SKKN:

TRONG

12

TRONG
.

12

ĐỀ

Trong chương trình ình h c g t ch
12
n c nh c c ng to n
n th c như: v t hương trình
t h ng hương trình ư ng th ng …
T c ng c c
to n tì
tr c
ư ng th ng h
t h ng n
n n
t
n c c tr
ng To n h , ch c trong chương
trình n ng c o
t n nh
h c c o ng.
Trong

trình tr c t
g ng
ngh n c t th
ng
to n h ng ch h
c n h h
c n ư c c c
h c nh h g
t
t
ng nh ho t
h o o
n th c c hình h c th n t
ctơ hương h t
g t ch thì c th ư
to n tr n
t
to n
n th c.
ng trư c th c tr ng tr n
t nh th n
th ch
n
t ch
ũ
t nă tr c t g ng
nhằ g
c c
h ng th hơn t o
cho c c

n
th ch
n to n
r
t c ch nhìn nh n n
ng nh ho t ng t o c c n th c h c t o n n t ng cho c c h c nh
t h c t ngh n c
ư c
ng
n g
c c c th trong h
ng
n To n c
, n
h , ng ngh
trong t To n –
T n h c trư ng T T Tr n h . T
nh n c t n
ng chuyên
“
12”.
Ạ

II.
ĐỀ
1.
t

Ư


Ệ

ỦA

ợ.
- K n th c
ư ch c c c
t
ư c
n t nh
c nh h ng th trong t t h c h t h
ư c h năng ng t o
h c
th ch
n h c.
- C
h ch
từ t
h c t c h c nh h th c h n ch n

n c
2.

ư c
ng
ng ngh

ók ă
o
h

không n
không gian.
Giao viên:

nc

nh n ư c

ng

n và

ng g

ý

.
n t nh th g n ch ẩn c c ng
t .
h c sinh
t
n th c cơ n trong hình h c h ng gian,
ng c c
n th c
hình h c
c tơ hương h
trong
h c nh
-


n hình h c.
-T

Trang 1/33


SKKN:

3.
h c

TRONG

12

ệ
kê
Trong c c nă trư c h g
to n n
ư ng h c nh t n ng ư c th h n
Không
nh n
t
ư c
S ư ng
T ( %)

.

h n t

nhưng không
t n ng

60
66,7

U

n C c tr trong hình
ng
:

h n t
h n t
t n ng
t n ng
chư g
ư c g
ư c
ho n ch nh
bài hoàn
ch nh
9
1
9,9
1.1

20
22,2


UYÊ ĐỀ

1. ơ ở ý
.
C ng c cho h c nh
n h năng tư
Từ nh
ư c nh ng
n th c n ng c
n th c n ng c o)
Trong ch n
ch
g c c
to n ư c t r

2.

n

h ng ch
n th c
c hương h
ng
n th c cơ n h
ẫn t hoc nh c
o
t c ch t nh n (ch h ng
t ngay
ng hương h


t

trong h ng g n

.

.
2.1.

hay

ợ

a.

.
lên


M lên (α).
 t
MH(
 Tì g

c
t h
ch
c
r t


hình ch

(α)

ng g c c

hương trình ư ng th ng
ng g c
(α))
o
c
(α).
tì
ng
ng (α) thì t ẫn tì hình
n (α)
ng c ng th c tr ng
.

b.
:

t hương trình th
c
dc t

th o th
 H l hình rchuuuur
ng g c c
lên d khi ud MH  0

Giao viên:

-

-T

t

Trang 2/33


SKKN:

TRONG

 Tì
2.2 Ca
.
1:

t

r t

c

12

.
ê


1,

kệ

A2, ..An

1,

(α).

k2,.,kn

1+

k2+ ….+

uuur
uuuur
uuuur
k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn

(α)

n

.

:
uur

uuur
uuur r
k1 IA1 + k 2 IA2 +...+ k n IAn  0

 Tì
th

n
uuuur
uuuuur
uuuuur
uuur
uuur
k1 MA1 + k 2 MA 2 +...+ k n MA n = (k1 + k 2 +...+ k n )MI = k MI
uuur
 Tì
tr c
h MI t g tr nh nh t
1: Cho ư ng th ng  d :

x- 4 y+1 z
=
=
1
1
1

h

A  0;1;5 ,


tr n
o cho
B 0;3;3 Tì
uuuur uuur
1) MA + MB c g tr nh nh t.
uuuur uuur
2) MA - 4MB c g tr nh nh t.

:
uur uur r
th IA + IB = 0 thì
tr ng
uuuur uuur uuur uuur uuur uur
uuur
MA + MB  MI + IA + MI  IB  2 MI c g

1)
Kh
uuur

<=> MI nh nh t <=>
ư ng th ng
T
c

c

hình ch


ng g c c

r
u = (1; 1; 1)

tc

I(0; 2; 4)
tr nh nh t

hương trình th

uuur

n ư ng th ng .

x = 4 + t

d: y = -1 + t
z = t


(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) h
hình ch
uuur r
n ư ng th ng thì IM.u  0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
( 5; 0; 1).
uur

uur


ng g c

r

2)
(x; y; z) th JA - 4JB = 0
T c : (0 –x; 1 –y; 5 – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0)
=>x = 0; y =
Giao viên:

13
7
,z=
5
3

(0;
-

13 7
; )
5 3
-T

Trang 3/33


SKKN:


TRONG

12

uuuur uuur uuur uur
uuur uur
uuur
uuur
MA - 4MB  MJ+ JA- 4(MJ  JB)  3MJ  3 MJ c g

Kh
h

hình ch

ng g c c

tr nh nh t

n ư ng th ng .

uuur
18
17
T
(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t - ; t - ) h
hình ch
5
5
uuur r

ng g c c
n ư ng th ng thì JM.u  0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
uuuur
uuur
( 5; 0; 1) thì MA - 4MB c g tr nh nh t.

2: Cho
t h ng (α):
B -2;1;2 , C1;-7;0 Tì

–
+3 +1 =
tr n t h ng (α)

uuuur uuur uuur
1) MA + MB  MC c g tr nh nh t.
uuuur uuur uuur
2) MA -2MB  3MC c g tr nh nh t.

A 1;0;1 ,

o cho :

:
th

1)

uuur uuur uuur r
GA + GB +GC = 0 thì


tr ng t

c

t

g c

C

(0;-2;1)
T c

uuuur uuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuuur uuur
uuuur
MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = 3 MG c g

tr

nh nh t hr
hình ch
nh n n = (2; -2; 1)

ng g c c
n t h ng (α)
cto ch hương
x = 2t


y = -2-2t
hương trình th
z = 1+3t

T
ng
t ngh
hương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0  17t  17  0  t  1
uuuur uuur uuur
(- ) thì MA + MB  MC c g tr nh nh t.
uur

uur

uur

r

2)
I(
)
th IA -2IB  3IC  0
T c (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23
3
23 3
 x = 4; y = - ; z = I(4;  ;  )
2
2

2
2
uuuur uuur uuur uuur uur
uuur uur
uuur uur
uuur
T c : MA -2MB  3MC = MI+IA -2(MI  IB)  3(MI  IC) = 2MI c
nh nh t h

Giao viên:

hình ch

-

ng g c c

-T

n

g

tr

t h ng (α)

Trang 4/33



SKKN:

TRONG

hương trình th

T

ng

t

12


x = 4+2t

23

: y =  -2t
2

3

z =  2 +3t
ngh
hương trình:

73
73

23
3
0t
 2t)  3(   3t)  10  0  17t 
2
34
2
2
uuuu
r
uuu
r
uuur
5
245 135
M(  ; 
;
) thì MA -2MB  3MC t g tr nh nh t.
17
34
17

2(4  2t)  2( 

2:
….+

n

1


A2 ….An

(

=k.
= k1MA12  k2 MA22  ...  kn MAn2

1,

k2 ….

n

)

1+

k2+

:
uur
uuur
uuur r
k1 IA1 + k 2 IA2 +...+ k n IAn  0

- Tì
th
n
: T = k1MA12  k 2MA 22  ...  k nMA n2 =

uuur uur
uuur
= (k1 +...+ k n )MI2 + k1IA12  k 2IA 22  ..  k nIA 2n + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IAn )
= kMI2 + k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n
Do k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n h ng
,
th c T nh nh t ho c n nh t
h
nh nh t h
hình ch
ng g c c
n
t h ng h
ư ng th ng.
:
T
1+ k2+ ….+ n = k > 0,
-

k1+ k2+ ….+
.

n

= k < 0,

1: Cho t h ng (α): + + +
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tì
tr n t h ng (α) o cho

2) Tì
tr n t h ng (α) o cho
nh t.

Giao viên:

-

-T

hi
=

(1; 2; -1),

2

+ MB2 c g tr nh nh t.
2
- MB2 – MC2 c g tr n

Trang 5/33


SKKN:

TRONG

12


:
uur uur r
tr ng
IA + IB = 0 thì
uuur uur
uuur uur
T c : MA2 + MB2 = (MI + IA) 2 +(MI + IB) 2

(

1)

) th

3 3
I (2; ;  )
2 2

uuur uur uur
 IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI2
2
2
Do IA 2 + IB2 h ng
n n
+ MB2 nh nh t h
c g tr nh
nh t h
hình ch
ng g c c r n (α)
ư ng th ng

c tc n α  (1; 2; 2)

x = 2+t

3

hương trình th
: y = + 2t
2

3

z
=

+2t

2
T
ng
t ngh
hương trình:
3
3
2  t  2(  2t)  2(  2t)  7  0  9t  9  0  t  1
2
2
1 7
 M (1;  ;  )
2 2

1 7
2
M (1;  ;  ) thì
+ MB2 c g tr nh nh t.
2 2
:
AB 2
2
2
2
+ MB = 2MI +
, do AB2
2
2
2
2
+ MB
(α).
uur

uur uur

r

2)
(
)
th JA - JB -JB = 0
(1


x;
2

y;

1

z)

(3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0;0;0)
Hay
3  x  0

 3  y  0  J(3; 3;0)
z  0

uuur uur
uuur uur
uuur uur
T c : MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 - (MJ + JB) 2  (MJ + JC) 2

uuur uur
uur uur
 J A 2  JB2  JC2  MJ 2 + 2MJ(JA  JB  JC)
 JA 2  JB2  JC2  MJ 2

Giao viên:

-


-T

Trang 6/33


SKKN:

TRONG

12

Do JA 2  JB2  JC 2 h ng
n n MA2 - MB2 – MC2
nh t h
hình ch c
tr n t h ng (α)

hương trình th
ng

t

c
x = 3+t

: y = -3+ 2t
z = 2t

ngh
hương trình:


3  t  2(3  2t)  2.2t  7  0  9t  4  0  t  
 M(

nh

r
tc n α  (1; 2; 2)

ư ng th ng

T

n nh t h

23 35 8
; ; )
9
9
9
23 35 8
M ( ;  ;  ) thì
9
9
9
2: Cho ư ng th ng

2

c


- MB2 – MC2 c g tr
hương trình:

4
9

n nh t.

x-1 y-2 z-3
=
=
1
2
1

( 1 - ) ( -1 ) C( 3 3)
tì
2
2
1) MA - 2MB c g tr n nh t
2) MA2 + MB2 + MC2 c g tr nh nh t.

tr n

c c

o cho

:

uur

uur

r

1)
(x; y; z)
th IA -2 IB = 0
Hay: ( x;1  y; 2  z)  2(2  x; 1  y; 2  z)  (0;0;0)

T c

4  x  0

 3  y  0  I(4; 3;6)
- 6+z  0

uuur uur
uuur uur
2
- 2MB2 = (MI + IA) 2  2(MI + IB) 2

uuur uur
uur
 IA 2  2IB2  MI 2 + 2MI(IA  2 IB)  IA2  2IB2  MI2
2
Do IA 2 - 2 IB2 h ng
n n
-2 MB2 n nh t khi MI2 c g tr nh

nh t h
hình ch
ng g c c
n .
x = 1+t
r

ư ng th ng c tc u  (1;2;1) , phương trình th
d: y = 2+ 2t
z = 3+ t

Giao viên:

-

-T

Trang 7/33


SKKN:

TRONG

12

uuur

M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) h
ng

g c
c
n
ư ng
th ng

hình ch
thì

uuur r
2
1 2 7
IM.u  0  6t  4  0  t    M ( ; ; )
3
3 3 3
1 2 7
2
M ( ; ; ) thì
- 2MB2 c g tr n nh t
3 3 3
:
M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t)
2
- 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2
= - 6t2 – 8t +5
f (t )   6t 2 – 8t  5 t  R
th

C


f '(t )   1 t – 8t f '(t )   t  

oh
ng

2
3

n th n


t



f’( )

+

2
3



0
23
3

f(t)



Từ

ng

n th n t th

Hay MA2 - 2MB2 c g tr



f(t)

t g tr

n nh t h t  

1 2 7
3 3 3
uuur uuur uuur

2
3

n nh t h M ( ; ; )

r

2)
(x; y; z)

th GA + GB +GC = 0 thì
tr ng t
t g c
C
(2; 1; 1). uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
T c : MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) 2 + (MG + GB) 2 +(MG + GC) 2
uuuur uuur
uuur uuur
2
2
2
2
= GA  GB  GC +3MG + 2MG(GA  GB  GC)
2
2
2
2
= GA  GB  GC +3MG
2
2
2
2
Do GA  GB  GC h ng
n n
+ MB2 + MC2 nh nh t h
nh nh t h
hình ch
ng

g cc
n ư ng th ng .
uuuur
M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)

Giao viên:

-

-T

Trang 8/33


SKKN:

TRONG

12

hình ch

ng g c c
n
uuuur r
1
1 5
GM.u  0  6t  3  0  t    M ( ;1; )
2
2 2


Khi

1 5
M ( ;1; ) thì
2 2

2

:
(α)

(α) .

,B

thì

+ MB2 + MC2 c g tr nh nh t.
(α)

3: Cho

ư ng th ng

+

+

+

+

.
:
(axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì
nằ
h h
(α)
+
nh nh t h
th c
h
g o
c (α)
.
2.
(axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì
nằ
t
h
(α) Kh
t tì
ng
(α). Do MA +
=
+
t g tr nh nh t h
th c
h
g o

c (α)
.
1.

1: Trong h ng g n
h t
hương trình: –
–
+ =
h
tr n t h ng (α) o cho
+

cho
t h ng (α) c
(1 1 ) (
) Tì
c g tr nh nh t

:
Th t
c
c (α)
T c
+
ư ng th ng

o hương trình (α) t th
c g tr nh nh t uuu
hr

g o
nh n AB  (1; 1;0)

hương trình th
T

ng

c
t

h

nằ
c
cto ch

h

(α)
hương

x  2  t

:  y  t
z  2


ngh


hương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
 3t  2  0  t  

4 2
3 3

h

Hay M ( ; ; 2)

c n tì .

Giao viên:

-

-T

2
3

Trang 9/33


SKKN:

TRONG

12


2: Cho t h ng (α) c hương trình: x – y +
=
A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2)
tì
tr n
1)
+
c g tr nh nh t
2) MA - MC c g tr n nh t.

1) Th
h c

t
(α)

:
o hương trình (α) t th

c
ng

(α)

g o
c
ư ng th ng
cto ch hương

ng g c


o cho

h

nằ

c g

(α)

t

tr nh nh t h

uur
nh n n  (1; 1;2)

(α)

x  1 t

:y  2 t
 z  1  2t


hương trình th
T

+


m

hình ch

ng g c

c

tr n (α) ng

tc

1
2

hương trình
3 3
2 2

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =  H( ; ; 0)
o

x A ' = 2x H  x A  2

n n y A ' =2y H  y A  1  A '(2; 1; 1)
z = 2z  z  1
H
A
 A'


tr ng
uuur

tc A'B  (1;0; 3)

c

x  2  t

: y  1
z  1  3t


hương trình th
T

ng

t

ngh

hương trình:

2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0  5t  3  0  t 
13
4
M ( ;1;  ) thì
5

5

+

13
4
3
hay M ( ;1;  )
5
5
5

c g tr nh nh t.

2) Th t
c
C o hương trình (α) t th h
h c (α)
n n
C nằ c ng
t h
(α)
T th MA - MC  MA' - MC  A'C .
Nên MA - MC t g tr n nh t khi th c C nhưng
C t c
g o
c
C (α)
Giao viên:


-

-T

nằ

h ngo

h

o n

Trang 10/33


SKKN:

TRONG

ư ng th ng

Cc

uuuur

tc A'C  (1; 3; 3)
x  2  t

C: y  1  3t
z  1  3t



hương trình th
T

ng

12

t

ngh

hương trình:

2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0  4t  3  0  t 
5 5 5
M ( ;  ;  ) thì MA - MC c g
4 4 4

tr

5 5 5
3
hay M ( ;  ;  )
4
4 4 4

n nh t.


4:

.

,B
+

.

:
A

1.
T
2.
T
-

ó

như
:
t hương trình t h ng (α)
Tì g o
Mc
(α)
K t n
c n tì .
A k
ó

như
:
ư hương trình c
ng th
t
T nh
th c
+ MB theo t t h
T nh g tr nh nh t c h
(t) từ
T nh t
c
t n.
1: Cho ư ng th ng  d :

D(3; 6; -3)

tì

ng g c

tt

o cho

th o th

(t) = MA + MB
r t


x-1 y + 2 z-3
=
=
2
2
1

tr n

c

C+

h

C(-4; 1; 1),
t g tr nh nh t.

:
 x  1  2t

ư ng th ng c hương trình th
 y  2  2t
z  3  t
 uuur
r
(1 - 3) c tc u  (2; 2;1)
CD  (7;5; 4)
r uuur
T c u . CD = 14 -10 – 4 = 0  d  CD

Giao viên:

-

-T

Trang 11/33


SKKN:

TRONG

12

t t h ng ( )
C
ng g c
r
( )
C(- 1 1) nh n u  (2; 2;1)
cto h t n
hương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
th c th
C+
t g tr nh nh t h
g o
c
(P).
T

ng
t ngh
c
hương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0  9t + 18  0  t  2
(-3; 2; 1) thì C +
t g tr nh nh t ằng: 2  2 17
2: Cho h
o cho
+

(3
) ( 1
t g tr nh nh t

)

tì

:
r
c
tc i  (1;0;0) qua O(0; 0; 0)
c
tc
r uuur
i.AB  1  0 
h ng
ng g c.
r uuur uuur

T c [i, AB]OA = (
1)(3
)= +6+ =8n n

hương trình th

c

M  Ox  M (t;0;0)

tr n tr c

uuur
AB  (1;1; 2)

ch o nh .

x  t

: y  0
z  0


S = MA + MB = (t -3)2  0  4  (t -2)2  1  0 = (t -3)2  4  (t -2)2  1
T h tì t o cho S t g tr nh nh t
Trong
t h ng t
h
tc c
h

t(t; 0)  Ox
At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt
T th
c ng h
n nt
ng
t, Bt nằ
t (3 - )
t
qua Ox.
hương trình ư ng th ng t'Bt : 3x + y – 7 = 0
S = MtAt + MtBt nh nh t h
g o
c
t'Bt  3t - 7 = 0
7
3

7
M ( ;0;0)
3

hay t  .
k
 Từ
Ta x t h

Giao viên:

c n tì .


:

.
th c S = (t -3)2  4  (t -2)2  1
f  t   (t -3)2  4  (t -2)2  1 ( t ¡ )

-

-T

Trang 12/33


SKKN:

TRONG

C

 t  3

(t  3)

 t  3

2

 t  3 2  4
t 3


f t   0 



t 3

f t  

oh

4

n

t



2

4



12

t  2

 t  2 2  1

t 2

t  2

(t  2)
2

t 2



1

2

1

0

(*)

3t c :

(*)   t  3 [ t  2   1]   t  2  [ t  3  4]
2

2

2


  t  3  4  t  2 
2

ng

n th n c

h

2

2

t  1 [2;3]
t  3  2(t  2)
 7

t 
t  3  2(t  2)
 3
f(t) :
7
3



t
f’( )

-




0

+




38  10
3

f(t)

Từ

ng

7
 

r min f  t   f   =
3

n th n

MA + MB

t g tr nh


nh t ằng

38  10
3

38  10
,
3

t ư ct

t

7
t c
3

7
3

M( ; 0; 0)
3: Cho ư ng th ng  d :
(1
)
nh nh t

tì

tr n


x-2 y-2 z -1
=
=
v h
2
2
1

o cho ch

t

g c

(-1 1 1)
t g tr

:
Giao viên:

-

-T

Trang 13/33


SKKN:


TRONG

ư ng th ng

c

12

 x  1  2t

 y  2  2t
z  1 t
 uuur
AB  (2;3; 1)

hương trình th
r

(1
1) c tcp u  (2;2;1)
r uuur
T r cuuuruuuu
. CD
= 4 + 6 – 1 = 9 ≠  h ng
ng g c
r
ch o nh
[u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 
- Ch
t g c

2p = 2(MA + MB +
) o
h ng
n n
t g tr nh nh t h
+
t g tr nh nh t.
t
+
t g tr
M  d  M (1  2t; 2+2t;1  t ) , t h tì t
nh nh t
t f  t   MA + MB = (2t  2)2  (2t  1)2  t 2  (2t )2  (2t  2)2  (t  1)2
f  t  = 9t 2  12t  5  9t 2  6t  5 = (3t  2) 2  1  (3t  1) 2  4

C

3t  2

f '(t ) 

oh

f '(t )  0 


(3t  2) 2  1

3t  2
(3t  2) 2  1

3t  2
(3t  2)  1
2




3t  1



(3t  1) 2  4

3t  1
(3t  1) 2  4
(3t  1)

0


(3t  1)  4
2

2
1
t
3
3

 (3t  2) 2[(3t  1) 2  4]  (3t 1) 2[(3t  2) 2 1]


 5
t  3
 2(3t  2)  3t  1
1
2
2
 4(3t  2)  (3t  1)  

t
3
 2(3t  2)  3t  1 t   1

3

ng

n th n c

h

f(t) :



t
f’( )




-

1
3



0

+





f(t)
T th
Giao viên:

f(t)

32

t g tr nh nh t ằng 3 2 khi t = 
-

-T

1
3

Trang 14/33


SKKN:

TRONG

2 4 1
M( ; ; ) thì
3 3 3
:

+

12

t g nh nh t ằng 3 2

.

5:

N d2

1,d2

 d1,

.
trên.

:

t hương trình h
ư ng th ng
ng th
 d2 ( t
y M  d1
th o
th
).
-

uuuur r
h
hương trình MN.u1  0
r r
uuuur r
MN.u2  0 ( u1, u2
c c ctơ ch
hương c
- Tì t
1: Cho h
d1 :

1

2

).
t


n.

ư ng th ng

x-5 y+1 z -11
x+ 4 y-3 z - 4
=
=
=
=
, d2 :
1
2
-1
7
2
3

1) Ch ng
2) Tì

nh

1,

d2 ch o nh

 d1


 d2

o cho

ng n nh t.

:
uur
1) d1 qua M1(5 -1 11) c tc u1  (1;2; 1)
uur
d2 qua M2(-4; 3; 4) c tc u2  (7;2;3)
uur uur uuuuuur
T c [ u1 , u2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168  0
Hay d1
2 ch o nh .
 d2 o cho
2). M  d1
ng n nh t h
o n
ng g c ch ng c
1
2.
hương trình th
c h ư ng th ng

ch

h

x  5  t

x  4  7t


d1: y  1  2t , d2: y  3  2t
z  11  t
z  4  3t



M  d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N  d 2 nên N(-4 – t 3 + t

+ 3t )

Giao viên:

Trang 15/33

-

-T


SKKN:

TRONG

12

uuuur
MN  ( - t - t – 9 t – t + 3t + t – 7)

uuuur r

MN
.u1  0
6t ' 6t  6  0
t  2





T c  uuuur r
62
t
'

6
t

50

0
MN
.
u

0

t '  1
2



o

(

3 9)
(

(3; 1; 1)

3 9)

(3; 1; 1) thì

ng n nh t ằng 2 21 .

x  2  t
2: Cho ư ng th ng : y  4  t
 z  2


Tì

tr n

o cho t

h


g c

(1;2; 3),B(1; 0; 1)

c

n t ch nh nh t

:
tr n
n

g cc
- T

g c

hình ch

c

n t ch S =

1
AB.MH
2

ng
tg


tr nh nh t h
nh nh t h
o n
ng g c ch ng c
.
r
T th d qua M1(2; 4 - ) c vtcp u  (1;1;0)

uuur
uur
AB  (0; -2;-2) = 2u1

AB qua A(1; 2; 3)
uur
u1  (0;1;1)
c tơ ch

hương c

x  1

y  2  t '
z  3  t '


hương trình th

uuuur
M(2 + t; 4+ t; -2)  d ,H(1; 2+ t ;3+t )  AB , MH  ( -t -1 t – t -2 t +5)
uuuur r


MH
.u  0
t ' 2t  3
t '  3



uuuu
r
u
u
r


T c 
2
t
'

t


3
MH
.
u

0


t  3

1

(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) h
n t ch S MAB 

Giao viên:

= 2 3 , AB = 2 2

1
AB.MH  6
2

x- T 0

3: Cho ư ng th ng : y  t
Trong c c
z  2  t

-

Trang 16/33

tc

t

c



SKKN:

TRONG

12

:
tc

-

(S) c t

n

nh

t
- Ta th
=
+
≥
o
2R = MN h
ch h
nh
ch ng c
.

ư ng th ng
(
) c tc
(
) c tc

r
r r uuuu
[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2

tc
nh t h

c

t

(S) c

ư ng
o n

t

c

nh nh nh t
ng g c

r

u  (0;1; 1)
r
i  (1;0;0)

0n n
ch o nh .
uuuur
MN  ( t -t; t – 2)
) Ox

(t

M(0; t; 2- t) d

t

uuuur r

t  t  2  0
t  1
MN.u  0


uuuu
r
r



T c

t '  0
t '  0

MN.i  0
(
tc

1 1)

(

MN

2
1
1
(S): x 2  ( y  ) 2  ( z  ) 2 
2
2
1 1
2 2

(S) c t

hương trình

)≡
n

(0 ; ; )

tc

nh

=

2
2
1
2

ê

2.2
.

1:

,B.
(α)
.
:

hình ch
ng g c c
n t
h ng (α) h
t
g c
ng t

kho ng c ch ( (α)) =
( (α))
n nh t ằng
h
≡
h
(α)
t
h ng
ng g c
.
Giao viên:

-

-T

Trang 17/33


SKKN:

TRONG

1:
t hương trình
(3 -1 - )
t ho ng

12


t h ng (α)
n nh t.
G

(1 -

3)

c ch

:

(α) c ch
(3 -1 - )
t ho ng n nh t h (α)
t h ng
ng g c i DI.
uur
(α) nh n DI  (2; 1; -5)
cto h t n
hương trình t h ng(α): ( -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0
 2x + y – 5z + 15 = 0

2: Cho h
Trong c c
c (S) c

(


tc
t
n nh n nh t.

1 3)
t

(1 -1 1) g (α)
t h ng
c
(α) h
t hương trình

t

:
tc

(S) c

n

nh

= d(A (α))

n nh t h (α)

ng g c


uuur
BA  (1; 2; 2)
ctơ h t n c (α)
hương trình (α): 1( -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0  x + 2y + 2z – 1 = 0
1  1  6 1
3
R = d(A (α))
2
2
2
1 2 2
hương trình t c (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
.

2:
(α)

(α)
:

hình ch
ng g c c
n
t h ng (α) K
hình ch
ng g c c
lên ∆
T c (A; (α)) =
K n nh t thì
≡K h

(α)
t h ng
∆
ng
g c
K. Hay (α) qua ∆
ng g c
(∆ )
1: Cho
trình
t h ng (α)
nh t.

Giao viên:

(

-

1 3)
h

(3

-T

) C( - 1)
t hương
c ch C
t ho ng n


Trang 18/33


SKKN:

TRONG

12

:
c ch C
(ABC).

t h ng (α)
h
t ho ng
h
ng g c
uuur
uuur
AB  (1; 1; 1) , AC  (2; 3; 2)
r uuur uuur
( C) c
ctơ h t n n  [AB, AC]  (1;4; 5)
uur r uuur
(α) c
ctơ h t n n  [n, AB]  (9  6; 3)  3(3;2;1)
hương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
 3x + 2y + z – 11 = 0

2: Cho h

ư ng th ng d1 :

n nh t h (α)

x  2 y 1 z 1
x
y  3 z 1



, d2 : 
1
2
2
2
4
4

1) Ch ng nh h ư ng th ng tr n ong ong
nh .
2) Trong c c
t h ng ch
t hương trình
1 h
o cho ho ng c ch g
(α)
n nh t.
2


t h ng (α)

:
uur
1) d1 qua M1( 1 -1) c vtcp u1  (1;2; 2)
uur
d2 qua M2(0 3 1) c vtcp u2  (2; 4;4)
uur
uur
M1  d 2 nên h
Ta th u2  2u1
ư ng th ng
ong ong
nh .
2)
t (α1)
t h ng ch
1
2 thì (α1) c
ctơ h t n
r
uur uuuuuur
uur
n1  [u1, M1M 2 ]  (8;2;6)  2(4;1;3)  2n2
Kho ng c ch g
(α)
n nh t h (α) h
2
ng g c

(α1).
uur uur
o
(α) nh n [u1, n2 ]  (8; 11; 7)
ctơ h
t n, qua M1(2; 1; -1).
hương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0
hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.
(α)

3:

(α)

(α).

(α)
.
:
hình ch c
n ∆ t th
ho ng c ch từ
n ∆ n nh t h
≡ h ∆
ư ng th ng nằ trong
Giao viên:

-

-T


(B; ∆) =

AB

Trang 19/33


SKKN:

TRONG

12

(α)

ng g c
.
K hình ch
ng g c c
B lên (α) h
(B; (α)) =
≥ K
ho ng c ch từ
n ∆ nh nh t h
K≡ h ∆
ư ng th ng qua hai
, K.
1: Cho t h ng (α): – + + 15 =
t hương trình ư ng th ng ∆ nằ tr n (α)

( 3 5)
t ho ng :
1) h nh t .
2)
n nh t.

T th
1)

(α)c
ctơ h
hình ch

(-3; 3; -3).
c ch

:
uur
n n  (2; 2;1)

t

ng g c c

n (α)

x  2  2 t

: y  3  2t
z  5  t



hương trình
T

ng
t ngh
c
hương trình:
2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0  t  2 hay H(-2; 7;uuu
3)r
T th
d(B; ∆) nh nh t h ∆
h
,H o
AH  (1;4;6)
c tơ ch hương c ∆.
hương trình c

∆:

x+3 y-3 z +3


1
4
6

2) T th
(B; ∆) n nh t h ∆

ư ng th ng nằ
ng g c
.
uur uuur uur
∆c
ctơ ch hương u  [AB, n ]  (16;11; 10)
hương trình c
2:
g c
ho ng

∆:

trong (α), qua A

x+3 y-3 z +3


16
11 10

t hương trình ư ng th ng ∆
ư ng th ng :

x-3 y+2 z +5


1
2
3


C(
c ch

-1 3)
(

-

1)

ng
t

n nh t.
:

Giao viên:

-

-T

Trang 20/33


SKKN:

TRONG


12

r

t h ng (α)
C
ng g c
d, (α) nh n ud  (1;2; 3)
h t n thì ∆ nằ trong (α).
o
(D; ∆) n nh uu
t r h ∆uuunằ
trong (α)
C
ng g c
r uur
∆c
ctơ ch hương u  [CD, n ]  (1; 8;5)
t

hương trình ∆:

C .

x-2 y+1 z -3


1
8
5


3: Cho h

(

1 -1)

(-1

x  1  t

ư ng th ng : y  0
z  t


)

t hương trình t h ng (α)
t hương trình ư ng th ng ∆1
c ch từ
n ∆1 n nh t.
3)
t hương trình ư ng th ng ∆2
c ch từ
n ∆2 nh nh t.
1)
2)

1) ư ng th ng


(2; 0; 0) c

uur uuur
uur
[ud , MB]  (2;2;2)  2(1;1;1)  2n
uur
(α)
nh n n  (1;1;1)

t

c t

o cho ho ng

n

(A, ∆1) nh nh t h ∆1

t

ngh

hương trình:

2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0  3t  1  0  t  
uuur
8 4 4
BH  ( ; ; ) 
3 3 3

r
uur
ud
T th u1

o cho ho ng

h

x  2  t

: y  1  t
z  1  t


hương trình th
ng

.
c t

: r
uuur
tc ud  (1;0; -1) , MB  (2;2;0)

ctơ h

hương trình (α): x + y + z – 1 = 0
2)
hình ch

c
n (α)
,H.

T

ctơ

uur
4
4 uur
(2; 1; 1)  u1  ∆1 nh n u1
3
3

h ng c ng hương n n

5 2 4
1
 H( ; ; )
3 3 3
3

c tơ ch
∆1 c t nh

hương

( o c ng th c


t h ng (α))
hương trình ∆1:
Giao viên:

x+1 y-2 z


2
1 1
-

-T

Trang 21/33


SKKN:

TRONG

12

3)
K hình ch
c
n ∆2 t c (A, ∆2 ) = K
(A, ∆2 )
n nh t uurh uuu
Kr ≡ h ∆2 nằ trong (α) uur ng g c
.

uur
T c [n , AB]  (0; 4;4)  4(0;1; 1)  4u2  ∆2 nh n u2
c tơ ch
r
uur
ud h ng c ng hương n n
hương
t h c u2
∆2 c t nh ( o
c ng th c
t h ng (α))
 x  1

hương trình ∆2: y  2  t
 z  t


:
2
v

3 trong

3.

∆
ư ng th ng t ý
c t g
∆ c t
uuur

N(1+t, 0;-t) h
∆c
c tơ ch hương NB  (2  t;2; t )
uuur
uuur uuur
T c AB  (3;1;1) , [NB, AB]  (2  t;2  2t;4  t)

t

uuur uuur
[NB, AB]
(2  t )2  (2  2t )2  (4  t ) 2
3t 2  10t  12
(A;∆) =
=

uuur
t 2  2t  4
NB
(2  t )2  22  (t )2
f (t ) 

th

3t 2  10t  12
c
t 2  2t  4

16t 2  64t
f '(t )  2

(t  2t  4) 2

t R

t  2
f '(t )  0  
t  2

ng

n th n c
t


f (t )

-2

f’( )

+

0



2
-

0


11

+
3

f(t)
1
3

3
Từ

ng n th n t th :
uuurd(A;∆) n nh t ằng 11 khi t = -2  N(-1; 0;2)
NB  (0;2; 2)  2(0;1; 1)

Giao viên:

-

-T

Trang 22/33


SKKN:

TRONG


ư ng th ng c n tì

c

 d(A;∆) nh nh t ằng

12

hương trình

 x  1

: y  2  t
 z  t


1
khi t = 2  N(3; 0;-2)
3

uuur
NB  (4;2;2)  2(2; 1; 1)

ư ng th ng c n tì

c

hương trình

:


(α)
(α)

4:
song

x+1 y-2 z


2
1 1

(α)

.

(α)
.
:

ư ng th ng
ong
ong
g o
c
(α).
t (P) l
t h ng (d1, ∆)
hình

.
ch
ng g c c
n( )
1
T th
ho ng c ch g
∆
n n
n nh t h ≡
h
1

1: Cho ư ng th ng :
4=

∆c

x-1 y-2 z -3


1
2
1

uur uur uur
tc u  [BI , n ] .

t h ng (α):


( -1; 1; 1). t hương trình ư ng th ng ∆ nằ
o cho ho ng c ch g
∆
n nh t.
:

ư ng th ng d c
hương trình th

r
u  (1; 2; -1), (α) c

tc

tr n (α)

uur
t t n  (2; -1; 1)

x  1  t

: y  2  2t
z  3  t


g o
c
(α), t
ng
t ngh

2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0  t = -1  B(0; 0; 4)
t 1
ư ng th ng
ong ong

hương trình:

x  1  t

ư ng th ng 1: y  1  2t
z  1  t


hương trình th
Giao viên:

–y–z+

-

-T

Trang 23/33


SKKN:

TRONG

12


hình ch
nguurg c c
n 1
 I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI  (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
uur r
T c BI.u  0  -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0  t = -1  I(-2; -1; 2)
uur uur uur
ư ng th ng ∆ c tc u  [BI , n ] = (-5; -10; 4)
x+1 y-1 z -1


5 10
4

hương trình ∆:
2: Cho

t h ng (P):

+

–

+ 1=

(1 -1

)


ư ng

th ng ∆ :

x+1 y
z-4
= =
2
1
3

Trong c c ư ng th ng

ong ong

ong
g

(P) h
t hương trình ư ng th ng
∆ n nh t.

o cho ho ng c ch

:
=

t h ng (α)
nằ tr n (α).


ong ong

(P) c

r
ư ng th ng ∆ c vtcp u  (2;1;-3), (α) c

uur
n
t t   (1;1;-1)

x  1  2t

∆: y  t
z  4  3t


hương trình th
g o

c

∆

(α) t

-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0  t =
t ∆1

hương trình: x + y – z + 2= 0


ư ng th ng

ng

t

ngh

hương trình:

1
1 5
 B(0; ; )
2
2 2

ong ong

∆

x  1  2 t

ư ng th ng ∆1: y  1  t
z  2  3t


hương trình th
hình ch


ng g c c

uuur
3
BH  (1 + 2t; t - ; -3t)

n ∆1  H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t),

2

uur r
BI.u  0  2 + 4t + t -

3
1
+ 9t = 0  t = 
2
28
r
uuur 13
43 3
1
1
 BH =( ;  ;
) = (26; -43; 3) = u1
14
28 28
28
28


T c

ư ng th ng d c
Giao viên:

uur uur uur
tc ud  [u1, n ] = (40; 29; 69)
-

-T

Trang 24/33


SKKN:

TRONG

hương trình d :

12

x-1 y+1 z -2


40
29
69

5:


1

.
.

2

(α)

1

2

:
t ư ng th ng t
∆3 ong ong
∆2
c
nh tr n ∆3 v
hình ch
ng g c c
·
cg
(α) ∆2 g c IMH
Trong
t
g c
ng
c


c t ∆1 t
n
(α)

 ∆1

HM MJ

h ng
IM IM
·
Suy ra g c IMH
n nh t h
· =(∆ ∆ )
IMH
h
(α)
1 2

· =
cos IMH

=
h
≡
t h ng ch
∆1 ng th
ng
g rc r

t h ng (∆1 ∆2)
r
Kh
(α) nh n [u1 ,[u1 , u2 ]]
ctơ h
t n.
1: Cho ư ng th ng :
4; -3; 4).
n nh t.

t hương trình

x-2 y+1 z-1


2
1
1

h

t h ng (α) ch

AB

:

r

( 3; -4; 2), B(

t o

tg c

d

uuur

ư ng th ng
( -1 1) c tc u  (2; 1; 1) , AB  (1;1;2)
r
r uuur
=> n = [u, AB]  (3; 3;3)  3(1;1; 1)
r uuur
t h ng (α)
nh n [n, AB]  (3; 3;0)  3(1; 1;0)
h t n
hương trình
(α): 1( – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
2 1  2 3

Kh
co ((α) ) =
5
5 5

Giao viên:

-


-T

cto

Trang 25/33