Chuyên đề hệ thức viét và các ứng dụng :

A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định lý viét:
Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 +bx + c = 0 (a 0 ) thì :
b

x1 + x2 = a

x x = c
1 2 a
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng .
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hhai nghiệm của phơng trình :
X2 SX + P = 0 . Điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0
Các dạng toán :
Dạng 1 Không giải phơng trình , tính tổng và tích các nghiệm số .
Phơng pháp giải :
* Tính 0 để phơng trình có nghiệm .
b
c
* áp dụng định lí vi-ét: S = x1 + x2 =
; P = x1.x2 =
a
a
Dạng 2 : Giải phơng trình bằng phơng pháp nhẩm nghiệm :
Phơng pháp giải :
b
c
áp dụng định lí vi-ét: x1 + x2 =
; x1.x2 = .
a

a
c
* Nếu a + b + c = 0 Thì x1 = 1 ; x2 = .
a
c
* Nếu a b + c = 0 Thì x 1 = -1 ; x2 = a
*Nhẩm nếu có 2 số m,n để m+n = S, m.n = P thì phơng trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n .
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1;x2 của phơng trình bậc hai.
*)Biểu thức giữa x1;x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không thay đổi.
*)Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P(tổng và tích các nghiệm).
+) x1 2 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2 = S 2 2 P
+)

1 1 x1 + x2 S
+ =
=
x1 x2
x1 x2
P

+) x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 3PS
2
2
x1 x2 x1 + x2 S 2 2 P
+) + =
=
x2 x1
x1 x2
P


Dạng 4: Xét du các nghim ca phng trình bc 2:
ax2 + bx + c = 0 (a0).
+) Phng trình có hai nghim trái du khi : P =
(Hoặc ac < 0).
+)Phng trình có hai nghim cùng du khi :
D 0; P > 0
+) Phng trỡnh có hai nghệm âm khi :
D 0;S < 0; P > 0
+)Phng trình có hai nghim dng khi :
D 0;S > 0; P > 0

c
<0
a


+) Phng trình có hai nghim không âm khi
D 0;S 0; P 0
+) Phng trình có hai nghim trái du và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghim dơng khi:P<0 và S < 0

* Chỳ ý: Nu bi toán yêu cu có 2 nghim phân bit tha mãn iu kin no ó thì cn có
>0
Dạng5: Xác nh tham s (m chẳng hạn) phng trình bậc
hai có nghim tha mãn iu kin (T) cho trc.
Phơng pháp giải:

a 0

V 0
Bớc 1- Tìm iu kin phơng trình có nghiệm x1;x2 :

(*)

Bớc 2-áp dụng định lý Vi-ét ta đợc tính S = x1+x2; P = x1.x2
Bớc 3- Từ ĐK (T) và S tính x1,x2 theo m thế vào P để tìm m thử lại điều kiện (*) rồi kết luận.
Ví dụ 1:Cho phơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phơng trình (1) với m = 3.
b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
(Trích đề thi vào lớp 10 THPT Năm học 2009 - 2010 -Bắc Ninh)
LG:
a)Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0
4x2 - 4x + 1 = 0

(2x 1) 2 = 0 (Hoặc tính đợc hay ' )
Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2

1 1 3
+ =
x1 x2 2

m + 1 0

b)Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì

2
' = m 2m + 1 (m + 1)(m 2) > 0

m + 1 0
m 1
m < 3




(*)


2
2

'
=
m

2m
+
1

m
+
m
+
2
>
0

m
+
3
>
0
m



1



Mà theo ĐL Vi-ét ta có:
Từ

1 1 3
+ =
x1 x 2 2

x1 + x 2 =

ta có:

2(m 1)
m2
; x1x 2 =
m +1
m +1

x1 + x 2 3
=
x1x 2
2

2(m 1) m + 1 3
2(m 1) m 2 3

:
=
.
=
m +1 m +1 2
m +1 m 2 2
2(m 1) 3

= 4m 4 = 3m 6 m = 2 thoả mãn (*)
m2
2



Vậy m phải tìm là -2.

Dạng 6*:thức liên hệ giữa các nghiệm x1;x2 của phơng
trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0) không phụ thuộc tham số.
(Giả sử tham số là m)
Bớc1: Tìm điều kin phng trình có hai nghim x1; x2:
Bớc 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2
Bớc3 Kh m t bc 2 bng phng pháp th (Rút m theo x th vào S hoc P) hoc cng i
s ta s c biu thc cn tìm.


Ví dụ1:Cho phơng trình x2 - mx + 2m - 3 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
+)Phơng trình trên có nghiệm khi: =m2 - 8 m + 12 0
m 6

(m- 2)(m-6) 0
m 2
x + x = m(1)
+)Theo hệ thức Vi-ét ta đợc : 1 2
x1 x2 = 2m 3(2)
+)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta đợc : x1x2=2(x1+x2) - 3
Cách 2:Nhân cả hai vế của(1) với 2 rồi trừ vế với vế cho (2) ta đợc:
3 =2(x1+x2)- x1x2
Ví dụ 2:Cho phơng trình: (m - 1)x2- 2(m - 4 )x +m - 5 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
Trớc hết ta cần tìm m để pt có 2 nghiệm x1;x2 :
m 1
m 1 0
11


,
11 1 m
2
= 2m 11 0 m

2
Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x1;x2.. Theo hệ thức Vi-ét ta đợc :
2(m 4)
6


x1 + x2 = m 1
x1 + x2 = 2 m 1


Từ đó ta đợc: 2(x1+x2) - 3 x1x2=1

m

5
4
x x =
x x = 1
1 2
1 2
m 1
m 1


Ví dụ 3:Cho phơng trình: m x2- (2m + 3 ) x+ m - 4= 0
a)Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
a)Phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:
m 0
m 0
m 0



9

2
= (2m + 3) 4m(m 4) > 0 28m + 9 > 0 m >

28

9
Vậy với 0 m >
thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt.
28
2m + 3
3

x1 + x2 = m
x1 + x2 = 2 + m
b)Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn:

x x = m 4
x x = 1 4
1 2

1 2
m
m
12

4(
x
+
x
)
=
8
+

1
2

m

Cộng 2 vế pt trên ta đợc:
12
3 x x = 3
1 2
m
4(x1+x2) +3 x1x2=11.

Đây chính là hệ thức cần tìm.

Ví dụ 4 :Giả sử x1;x2 là nghiệm của phơng trình:
x2- 2 (m - 1 ) x+m 2 - 1= 0


Tìm hệ thức giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m
Giải:
Phơng trình có nghiệm
, = (m 1) 2 (m 2 1) = 2m + 2 0 m 1
S = 2(m 1)(1)
áp dụng hệ thức Vi-ét ta đợc:
2
P = m 1(2)
S +2
Từ (1)suy ra m=
Thay vào (2) ta đợc:
2

2
S
+
2


2
P=
ữ 1 4P = S +4S
2
Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) 2 +4(x1+x2 =) 4 x1x2
Phơng pháp giải : Trong một phơng trình có hai ẩn số . Ta xem 1 ẩn là tham số . rồi giải
phơng này theo ẩn còn lại phơng pháp giải này đợc gọi là Đặt tham số mới
Bài 34 : CMR Chỉ có một cặp số duy nhất thoa mãn phơng trình :
x 2 4 x + y 6 y + 13 = 0
Cách 1 : đặt tham số mới : Xem x là ẩn , y là tham số (y 0 ) ta có

(

) (

/ = 4 y 6 y + 9 =

y 3

)

2

Vì -


(

)

2

y 3 0 PT chỉ có nghiệm khi

/ = 0 y = 3 y = 9 . Khi đó phơng trình có nghiệm kép x = -2
Vậy cặp số (2 ; 9)là cặp số duy nhất thoả mãn PT đã cho .
Cách 2: (Tổng bình phơng )
2
x 2 = 0
x = 2
2
(1) ( x 2 ) + y 3 = 0

y = 9
y 3 = 0
Dạng 7. So sánh nghiệm của phơng trình bậc 2 với một số a.
Bớc 1: Xét dấu hiệu các nghiệm của pt với a.
Bớc 2: Xét dấu của tổng hoặc tích hoặc cả tổng và tích các hiệu ở bớc 1.
Bớc 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết quả của bớc 2 theo tham số.
Bớc 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm và kết luận
Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1:
x2 (m 1)x m = 0
( Bài 16 trong bộ đề)
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 3:
2x2 4x + 5(m 1) = 0

Chú ý: Nếu tìm x đơn giản có thể tìm x theo m rồi so sánh
Bài 3*: Tìm giá trị của m để phơng trình: x2 + mx + m 1 = 0 có 2 nghiệm lớn hơn m.
Bài 4*: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có một nghiệm lớn hơn 2:
mx2 (2m+1)x + (m+1) = 0

(

)


Chuyên đề:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CHỨA THAM SỐ

A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc
tham số m, ta xét 2 trường hợp:
 a) Nếu a = 0
Khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành
phương trình bậc nhất nên có thể :
- Có một nghiệm duy nhất
- hoặc vô nghiệm
- hoặc vô số nghiệm
 b)Nếu a ≠ 0
Lập biệt số ∆ = b2 – 4ac hoặc ∆ / = b/2 – ac
• ∆ < 0 ( ∆ / < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm
b
b/
• ∆ = 0 ( ∆ / = 0 ): phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = (hoặc x1,2 = - )

2a
a




> 0 ( / > 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit:
b
b+
x1 =
; x2 =
2a
2a

(hoc x1 =

b / /
a

; x2 =

b / + /
)
a

2. nh lý Viột.
Nu x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ
b
S = x1 + x 2 = a
c

p = x1x2 =
a
o li: Nu cú hai s x1, x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p thỡ hai s ú l nghim (nu có ) của phơng trình bậc 2:
x2 S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng trình .Ta có
các kết quả sau:
Hai nghiệm x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0
0

Hai nghiệm cùng dơng( x1 > 0 và x2 > 0 ) p > 0
S > 0

0

Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) p > 0
S < 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) p = 0
S > 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p = 0
S < 0

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

c
a



Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =



Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -



c
a


0
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và
thì phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm :
- Lập tổng S = x1 + x2

- Lập tích p = x1x2






- Phơng trình cần tìm là : x2 - S x + p = 0

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p
(x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p
x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp
x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22
x + x2 S
1
1
+
= 1
=
x1 x 2
x1 x 2
p
2

2

x1 x 2 x1 + x 2
S2 2p
=
+
=
x 2 x1

x1 x 2
p
(x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2
x1 + x 2 2a
1
1
S 2a
+
=
=
x1 a x 2 a ( x1 a )( x 2 a ) p aS + a 2
(Chú ý : Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 )
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm
nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:
Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 (hoặc / 0 )
(*)
Thay x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2:
/
Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 ) mà ta thay luôn x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1:
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách

2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc
nghiệm thứ 2
+) Cách 3:
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ 2
p dng
Bi 1/ Cho phng trỡnh: x2 4x + m 1 = 0. (x: l n, m: l tham s)
a/ Gii phng trỡnh khi m = -20
b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú
Bi 2/ Cho phng trỡnh: x2 (m - 2)x + m 5 = 0.(x: l n, m: l tham s)
a/ Chng t phng trỡnh cú nghim vi mi m.
b/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.
Bi 3/ Cho phng trỡnh: (m 1)x2 5x + 2 = 0. (x: l n, m: l tham s)
a/ nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú


b/ Định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 4/ Cho phương trình: (m – 4)x2 – 6x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = 3
Bài 5/ Cho phương trình: x2 – (m – 4)x + m – 6 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại.
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 6/ Cho phương trình: x2 – (m – 3)x + m – 4 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 4.
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c/ Định giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp ba nghiệm kia.
Bài 7/ Cho phương trình: 5x2 – 2x + m = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)

a/ Giải phương trình khi m = -16
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
c/ Tính giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
Bài 8/ Cho phương trình: x2 – (m – 2)x + m – 4 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nhiệm đối nhau.
Bài 9/ Cho phương trình: 3x2 – 3 x + 3 – 3 = 0
Không giải phương trình hãy tính:
x1 x 2
+
a/ x12 + x 22
`
b/
x 2 x1
Bài 10/ Cho phương trình: x2 – 9x + m – 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = -9
b/ Tính giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 11/ Cho phương trình: mx2 – 4x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
1
a/ Giải phương trình khi m =
2
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
Bài 12/ Cho phương trình: x2 – (m – 5)x + m – 7 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại.
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
Bài 13/ Cho phương trình: (m – 1)x2 – (2m + 1)x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại.

Bài 14/ Cho phương trình: x2 – 5x + m – 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 2; m = 8.
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
c/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm kia.
Bài 15/ Cho phương trình: x2 – 8x + m – 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)


a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 10. Tính nghiệm còn lại.
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp ba nghiệm kia.
Bài 16/ Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + m – 5 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại.
c/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 17/ Cho phương trình: x2 – 4x + m – 3 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = -3
b/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại.
c/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
d/Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm kia.
Bài 18/ Cho phương trình: x2 – 3x + m – 3 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = -7
b/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x1 x 2 5
+
=
x 2 x1 2
Bài 19/ Cho phương trình: x2 – 2mx – 4m – 11 = 0; (x: là ẩn, m: là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x1

x
+ 2 = −5
x 2 − 1 x1 − 1