phương trình mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.86 KB, 5 trang )
1. Lý thuyết phương trình chùm mặt phẳng
- Giả sử cho hai mặt phẳng (P)(P) và (Q)(Q) cắt nhau:
(P):A1x+B1y+C1z+D1=0(P):A1x+B1y+C1z+D1=0
(Q):A2x+B2y+C2z+D2=0(Q):A2x+B2y+C2z+D2=0
Khi đó mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P)(P) và (Q)(Q) sẽ có dạng:
m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0m(A1x+B1y+C1z+D1
)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0
(1) với m2+n2>0m2+n2>0
(1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P)(P) và (Q)(Q)
2. Khi nào ta có thể lập phương trình mặt
phẳng theo phương trình chùm?
Cho đường thẳng dd viết dưới
dạng: dd: {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0{A1x+B1y+C1z
+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
Bài toán đòi hỏi viết phương trình mặt phẳng
(P)(P) chứa đường thẳng dd và có một
số tính chất nào đó. Những tính chất (điều kiện đó) có thể sẽ là:
Mặt phẳng của chùm đi qua 1 điểm cho sẵn.
ΔΔ cho sẵn.
Mặt phẳng của chùm chứa 1 đường thẳng
Mặt phẳng của chùm song song với 1 đường thẳng (hoặc 1 mặt phẳng)
cho sẵn.
Mặt phẳng của chùm vuông góc với 1 đường thẳng (hoặc 1 mặt
phẳng ) cho sẵn.
3. Cách giải bài toán trên được tiến hành ra sao?
Bước 1: Mọi mặt phẳng chứa đường thẳng dd đều có dạng (1)(1)
Bước 2: Dựa vào 1 điều kiện khác của bài toán cho sẽ thiết lập thêm được 1 phương
trình nào đó liên hệ giữa mm và nn.
Bước 3: Chú ý rằng m,nm,n không đồng thời bẳng 00, nên sẽ xác định
được m,nm,n(bằng cách cho m,nm,n những giá trị thích hợp)
Đó là những nội dung về lý thuyết và phương pháp làm bài tập cho việc sử dụng
phương trình chùm mặt phẳng. Ngay dưới đây thầy sẽ gửi tới các bạn một số ví dụ
trong đề thi đại học các năm trước, có thể áp dụng với dạng toán này.
4. Các bài tập vận dụng
Bài tập 1 (Đề thi ĐH khối A - 2002): Trong không gian cho hai đường
thẳng:d1:{x−2y+z−4=0x+2y−2z+4=0d1:
{x−2y+z−4=0x+2y−2z+4=0; d2:⎧⎩⎨⎪⎪x=1+ty=2+tz=1+2td2:
{x=1+ty=2+tz=1+2t
Viết phương trình mặt phẳng
(P)(P) chứa d1d1 và song song với d2d2.
Hướng dẫn giải
a. Phân tích bài toán
- Mặt phẳng (P)(P) chứa d1d1 => có dạng chùm ?
- Mặt phẳng (P)(P) song song với d2d2 => VTPT của (P)(P) và VTCP của d2d2 liên
quan như thế nào?
b. Trình bày lời giải
Vì (P)(P) chứa d1d1 nên (P)(P) thuộc chùm mặt phẳng :
m(x−2y+z−4)+n(x+2y−2z+4)=0m(x−2y+z−4)+n(x+2y−2z+4)=0
⇔(m+n)x+(−2m+2n)y+(m−2n)z−4m+4n=0⇔(m+n)x+(−2m+2n)y+
(m−2n)z−4m+4n=0 (1)(1) với m2+n2>0m2+n2>0
Khi đó mặt phẳng (P)(P) có VTPT là: n⃗ =(m+n;−2m+2n;m−2n)n→=(m+n;
−2m+2n;m−2n) (2)(2)
Do (P)(P)// d2d2 . Vì vậy mà VTCP u2→=(1;1;2)u2→=(1;1;2) của d2d2 phải
vuông góc với VTPT n⃗ n→của (P)(P). Ta sẽ có:
u2→⊥n⃗ ⇔u2→.n⃗ =0⇔m+n−2m+2n+2(m−2n)=0⇔m=nu2→⊥n→⇔u2
→.n→=0⇔m+n−2m+2n+2(m−2n)=0⇔m=n
Do m2+n2>0m2+n2>0 nên ta chọn: n=1⇒m=1n=1⇒m=1.
Thay lại vào (1)(1) ta có: 2x−z=02x−z=0. Đó chính là phương trình mặt phẳng
của (P)(P)
Bài tập 2 (Đề thi ĐH khối D - 2005):Trong không gian cho hai đường
thẳng
d1:x−13=y+2−1=z+12d1:x−13=y+2−1=z+12 và d2:
{x+y−z−2=0x+3y−12=0d2:{x+y−z−2=0x+3y−12=0
1.
Chứng minh rằng d1d1 // d2d2
2.
Viết phương trình mặt phẳng (P)(P) chứa cả d1d1 và d2d2
Hướng dẫn giải
1. Chứng mình d1//d2d1//d2. Ý này thì các bạn tự làm nhé. Các bạn chỉ việc tìm
VTCP của hai đường thẳng và xem chúng có tỷ lệ với nhau hay không?
2. Viết phương trình mặt phẳng (P)(P) chứa cả d1d1 và d2d2
a. Phân tích bài toán
- Mặt phẳng (P)(P) chứa d2d2 => có dạng chùm ?
- Mặt phẳng (P)(P) chứa d1d1 => Lấy 1 điểm thuộc d1d1 => có thuộc (P)(P) hay
không? => Lời giải?
b. Trình bày lời giải
Vì (P)(P) chứa d2d2 nên (P)(P) thuộc chùm mặt phẳng:
m(x+y−z−2)+n(x+3y−12)=0m(x+y−z−2)+n(x+3y−12)=0 (1)(1) với
m2+n2>0m2+n2>0
Vì d1∈(P)d1∈(P) nên mọi điểm thuộc đường thẳng d1d1 đều thuộc mặt phẳng (P)
(P).
Ta lấy M(1;−2;−1)∈d1M(1;−2;−1)∈d1 khi đó M∈(P)M∈(P).
Vì M∈(P)M∈(P) nên tọa độ điểm MMthỏa mãn (1)(1).
(2)(2)
Từ (2)(2) và do m2+n2>0m2+n2>0 nên ta chọn n=−2;m=17n=−2;m=17.
Thay lại vào (1)(1) ta có phương trình mặt phẳng (P)
(P) là: 15x+11y−17z−10=015x+11y−17z−10=0
Ta có: -2m-17n =0
Chú ý:
Lời giải trên thầy sử dụng mặt phẳng (P)(P) chứa d2d2 => có dạng chùm. Câu hỏi đặt
ra ở bước này là tại sao lại sử dụng đường thẳng
d2d2 mà không sử dụng d1d1? và
d1d1 được không?
Trả lời các bạn rằng: Ta sử dụng d2d2 vì d2d2 đang ở dạng phương trình tổng quát
=> phù hợp cho dạng chùm. Bạn hoàn toàn có thể sử dụng d1d1 ở bước này được
nhưng phải chuyển d1d1 từ dạng phương trình tham số về dạng phương trình tổng
ta có thể sử dụng đường thẳng
quát tổng quát.
Bài tập 3: Cho điểm A(−1;2;3)A(−1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng
(P)
(P) chứa đường thẳng d:{2x−y−1=0z−1=0d:{2x−y−1=0z−1=0 và khoảng
cách từ AA đến mặt phẳng (P)(P) bằng 33.
Hướng dẫn giải
a. Phân tích bài toán
- Mặt phẳng (P)(P) chứa dd => (P)(P) thuộc chùm ?
- Khoảng cách từ AA đến (P)(P) bằng 3 => Biểu thức về khoảng cách ? => Lời giải ?
Nếu bạn chưa biết tính khoảng cách thì nên xem bài giảng: Khoảng cách từ 1 điểm
đến 1 mặt phẳng
b. Trình bày lời giải
Vì mặt phẳng (P)(P) chứa đường thẳng dd nên thuộc chùm mặt phẳng:
m(2x−y−1)+n(z−1)=0⇔2mx−my+nz−m−n=0m(2x−y−1)+n(z−1)
=0⇔2mx−my+nz−m−n=0 (1)(1) với m2+n2>0m2+n2>0
Vì khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (P)(P) bằng 33 tức là: d(A,(P)=3d(A,(P)=3.
Nên ta có:
|−2m−2m+3n−m−n|4m2+m2+n2−−−−−−−−−−−−√=3⇔|
−5m+2n|5m2+n2−−−−−−−−√=3|−2m−2m+3n−m−n|
4m2+m2+n2=3⇔|−5m+2n|5m2+n2=3
⇔|−5m+2n|=35m2+n2−−−−−−−
−√⇔25m2−20mn+4n2=9(5m2+n2)⇔|−5m+2n|
=35m2+n2⇔25m2−20mn+4n2=9(5m2+n2)
⇔4m2+4mn+n2=0⇔(2m+n)2=0⇔2m+n=0⇔4m2+4mn+n2=0⇔(2m+n)2=0
⇔2m+n=0
(2)(2)
Vì m2+n2>0m2+n2>0 nên từ (2)(2) ta chọn m=1;n=−2m=1;n=−2
Thay m=1;n=−2m=1;n=−2 vào (1)(1) ta được (P)
(P) là: 2x−y−2z+1=02x−y−2z+1=0
4. Lời kết
Vậy là dạng toán thứ hai "Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình
chùm" thầy đã trình bày xong với các bạn. Bài toán dạng này thì rất nhiều, tuy nhiên
các bạn hãy xem kĩ lý thuyết và phương pháp ở bên trên để biết được khi nào thì áp
dụng được chúng. Các bạn hãy trao đổi nếu cần trong hộp bình luận phía dưới nhé.
Bài tập về nhà:
Bài tập 4: Lập phương trình mặt phẳng
(P)(P) chứa đường thẳng:
d:{2x−y+3z−5=0x+2y−z=0d:{2x−y+3z−5=0x+2y−z=0 và vuông góc
với mặt phẳng (Q)(Q): x−2y+2z−10=0
