SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Duật
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán THPT 
- Lĩnh vực khác: ....................................................... 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Phần mềm
 Phim ảnh
 Hiện vật khác

NĂM HỌC 2012-2013

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 1


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1. Họ và tên: Nguyễn Ngọc Duật
2. Ngày tháng năm sinh: 28 - 09 - 1977
3. Giới tính: Nam
4. Địa chỉ: Ấp Bầu Trâm, xã Bầu Trâm, thị xã Long Khánh, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613.726311; ĐTDĐ: 0985 350500
6. E-mail:
7. Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Toán – Tin học
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Trần Phú
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2000 và 2010
- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán và sư phạm Tin học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn Toán THPT
- Số năm có kinh nghiệm: 13 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
o Sử dụng phần mềm Sketchpad trong dạy Toán học.
o Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và một số ứng dụng.
o Soạn giáo án Ôn tập chương theo đổi mới phương pháp.
o Một số ứng dụng của Định lý Viet.
o Một số bài toán cực trị hình học trong hình học lớp 12.

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.


Trang 2


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán uen thuộc
như: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến cùa
đồ thị hàm số, . Ta c n g p các bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
số, tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm .Đây là dạng
Toán thường có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đ ng.
Trong uá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán
khá hay, lôi cuốn đư c các em học sinh khá giỏi. Nếu ta biết sử dụng linh hoạt
và kh o l o kiến thức đã học thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán uen
thuộc.
Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn,với sự tích lũy
ua một số năm trực tiếp giảng dạy, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các
em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự
nghiên cứu. Đư c sự động viên, giúp đ của các thầy trong hội đồng bộ môn
Toán của sở Giáo Dục và Đào Tạo Đồng Nai, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong
tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú. Tôi đã mạnh dạn cải tiến và bổ sung
chuyên đề “ M t ứng dụng của đạo hàm ”.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ
TÀI
1. Thuận lợi:
- Kiến thức đã đư c học, các bài tập đã đư c luyện tập nhiều
- Nhiều năm đư c phân dạy các lớp nguồn của nhà trường.

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy đư c khả năng sáng tạo, tự
học và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết uả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
- Đư c sự động viên của BGH, nhận đư c động viên và đóng góp ý kiến
cuả đồng nghiệp.
2. Khó khăn:
- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập.
- Học sinh có chất lư ng lư ng đầu vào rất thấp
- Nhiều học sinh không n m v ng các kiến thức về đạo hàm.
3. S liệu th ng kê:
Trong các năm trước, khi g p bài toán liên uan đến Ứng dụng của đạo
hàm, số lư ng học sinh biết vận dụng đư c thể hiện ua bảng sau:
Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 3


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Không
nhận
biết
đư c
Số lư ng
Tỉ lệ ( %)

Nhận biết,
nhưng không
biết vận dụng


50
55,5

23
25,5

Nhận biết và
Nhận biết và
biết vận dụng
biết vận dụng
,chưa giải đư c , giải đư c
hoàn chỉnh
bài hoàn
chỉnh
9
2
16,8
2.2

III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Cơ ở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận,
khả năng tư duy. Từ nh ng kiến thức cơ bản phải dẫn d t hoc sinh có đư c
nh ng kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đ t ngay kiến thức
nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu sử dụng một số ứng dụng của đạo hàm để giải
các bài toán đư c đ t ra.

2. N i dung.
Phần 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định ngĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu thỏa :
x0  D sao cho f ( x0 )  M

x  D / f ( x)  M

Kí hiệu : max f (x)  M
D

b) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu thỏa :
x0  D sao cho f ( x0 )  m

x  D / f ( x)  m

Kí hiệu : min f ( x)  m
D

2. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

.

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b)
- Lập bảng biến thiên của hàm số .
- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết luận .
Chú ý :
 Khi lập bảng biến thiên ta phải tính gới hạn vô cực, giới hạn ở tại vô
cực (nếu có).

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.


Trang 4


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

 Trên (a; b) nếu hàm số có một cực đại thì max f(x)= yCĐ
(a;b)

 Trên (a; b) nếu hàm số có một cực tiểu thì min f(x)= yCT
(a;b)

 Hàm số có thể không đạt được giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
trên khoảng (a; b) nếu nó đơn điệu trên khoảng đó.
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b].
- Tìm các điểm tới hạn : x1, x2 ... xn  (a; b) mà tại đó f'(x) bằng không
ho c không xác định.
- Tính các giá trị f(a), f(x1),... f(b).
- Tìm ra số lớn nhất và b nhất trong các số trên và kết luận
Chú ý :
 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt được giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
 Hàm số chỉ đạt được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên đoạn [a; b] tại các
điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định, hoặc tại hai đầu mút trên
đoạn đó.

 Nếu hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì min f(x)= f(a) và
[a;b]

max f(x)= f(b) .

[a;b]

 Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì min f(x)= f(b) và
[a;b]

max f(x)= f(a) .
[a;b]

c) Đặt ẩn phụ :
- Nếu một số hàm f(x) có đạo hàm phức tạp, không thuận tiện cho việc
x t dấu. Ta đ t ẩn phụ để đưa về bài toán đơn giản hơn.
- Các bước thực hiện :
 Tìm TXĐ D của hàm số đã cho.
 Đ t ẩn phụ t = u(x) là một biểu thức của x.
 Tìm miền giá trị của u(x) trên D là D1.
 Thiết lập hàm số mới y = g(t), tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của g(t)
trên D1.
 Kết luận.
Chú ý :
 Khi tìm miền giá trị của u(x) cần chú ý đến các tính chất đặc biệt của
nó (nếu có).
Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 5


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

 Trong một số bài, ta phải biến đổi để xuất hiện biểu thức có thể đặt ẩn
phụ.

B.

BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  2 

4
trên (3; +)
x3

Giải :
4
trên (3; +)
x3

X t hàm số y  f ( x)  x  2 

4
x2  6 x  5
y ' 1

; x  (3; )
( x  3)2
( x  3)2
y '  0  x  5  x  1 (3; )

Bảng biến thiên :
–

x


3

+

5
–

f'(x)

0

+

+

f(x)

+
5

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có : min f ( x)  f (5)  5
(3; )

Chú ý : Bài toán này nếu ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy thì việc tìm
giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ ngắn gọn hơn.
Do x  (3;+) nên x – 3 > 0.
Xét f(x) = x  2 

4
4

 4 
 x 3
 1  2 ( x  3) 
 1
x3
x3
 x 3

Hay f(x)  5. Đ ng thức xảy ra khi x  3 

4
 x5
x3

Vậy min f ( x)  f (5)  5
(3; )

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  4 x3  8 x
Giải :
Hàm số xác định trên R.
y '  4 x3  12 x 2  8
y '  0  4 x3  12 x 2  8  0
Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 6


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

x 1

 ( x  1)( x 2  2 x  2)  0  
x 1 3

x

–

1 3
–

y'
y

0

1 3

1
+

–

0

+

0

+


5

+

+

–4

–4





Căn cứ vào bảng biến thiên ta có : min f ( x)  f 1  3  4
R

Chú ý : Ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số chính là giá trị cực tiểu của
hàm số.
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x)  3 1  x  3 1  x
Giải :
Hàm số xác định trên R.
y' 

1
3 3 (1  x) 2



1

3 3 (1  x) 2



 3 (1  x) 2  3 (1  x) 2
3 3 (1  x 2 ) 2

, x  1

y'  0  x  0

Bảng biến thiên :
x

+

y'
y

–1

–

0
+

0

1
–


+
–

2
0

0

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có: max f ( x)  f (0)  2
R

Chú ý : Nếu căn cứ vào bảng biến thiên thì "có vẻ như" min f ( x)  0 ,
R

nhưng thực tế giá trị nhỏ nhất của hàm số không tồn tại, do không có giá
trị x0 thỏa f(x0) = 0.
Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3x1  33 x
Giải :
Tập xác định của hàm số : R.

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 7


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Ta có : y  3x1  33 x  3.3x 


27
3x

Đ t t = 3x (điều kiện : t > 0).
X t hàm số y  3t 

9
với t > 0.
t

27 3(t 2  9)
y'  3 2 
;
t
t2
Bảng biến thiên :
–

t

y'  0  t  3

0

+

3
–

y'


0

+

+

y

+
18

Từ bảng biến thiên ta có : min y  y (3)  18
(0; )

Bài 5 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  x  16  x 2
Giải :
Xét y  f ( x)  x  16  x 2 xác định và liên tục trên [-4;4].
y' 1

x
16  x

2



16  x 2  x
16  x


2

; x  (4;4)

y '  0  16  x 2  x  0
x  0

 x2 2
2
2
16

x

x


Ta có : f (4)  4; f (4)  4; f (2 2)  4 2
Vậy min f ( x)  f (4)  4; max f ( x)  f (2 2)  4 2 .
[ 4;4]

[ 4;4]

Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y 

x 1
x2  3

trên [–1;3]


Giải :
Hàm số liên tục đoạn [–1; 3] và có đạo hàm trên khoảng (–1;3).

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 8


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

y' 

x 2  3  ( x  1) x
( x  3) x  3
2

2



3 x
( x  3) x  3
2

Ta có : f (1)  0; f (3) 

2

; y '  0  x  3  (1;3)


2 3
.
3

Vậy min f ( x)  f (1)  0; max f ( x)  f (3) 
[ 1;3]

[ 1;3]

2 3
3

ln 2 x
Bài 7 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f ( x) 
trên [1;e3]
x
Giải :

2.ln x ln 2 x 2.ln x  ln 2 x
Trên [1;e ] hàm số có y '  2  2 
; x  (1; e3 )
2
x
x
x
3

 x  1 (1; e3 )
ln x  0
y'  0  


2
3
ln x  2
 x  e  (1; e )
f (l )  0; f (e2 ) 

4
9
3
;
f
(
e
)

e2
e3

f ( x)  f (1)  0; max f ( x)  f ( x)  f (e 2 ) 
Vậy min
3
[ 1;3]

[1;e ]

4
.
e2


Bài 8 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  1  x 2  2 3 1  x 2 .
Giải :
Hàm số xác định trên đoạn [–1;1]


4
 1
y' 

 x

2
2
1  x 2 3 3 (1  x 2 ) 2
 1 x
3 3 1  x 2 

x

y '  0  x  0; do

4x

1
1 x

2




4
3 (1  x )
3

2 2



 , x  (1;1).



 0 trên khoảng (-1;1)

Ta có : f (1)  f (1)  0; f (0)  3
Vậy max f ( x)  f (0)  3; min f ( x)  f ( 1)  0 .
[ 1;1]

[ 1;1]

Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số :
y  2.cos3x  6cos 2 x  6cos x  5
Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 9


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Giải :

Hàm số xác định và liên tục trên R.
y  f ( x)  2(4cos3 x  3cos x)  6(2cos 2 x  1)  6cos x  5
 8cos3 x  12cos 2  11

Đ t t  cos x (1  t  1)
Ta có : y  g (t )  8t 3  12t 2  11; g '(t )  24t 2  24t , t  (1;1)
g '(t )  0  t  0

Ta có : g (1)  9; g (0)  11; g (1)  7


 k
R
[ 1;1]
2
min f ( x)  min g (t )  g ( 1)  9 khi x    k 2  .

Vậy : max f ( x)  max g (t )  g (0)  11 khi x 
R

[ 1;1]

Chú ý : Trong bài này ta đã sử dụng :
- Công thức cos 3x = 4cos3x – 3cosx.
- Miền giá trị của hàm số y= cosx hoặc y = sin x là [-1; 1].
Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  x 2 4  x .
Giải :
Đk : x  4  4  x  4 , đ t t  x thì 0  t  4
Hàm số trở thành y  t 2 4  t  g (t );


t2
4t (4  t )  t 2 16t  5t 2
y '  2t 4  t 


, t  (0;4)
2 4t
2 4t
2 4t
t  0  (0;4)
y '  0   16
t 
5

 16  512
5
Ta có : f (0)  f (4)  0; f   
5
125
 

16
 16  512
5 khi x  
Vậy : max f ( x)  max g (t )  g   
[ 4;4]
[0;4]
5
 5  125
min f ( x)  min g (t )  g (0)  g (4)  0 khi x  0 ho c x  4

[ 4;4]

[0;4]

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 10


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Bài 11 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y  f ( x) 

27 4
x  (4  x 2 )3
2

trên đoạn [–2;2].
Giải :
Đ t t = x2 do –2  x  2 nên 0  t  4.
Ta có hàm số : y  g (t ) 



27 2
t  (4  t )3
2

27 2
51

t  64  48t  12t 2  t 3  t 3  t 2  48t  64
2
2

g '(t )  3t 2  51t  48  3(t 2  17t  16); g '(t )  0  t  1

81
; g (4)  216
2
81
Vậy: min f ( x)  min g (t )  g (1) 
khi x  1
[ 2;2]
[0;4]
2
max f ( x)  max g (t )  g (4)  216 khi x  2
Ta có g (0)  64; g (1) 

[ 2;2]

[0;4]

Bài 12 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y 

2 x3  x 2  2 x

 x2  1

2


.

Giải :
Hàm số xác định và liên tục trên R.
Ta có : y 
Đ tt

2 x( x 2  1)  x 2
2x
x2


( x 2  1)2
x 2  1 ( x 2  1)2

x
ta tìm tập giá trị của t.
x 1
2

x2  1  2 x2
1  x2
Đạo hàm t ' 
 2
; t '  0  t  1
( x 2  1)2
( x  1)2
Bảng biến thiên :
x


–1

–
+

t'

0

1
–

0
t

1
2

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

0

+
+

1
2
0

Trang 11



SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1
1
 1 1
Vậy :   t  . Ta x t hàm số g (t )  2t  t 2 ; t    , 
2
2
 2 2
g '(t )  2t  2; g (t )  0  t  1 (loại)

3 1 5
 1
Ta có : g      ; g   
4 2 4
 2

1 5
Vậy : max f ( x)  max g (t )  g    khi x  1
R
 1 1
2 4
 2 , 2 




3

 1
min f ( x)  min g (t )  g      khi x  1
R
 1 1
4
 2
 2 ; 2 




Chú ý : Ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy để tìm miền giá trị của
t

2x
x2  1

Ta có : x 2  1  2 x 2  x 2  1  2 x
Hay :

x
1
1
x
1
1
1
   2
  t 
2

x 1 2
2 x 1 2
2
2

Bài 13 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

y

2 1  x4  1  x2  1  x2  3
1  x2  1  x2  1

Giải :
Hàm số xác định trên đoạn [–1;1]
Đ t t  1  x 2  1  x 2 thì t 2  2  2 1  x 4
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của t  1  x 2  1  x 2 trên [–1;1]

t'

x
1  x2

t' 0  x





x
1  x2




x



x  x2  1  x2



1  x4

;

1  x2  1  x2  0  x  0

t (1)  2; t (1)  2; t (0)  2 . Vậy

2 t 2

Hàm số đã cho trở thành :

t2  t 1
t 2  2t
g (t ) 
; 2  t  2 và có g '(t ) 
 0, t 
t 1
(t  1)2

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.



2;2



Trang 12


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Suy ra hàm số đồng biến trên [ 2;2]
max f ( x)  max g (t )  g (2) 
[ 1;1]

[ 2;2]

7
khi x  0
3

min f ( x)  min g (t )  g ( 2)  2 2  1 khi x  1
[ 1;1]

[ 2;2]

Phần II. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ NGHIỆM

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm :
1.1. Lý thuyết :
- Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b), đường th ng y = m ( với m
là tham số thực) c t đồ thị hàm số (nếu có) tại nhiều nhất một điểm, hay phương
trình f(x) = m có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng đó.
- Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên [a;b]
khi min f ( x)  m  max f ( x) .
[ a ;b ]

[ a ;b ]

- Bất phương trình f(x)  m có nghiệm với mọi x trên [a;b]
khi m  min f ( x)
[ a ;b ]

- Bất phương trình f(x) ≤ m có nghiệm với mọi x trên [a;b]
khi m  max f ( x) .
[ a ;b ]

- Bất phương trình f(x)  m có nghiệm trên [a;b]
khi m  max f ( x) .
[ a ;b ]

- Bất phương trình f(x)  m có nghiệm trên [a;b]
Khi m  min f ( x) .
[ a ;b ]

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1 : Tìm m để phương trình x3  x 2  6mx  2m  0 có ba nghiệm

phân biệt ?
Giải :
Ta có PT  x – x = 2m(3x – 1)
3

2

x3  x 2

 2m
3x  1
Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 13


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1
không phải là nghiệm của phương trình trên).
3
Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số

(do x 

x3  x 2
và đường th ng song song với trục hoành y= 2m.
y
3x  1


x3  x 2
1
X t hàm số y 
;x 
3x  1
3
Đạo hàm y ' 

2 x(3x 2  3x  1)
; y'  0  x  0
(3x  1)2

Bảng biến thiên :
–

x

0
–

y'

0

1
3

+

+


y

+
+

+

+
–

0

Ta thấy hàm số có ba khoảng đơn điệu, trên mỗi khoảng đó để cho đường
th ng y = 2m c t đồ thị tại một điểm thì : 2m > 0.
Do đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi : 2m > 0 hay m > 0.
Chú ý : Phương trình ax3  bx3  cx  d  0 có ba nghiệm phân biệt khi hàm số
y  ax3  bx3  cx  d có yCT . yCD  0 . Tuy nhiên cách này đôi khi khá

phức tạp .
Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m





4  x  5  x  2 (4  x)(5  x)  m
Giải :


Điều kiện –4  x  5
Đ t t  4  x  5  x , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

t  4  x  5  x liên tục trên [–4;5].
t'

1
1
5 x  4 x


t  (4;5)
2 4  x 2 5  x 2 (5  x)(4  x)

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 14


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1
1
t '  0  x  , ta có t (4)  3, t (5)  3, t    3 2
2
2
Do đó ta đư c t  3;3 2  và

(4  x)(5  x) 


t2  9
2

 t2  9 
t2  9
m
Ta có phương trình : mt  2 
m
2
t

1



(do t = 1 không phải là nghiệm của phương trình).

t2  9
X t hàm số y
; t  3;3 2 
t 1

t 2  2t  9
Đạo hàm y ' 
 0; t  3;3 2
(t  1)2




Nên max f (t )  f (3 2) 
[3;3 2 ]



9
; min f (t )  f (3)  0
3 2  1 [3;3 2 ]

Vậy phương trình đã cho có nghiệmkhi : 0  m 
Chú ý :

Phương trình dạng: A



9
3 2 1



a  x  b  x  B (a  x)(b  x)  C

trong đó a + b là hằng số thì có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ

t  ax  bx.
Bài 3 : Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau
mx 4  4 x3  m  0 có nghiệm với mọi x thuộc R

Giải :


4 x3
Ta có : mx  4 x  m  0  m( x  1)  4 x  m  4 , x  R
x 1
4

3

4

3

4 x3
4 x 2 ( x 4  3)
Đ t f ( x)  4 ; f '( x) 
; f '( x)  0  x   4 3; x  4 3
4 2
x 1
(1  x )
Bảng biến thiên của hàm số :
x

–

4 3
–

y'

0


0
+

0

0
y

4

+

0
4

+

3
–

27

 4 27

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

0

Trang 15



SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi : m  max f ( x) hay m  4 27
R

Bài 4 : Tìm m để phương trình : cos3 x  sin 3 x  m  2 có đúng hai
  
nghiệm trên khoảng   ;  .
 4 4

Giải :
Ta có : (4)  (cos x  sin x)(sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x)  m  2
 (cos x  sin x)(1  sin x.cos x)  m  2


1 t2

Đ t t  cos x  sin x  2 cos  x    sin x.cos x 
;t  2
4
2

  
  
Do x    ;  nên x    0;   t  0; 2
4  2
 4 4






 1 t2 
2
Phương trình trở thành : t 1 
  m  2  t (3  t )  2m  4
2 


 –t2 + 3t + 4 = 2m (*)
X t hàm số y  t 3  3t  4 với t  (0; 2)
Đạo hàm y '  3t 2  3  3(t 2  1)
t  1 (0; 2)
y'  0  
 t 1
t

1


Bảng biến thiên :
0

x

1
+


y'

0

2
–

6
y

4

4 2

Từ bảng biến thiên ta thấy : (*) có hai nghiệm phân biệt khi :

4  2  2m  6 
Hay khi

4 2
m3
2

4 2
 m  3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm trên
2

  
 ; .
 4 4

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 16


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Chú ý : Khi giải phương trình a(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  0 hoặc
a(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  0 ta có thể đặt ẩn phụ

t  sin x  cos x hoặc t  sin x  cos x .

Bài 5 : Với giá trị nào của m thì phương trình sau có ít nhất một
nghiệm trên [1;2 2 2 ] .
log 22 x  log 22 x  1  2m  1  0

Giải :
Với x > 0 ta đ t t  log 22 x  1  log 22 x  t 2  1;
Do x  [1;22 2 ] nên t [1;3]
Phương trình đã cho trở thành t 2  t  2  2m  0  2m  t 2  t  2 (*)
X t hàm số f (t )  t 2  t  2;
Đạo hàm f '(t )  2t  1  0 t  (1;3)  hàm số đồng biến trên [1;3]
Nên max f (t )  f (3)  8 ; min f (t )  f (1)  0
[1;3]

[1;3]

2

Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên [1: 2 2 ] khi (*) có ít nhất

một nghiệm trên [1;3].
Hay 0  2m  8  0  m  4
Bài 6 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
91

1 x 2

 (m  2)31

1 x 2

 2m  1  0

Giải :
Điều kiện của phương trình : x[1;1]
Đ t t  1  1  x 2 , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [–1;1] của hàm số
t  1  1  x 2 với x[1;1] .

t'

x
1 x

2

x  (1;1), t '  0  x  0

Ta có t (1)  1, t (0)  2, t (1)  1,do đó t [1;2]
Phương trình đã cho trở thành : 9t  (m  2)3t  2m  1  0
Lại đ t u =3t là hàm số đồng biến trên [1;2] nên u  [3;9]

Ta lại có phương trình : u 2  (m  2)u  2m  1  0

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 17


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

 u 2  2u  1  m(u  2) 
X t hàm số f (u ) 

u 2  2u  1
 m (*) do u  2
u2

u 2  2u  1
trên [3;9]
u2

u 2  4u  3
Đạo hàm f '(u ) 
, u  (3;9)
(u  2)2
Ta thấy f '(u)  0u [3;9]  hàm số đồng biến trên [3;9]
Nên max f (u )  f (9) 
[3;9]

64
;min f (u )  f (3)  4

7 [3;9]

Do đó phương trình (*) có nghiệm khi 4  m 

64
7

Ha phương trình đã cho có nghiệm khi 4  m 

64
7

C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Tìm m để bất phương trình : mx 4  4 x  m  0
có nghiệm với mọi x thuộc R.
Bài 2. Tìm m để bất phương trình 4 (4  x)( x  2)  x 2  2 x  8  m
có nghiệm trên [–2;4].
Bài 3. Tìm a để phương trình x 4  4 x3  8 x  a có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 4. Tìm a để phương trình : x 4  ax3  x 2  ax  1  0
có ít nhất hai nghiệm âm.
Bài 5. Tìm m để phương trình x 4  mx3  (m  2) x 2  mx  1  0 có nghiệm.
Bài 6. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trên (2; 4]

(m  1)log 21 ( x  2)  (m  5)log 1 ( x  2)  m  1  0
2

2

Bài 7. Tìm m để phương trình : m( x  1)  (2m  1) x 2  2 x  2 có nghiệm.
Bài 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

m





1  x2  1  x2  2  2 1  x4  1  x2  1  x2

Bài 9. Tìm để phương trình : cos x.cos4 x  cos2 x.cos3x  m cos x  0
 
có nghiệm trên  0;  .
 3

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 18


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Bài 10. Tìm m để phương trình : (cos x  1)(cos 2 x  m cos x  1)  2m sin 2 x có
  
đúng hai nghiệm trên   ;  .
 4 3

Bài 11. Cho phương trình sin5 x  m.sin x . Hãy tìm m để phương trình
  5 
có đúng hai nghiệm trên đoạn  ;  .
6 6 


Bài12. Cho f ( x)  3cos 4 x  5cos3x  36sin 2 x  15cos x  36  24a  12a 2 .
Tìm a để f ( x)  0 với mọi x thuộc R.

Phần 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU

TRÊN MỘT KHOẢNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Trong chương trình Giải tích lớp 12 cũ, dạng toán tìm tham số để hàm số
đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng là rất phổ biến. Cách giải toán dạng này
đa số là dùng so sánh nghiệm và định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.
- Trong chương trình sách giáo khoa mới phần so sánh ngiệm và định lí
đảo về dấu của tam thức bậc hai đã bỏ. Do đó công cụ h u hiệu để giải dạng toán
này là chuyển về tìm điều kiện để ất phương trình có nghiệm trên một khoảng.
 Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc K thì f(x) đồng biến trên K (f'(x) = 0 chỉ
tại một số h u hạn điểm).
 Nếu f'(x)  0 với mọi x thuộc K thì f(x) nghịch biến trên K.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG :
1
Bài 1 : Tìm m để hàm số y   x3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 đồng biến
3
trên khoảng (0; 3).

Giải :
Hàm số xác định trên R.
Đạo hàm y '   x 2  2(m  1) x  m  3
Hàm số đồng biến trên (0;3) khi  x 2  2(m  1) x  m  3  0 x  (0;3)
 x 2  2 x  3  (2 x  1)m x  (0;3)

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.


Trang 19


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

x2  2 x  3

 m có nghiệm  x  (0;3)
2x  1
X t hàm số g ( x) 

x2  2 x  3
liên tục trên [0; 3].
2x  1

2 x2  2 x  8
Có đạo hàm g '( x) 
 0 x  (0;3) .
(2 x  1)2
Bảng biến thiên :
x

0

3
+

g'(x)
g(x)


12
7

–3

Khi x  (0;3) thì miền giá trị của g(x) là (3;
Vậy m  g ( x) x  (0;3)  m 

12
).
7

12
.
7

Hay hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;3) khi m 

12
.
7

2 x 2  (1  m) x  1  m
Bài 2 : Tìm m để hàm số y 
đồng biến trên
xm
khoảng (1;+).
Giải :
Hàm số đã cho xác định trên (–;m)  (m;+)


2 x 2  4mx  m2  2m  1
Đạo hàm y ' 
, đ t g ( x)  2 x 2  4mx  m2  2m  1
2
( x  m)
Hàm số đồng biến trên (1;+) khi
m  1 và g ( x)  0 x  (1; ) hay min g ( x)  0
[1; ]

X t hàm số : g ( x)  2 x 2  4mx  m2  2m  1 trên (1;+)
g '( x)  4 x  4m  4( x  m)  0, x  m

Hàm số g(x) đồng biến x  m (m  1) nên min g ( x)  g (1)  0
[1; )

 m2  6m  1  0  m  3  2 2  m  3  2 2 .
Kết h p với điều kiện m  1 ta có m  3  2 2
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1;+) khi m  3  2 2

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 20


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

x 2  2mx  1  m
Bài 3 : Tìm m để hàm số y 
đồng biến
x 1

trên khoảng (–2;0).
Giải :
Miền xác định của hàm số R \ {1}

x2  2 x  m  1
Ta có đạo hàm y ' 
( x  1)2
Hàm số đồng biến trên (–2;0)  x 2  2 x  m  1  0 (1) x  (2;0)
(1)  m   x 2  2 x  1 x  (2;0)
X t hàm số g ( x)   x 2  2 x  1; có đạo hàm g '( x)  2 x  2  0 x  (2;0)
 g(x) đồng biến trên (–2;0)  max g ( x)  g (0)  1
[ 2;0]

Do đó m  max g ( x)  m  1
[ 2;0]

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (–2;0) khi m  1.
Bài 4 : Định m để hàm số y  x3  3(2m  1) x 2  (12m  6) x  2 đồng
biến trong các khoảng (; 2] và [3; ) .
Giải :
Hàm số xác định trên R.
Ta có : y '  3x ' 6(2m  1) x  12m  6
 3[ x 2  2(2m  1) x  4m  2]

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (; 2] và [3; )
 y '  0 x  (; 2]  [3; )

 4m( x  1)  x 2  2 x  2 (*) x  (; 2]  [3; )

X t trên khoảng (; 2] , (*)  4m 


x2  2 x  2
(1)
x 1

x2  2 x  2
X t trên khoảng [3; ) , (*)  4m 
x 1

(2)

x2  2 x  2
X t hàm số f ( x) 
, trên D  (; 2]  [3; )
x 1
x  0
x2  2 x
f
'(
x
)

;
f
'(
x
)

0


Ta có :
x  2
( x  1) 2

Bảng biến thiên :

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 21


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

–2

–

x

+

f'(x)
f(x)

0
+



0


1
–

2
–

0

3
+

+
+

10
3

+

5
2

–

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có : max f ( x)  
(  ;2]

10
5

; min f ( x) 
3 [3; )
2

5
10


m


4
m




 5 5
6
3

 m   ; 
Từ đó ta có 
 6 8
 4m  5
m   5


8
2

5
5
Vậy   m  thì hàm số đã cho đồng biến trong các khoảng (; 2]
6
8
và [3; ) .

C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1
1
Bài 1. Tìm m để hàm số y  mx3  (m  1) x 2  3(m  2) x 
3
3
đồng biến trên khoảng (2;+).
Bài 2. Tìm m để hàm số đồng y = x3 – 3 (2m + 1)x2 + (12m + 5) x + 2
biến trên khoảng (2; +).

Bài 3. Tìm m để hàm số y 
Bài 4. Tìm m để hàm số y 

x 2  4mx  3m 2
đồng biến trên khoảng (1; +).
x  2m
mx 2  6 x  2
nghịch biến trên khoảng (1; +).
x2

Bài 5. Tìm m để hàm số y = x2(m – x) – m đồng biến trên khoảng (1; 2).
Bài 6. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx nghịch biến trên (-1; 1)
Bài 7. Tìm m để hàm số y 


x 2  (m  1) x  4m 2  4m  2
x  m 1

đồng biến trên khoảng (2; +).

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 22


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Phần 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi c p x1, x2 thuộc K mà x1 < x2
thì f(x1) < f(x2)
- Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi c p x1, x2 thuộc K mà x1 < x2
thì f(x1) > f(x2)
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1 : Chứng minh bất đ ng thức ln( x  1)  x (1) với x  0
Giải :
Ta có (1)  ln( x  1)  x  ln( x  1)  x ; x  0
X t hàm số f ( x)  ln( x  1)  x có tập xác định [0;+)
Đạo hàm f '( x) 

1
1
2 x  ( x  1)



 0 x  0
x 1 2 x
2 x ( x  1)

Theo bất đ ng thức Cauchy: x  1  2 x  2 x  ( x  1)  0
Nên f(x) nghịch biến x  0  f ( x)  f (0)  0
Vậy : f ( x)  0, x  0
Hay: ln( x  1)  x  0  ln( x  1) 

Bài 2 : Chứng minh rằng : 4

x x  0 .

a 4  b 4 3 a 3  b3

(2) a, b  0
2
2

Giải :
4

a 4  b4

4

2
3 
Ta có (2) 

3 3
2
a  b3

Xét hàm số f (u ) 

4

1  u4

3

1  u3

f '(u ) 

1  u3
3

4

a
1  
b

3

3

với u 


u3 3 1  u3
4

a
4 1
 
b





4

2
2
2

a
0
b

u2 4 1  u4
3

(1  u 3 )2

(1  u 3 ) 2


u3  u 2


4

(1  u 3 )3 . 3 (1  u 3 ) 4

f '(u )  0  u 3  u 2  0  u 2 (u  1)  0  u  1 do u 2  0

Bảng biến thiên :
Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 23


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

x
f'(x)

0

1
–

+

0

+


0

1
4

f(x)

3

2
2

2
1  u 4 3 1  u3
4


3
2
2
2
Vậy bất đ ng thức đã cho đư c chứng minh .

Dựa vào bảng biến thiên ta có f (u ) 

4

Bài 3 : Cho x,y, z là các số thực không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1
7

Chứng minh rằng : xy  yx  zx  2xyz 
27
Giải :
1
Ta thấy ít nhất một trong ba số x, y, z không vư t uá , vai tr của x, y, z
3
1
là bình đ ng. Giả sử 0  x  .
3
Ta có : xy  yz  zx  2 xyz  x( y  z )  yz (1  2 x)
 yz
x( y  z )  yz (1  2 x)  x(1  x)  
 (1  2 x) =
 2 
2

Hay

1
1 x 
3
2

 (1  2 x)  x(1  x)  (2 x  x  1)
4
 2 
2

1
 1

X t hàm số : f ( x)  (2 x3  x2  1) trên 0, 
4
 3
1
1
1
f '( x)  (6 x 2  2 x)  x(3x  1); f '( x)  0  x  0; x 
4
2
3
Bảng biến thiên :
1
0
x
3
+
f'(x)
7
f(x) 1
27
4
7
7
 xy  yz  zx  2 xyz 
Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) 
27
27
Vậy bất đ ng thức đã cho đư c chứng minh.
Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.


Trang 24


SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM





5  2 x.ln x  4  x 2  2 4  x 2 , x  R

Bài 4 : Chứng minh rằng :





Giải :

Ta có 5  2 x.ln x  4  x 2  2 4  x 2






5

 2   x ln x  4  x 2  4  x 2   0
2


5
X t hàm số f ( x)   x ln x  4  x 2  4  x 2 ;( x  R)
2
x
x
f '( x)  ln x  4  x 2 

 ln x  4  x 2
4  x2
4  x2
3
f '( x)  0  ln x  4  x 2  0  4  x 2  x  1  x  
2
Bảng biến thiên :
3
–
+

x
2
















–

f'(x)

0

+

f(x)
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)  0  x  R
5
Hay  x ln x  4  x 2  4  x 2 x  R
2
Vậy bất đ ng thức đư c chứng minh.





Bài 5 : Cho a, b  0 và a + b = 1. Chứng minh rằng a 5  b5 

1
16


Giải :
Do a + b = 1 nên a 5  b5 

1
1
 a 5  (1  a )5 
với 0  a  1
16
16

Đ t f ( x)  x5  (1  x)5 với 0  x  1
Có đạo hàm f '( x)  5 x 4  5(1  x)4  5[( x 2 )2  ((1  x)2 )2 ]
 5  x 2  (1  x) 2  (2 x  1)

f '( x)  0  2 x  1  0  x 

1
2

Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh.

Trang 25