UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 11 tháng 6 năm 2016

Câu 1. (2,5 điểm)
P ( x) = x4 + 5x3 + 5x2 - 5x - 6

a) Phân tích đa thức
b) Rút gọn biểu thức:
Q=

x-

thành nhân tử.

4( x - 1) + x + 4( x - 1) æ
1 ö
÷
÷
×ç
ç1÷
2
÷
ç
è x - 1ø

x - 4( x - 1)
với x > 1 và x ¹ 2.

Câu 2. (2,0 điểm)
2( 2x – 1) - 3 5x - 6 = 3x - 8.
a) Giải phương trình
b) Cho bốn số thực a,b,c,d khác 0 thỏa mãn các điều kiện sau: a,b là hai nghiệm của
2
2
phương trình x - 10cx - 11d = 0; c,d là hai nghiệm của phương trình x - 10ax - 11b = 0.
Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c + d.
Câu 3. (1,0 điểm)
3a4 + 3b4 + c3 + 2
M =
.
3
a
+
b
+
c
(
)
Cho ba số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4. (3,0 điểm)

(C ) tâm O, bán kính R vẽ dây cung AB < 2R. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến
Ax, By với đường tròn (C ) . Lấy điểm M bất kì thuộc cung nhỏ AB (M không trùng với A
Trên đường tròn


và B ). Gọi H , K , I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB, Ax và By.
2
a) Chứng minh rằng MH = MK .MI .
b) Gọi E là giao điểm của AM và K H , F là giao điểm của BM và HI . Chứng minh rằng
đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và
MFI .
c) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI .
Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua một
điểm cố định.
Câu 5. (1,5 điểm)

( bc - 1) chia hết cho a,
a) Tìm ba số nguyên tố a,b,c thỏa mãn các điều kiện: a < b < c,
( ca - 1)

( ab- 1) chia hết cho c.
chia hết cho b và
b) Các nhà khoa học gặp nhau tại một hội nghị. Một số người là bạn của nhau. Tại hội nghị
không có hai nhà khoa học nào có số bạn bằng nhau lại có bạn chung. Chứng minh rằng có một
nhà khoa học chỉ có đúng một người bạn.
------------------ Hết -------------------


(Ðề thi có 01 trang)
Họ tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ..........................................
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên
Tin)

Câu
1.a

Đáp án

Điểm
1,0

(

) (

)(

)

P ( x) = x + 5x + 6x - x + 5x + 6 = x + 5x + 6 x - 1
4

3

2

2


2

2

= ( x - 1) ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) .

0,5
0,5

1.b

1,5

Q=

=

( x - 1) -

4( x - 1) + 1 +

( x - 1) + 4( x - 1) + 1

( x - 2)

(

)

2


x - 1- 1 +

( x - 2)

* Nếu 1 < x < 2 thì
* Nếu x > 2 thì

(

Q=

Q=

2

)

x - 1+1

2

2

1-

x- 2
×
=
x- 1


x- 2
×
x- 1

x - 1- 1 + x - 1 + 1 x - 2
×
.
x- 1
x- 2

x - 1+ x - 1+1 x - 2
2
×
=
.
2- x
x - 1 1- x

x - 1 - 1+ x - 1 + 1 x - 2
2
×
=
.
x- 2
x- 1
x- 1

2.a


0,5

0,5

0,25

0,25
1,0

2( 2x – 1) - 3 5x - 6 = 3x - 8

Û 4( 2x – 1) - 6 5x - 6 = 2 3x - 8

Û é
(5x - 6) - 6 5x - 6 + 9ù
+ é(3x - 8) - 2 3x - 8 + 1ù
=0
ê
ú
ú
ë
û ê
ë
û
Û ( 5x - 6 - 3)2 + ( 3x - 8 - 1)2 = 0

ìï 5x - 6 - 3 = 0
ï
Û ïí
Û x = 3.

ïï 3x - 8 - 1 = 0
ïî
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
2.b

0,5

0,5
1,0

x2 - 10cx - 11d = 0( 1) ; c,d
Vì a,b là hai nghiệm của phương trình
là hai nghiệm
2
x - 10ax - 11b = 0( 2)
của phương trình
nên theo hệ thức Viét ta có
ìï a + b = 10c ( 3)
ïï
ïï c + d = 10a 4
( )
ï
í
ïï ab = - 11d ( 5)
ïï
ïï cd = - 11b ( 6)
î
( 3) ,( 4) ta có 9( a + c) = b + d Þ S = 10( a + c) . Từ ( 5) ,( 6) ta có ac = 121.
Từ


0,25

0,25


( 1) nên a2 - 10ac - 11d = 0; c là nghiệm của
Mà a là nghiệm của phương trình
2)
a2 + c2 - 20ac - 11( b + d) = 0
2
(
c
10
ac
11
b
=
0.
phương trình
nên
Suy ra,
2

2

Û ( a + c) - 22ac - 99( a + c) = 0 Û ( a + c) - 99( a + c) - 2662 = 0
éa + c = - 22,t/ m
Û ê
êa + c = 121, t/ m
ê

ë
Với a + c = - 22 Þ S = - 220.
Với a + c = 121 Þ S = 1210.
3

0,25

0,25
1,0

(

4

Áp dụng BĐT Côsi ta có
4
3
Tương tự 3b + 1 ³ 4b

(

2

3

Þ M ³

4

2


( a + b + c)

3

³

( a + b + c)
4( a + b + c)

3

=

0,5

3

)

3

3

4
3
hay 3a + 1 ³ 4a .

4a3 + 4b3 + c3


0 Þ 4 a3 + b3 ³ ( a + b)

( a + b) + c
( a + b + c)

3

2a + a + 1 ³ 2a + 2a ³ 4a

Þ M ³

( a - b) ( a + b) ³
Mà

)

4

3

1
4

0,5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1,c = 2.
4.a.

1,0


Hình vẽ câu a) đúng

0,25

(O, R ) nên
Ta có tứ giác AHMK , BHMI nội tiếp và Ax, By là tiếp tuyến của
·
·
·
·
· H = MHI
·
MIH
= MBH
= MAK
= MHK
. Tương tự MK
.
Do đó, hai tam giác MIH , MHK đồng dạng

Þ

MI
MH
=
Þ MH 2 = MI .MK .
MH
MK

4.b.


0,5

0,25
1,0

·
·
·
·
Theo chứng minh trên MBA = MHK , MHI = MAB .
·
·
Þ EHF
+ EMF
= 1800 Þ Tứ giác MEHF nội tiếp.

0,25
0,25


·
·
·
·
·
·
·
Suy ra EHM = EFM . Mà EHM = HBM = HIM Þ EFM = FIM
Từ đó suy ra EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp D MFI .

Tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp D MEK .
Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nói trên.

4.c

0,25
0,25
1,0

·
·
·
·
·
MFE
= MHE
= MBH
Þ MFE
= MBH
Þ EF / / AB .
Gọi C là giao điểm của DM và EF , Q là giao điểm của DM và AB.
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MEK và
MFI nên
ïìï CE 2 = CM ×
CD
Þ CE = CF .
í
2
ïï CF = CM ×CD
ïî


CE
MC
CF
=
=
Þ QA = QB
QA
MQ
QB
Mà
.
Vậy Q là trung điểm của đoạn AB cố định nên Q là điểm cố định.
5.a

0,5

0,5

0,75

(ab - 1)M
c Þ ( ab + bc + ca - 1) M
c
Từ giả thiết ta có
.
( ab + bc + ca - 1) Ma, ( ab + bc + ca - 1) Mb .
Tương tự
a,b,c
a,b,c

Vì
là 3 số nguyên tố phân biệt nên
đôi một nguyên tố cùng nhau do đó

( ab + bc + ca - 1) Mabc Þ

(vì

0,25

ab + bc + ca - 1 ³ abc

a ³ 2,b ³ 3,c ³ 5 Þ ab + bc + ca - 1 > 0

)
Nếu a ³ 3 Þ abc ³ 3bc > ab + bc + ca > ab + bc + ca - 1 (mâu thuẫn). Do đó
a = 2.
( 2b - 1) Mc,( 2c - 1) Mb . Tương tự suy ra ( 2b + 2c - 1) Mbc Þ 2b + 2c - 1 ³ bc .
Khi đó
Nếu b ³ 5 Þ bc ³ 5c > 2b + 2c - 1 (mâu thuẫn). Do đó b = 3 .
c Þ c = 5.
Suy ra, ab - 1 = 5M
a = 2,b = 3,c = 5
a = 2,b = 3,c = 5
Thử lại
thỏa mãn bài toán. Vậy
.
5.b

0,25


0,25
0,75

Gọi k là số bạn của nhà khoa học có nhiều bạn nhất tại hội nghị. Nếu có hai hoặc
nhiều hơn nhà khoa học có số lượng bạn bằng k thì ta lấy một người bất kì. Giả sử đó
A , A ,..., Ak .
là nhà khoa học A. Gọi các bạn của nhà khoa học A là 1 2
A , A ,..., Ak
Tất cả các nhà khoa học 1 2
không ai có nhiều hơn k người bạn vì ta giả
thiết k lớn nhất và ai cũng có ít nhất một bạn là A , cũng không có người nào trong số
A1, A2,..., Ak
có số bạn bằng nhau vì theo giả thiết thì đã có bạn chung A thì không
thể có số bạn bằng nhau.
A , A ,..., Ak
Suy ra, 1 2
chỉ có thể có số bạn là 1,2,..., k. Tức là có một người trong
A1, A2,..., Ak
chỉ có đúng một bạn (đó chính là A ).

0,25

0,25

0,25

Chú ý:
- Các cách làm khác nếu đúng cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ
sở tham khảo điểm thành phần của đáp án.



- Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.

.