GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ

Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng:

-

Tính chất của phép cộng , phép nhân

-

Các phép toán về lũy thừa:

an = a.a....a ;

am.an = am+n ;

am : an = am –n ( a  0, m  n)

n

(am)n = am.n ;

a
an

( a.b)n = an .bn ; ( )n  n (b  0)
b
b

2 . Một số bài toán :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

1


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an

b) Tính tổng : A =

c
c
c
với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k

 ...... 
a1.a2 a2 .a3
an1.an

HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an  aS = a + a2 +…..+ an + an+1
Ta có : aS – S = an+1 – 1  ( a – 1) S = an+1 – 1
Nếu a = 1  S = n
Nếu a khác 1 , suy ra S =
b) Áp dụng
Ta có : A =

a n 1  1
a 1

c
c 1 1
 (  ) với b – a = k
a.b k a b

c 1 1
c 1 1
c 1
1

(  )  (  )  .....  (
 )
k a1 a2 k a2 a3
k an1 an

=

c 1 1 1 1
1
1
(     ...... 
 )
k a1 a2 a2 a3
an1 an

=

c 1 1
(  )
k a1 an

Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2
b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2

Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) A = (

b)


B

HD : A =

Bài 4:

1
1
1
1 1  3  5  7  ...  49


 ... 
)
4.9 9.14 14.19
44.49
89

212.35  46.92

 2 .3  8 .3
2

6

4

5




510.73  255.492

125.7 

3

 59.143

9
7
;B=
28
2

1
1
1


1, Tính: P = 2003 2004 2005
5
5
5


2003 2004 2005




2
2
2


2002 2003 2004
3
3
3


2002 2003 2004

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

2


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính:

S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203

3 3 


0,375  0,3  
 1,5  1  0,75
 1890
11
12

:
Bài 5: a) TÝnh A 

 115
 2,5  5  1,25  0,625  0,5  5  5  2005


3
11 12 


b) Cho B 

1 1 1 1
1
1
 2  3  4  ...  2004  2005
3 3 3 3
3
3

Chøng minh r»ng B 


1
.
2

5
5
1
3
 1
13  2  10  . 230  46
4
27
6
25
4
Bài 6: a) Tính : 
2
 3 10   1
1   : 12  14 
7
 10 3   3
1 1 1
1
   ... 
2 3 4
2012
b) TÝnh P 
2011 2010 2009
1



 ... 
1
2
3
2011

HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….
 MS  1 

2012
2010
1
1
 ....  1 
 2011
1
2
2011

 2012 

2012
2012
1 1 1
1
 .... 
 2011 = 2012(    ...... 
)
2

2011
2 3 4
2012

1 1 1 1
(1  2  3  ...  99  100)    (63.1,2  21.3,6)
2 3 7 9
c) A 
1  2  3  4  ...  99  100

Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
 11 3 

1 2
1 31 . 4 7  15  6 3 .19   14  31

 . 1
A

 .
5 1
1
93  50


 4 6  6 12  5 3 





b) Chøng tá r»ng: B  1 

1 1 1
1
1
 2  2  ... 

2
2
2 3 3
2004
2004

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

3


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
2

4
3



 81,624 : 4  4,505   125
3
4


A
2
 11 2


 
2  13
  : 0,88  3,53  (2,75)  :
 25 
 25

b) Chøng minh r»ng tæng:
S

1
1
1
1
1
1
1
 4  6  ...  4 n  2  4 n  ....  2002  2004  0,2
2
2
2

2
2
2
2
2

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

4


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

CHUYÊN ĐỀ 2: BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

1. Kiến thức vận dụng :
-

a c
  a.d  b.c
b d

-Nếu
- Có

a c e
a c e abe

với gt các tỉ số dều có nghĩa
  thì   
b d f
b d f bd  f

a c e
  = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
b d f

2. Bài tập vận dụng
Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức
Bài 1:
HD:

a2  c2 a
a c
Cho  . Chứng minh rằng: 2 2 
b c
b
c b
Từ

a c
 suy ra c 2  a.b
c b

khi đó

a 2  c 2 a 2  a.b


b2  c 2 b2  a.b
=

a ( a  b) a

b( a  b) b

Bài 2: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:

(a  2012b) 2
a
=
(b  2012c) 2
c

HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
= a( a + 2.2012.b + 20122.c)
(b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
= c( a + 2.2012.b + 20122.c)
Suy ra :

(a  2012b) 2
a
=
(b  2012c) 2
c

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

5



GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Bi 3: Chứng minh rằng nếu
HD : t
Suy ra :

a c
5a 3b 5c 3d
thì


b d
5a 3b 5c 3d

a c
k a = kb, c = kd .
b d

5a 3b b(5k 3) 5k 3
5c 3d d (5k 3) 5k 3
v





5a 3b b(5k 3) 5k 3
5c 3d d (5k 3) 5k 3

Vy

5a 3b 5c 3d

5a 3b 5c 3d

a 2 b 2 ab
Biết 2
vi a,b,c, d 0 Chng minh rng :

c d 2 cd

Bi 4:

a c
a d
hoc
b d
b c

HD : Ta cú

ab 2
a 2 b 2 ab 2ab a 2 2ab b 2 (a b)2
(
) (1)


2

=
2
2
2
2
c d
cd 2cd c 2cd d
(c d )
cd
a b 2
a 2 b 2 ab 2ab a 2 2ab b 2 (a b)2
(
) (2)

2

=
2
2
2
2
c d
cd 2cd c 2cd d
(c d )
cd

a b a b
c d c d

ab 2
a b 2
T (1) v (2) suy ra : (
) (
)
cd
cd
ab ba
c d d c

Xột 2 TH i n pcm
Bi 5 :

Cho tỉ lệ thức

a c
. Chứng minh rằng:

b d

ab a 2 b 2

cd c 2 d 2

a 2 b2
ab

2
c d2
cd

2

và

HD : Xut phỏt t

a c
bin i theo cỏc

b d

hng lm xut hin

ab a 2 b2 a 2 c 2 a 2 b 2
a b 2
2
2 2 2
(
)
2
2
cd c d
b
d
c d
cd

Bi 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126


6


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

TÝnh M 
HD : Từ

ab bc cd d a



cd d a ab bc

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d




a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
a
b
c
d

Suy ra :



a bcd a bcd a bcd a bcd



a
b
c
d


Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)

 M 

ab bc cd d a
= -4



cd d a ab bc

Nếu a + b + c + d  0  a = b = c = d  M 

ab bc cd d a
=4



cd d a ab bc

Bài 7 : a) Chøng minh r»ng:
NÕu

x
y
z


a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c


Th×

a
b
c


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z

b) Cho:

a
b c
.
 
b
c d

a
 abc
Chøng minh: 
 
d
bcd 
3

HD : a) Từ




a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
x
y
z





x
y
z
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c

a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c
a



(1)
x
2y
z
x  2y  z
2(a  2b  c) (2a  b  c) 4a  4b  c
b



(2)

2x
y
z
2x  y  z
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

7


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

4(a  2b  c) 4(2a  b  c) 4a  4b  c
c
(3)



4x
4y
z
4x  4 y  z
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :
Bài 8: Cho

a
b
c



x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z

x
y
z
t



y z t z t  x t  x y x y z

chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
P

HD Từ

x y y z z t t  x



z t t  x x y y z

y  z t z t  x t  x  y x  y  z
x
y
z
t








x
y
z
t
y z t z t  x t  x y x y z



y  z t
z t  x
t x y
x yz
1 
1 
1 
1
x
y
z
t



x y  z t z t  x y t  x y  z x y  z t




x
y
z
t

Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t  0 thì x = y = z = t  P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :

yzx zx y x yz


x
y
z

 x 
y  z 
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1  1  1  
y 
z  x 

Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
Biết x,y,z,t thỏa mãn:

x 2010  y 2010  z 2010  t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010

 2  2  2  2
a 2  b2  c 2  d 2
a
b
c
d
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và

a 14 c 11 e 13
;  ; 

b 22 d 13 f 17

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

8


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :

a
b
c

.


2009 2010 2011

Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2

MỘT SỐ BÀI TƯƠNG TỰ

Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d



a
b
c
d

TÝnh M 

ab bc cd d a



cd d a ab bc

Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt

( n là số tự nhiên)



x
y
z
t
và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

9


GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

DNG 2 : VN DNG TNH CHT DY T S BNG NHAU TèM X,Y,Z,

Bi 1: Tỡm cp s (x;y) bit :

1+3y 1+5y 1+7y


12
5x
4x


HD : p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y
2y






12
5x
4x
4x 5x
x
5x 12
5x 12
=>

2y
2y
vi y = 0 thay vo khụng tha món

x 5 x 12

Nu y khỏc 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đ-ợc:
1 3y 2 y

1

y =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =
12
2
15

Vậy x = 2, y =

Bi 3 : Cho

1
thoả mãn đề bài
15

a b c
v a + b + c 0; a = 2012.
b c a

Tớnh b, c.
HD : t

a b c a bc

1 a = b = c = 2012
b c a a bc

Bi 4 : Tỡm cỏc s x,y,z bit :

y x 1 x z 2 x y 3

1



x
y
z
x yz
HD: p dng t/c dóy t s bng nhau:

y x 1 x z 2 x y 3 2( x y z )
1
(vỡ x+y+z 0)



2
x
y
z
( x y z)
x yz
Suy ra : x + y + z = 0,5 t ú tỡm c x, y, z
ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126

10


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126


------------------***-------------------

Bài 5 : Tìm x, biết rằng:
HD : Từ

1  2 y 1  4 y 1  6 y 2(1  2 y)  (1  4 y) 1  2 y  1  4 y  (1  6 y)




18
24
6x
2.18  24
18  24  6 x

Suy ra :

1 1

 x 1
6 6x

Bài 6: T×m x, y, z biÕt:

HD : Từ

1 2 y 1 4 y 1 6 y



18
24
6x

x
y
z


 x yz
z  y 1 x  z 1 x  y  2

(x, y, z  0 )

x
y
z
x yz
1


 x y z 

z  y 1 x  z 1 x  y  2
2( x  y  z ) 2

Từ x + y + z =

1

1
1
1
 x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm
2
2
2
2

x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt

3x 3 y
3z
vµ 2 x 2  2 y 2  z 2  1


8
64 216

Bài 8 : Tìm x , y biết :

2x 1 4 y  5 2x  4 y  4


5
9
7x

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126


11


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

CHUYÊN ĐỀ 3: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHÉP TOÁN ĐỂ TÌM X, Y
1. Kiến thức vận dụng :
-

Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

-

Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

-

 A, A  0
Tính chất về giá trị tuyệt đối : A  0 với mọi A ; A  
  A, A  0

-

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A  B  A  B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB  0; A  B  A  B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

A  m
A  m
A m
(m  0) ; A  m  
(hay  m  A  m) với m > 0
 A  m
 A  m
Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n  0 với mọi A

-

Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)
0< A < B  An < Bn ;
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các bài toán cơ bản
Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)

x 1 x  2 x  3 x  4



2011 2010 2009 2008

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

 x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013
 x.


2011.2012
2.2013
 2012.2013  x 
2
2011

b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ


x 1 x  2 x  3 x  4



2011 2010 2009 2008

( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008



2011
2010
2009
2008

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

12



GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

x  2012 x  2012 x  2012 x  2012



 2
2011
2010
2009
2008
1
1
1
1
 ( x  2012)(



)  2
2011 2010 2009 2008
1
1
1
1
 x  2 : (




)  2012
2011 2010 2009 2008


Bài 2 Tìm x nguyên biết
a)

1
1
1
1
49


 .... 

1.3 3.5 5.7
(2 x  1)(2 x  1) 99

91006  1
b) 1- 3 + 3 – 3 + ….+ (-3) =
4
2

3

x


Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối


Dạng : x  a  x  b và x  a  x  b  x  c

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra
các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a) x  2011  x  2012

b) x  2010  x  2011  2012

HD : a) x  2011  x  2012 (1) do VT = x  2011  0, x
nên VP = x – 2012  0  x  2012 (*)

 x  2011  x  2012  2011  2012(vôly)

Từ (1)  
 x  2011  2012  x  x  (2011  2012) : 2
Kết hợp (*)  x = 4023:2
b) x  2010  x  2011  2012 (1)
Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012  x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x  2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : a) T×m x biÕt x  1  x  3  4
b)

T×m x biÕt: x 2  6 x  2  x 2  4


Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

13


GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

c)

Tìm x biết: 2 x 3 2 4 x 5

Bi 3 : a)Tìm các giá trị của x để: x 3 x 1 3x
b) Tỡm x bit: 2 x 3 x 2 x
Bi 4 : tỡm x bit :
a) x 1 4

b) x 2011 2012

DNG TON: S DNG BT GI TR TUYT I

Bi 1 : a) Tỡm x ngyờn bit : x 1 x 3 x 5 x 7 8
b) Tỡm x bit : x 2010 x 2012 x 2014 2
HD : a) ta cú x 1 x 3 x 5 x 7 x 1 7 x x 3 5 x 8 (1)
M x 1 x 3 x 5 x 7 8 suy ra ( 1) xy ra du =

1 x 7

3 x 5 do x nguyờn nờn x {3;4;5}
Hay
3 x 5
b) ta cú x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 2 (*)
M x 2010 x 2012 x 2014 2 nờn (*) xy ra du =

x 2012 0
x 2012
Suy ra:
2010 x 2014
Cỏc bi tng t
Bi 2 : Tỡm x nguyờn bit : x 1 x 2 ..... x 100 2500
Bi 3 : Tỡm x bit x 1 x 2 ..... x 100 605x
Bi 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4 =

3

Bi 5 : Tỡm x, y bit : x 2006 y x 2012 0
HD : ta cú x 2006 y 0 vi mi x,y v x 2012 0 vi mi x

ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126

14


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------


Suy ra : x  2006 y  x  2012  0 với mọi x,y mà x  2006 y  x  2012  0

x  y  0
 x  2012, y  2
 x  2006 y  x  2012  0  
 x  2012  0
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.

2004  x  4  x  10  x  101  x  990  x  1000

DẠNG CHỨA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5x + 5x+2 = 650

b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

HD : a) 5x + 5x+2 = 650  5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25  x = 2
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162  3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27  x = 4
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
a) 2x + 1 . 3y = 12x
HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 

b) 10x : 5y = 20y

22 x 3 y
 x  2 x 1  3 y  x
x 1
2
3


Nhận thấy : ( 2, 3) = 1  x – 1 = y-x = 0  x = y = 1
b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2m + 2n = 2m +n

b) 2m – 2n = 256

HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n = 0  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
 2n  1  1

 (2 -1)(2 – 1) = 1   m
 m  n 1

2  1  1
m

n

b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28
Dễ thấy m  n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1  n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa
TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

15



GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Bài 4 : Tìm x , biết :

 x  7

x 1

  x  7

x 11

0

HD :

 x  7

x 1

  x  7

  x  7

x 11

0


1   x  7 10   0


10
 x 1 
  x  7
1  x  7   0


  x7  x10



  
1( x7)10 0

x 1


  x7010 x7 x 8
 ( x7) 1 x 6
Bài 5 : Tìm x, y biết : x  2011y  ( y  1)2012  0
HD : ta có x  2011y  0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y
Suy ra : x  2011y  ( y  1)2012  0 với mọi x,y . Mà x  2011y  ( y  1)2012  0

 x  2011y  0
 x  2011, y  1
 
 y 1  0

Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết :
a) x  5  (3 y  4)2012  0

b) (2 x  1)2  2 y  x  8  12  5.22

CHUYÊN ĐỀ 4: GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN , GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

16


GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

1 . Cỏc kin thc vn dng:
- Du hiu chia ht cho 2, 3, 5, 9
- Phõn tớch ra TSNT, tớnh cht ca s nguyờn t, hp s , s chớnh phng
- Tớnh cht chia ht ca mt tng , mt tớch
- CLN, BCNN ca cỏc s
2. Bi tp vn dng :
* Tỡm x,y di dng tỡm nghim ca a thc
Bi 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004)2 23 y 2
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
HD: a) T 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 13 y) do 3,17 l s NT nờn x 2 m x NT x

= 2. Li cú 1000 13y 51 , 1000 13y > 0 v y NT y =
b) T 7( x 2004)2 23 y 2 (1)
do 7(x2004)2 0 23 y 2 0 y 2 23 y {0, 2,3, 4}
Mt khỏc 7 l s NT 13 y 2 7 vy y = 3 hoc y = 4 thay vo (1)
suy ra : x= 2005 ,y =4 hoc x = 2003, y = 4

x 1 1
x 1 1
c) Ta cú xy + 3x - y = 6 ( x 1)( y + 3) = 3
hoc
y 3 3
y 3 3
x 1 3
x 1 3
hoc
hoc
y 3 1
y 1 1
d) x2-2y2=1 x2 1 2 y 2 ( x 1)( x 1) 2 y 2

x 1 2 y
x 3

do VP = 2y2 chia ht cho 2 suy ra x > 2 , mt khỏc y nguyờn t
x 1 y
y 2
Bi 2

a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7
b) Tỡm x, y


bit: 25 y 2 8( x 2012)2

HD : a) T x y + 2xy = 7 2x 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13
b) T 25 y 2 8( x 2012)2 y2 25 v 25 y2 chia ht cho 8 , suy ra y = 1 hoc y = 3
hoc y = 5 , t ú tỡm x
ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126

17


GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Bi 3 a) Tìm giá trị nguyên d-ơng của x và y, sao cho:

1 1 1

x y 5

b) Tìm các số a, b, c nguyên d-ơng thoả mãn :
a3 3a 2 5 5b và a 3 5c

HD : a) T

1 1 1
x 5
5 ( x + y) = xy (*) xy 5

x y 5
y 5

+ Vi x chia ht cho 5 , t x = 5 q ( q l s t nhiờn khỏc 0) thay vo (*) suy ra:
5q + y = qy 5q = ( q 1 ) y . Do q = 1 khụng tha món , nờn vi q khỏc 1 ta cú

y

5q
5
5
Z q 1 (5) , t ú tỡm c y, x
q 1
q 1
b) a3 3a 2 5 5b a2 ( a +3) = 5b 5 , m a 3 5c a2. 5c = 5( 5b 1 1)

a2

5b 1 1
Do a, b, c nguyờn dng nờn c = 1( vỡ nu c >1 thỡ 5b 1 - 1 khụng chia ht cho 5
c 1
5

do ú a khụng l s nguyờn.) . Vi c = 1 a = 2 v b = 2
Bi 4:

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

52 p 2013 52 p q 2
2


HD : 52 p 2013 52 p q2 2013 q 2 25 p 25 p 2013 q2 25 p (25 p 1)
2

2

Do p nguyờn t nờn 2013 q 2 252 v 2013 q2 > 0 t ú tỡm c q
Bi 5 : Tìm tất cả các số nguyên d-ơng n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7
HD : Vi n < 3 thỡ 2n khụng chia ht cho 7
Vi n 3 khi ú n = 3k hoc n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 ( k N * )
Xột n = 3k , khi ú 2n -1 = 23k 1 = 8k 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7
Xột n = 3k +1 khi ú 2n 1 = 23k+1 1 = 2.83k 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia ht cho 7
Xột n = 3k+2 khi ú 2n 1 = 23k +2 -1 = 4.83k 1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A + 3 khụng chia ht cho 7
. Vy n = 3k vi k N *
* Tỡm x , y biu thc cú giỏ tr nguyờn, hay chia ht:
Bi 1

Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b) 3m 1 3

HD : a) Cỏch 1 : Nu m >1 thỡ m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 khụng chia ht cho 2m +1
ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126

18


GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126


------------------***-------------------

Nu m < -2 thỡ m 1 2m 1 , suy ra m -1 khụng chia ht cho 2m +1
Vy m { -2; -1; 0; 1}
Cỏch 2 : m 1 2m 1 2(m 1) 2m 1 (2m 1) 3 2m 1 3 2m 1
b) 3m 1 3 - 3 < 3m 1 < 3

Bi 2

2
4 m 0
vỡ m nguyờn
m
3
3 m 1

a) Tìm x nguyên để 6 x 1 chia hết cho 2 x 3
b) Tìm x Z để
A=

1 2x
1 2 x 1 2( x 3) 6
7
. HD: A =
=

2
x3
x3
x3

x3

Bi 3: Tỡm x nguyờn

HD :


A Z và tìm giá trị đó.

2012 x 5
1006 x 1

2012 x 5 2(1006 x 1) 2009
2009
=
2
1006 x 1
1006 x 1
1006 x 1
2012 x 5
2009 1006 x 1 x l s CP.
1006 x 1

Vi x >1 v x l s CP thỡ 1006 x 1 2012 2009 suy ra 2009 khụng chia ht cho
1006 x 1

Vi x = 1 thay vo khụng tha món
Vi x = 0 thỡ 2009 :1006 x 1 2009

ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126


19


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

CHUYÊN ĐỀ 5 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

1.Các kiến thức vận dụng :
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2  0 với mọi a,b
* a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2  0 với mọi a,b
*A2n  0 với mọi A, - A2n  0 với mọi A
* A  0, A ,  A  0, A
* A  B  A  B , A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0
* A  B  A  B , A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0
2. Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2  0 với mọi a,b
Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2  0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
Do ( x - 1)2  0 với mọi x , nên P(x)  2010 . Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500  - 3500 với mọi x
Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0)

HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x.
= a( x 

b2
b
b
+ ( )2 ) + ( c )
4a
2a
2a

b 2 4ac  b2
4ac  b 2
4ac  b 2
b
) (
)
, x Vậy Min P(x) =
khi x = 
2a
4a
4a
4a
2a

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a2 + 3a + 4
b) B = 2 x – x2
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126


20


GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

3 3
9
3
25
HD : a) A = - a2 + 3a + 4 = (a 2 2.a. ( )2 ) (4 ) (a ) 2
2 2
4
2
4
3
25
3
25
Do (a ) 0, a nờn A , a . Vy Max A =
khi a =
2
4
2
4

c) B = 2 x x2 ( x2 2.x.1 12 ) 1 ( x 1)2 1 . Do ( x 1) 0, x B 1, x
Vy Max B = 1 khi x = 1

Bi 3 : Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau:
a) P =

2012
2
x 4 x 2013

b) Q =

a 2012 2013
a 2012 2011

* Dng vn dng A2n 0 vi mi A, - A2n 0 vi mi A
Bi 1 : Tỡm GTNN ca biu thc :
a)

P = ( x 2y)2 + ( y 2012)2012

b) Q = ( x + y 3)4 + ( x 2y)2 + 2012
HD : a) do ( x 2 y)2 0, x, y v ( y 2012)2012 0, y suy ra : P 0 vi mi x,y

x 2 y 0
x 4024

Min P = 0 khi
y 2012 0 y 2012
b) Ta cú ( x y 3)4 0.x, y v ( x 2 y)2 0.x, y suy ra : Q 2012 vi mi x,y
2

x 2

( x y 3) 0
Min Q = 2012 khi


2

y 1
( x 2 y ) 0

Bi 3 : Tỡm GTLN ca R =
Cho phân số: C

Bi 4 :

2013
( x 2)2 ( x y ) 3
4

3x 2
4 x 5

(x Z)

a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
HD : C

3 x 2

3 4.(3 x 2) 3 12 x 8 3

23
.
.
.(1
)
4 x 5 4 3.(4 x 5) 4 12 x 15 4
12 x 15

C ln nht khi

23
ln nht 12 x 15 nh nht v 12 x 15 0 x 2
12 x 15

ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126

21


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Vậy Max C =

3
23 8
(1  )  khi x = 2
4

9
3

Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè
HD : Ta có
Để
n

7n  8
cã gi¸ trÞ lín nhÊt
2n  3

7n  8 7 2(7n  8) 7 14n  16 7
5
 .
 .
 (1 
)
2n  3 2 7(2n  3) 2 14n  21 2
14n  21

7n  8
5
lớn nhất thì
lớn nhất  14n  21  0 và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất
14n  21
2n  3
21 3
 và n nhỏ nhất  n = 2
14 2


* Dạng vận dụng A  0, A ,  A  0, A

A  B  A  B , A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

A  B  A  B , A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0
Bài 1:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)2 + y  x + 3
b) B =

2011
2012  x  2010

HD: a) ta có ( x  2)2  0 với mọi x và y  x  0 với mọi x,y  A  3 với mọi x,y
2

( x  2)  0  x  2
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi 

y  2

 yx 0

b) Ta có  x  2010  0 với mọi x  2012  x  2010  2012 với mọi x

BB

2011

2011
với mọi x, suy ra Min B =
khi x = 2010
2012
2012

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A  x  2011  x  2012
b) B  x  2010  x  2011  x  2012
c) C = x  1  x  2  .....  x  100
HD : a) Ta có A  x  2011  x  2012 = x  2011  2012  x  x  2011  2012  x  1
với mọi x  A  1 với x . Vậy Min A = 1 Khi ( x  2011)(2012  x)  0  2011  x  2012
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

22


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

b) ta có B  x  2010  x  2011  x  2012  ( x  2010  2012  x )  x  2011
Do x  2010  2012  x  x  2010  2012  x  2 với mọi x (1)
Và x  2011  0 với mọi x (2)
Suy ra B  ( x  2010  2012  x )  x  2011  2 . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra

( x  2010)(2012  x)  0
dấu “=” hay 
 x  2011

 x  2011  0
c) Ta có

x  1  x  2  .....  x  100 = ( x  1  100  x )  ( x  2  99  x )  .....  ( x  50  56  x )
 x  1  100  x  x  2  99  x  ....  x  50  56  x = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C  2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi

( x  1)(100  x)  0
1  x  100
( x  2)(99  x)  0
2  x  99


 50  x  56



............................
................


( x  50)(56  x)  0
50  x  56

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

23


GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO

– Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

CHUYÊN ĐỀ 6 : DẠNG TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT
1.Kiến thức vận dụng
* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n
* Tính chất chia hết của một tổng
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10
HD: ta có 3n2  2n2  3n  2n = 3n2  3n  2n2  2n
= 3n (32  1)  2n (22  1)
= 3n 10  2n  5  3n 10  2n1 10
= 10( 3n -2n)
Vậy 3n2  2n2  3n  2n 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 :

Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100

HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25
= 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100

Bài 3 :

Cho m, n  N* và p là số nguyên tố thoả mãn:


mn
p
=
(1)
m 1
p

Chứng minh rằng : p2 = n + 2
HD : + Nếu m + n chia hết cho p  p (m  1) do p là số nguyên tố và m, n  N*

 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n  N*  m – 1 = p2 và m + n =1

 m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại)
Vậy p2 = n + 2
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126

24


GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Bi 4: a) Số A 101998 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
b) Chứng minh rằng: A 3638 4133 chia hết cho 7
HD: a) Ta cú 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k l s t nhiờn khỏc khụng)
4 = 3.1 + 1

Suy ra : A 101998 4 = ( 9.k + 1) ( 3.1+1) = 9k -3 chia ht cho 3 , khụng chia ht cho 9
b) Ta cú 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k N*)
4133 = ( 7.6 1)33 = 7.q 1 ( q N*)
Suy ra : A 3638 4133 = 7k + 1 + 7q 1 = 7( k + q) 7
Bi 5 :
a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên d-ơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z)
Bi 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z )
b) Cho đa thức f ( x) ax 2 bx c (a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta cú 17a 34 b 17 v 3a + 2b 17 17a 34b 3a 2b 17 2(10a 16b) 17

10a 16b 17 vỡ (2, 7) = 1 10a 17b 16b 17 10a b 17
b) Ta cú f(0) = c do f(0) 3 c 3
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a b + c) = 2b , do f(1) v f(-1) chia ht cho 3

2b 3 b 3 vỡ ( 2, 3) = 1
f(1) 3 a b c 3 do b v c chia ht cho 3 a 3
Vy a, b, c u chia ht cho 3
Bi 7 : a) Chứng minh rằng

102006 53
là một số tự nhiờn
9

b) Cho 2n 1 là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh 2n 1 là hợp số
HD : b) ta cú (2n +1)( 2n 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) .Do 4n- 1 chia hờt cho 3 v 2n 1 là số nguyên tố
(n > 2) suy ra 2n -1 chia ht cho 3 hay 2n -1 l hp s

ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126


25