xy  10 y  4 x  5  0
 x x  2 xy  x  3x  6 y x  3 x  5 x  10 y  5  0


 x  2 y  1  5
  x  2 y  1 x  3 x  5   0

x



x  2y 1  3 x



x  2y 1  0

1

y 
 x  2 y 1  
2
x  4 y2  4 y  1

Vì x  3 x  5  0, x  0

214
LỚP TOÁN-LÝ-HÓA CÓ TẠI LONG BIÊN-HOÀN KIẾM-BÁCH KHOA-DT 0966405831