các hệ phương trình thi đại học cólờigiải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.79 KB, 40 trang )
Ví Dụ 1:
x + y + 2 y = 4
2
x
+
y
+
xy
=
4
2
2
⇔
( x + y ) − 2 xy + 2 y = 4
4
x
+
2
y
+
2
xy
=
8
2
( x + y ) + 4 y + 4 x = 8
⇔
4 x + 2 y + 2 xy = 4
2
( x + y ) + 4( x + y ) = 12
⇔
4 x + 2 y + 2 xy = 4
x+ y =2
⇔ x + y = −6
4 x + 2 y + 2 xy = 4
x+ y =2
4
x
+
2
y
+
2
xy
=
4
⇔
x + y = −6
4
x
+
2
y
+
2
xy
=
4
2
y = 2− x
⇔
4 x + 2( 2 − x ) + 2 x ( 2 − x ) = 4
y = −6 − x
⇔
4 x + 2(−6 − x) + 2 x(−6 − x) = 4
y = 2 − x
x = 2
⇔
x = 1
y = −6 − x
⇔
x
∈
φ
y = o
x
=
2
⇔
y =1
x
=
1
Nhận xét :Bài toán nhìn chung dễ cần khéo léo tạo ra được phương trình bậc 2 có ẩn là (x+y).Đây là
chìa khóa của bài toán.
Ví Dụ 2:
1 1
2
( x − y ) = −
x y ( x, y ≠ 0)
x − y = xy − 2
y−x
2
( x − y ) =
⇔
xy
x − y = xy − 2
(!)
+Đặt x-y=a;xy=b.Hệ phương trình (!) trở thành
a b + a = 0
⇔
a
=
b
−
2
a (ab + 1) = o
⇔
a
=
b
−
2
2
a=o
b
−
2
=
o
⇔
ab + 1 = o
a = b − 2
a = o
b
=
2
⇔
(b − 2)b + 1 = o
a
=
b
−
2
x − y = o
xy
=
2
⇔
2
(b − 1) = o
a
=
b
−
2
x= y
2
x
=
2
⇔
2
(b − 1) = o
a
=
b
−
2
b =1
⇔ a = −1
x = y = ± 2
x − y = −1
⇔ xy = 1
x = y = ± 2
2 x +2 2t x = 6
x⇔
+2 y
y =
= 6x + 1
2
2 2
2
x
t
−
t
x =3
2
⇔
2
xy
−
y
=
3
2
x
(
x
+=11) (=
1
1
+
2
t
2
2
x −64 xy +x 24 ∗y) = 0
⇔⇔
2
21
2
t
−
t
y
=
x
4
xy
−
y
= 61
= 2+
⇔ 2 3 2 x
(x
2y ) = 0
2
x3 −
2+
x
−
1
=
o
+
6
t
=
12
t
−
6
t
⇔⇔ 2
2
x
+
2
y
(
∗)= 0
−
121y± 5
x =xt =
=
⇔
⇔⇔(2 y ) 2 1+ 222 y 22= 6
2
Nhận
xét:Bài toán thuộc
dạng cho học sinh
khá giỏi. Cách đặt
tổng tích ta có thể
đưa về phương
trình đơn giản bậc
hai cơ bản để giải.
Ví Dụ
3:
Nhận
xét:Đây là bài toán
của hệ đẳng cấp
nhưng ta có thể
phát triển thành
nhiều cách khác
.Tiêu biểu là cách
đưa về phương
trình bình phương
bằng 0 ,ta còn có
thể giải bằng
phương pháp chân
phương của hệ đẳng
cấp.Sau đây là cách
giải chân phương .
Cách khác
Với x=o,hệ vô
nghiệm .Với x 0
Đặt y=tx hệ
trở thành
Vậy hệ
có nghiệm giống
với phương trình
đầu.Với cách đặt
2
2
y = x + 1
−1+ 5
x =
2
y
=
−
1
x
=
2
⇔
1
+
5
xx =
=
2
(
1
)
−
2
⇔ y =
y 1= 1
t =
2
2
⇔
x = −2x−
=1
2 − 5
x = 1
y−=12 × = 1
y=
2 2
⇔⇔
x = 2x = −2
yy == 11 × (1
−
5
−
2
)
=
−
1
y 2=
2
1 + 2( 2 )
1
=
x = 26y
2
x
⇔ 2
yx 2 == 14
1
⇔
t
=
x = 22(−1)
≠
như thế ta có thể giải các hệ phương trình đẳng cấp .Xem xét và đưa ra kết luận các biến đều chung một bậc
và cách đặt khéo léo y=tx ta có thể đưa về phương trình đơn giản để giải.
Ví Dụ 4:
x − 3 xy + 2 y = 3
⇔
2
5
xy
−
3
y
=
−
2
2
Với
x=o suy ra hệ vô
nghiệm.Với x0
Đặt y=tx
phương
trình trở
thành
2
≠
1 − 3t + 2t 2 1
= 2
x
⇔ 2 3
3t − 5t = 1 (∗)
2
x2
x − 3x t + 2 x t = 3
⇔
2
2 2
5
x
t
−
3
x
t
=
−
2
2
2
(1 − 3t + 2t 2 ) × 2 = 3 × (3t 2 − 5t )
⇔
(∗)
t=2
x = −1
t = 2
x = 1
−1
t =
5
⇔
Nhận
5 14
xét:với cách nhìn
x
=
nhận đúng đắn ta
14
thấy hệ trên số bậc
của từng biến bằng
−1
nhau nên ta nghĩ
t
=
ngay đến hệ đẳng
cấp.
5
x = − 5 14
Ví Dụ 5
14
x =1
y = 2
x = −1
y = −2
x = 5 14
14
⇔
− 14
y
=
14
− 5 14
x =
14
14
y
=
14
2 2
≠
y −x =7
2
2
2
x
y
+
3
xy
=
16
3
3
(+)
Với x=0 suy ra phương trình vô nghiệm với x0
Đặy y=tx suy ra hệ trở thành
t x −x =7
⇔ 3
3 2
2
x
t
+
3
x
t
=
16
3 3
3
(+)
t −1 1
=
3
7
x
⇔
2
2
t
+
3
t
1
= 3
16
x
3
16t − 21t − 14t − 16 = 0
3
⇔
t −1 1
=
(
∗
)
3
7
x
3
2
t=2
2
⇔ 16t + 11t + 8 = 0
(∗)
t = 2
⇔ t ∈ φ
(∗)
t = 2
⇔
x = 1
x =1
⇔
y = 2
Nhận xét:Hệ áp dụng công thức tổng quát và đưa về hệ cơ bản .Chúng ta có thể giải hệ đưa về tích
hoặc dùnh casio.
Sau đây là dạng tổng quát công thức cho hệ đẳng cấp:
ax + bxy + cy = d
• 2
→
2
dx
+
exy
+
fy
=
p
2
Xét hệ khi x=0 hệ vô nghiệm
2
•x≠0
Đặt y=tx,ta được hệ theo
k và x
Gỉai phương trình tìm
được k và x.Từ đó suy ra
•
x và y .
*Ở phần trên đã có nhiều bài tham khảo cho hệ đẳng cấp .
Bài tập áp dụng
( x − y )( x + y ) = 13
2
2
(
x
+
y
)(
x
−
y
)
=
25
2
2
Ví Dụ 6
x + xy = 10
3
2
y
+
x
y
=
8
3
Ví Dụ 7
2
x − 3 xy + y = −1
2
2
3
x
+
11
xy
−
8
y
=
6
2
Ví Dụ 8
Ví Dụ 9:
2
x 3 + xy 2 = 10 y
⇔ 3
2
y
+
x
y = 10 x(•)
( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) − xy ( x − y ) = −10( x − y )
⇔
(•)
( x − y )( x 2 + xy + y 2 − xy + 10) = 0
⇔
(•)
x= y
2
⇔ x + y 2 + 10 = 0(!)
(•)
x= y
⇔ 3
2
y
+
x
y = 10 x
x= y
⇔ 3
2 y − 10 y = 0
y = 0
⇔ y = ± 5
x= y
x = 0
y = 0
x = 5
⇔
y = 5
x = − 5
y = − 5
NHẬN XÉT
:Phương trình
2 x 2 + 3 x 2 k + x 2 k 2 = 12
⇔ 2
2
2 2
x − x k + 3 x k = 11
2 + 3k + k 2 1
= 2
12
x
⇔
2
1 − k + 3k = 1 (%)
11
x2
2 x + 3 xy + y = 12
2
2
x
−
xy
+
3
y
=
11
2
trên có thể sử
dụng cách ép
nhân tử để làm .
Ví Dụ 10:
Với x=0 suy ra hệ
vô nghiệm với x
khac o .Đặt y=kx
hệ trở thành
Nhận xét :Hệ trên
khá đơn giản nếu
như chúng ta nhìn
ra được đây kà hệ
đẳng cấp .Với
cách khác thì hệ
sẽ trở nên rất
phức tạp.Hệ đẳng
cấp đa số chỉ có
một cách giải đơn
giản mà chúng toi
đã nêu ở phần
đầu.
Ví Dụ 11:
2
22 + 33k + 11k 2 = 12 − 12k + 36k 2
⇔
(%)
k = 2
−1
⇔ k =
5
(%)
k =2
x = ±1
⇔ k = − 1
5
x = ± 5 3
3
x =1
y = 2
x = −1
y = −2
x = 5 3
3
⇔
− 3
y
=
3
5 3
x = −
3
3
y
=
3
3 x − 5 xy − 4 y = −3
2
2
9
y
+
11
xy
−
8
x
=
6
2
Với x=o suy ra hệ vô nghiệm với x khác 0 .Đặt y=kx hệ trở thành
2
3 x − 5 x k − 4 x k = −3
⇔ 2 2
2
2
9 x k + 11x k − 8 x = 6
2
− 3 + 5k + 4 k
1
= 2
3
x
⇔ 2
9k + 11k − 8 = 1 (∗)
2
6
x
2
2
2
2
− 18 + 30k + 24k = 27 k + 33k − 24
⇔
(*)
k = 1
⇔ k = −2
(*)
k = 1
2
x = ±
⇔
2
2
2
