PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ
GIÚP ÍCH CHO CHỨNG MINH HÌNH HỌC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
1.1. Cơ sở lí luận:
Khi chứng minh hình học, trừ một số bài dễ, phần nhiều phải vẽ
thêm đường phụ mới chứng minh được. Vì đường phụ có nhiều loại và
tùy thuộc vào từng bài toán nên không có một phương pháp vẽ cố định,
đó là việc khó trong lúc chứng minh. Do vậy khi gặp bài toán phải vẽ
đường phụ, nhiều học sinh không biết vẽ hoặc vẽ không hợp lí dẫn đến
không giải quyết được bài toán.
Làm thế nào để định hướng cho học sinh cách vẽ đường phụ một
cách hợp lí để giúp ích trong việc chứng minh hình học là điều hết sức
quan trọng, có ý nghĩa thiết thực trong dạy và học học môn hình học
nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và tạo nguồn học sinh khá giỏi.
1.2. Cơ sở thực tiễn:
Qua thực tế giảng dạy môn toán của cá nhân tôi từ năm 2001 tại
trường THCS Cao Bá Quát, qua dự giờ, trao đổi, bàn bạc với đồng
nghiệp tôi nhận thấy có một vấn đề nổi trội là việc tìm ra lời giải cho một
bài toán hình là rất khó khăn đối với học sinh, mặc dù trong quá trình
giảng dạy giáo viên đã cố gắng hướng dẫn, rèn luyện kĩ năng này cho học
sinh, trong đó khó khăn nhất là những bài toán mà muốn tìm ra lời giải
cần phải vẽ thêm đường phụ. Do đó một vấn đề rất cần thiết là định
hướng, rèn luyện cho học sinh cách vẽ đường phụ cho từng bài toán.
Sở dĩ học sinh cảm thấy khó khăn trong việc vẽ đường phụ, thứ
nhất là do học sinh chưa hiểu hết mục đích, ý nghĩa của việc vẽ đường
phụ nên không có định hướng đúng để vẽ đường phụ; thứ hai là học sinh
chưa nắm kĩ các loại đường phụ thường vẽ dẫn đến học sinh vẽ những
đường rất tùy tiện, không giúp ích cho việc chứng minh, không tuân theo
những phép dựng hình cơ bản.
Trang 1

Trên đây là những khó khăn mà giáo viên thường hay gặp trong
quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học, nhất là học sinh ở
vùng nông thôn. Tuy nhiên vấn đề này có thể giải quyết được nếu trong
quá trình dạy học giáo viên thường xuyên hướng dẫn, giúp đỡ, cung cấp
cho học sinh mục đích, ý nghĩa của việc vẽ đường phụ và các loại đường
phụ thường vẽ, khi đó kĩ năng làm toán của học sinh sẽ được nâng lên.
2. Nhiệm vụ của đề tài:
Đề tài “Phương pháp vẽ đường phụ giúp ích trong chứng minh
hình học” nhằm khắc phục những khó khăn nêu trên. Từ đó giáo viên có
thể áp dụng vào giảng dạy nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán
(phân môn hình học); phát hiện, bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
3. Phương pháp tiến hành:
Đề tài này được rút ra từ kinh nghiệm dạy toán của bản thân và có
sự tham gia góp ý của đồng nghiệp. Các giải pháp nêu ra ở đề tài đã đựơc
áp dụng thử nghiệm nhiều năm học.
4. Cơ sở và thời gian tiến hành:
Một thực trạng của học sinh ở trường THCS Cao Bá Quát trước
đây và hiện nay là khả năng tư duy, tìm tòi, phát hiện vấn đề trong chứng
minh hình học còn kém, nhất là viêïc phải vẽ thêm đường phụ để chứng
minh. Do vậy tôi mạnh dạng nêu ra đề tài này nhằm khắc phục những
khó khăn nêu trên. Kinh nghiệm thể hiện trong đề tài được đúc kết qua
giảng dạy môn Toán tại trường THCS Cao Bá Quát.

PHẦN II: KẾT QUẢ
1. Mô tả tình trạng sự việc hiện tại:
Như đã nêu ở trên, với thực trạng học sinh ở trường THCS Cao Bá
Quát hiện nay, các em rất yếu ở khả năng suy luận, tìm tòi, phát hiện vấn
đề, nhất là đối với phân môn hình học của bô môn Toán và đặc biệt là với

những bài toán cần vẽ thêm đường phụ. Việc vẽ đường phụ như thế nào
là tùy thuộc vào từng bài toán mà học sinh suy xét để tìm ra nên các em
thường gặp khó khăn. Hơn nữa đây là vấn đề mà giáo viên thường ít chú
ý rèn luyện cho học sinh một cách có hệ thống. Từ khi áp dụng phương
Trang 2


pháp này vào giảng dạy, học sinh bước đầu đã biết cách suy xét vấn đề
một cách có cơ sở để tìm ra hướng giải quyết bài toán, dần dần học sinh
đã hình thành kĩ năng vẽ đường phụ trong giải toán hình học, nhiều học
sinh trở nên thành thạo.
2. Mô tả nội dung giải pháp mới:
2.1.Mục đích của việc vẽ đường phụ:
Để giúp học sinh có định hướng đúng trong tìm tòi, suy xét, trước
hết giáo viên cần lưu ý học sinh việc vẽ đường phụ nhằm 6 mục đích
dưới đây:
1. Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên
quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới), làm cho
chúng có liên hệ với nhau.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: “Hai đoạn thẳng song song và bằng
nhau thì hình chiếu của chúng trên một đường thẳng thứ ba cũng bằng
nhau”.
B
C
K
M

E

GT: AB=CD, AB//CD


D

A

F

AE, BF, CG, DH đều ⊥ MN

L
G

N
H

KL: EF=GH

Suy xét: Sự bằng nhau của AB và CD và sự bằng nhau của EF và
GH không thấy ngay được là có liên quan với nhau. Hai đoạn thẳng cần
chứng minh bằng nhau là EF và GH. Từ định lí “Những đường thẳng
cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song với nhau”, ta
biết AE // BF // CG // DH và có thể dựng thêm EK // AB, GL // CD để
tạo nên hai hình bình hành. Từ định lí “Các cạnh đối của hình bình hành
bằnh nhau” ta có EK=AB, GL=CD. Như vậy tức là ta đã dời vị trí của
AB và CD đến EK và GL để tạo thành hai cạnh tương ứng của hai tam
giác EKF và GLH trong đó ta cần chứng minh rằng hai đoạn thẳng EF và
GH bằng nhau. Muốn có EF=GH ta chỉ cần chứng minh ∆EKF = ∆GLH.
2. Tạo nên đoạn thẳng thứ ba hoặc góc thứ ba, làm cho hai đoạn
thẳng hoặc hai góc cần chứng minh trở nên có liên hệ
Trang 3



Ví dụ 2:
B

A
E

GT: A +E+C=3600

F

1
2
C

KL: AB // CD
D

Suy xét: Từ E dựng EF // AB, nếu chứng minh được EF // CD thì
sẽ có AB // CD.
3. Tạo nên đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay

1
2

đoạn thẳng hay góc cho trước, để đạt được mục đích chứng minh.
Ví dụ 3: (Tạo nên đoạn thẳng bằng 2 lần đoạn thẳng cho trước)
Chứng minh rằng: “Khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh của tam
giác bằng 2 lần khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đến cạnh

đối diện với đỉnh đó”
B
L

K
F

G

GT: AK, BD là đường cao của ∆ABC

H
A

D E

cắt nhau ở G, đường trung trực
C

HE, HF cắt nhau ở H.
KL: BG=2HE, AG=2 HF.

Suy xét: Muốn chứng minh BG=2HE, ta có thể tìm cách dựng thêm
một đoạn thẳng khác bằng 2HE. Nhưng nếu kéo dài HE gấp đôi để đạt
mục đích trên thì đoạn thẳng đó không có liên hệ gì với BG cả, nên phải
nghĩ cách khác. Từ giả thiết E là trung điểm của AC, ta thử nối CH và
kéo dài đến L sao cho HL=CH. H là trung điểm của CL, HE trở thành
đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác CAL.
Từ định lí “Đường trung bình của một tam giác bằng


1
cạnh thứ
2

ba” ta có LA=2HE. Xét 2 đoạn LA và BG, ta có thể chứng minh chúng là
cạnh đối của một hình bình hành, nên giải được bài này.

Trang 4


4. Tạo nên những đại lượng mới (đoạn thẳng hoặc góc) bằng
nhau; thêm vào những đại lượng bằng nhau mà bài ra đã cho để giúp
cho việc chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: “Trung tuyến thuộc cạnh huyền của
tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền”.
A
1
2E

D

C

B

GT: Trong ∆ABC, C=900; DA=DB.
KL: DC=DA.
Suy xét: Trong bài ra chỉ có một cặp đại
lượng bằng nhau là DA=DB, như vậy
không chứng minh được DC=DA. Ta


lấy trung điểm của AC là E, nối DE thì có thêm một đại lượng mới bằng
nhau là AE=EC. Và từ định lí “Đường trung bình của một tam giác song
song với cạnh thứ ba”, “Góc đồng vị của hai đường thẳng song song hợp
thành với một cát tuyến thì bằng nhau” và “Góc bù với góc vuông cũng
là góc vuông” ta sẽ có DE // BC; E1=C=900=E2, như vậy, lại được thêm
một cặp đại lượng mới bằng nhau. Ta có thể chứng minh ∆ADE = ∆CDE
để rút ra DC=DA.
5. Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lí đặc biệt
nào đó.
Ví dụ 5: Từ 3 đỉnh của một tam giác hạ các đường vuông góc
xuống một đường thẳng ở ngoài tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ
dài của ba đường vuông góc đó gấp 3 lần độ dài của đoạn thẳng vuông
góc hạ từ trọng tâm của tam giác xuống cùng đường thẳng đó.
A
F
B

H

O

M
D

N

GT: Trong ∆ABC, trung tuyến AD, BE,

E


CF gặp nhau tại O.
C

I G P K

AG, BH, CK, OI đều ⊥ xy.
KL: AG+BH+CK=3 IO

Trang 5


Suy xét: Bài này nếu muốn áp dụng trường hợp thứ ba để tạo nên
một đoạn thẳng bằng tổng 3 đoạn thẳng kia thì không sao làm được, ta
phải nghĩ đến cách khác. Từ định lí “Những đường thẳng cùng vuông
góc với một đường thẳng cho trước thì song song với nhau”, ta biết 4
đường thẳng đó song song với nhau. Và từ định lí “Trọng tâm của một
2
trung tuyến hạ từ đỉnh đó xuống
3

tam giác cách đỉnh một đoạn bằng

cạnh đối diện”; biết BO=2 BE, ta có thể lấy trung điểm của BO là M,
dựng MN ⊥ xy, EP ⊥ xy, tạo nên hình thang MNPE, BHIO, AGKC, có
OI, MN, EP song song với nhau và là đường trung bình của các hình
thang trên. Ta có thể áp dụng định lí “Đường trung bình của hình thang
bằng

1

tổng của hai đáy” và chứng minh được bài trên.
2

6. Biến đổi hình vẽ làm cho bài toán dễ chứng minh hơn trước.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: “Một tam giác có hai cạnh không bằng
nhau thì tổng của cạnh lớn và đường cao thuộc cạnh ấy lớn hơn tổng của
cạnh bé và đường cao thuộc cạnh đó”
A
E

G
D

GT: Cho ∆ABC, AB>AC; BD, CE là

F
H

B

C

đường cao.
KL: AB+CE > AC+BD.

Suy xét: Nếu tạo nên một đoạn thẳng bằng AB+CE và một đoạn
thẳng khác bằng AC+BD thì không chứng minh được. Do đó ta phải biến
đổi kết luận của bài ra: chuyển vế bất đẳng thức của kết luận, ta sẽ được
AB-AC > BD-CE. Trên cạnh lớn AB ta lấy AF=AC, thì BF=AB-AC;
dựng FG ⊥ AC, FH ⊥ BD tạo nên một đoạn BH=BD-HD=BD-CE. Như

vậy là ta đã đổi bài tập trên thành một bài tập khác phải chứng minh BF >
BH.
2.2. Các loại đường phụ thường vẽ:
Giáo viên cần cung cấp cho học sinh 10 loại đường phụ thường vẽ
sau đây:
Trang 6


1. Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý, hoặc bằng
một độ dài cho trước, hoặc cắt một đường thẳng khác.
2. Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm cố định (gồm cả trung
điểm của đoạn thẳng cố định), điểm nằm trên một đoạn thẳng cho trước
và cách một đầu của đoạn thẳng đó một khoảng cho trước.
3. Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường
thẳng cho trước, hoặc dựng đường song song với một đường, mà ta cần
chứng minh đường thẳng này song song một với đường thẳng nào đó.
4. Từ một điểm cho trước hạ đường vuông góc xuống một đường
thẳng cho trước.
5. Dựng đường phân giác của một góc cho trước .
6. Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với
một đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
7. Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho
trước.
8. Bài ra cho hai đường tròn giao nhau thì kẻ được dây cung chung
9. Bài ra cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ta có thể dựng tiếp
tuyến chung hoặc đường nối tâm.
10. Nếu có bốn điểm nằm trên một đường tròn thì qua bốn điểm đó
có thể dựng thêm đường tròn phụ.
2.3. Các ví dụ cụ thể:
1. Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý, hoặc bằng

một độ dài cho trước, hoặc cắt một đường thẳng khác.
Ví dụ 7:
Chứng minh rằng: “Khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh của tam
giác bằng 2 lần khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đến cạnh
đối diện vớiBhình đó”
K

L

GT: AK, BD là đường cao của ∆ABC

F

G

cắt nhau ở G, đường trung trực

H
A

D E

HE, HF cắt nhau ở H.
C

KL: BG=2HE, AG=2 HF.
Trang 7


Suy xét: như ví dụ 3.

CHỨNG MINH
1. Nối CH và kéo dài một đoạn

LÍ DO

HL=CH, nối LA, LB.
2. LA // HE

2. Đoạn thẳng nối liền trung điểm
hai cạnh của tam giác thì song
song cới cạnh thứ ba.
3. Hai đường cùng vuông góc với

3. BD // HE

đường thứ ba thì song song với
nhau.
4. Nên LA // BD.

4. Suy ra từ 2 và 3.

5. Tương tự ta có LA // BD.

5. Theo cách chứng minh từ 2 đến
4.

6. Tứ giác LAGB là hình bình 6. Tứ giác có các cạnh đối diện
song song với nhau là hình bình
hành
hành.

7. BG = LA

7. Cạnh đối của hình bình hành.

8. LA = 2 HE

8. Theo định lí đường trung bình
của tam giác và 1.

9. BG = 2 HE

9. Thay 7 vào 8

10. Tương tự ta có AG = 2 HE

10. Theo cách chứng minh từ 7

đến 9.
2. Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm cố định (gồm cả trung
điểm của đoạn thẳng cố định), điểm nằm trên một đoạn thẳng cho trước
và cách một đầu của đoạn thẳng đó một khoảng cho trước.
Ví dụ 8:
Cho tam giác cân ABC đáy BC, lấy trên AB kéo dài một đoạn BD
= AB. Chứng minh rằng
trung tuyến CE =
A
E

GT: AB = AC, kéo dài AB, và BD = AB


B 1
2

C
F

D

1
CD.
2

Nối CD và CE.
KL: CD = 2 CE.
Trang 8


Suy xét: Muốn có CD = 2.CE, phải có một trong hai điều kiện dưới
đây:
a)

1
độ dài CD = độ dài CE.
2

b) 2 lần độ dài CE = độ dài CD.
Nếu lấy trường hợp a) để có

1
CD = CE, thì phải chia đôi CD ở F,

2

và nghiên cứu xem có hợp với một trong hai điều kiêïn sau đây hay
không:
i)

CF = CE

ii)

DF = CE

Ta có thể chứng minh được CE = CF bằng cách chứng minh ∆CBF
= ∆CBE ( BC chung, BE = BF, B 2 = B1 ). Do đó chứng minh được bài tập
trên.
CHỨNG MINH
1. Chia đôi CD tại F, nối BF.

LÍ DO

2. Vì AB = BD, CF = FD

2. Theo giả thiết và suy từ 1.

3. Do đó BF // AC

3. Đường thẳng đi qua trung điểm
của hai cạnh của một tam giác thì
song song với cạnh thứ ba và
bằng


4. Từ B1 = ACB = B2

1
cạnh đó.
2

4. Hai góc đáy của một tam giác
cân bằng nhau; góc so le trong
bằng nhau.

1
2

1
2

5. và BF = AC= AB=BE

5. Suy từ 3 và giả thiết.

6. BC = BC

6. Không đổi.

7. Có : ∆CBF = ∆CBE

7. c-g-c

8. CF = CE


8. Hai tam giác bằng nhau thì các
yếu tố tương ứng cũng bằng nhau.

9. Vậy CD = 2 CE.

9. Suy từ 8 và giả thiết.
Trang 9


3. Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường
thẳng cho trước, hoặc dựng đường song song với một đường, mà ta cần
chứng minh đường thẳng này song song với một đường thẳng nào đó.
Ví dụ 9:
Chứng minh rằng: “Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì
hình chiếu của chúng trên một đường thẳng thứ ba cũng bằng nhau”.
B
A

C
K

M

E

F

D


GT: AB=CD, AB//CD

L
G

N
H

AE, BF, CG, DH đều ⊥ MN
KL: EF=GH

Suy xét: như ví dụ 1.
CHỨNG MINH
1. Dựng EK // AB, GL // CD
2. AE // BF, CG // DH

LÍ DO
2. Hai đường thẳng cùng vuông
góc với đường thẳng khacù thì
song song với nhau.

3. Ta có các tứ giác AEKB, 3. Một tứ giác có hai cặp cạnh đối
CGLD là các hình bình hành.

song song với nhau là hình bình
hành.

4. EK= AB = CD = GL

4. Cạnh đối của hình bình hành thì

bằng nhau và suy từ giả thiết.

5. EK // GL

5. Suy ra từ giả thiết và 1: hai
đường cùng song song với hai
đường thẳng khác song song với
nhau thì cũng song song với nhau

6. Ta rút ra KEF = LGH

6. Góc đồng vị của hai đường
thẳng song song với một cát tuyến
thì bằng nhau.

7. EFK = GHL

7. Góc vuông bằng nhau.

8. Vậy ∆EFK = ∆GHL

8. Trường hợp bằng nhau của tam
giác vuông
Trang 10


9. EF = GH

9. Hai tam giác bằng nhau thì
cạnh tương ứng của chúng cũng


bằng nhau.
4. Từ một điểm cho trước hạ đường vuông góc xuống một đường
thẳng cho trước.
Ví dụ 10:
Chứng minh rằng: “Một tam giác có hai cạnh không bằng nhau thì
tổng của cạnh lớn và đường cao thuộc cạnh ấy lớn hơn tổng của cạnh bé
và đường cao thuộc cạnh đó”
A
E

GT: Cho ∆ABC, AB>AC; BD, CE là

G
D

đường cao.

F
H

B

C

KL: AB+CE > AC+BD.

Suy xét: như ví dụ 6.
CHỨNG MINH
1. Trên AB lấy AF = AC


LÍ DO

Nối FC, dựng FG ⊥ AC, FH

⊥ BD
2. Vì FG // BD, FH // AC

2. hai đường thẳng cùng vuông
góc với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.

3. Nên tứ giác FHDG là hình bình 3. Tứ giác có hai cặp cạnh đối
song song với nhau là hình bình
hành.
hành.
4. FG = HD

4. Cạnh đối của hình bình hành
bằng nhau.

5. FG = CE

5. Đường cao hạ đến hai cạnh bên
của tam giác cân bằng nhau.

6. HD = CE

6. Suy ra từ 4, 5.


7. BH = BD – HD = BD – CE

7. Suy từ 6
8. Suy từ 1 và giả thiết.
Trang 11


8. BF = AB – AF = AB – AC

9. Theo cách dựng ở 1

9. Vì FHB = 900

10. Trong tam giác vuông thì cạnh

10. Nên ta có BF > BH

huyền lớn nhất.
11. Thay 7, 8 vào 10
12. Chuyển vế các số hạng.

11. Hay AB – AC > BD – CE

12. Vậy AB + CE > AC + BD.
5. Dựng đường phân giác của một góc cho trước .
Ví dụ 11:
Chứng minh rằng “Góc xen giữa cạnh đáy và đường cao của cạnh
bên trong một tam giác cân bằng một nửa góc ở đỉnh”.
A


GT: Trong ∆ABC: AB = AC, CD ⊥ AB

2
D
B

KL: DCB =
3

4

E

1

1
A
2

C

Suy xét: Muốn có DCB =

1
A, ta có thể vẽ đường phân giác của
2

góc A là AE, ta cần phải chứng minh C1 = BAE hoặc C1 = CAE.
Ta có thể chứng minh được C 1 = BAE bằng cách dựa vào sự bằng
nhau của các góc của 2 tam giác ABE và CBD. Do đó chứng minh được

bài tập trên.
CHỨNG MINH

LÍ DO

1. Dựng phân giác của góc A là AE
2. Thì AE ⊥ BC

2. Trong tam giác cân, đường
phân giác góc ở đỉnh vừa là
đường cao

3. D3 = E4

3. Góc vuông bằng nhau

4. B = B

4. Không đổi

5. C1 = A2

5. Hai tam giác có hai cặp góc
tương ứng bằng nhau từng đôi
một thì cặp góc thứ ba cũng bằng
nhau.
Trang 12


6. A2 =


6. Theo 1

1
A
2

7. Vậy C1 =

1
A
2

7. Theo 5 và 6.

6. Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với
một đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
Ví dụ 12:
Chứng minh rằng: “Góc xen giữa cạnh đáy và đường cao của cạnh
bên trong một tam giác cân bằng một nửa góc ở đỉnh”
A
E
5
D 4
3
B

GT: Trong ∆ABC: AB = AC, CD ⊥ AB
KL: DCB =
2

1

1
A
2

C

Suy xét: Để chứng minh DCB =

1
A, ta có thể từ C dựng đường
2

CE sao cho C1 = C2, khi đó ta có DCB =

1
BCE, ta cần chứng minh BCE
2

= A.
Ta có thể chứng minh BCE = A bằng cách dựa vào sự bằng nhau
của các góc của 2 tam giác EBC và ABC. Do đó chứng minh được bài
tập trên.
Chứng minh
1. Từ C dựng đường CE sao cho

Lí do

C1 = C2

2. D3 = D4; CD = CD

2. Góc vuông bằng nhau; không
đổi

3. ∆BCD = ∆ECD

3. g-c-g

4. E5 = B

4. Hai góc tương ứng của hai tam
giác bằng nhau thì bằng nhau.

5. Mà B = C

5. Góc đáy của tam giác cân thì
Trang 13


bằng nhau
6. BCE = A

6. Trong tam giác ABC và tam
giác CBE có hai cặp góc bằng
nhau từng đôi một thì cặp góc thứ
ba cũng bằng nhau.

7. 2C1 = A


7. Thay 1 vào 6

8. Vậy C1 =

8. Chia cả hai vế của 7 cho 2

1
A
2

7. Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho
trước
Ví dụ 13:
Cho hình vẽ. BD và CE là đường cao của tam giác ABC, O là tâm
của đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: AO ⊥ DE
F
1

E
O
B

A

GT: O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

D
C

BD ⊥ AC, CE ⊥ AB

KL: AO ⊥ DE

Suy xét: Muốn có AO ⊥ DE, ta có thể dựng đường thẳng vuông
góc với AO và chứng minh đường thẳng này song song với DE. Do đó ta
có thể dựng tiếp tuyến AF của đường tròn tại A, khi đó ta có OA ⊥ AF,
ta cần chứng minh DE // AF.
Ta có tứ giác BEDC nội tiếp nên BED + BCA = 180 0 mà BED +
AEC = 1800, suy ra BCA = AED. Ta lại có BCA = BAF nên BAF =
AED, do đó AF // DE.
CHỨNG MINH
1. Dựng tiếp tuyến AF của

LÍ DO

đường tròn tại A.
2. BEC = 900; BDC = 900

2. Giả thiết

3. Suy ra tứ giác BEDC nội tiếp

3. Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn
cạnh còn lại dưới góc vuông.

4. Suy ra BED + BCA = 1800

4. Tổng hai góc đối của tứ giác
nội tiếp.
Trang 14



5. Ta lại có BEC + AED = 1800

5. Hai góc kề bù

6. BCA = AED

6. Suy từ 4 và 5

7. Mà BCA = BAF

7. Góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp
tuyến và dây cung cùng chắn một
cung

8. Suy ra BAF = AED

8. Suy từ 6 và 7

9. Do đó AF // DE

9. AB cắt AF và DE tạo ra cặp
góc so le trong bằng nhau.

10. Do AO ⊥ FA
10. Suy ra AO ⊥ DE
8. Bài ra cho hai đường tròn giao nhau thì kẻ được dây cung
chung.
Ví dụ 14:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Vẽ các đường

kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B D
thẳng hàng.
A
O
C

GT: (O) và (O’) cắt nhau ở A và B

O'
B

D

KL: C, B, D thẳng hàng.

Suy xét: Để chứng minh C, B, D thẳng hàng, ta có thể từ B kẻ BA
và chứng minh 2 góc tạo bởi BA và hai tia BC, BD kề bù.
Vì ABC = ABD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên
ABC + ADC = 1800.
CHỨNG MINH
1. Nối BA, BC, BD
2. ABC = ABD = 900

LÍ DO
2. Góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn

3. CBD = 1800

3. CBD = ABC + ABD


4. C, B, D thẳng hàng
4. Suy từ 3.
9. Bài ra cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ta có thể dựng tiếp
tuyến chung hoặc đường nối tâm.
Trang 15


Ví dụ 15:
Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại P, dây cung AB của một
đường tròn kéo dài tiếp xúc với đường ròn kia tại C, kéo dài AP đến D.
Chứng minh BPC = CPD.
A

BE
1

C

GT: P là tiếp điểm của hai đường tròn.

2

P

AB là dây cung của đường tròn lớn;
D

ABC là tiếp tuyến của đường tròn
nhỏ tại P.

KL: BPC = CPD

Suy xét: Hai góc mà ta cần chứng minh không phải là góc nội tiếp
hoặc góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung, chúng không có mối liên quan
nên không thể dùng các phương pháp chứng minh góc bằng nhau để
chứng minh được. Ta có thể dựng tiếp tuyến chung PE, ta được P 1 = A,
P2 = C; cộng hai vế trái với nhau ta được tổng của P 1 và P2 là BPC; cộng
hai vế phải với nhau (A và C) ta được tổng của hai góc này là góc ngoài
CPD của tam giác ACP. Như vậy là đã giải quyết được vấn đề.
CHỨNG MINH
1. Dựng tiếp tuyến chung của hai

LÍ DO

đường tròn qua P cắt AC tại E
2. Vì EP = EC

2. Hai tiếp tuyến của đường tròn
cắt nhau tại một điểm thì điểm đó
cách đều hai tiếp điểm.

3. Nên P2 = C

3. Góc đáy của tam giác cân bằng
nhau.

4. Vì P1 = A

4. Góc giữa tiếp tuyến và một dây
qua tiếp điểm và góc nội tiếp cùng

chắn một cung.

5. Ta có: BPC = A + C

5. Suy từ 3 và 4

6. Nhưng CPD = A + C

6. Góc ngoài của tam giác bằng
tổng hai góc trong không kề với
Trang 16


nó.
7. Vậy BPC = CPD
7. Suy từ 5 và 6.
10. Nếu có bốn điểm nằm trên một đường tròn thì qua bốn điểm đó
có thể dựng thêm đường tròn phụ.
Ví dụ 16:
Cho tam giác ABC, các đường cao BH, CK. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) HK < BC.
A

GT: ∆ABC, BH ⊥ AC, CK ⊥ AB

H

K
B


C

I

KL: a)B, C, H, K cùng thuộc một đường
tròn
b) HK < BC

Suy xét: Ở câu b), để chứng minh HK < BC, ta có thể vận dụng kết
quả câu a): 4 điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn; nếu vẽ đường
tròn đi qua 4 điểm B, C, H, K, ta có HK là dây cung còn BC là đường
kính nên suy ra được điều phải chứng minh.
CHỨNG MINH
a) 1. Gọi I là trung điểm của BC,
ta có IH =
2. IK =

LÍ DO
1. Tam giác BHC vuông tại H.

1
BC
2

1
BC
2

2. Tam giác BKC vuông tại K


3. Suy ra: IB = IK= IH = IC, hay 4 3. Suy ra từ 1 và 2.
điểm B, C, H, K cùng thuộc một
đường tròn
b) 1. Vẽ đường tròn tâm I đường
kính BC
2. HK < BC

2. HK là dây không đi qua tâm

còn BC là đường kính
Để vận dụng phương pháp này có hiệu quả, vào đầu năm học giáo
viên cần lưu ý học sinh về phương pháp học tập bộ môn, chú trọng
phương pháp vẽ đường phụ trong chứng minh hình học.
Trang 17


Khi giảng dạy các bài tập chứng minh hình học, giáo viên chú
trọng hướng dẫn học sinh cách suy xét vấn đề, định hướng cho học sinh
cách vẽ đường phụ hợp lí; thường xuyên ra hệ thống bài tập có vẽ nhiều
loại đường phụ khác nhau, có hướng dẫn cụ thể để học sinh luyện tập
thêm ở nhà, giáo viên kiểm tra, sữa chữa, uốn nắn kịp thời những sai sót.
Về phía học sinh, các em phải tuân theo sự chỉ dẫn của giáo viên, chú ý
nắm bắt vấn đề để vận dụng có hiệu quả, thường xuyên rèn luyện để hình
thành kĩ năng vẽ đường phụ giúp ích cho việc giải qyết các bài toán.
2.4. Kết quả thực hiện:
Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS Cao Bá Quát, tôi nhận
thấy rằng, mới đầu khi vận dụng phương pháp vẽ đường phụ để hướng
dẫn học sinh chứng minh hình học, đa số học sinh cảm thấy thích thú, có
kĩ năng vận dụng để làm bài tập. Tuy nhiên, vẫn còn một bộ phận học

sinh gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng vào giải quyết từng bài toán
cụ thể. Dần dần khi đã triển khai, rèn luyện nhiều, kĩ năng vẽ đường phụ
của học sinh được nâng lên rõ rệt.
Phương pháp này đưa ra mục đích của việc vẽ đường phụ, cách
suy xét vấn đề và các loại đường phụ thường vẽ có ví dụ minh họa nhằm
giúp học sinh vẽ được những đường phụ hợp lí, giúp ích cho việc chứng
minh.
Sau một thời gian triển khai phương pháp, qua trò chuyện với học
sinh tôi được biết có nhiều học sinh có kĩ năng vận dụng phương pháp vẽ
đường phụ vào giải toán một cách thành thạo, các em cảm thấy tự tin,
hứng thú hơn trong học tập. Từ khi triển khai phương pháp này, kết quả
học tập của học sinh có sự tiến bộ rõ nét, lực lượng học sinh khá giỏi của
trường không ngừng được nâng lên về số luợng và chất lượng.

PHẦN III: KẾT LUẬN
1. Khái quát các kết luận:
Trang 18


Các cách giải toán hình rất nhiều, các cách chứng minh cũng rất đa
dạng, người học muốn làm được bài tập phải biết cách suy xét vấn đề,
phân tích các mối liên quan, tìm ra mấu chốt của vấn đề để tháo gở, đây
là một trở ngại đùối với học sinh. Do vậy giáo viên cần có sự định
hướng, cung cấp cho học sinh những qui tắc, phương pháp làm bài tập
đồng thời phát huy ở học sinh năng lực sáng tạo, vận dụng linh hoạt các
định lí và các phương pháp chứng minh.
Một trong những khó khăn đối với học sinh khi chứng minh hình
học là khi gặp những bài toán có vẽ thêm đường phụ. Do vậy việc rèn
luyện cho học sinh kĩ năng vẽ đường phụ một cách có cơ sở như cho học
sinh thấy được mục đích của việc vẽ đường phụ, cung cấp cho học sinh

các loại đường phụ nhằm giúp học sinh có định hướng đúng trong việc
vẽ đường phụ như trong đề tài đã nêu là điều thật sự cần thiết.
2. Lợi ích, khả năng vận dụng:
Khi nắm được mục đích của việc vẽ đường phụ, biết được các loại
đường phụ thường vẽ sẽ giúp học sinh có được tư duy hợp lí, biết cách
suy xét bài toán và tìm ra cách giải quyết các bài toán có vẽ thêm đường
phụ, tránh được những sai lầm. Qua đó tạo cho học sinh sự tự tin, say
mê, yêu thích môn học.
3. Đề xuất, kiến nghị:
Để phát huy hiệu quả của phương pháp vẽ đường phụ nêu trên, bản
thân xin được kiến nghị với Ban Giám Hiệu nhà trường chỉ đạo cho giáo
viên bộ môn Toán áp dụng thường xuyên vào giảng dạy phân môn hình
học nhằm góp phần nâng cao chất lượng học sinh và bồi dưỡng đội ngũ
học sinh khá giỏi của trường.
Chư Sê, ngày 20 tháng 01 năm 2009
Người viết
Phạm Bảo Quốc

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 19


1/ Sách giáo khoa Toán 9 Tập 1, 2– NXB Giáo dục.
2/ Sách giáo viên Toán 9 Tập 1, 2 – NXB Giáo dục
3/ Định lí hình học và các phương pháp chứng minh – NXB
Giáo dục.

Trang 20