Giao trinh lý thuyêt tín hiệu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (723.1 KB, 72 trang )
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN
1.1 TÍN HIỆU VÀ TIN TỨC
Tín hiệu là sự biểu hiện vật lý của tin tức mà nó mang từ nguồn tin đến nơi nhận
tin.
Nhiệm vụ chính của LTTH là tìm biểu diễn toán học cho tín hiệu tức là mô hình
toán học của tín hiệu và đưa phương pháp phân tích tín hiệu.
Mô hình toán học của tín hiệu là các hàm thực hay phức của một hay nhiều biến.
Ví dụ s(t) là hàm của thời gian t nó biểu thị một đại lượng điện như tín hiệu âm thanh
hoặc tín hiệu hình. Tín hiệu s(x, y) là hàm hai biến tọa độ không gian (x,y), đó là tín
hiệu ảnh tĩnh. Tín hiệu s(x, y, t) là tín hiệu truyền hình.
Có thể phân biệt mục tiêu của các môn học LTTH và LTTT theo sơ đồ trên hình
1.1.
LTTH và LTTT
LTTT
LTTH
Điều chế và rời rạc
Lý thuyết về mã
Mã hóa nguồn
Phân tích phổ
Phát hiện-đánh giá
Mã hóa kênh
Nhận dạng
Mật mã
Hình 1.1
1
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản
1.2 PHÂN LOẠI TÍN HIỆU
1. Tín hiệu vật lý và mô hình lý thuyết
Tín hiệu vật lý là tín hiệu :
-
Có năng lượng hữu hạn
-
Có biên độ hữu hạn
-
Biên độ là hàm liên tục
-
Có phổ hữu hạn và tiến tới không khi tần số tiến tới ∞ .
2. Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên:
-
Tín hiệu xác định là tín hiệu mà quá trình biến thiên của nó được biểu diễn
bằng một hàm thời gian đã hoàn toàn xác định.
-
Tín hiệu ngẫu nhiên thì sự biến thiên của nó không thể biết trước, muốn biểu
diễn nó phải tiến hành quan sát thống kê.
Tín hiệu
Ngẫu nhiên
Xác định
Tuần hoàn
sin
Tuần
hoàn
Không tuần hoàn
Giả
ngẫu
nhiên
Tuần
hoàn
quasi
Quá
độ
Hình 1.2
2
Dừng
Egodic
Không dừng
Không
egodic
Loại
đặc biệt
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản
3. Tín hiệu năng lượng - Tín hiệu công suất
Dựa vào năng lượng của tín hiệu thì có hai loại là tín hiệu năng lượng hữu hạn và tín
hiệu công suất trung bình hữu hạn.
-
Tín hiệu năng lượng hữu hạn gồm những tín hiệu quá độ xác định và ngẫu
nhiên.
-
Tín hiệu công suất bao gồm hầu như tất cả: tín hiệu tuần hoàn, tuần hoàn
quasi và tín hiệu ngẫu nhiên xác lập.
4. Tín hiệu liên tục và rời rạc
Có thể phân biệt thành bốn loại sau (hình 1.3):
-
Tín hiệu có biên độ và thời gian liên tục được gọi là tín hiệu tương tự (analog).
-
Tín hiệu có biên độ rời rạc, thời gian liên tục là tín hiệu lượng tử.
-
Tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc là tín hiệu rời rạc.
-
Tín hiệu có biên độ và thời gian đều rời rạc được gọi là tín hiệu số (digital).
v Các hệ thống xử lý tín hiệu được phân loại dựa vào đặc trưng của tín
hiệu mà nó xử lý. ta có các hệ thống xử lý tín hiệu tương ứng như sau:
-
Hệ thống tương tự: các mạch khuyếch đại, lọc cổ điển, nhân tần số, điều chế
tín hiệu…
-
Hệ thống rời rạc: các mạch tạo xung, các mạch điều chế xung…
3
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản
-
Hệ thống số: mạch lọc số, mạch biến đổi Fourier và các quá trình đặc biệt
khác.
Ngoài ra cũng có những hệ thống hỗn hợp như hệ thống biến đổi tương tự số.
5. Các loại tín hiệu khác:
a- Bề rộng phổ của tín hiệu: là dải tần số (dương hoặc âm) tập trung công
suất của tín hiệu và được xác định theo công thức sau:
B = f2-f1
(1.1)
Trong đó: 0 ≤ f1 < f2 ; f2:được gọi là tần số giới hạn trên của tín hiệu.
Dựa vào bề rộng phổ có thể phân loại tín hiệu như sau:
-
Tín hiệu tần số thấp
-
Tín hiệu tần số cao
-
Tín hiệu dải hẹp
-
Tín hiệu dải rộng
b- Tín hiệu có thời hạn hữu hạn: là tín hiệu có biên độ tiến tới không ở ngoài
khoảng T.
x(t) = 0
>T
t
c- Tín hiệu có biên độ hữu hạn: là tất cả các tín hiệu vật lý thực hiện được,
với chúng biên độ không vượt quá một giới hạn nào đó được tính toán tương ứng
với thiết bị xử lý. Có thể viết :
x(t)
≤ K với - ∞ < t < ∞
(1.3)
d- Tín hiệu nhân quả (causals):là tín hiệu bằng 0 với giá trị thời gian âm
x(t) ≡ 0
1.3
t<0
(1.4)
BIỂU DIỄN GIẢI TÍCH TÍN HIỆU
Có hai cách biểu diễn tín hiệu là biểu diễn rời rạc và biểu diễn liên tục:
-
Biểu diễn rời rạc: tín hiệu được biểu diễn bằng tập các hàm số đã xác định
hoặc bằng dãy số thực hay phức.
-
Biểu diễn liên tục: tín hiệu được biểu diễn qua những hàm thực hay phức, dựa
trên những phép biến đổi, thường là các biến đổi tích phân, để làm tương ứng
các phần tử trong một không gian tín hiệu đã cho với các phần tử trong không
gian hàm thực hoặc phức.
1.3.1. Biểu diễn rời rạc tín hiệu
4
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản
Biểu diễn rời rạc tín hiệu là khai triển nó thành một tổ hợp tuyến tính các hàm liên tục
ψ n (t) , n= 1, 2…có dạng:
N
x(t)= ∑ α nψ n(t)
(1.5)
n =1
Các hệ số α n là biểu diễn rời rạc của tín hiệu, cách biểu diễn (1.5) phụ thuộc vào tập
hàm ψ n(t) được chọn sao cho thích hợp với việc phân tích. Do đó cách biểu diễn trên
là nền móng cho việc phân tích tín hiệu, nó có ba ưu điểm sau:
-
Việc chọn thích hợp các hàm ψ n (t) cho phép biểu diễn chính xác các tính chất
của tín hiệu, làm dễ dàng cho việc nghiên cứu và xử lý tín hiệu trong các hệ
thống vật lý, đặc biệt là các hệ thống tuyến tính.
-
Biểu diễn rời rạc liên quan đến hình ảnh một vectơ trong không gian n chiều
(hoặc vô hạn chiều).
-
Biểu diễn rời rạc tín hiệu chính là công cụ để xử lý số tín hiệu.
1.3.2. Biểu diễn liên tục tín hiệu
Biểu diễn liên tục tín hiệu trong thực tế có dạng các biến đổi tích phân sau :
-
Biến đổi Fourier
-
Biến đổi Hilbert
-
Biến đổi Laplace
5
Chương 2: Tín hiệu xác định
CHƯƠNG 2
TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH
2.1 MÔ HÌNH XÁC ĐỊNH CỦA TÍN HIỆU VẬT LÝ:
-
Các loại tín hiệu xác định được dùng để mô tả các tính chất của các hệ thống
truyền tin rất tiện lợi, và hầu như trong tất cả các hệ thống thông tin, bên cạnh
các tín hiệu ngẫu nhiên luôn luôn có tín hiệu xác định như là các sóng mang,
tín hiệu đồng bộ, tín hiệu xung nhịp…
-
Tín hiệu xác định có mô hình toán học là các hàm thực hoặc phức theo thời
gian, hoặc cũng có thể là các phân bố.
-
Trong tất cả các loại tín hiệu, người ta thường phân biệt thành hai loại tín hiệu
mô tả các tín hiệu vật lý thực tế, đó là: tín hiệu có năng lượng hữu hạn và tín
hiệu có công suất trung bình hữu hạn.
2.2 CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH
1-
Tích phân tín hiệu:
Cho tín hiệu x là tín hiệu xác định, tồn tại trong khoảng − ∞
∞
[x ] = ∫ x(t ) dt
(2.1)
−∞
Tích phân tín hiệu thông thường biểu diễn diện tích giới hạn dưới đồ thị của tín hiệu,
nó có thể không xác định hoặc vô hạn đối với một số tín hiệu náo đó. Do đó định
nghĩa (2.1) chỉ có ý nghĩa với những tín hiệu mà giá trị tích phân của nó là hữu hạn.
2-
Trị trung bình của tín hiệu:
Với tín hiệu xung ta có định nghĩa về giá trị trung bình trong khoảng thời gian là:
6
Chương 2: Tín hiệu xác định
t2
〈 x〉 =
-
∫ x(t )dt
t1
(2.2)
t 2 − t1
Đối với các tín hiệu có thời hạn vô hạn:
1
2T
〈x〉 = lim
T →∞
-
T
∫ x(t )dt
(2.3)
−T
Đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ T:
1
〈x〉 =
T
t0 +T
∫ x(t ) dt
(2.4)
t0
trong đó t0 là một điểm bất kỳ trên thang thời gian.
3-
Năng lượng của tín hiệu:
Năng lượng chứa trong tín hiệu x(t) được ký hiệu là Ex và được định nghĩa như sau:
Ex = [x 2 ]=
∞
∫
x2(t)dt
(2.5)
−∞
4-
Công suất trung bình của tín hiệu:
Các tín hiệu xung cũng có thể được đặc trưng bởi công suất trung bình trong
khoảng thời gian được định nghĩa như sau:
t2
Px [t1 ,t 2 ] = 〈 x 〉 = ∫
2
t1
x 2 (t )dt
t 2 − t1
(2.6)
Nếu tín hiệu x là các xung dòng điện hay điện áp, thì Px có ý nghĩa vật lý là công suất
trung bình của tín hiệu x nhận được trên một đơn vị điện trở trong khoảng thời gian
[t1 ,t 2 ].
-
Với các tín hiệu có thời hạn vô hạn:
1
2T
Px= 〈 x 2 〉 = lim
T →∞
-
T
∫x
2
(2.7)
(t ) dt
−T
Với tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T thì:
Px= 〈 x 2 〉 =
1
T
t0 +T
∫x
2
(t ) dt
(2.8)
t0
Trong đó t0 là điểm bất kỳ trên thang thời gian.
7
Chương 2: Tín hiệu xác định
-
Dựa vào các thông số năng lượng của tín hiệu mà người ta phân chia chúng
thành hai loại quan trọng là:
§ Tín hiệu có năng lượng hữu hạn, hay tín hiệu năng lượng nếu 0
hữu hạn hay tín hiệu công suất nếu 0
Mômen thường cấp r
Mômen thường cấp r được định nghĩa như sau:
∞
m = ∫ t r x(t )dt ; r =1, 2,…
r
x
(2.9)
−∞
Mômen thường cấp hai, tức là m rx được gọi là mômen quán tính của tín hiệu x, nó đặc
trưng cho “sự phân bố hình dạng” của tín hiệu xung quanh tâm điểm của trục thời
gian.
6-
Mômen trung tâm cấp r
(t − m x ) r =
∞
∫
(t − m x ) r x(t)dt
(2.10)
−∞
7-
Mômen thường chuẩn hóa cấp r
∞
r
x
t =
∫t
−∞
∞
r
x(t )dt
; r =1, 2,…
(2.11)
∫ x(t )dt
−∞
Các mômen này được chuẩn hóa theo diện tích giới hạn dưới đường cong
biểu diễn tín hiệu. Các mômen chuẩn hóa có thứ nguyên thời gian với số mũ r.
Mômen thường chuẩn hóa cấp một t x được gọi là hoành độ trọng tâm của
tín hiệu, nó được xác định bằng một điểm trên trục thời gian và tín hiệu sẽ tập trung
xung quanh điểm đó. Trong thực tế hoành độ trọng tâm t x không phải là thông số đặc
trưng tốt cho sự tập trung của tín hiệu.
Mômen thường chuẩn hóa cấp hai t x2 được gọi là trung bình bình phương
của hoành độ trọng tâm, và t x được gọi là bán kính quán tính. Tất cả các đại lượng có
tên nêu ở trên được dùng tương tự như các thông số được định nghĩa trong thống kê.
8
Chương 2: Tín hiệu xác định
8-
Mômen trung tâm chuẩn hóa cấp r
∞
∫ (t − t
r
(t − t x ) = − ∞
x
) r x(t )dt
; r = 1, 2,…
∞
(2.12)
∫ x(t )dt
−∞
Các mômen trung tâm chuẩn hóa là mômen thường chuẩn hóa bị dịch chuyển so với
hoành độ trọng tâm t x .
9-
Variance của tín hiệu
Mômen trung tâm chuẩn hóa quan trọng nhất là mômen cấp hai, được gọi là
variance của biến ngẫu nhiên , variance của tín hiệu xác định được ký hiệu là σ x2 . Có
thể thấy variance của tín hiệu quan hệ với mômen thường chuẩn hóa cấp một và cấp
hai qua biểu thức sau:
∞
tx
(
t
)
dt
t
x
(
t
)
dt
∫
∫
2 −∞
2
2
−∞
- ∞
σ x = tx ( tx ) = ∞
x
(
t
)
dt
x
(
t
)
dt
∫
∫
−∞
−∞
∞
2
2
(2.13)
10- Hoành độ trọng tâm của bình phương tín hiệu
Hoành độ trọng tâm của tín hiệu không mô tả tốt cho sự tập trung của tín
hiệu, bởi vì thông số này sẽ có giá trị rất lớn khi tích phân tín hiệu có giá trị nhỏ. Điều
đó sẽ dẫn đến việc nhầm lẫn điểm tập trung của tín hiệu trong trường hợp có nhiều tín
hiệu.
Có thể khắc phục nhược điểm đó khi dùng thông số hoành độ trọng tâm của bình
phương tín hiệu được định nghĩa như sau:
∞
2
x
t =
∫ tx
2
(t )dt
−∞
∞
∫x
(2.14)
2
(t )dt
−∞
11- Variance của bình phương tín hiệu
9
Chương 2: Tín hiệu xác định
Variance của tín hiệu biểu thị mức độ phân tán tín hiệu xung quanh hoành
độ trọng tâm t x . Nó không thể hiện được sự phân tán của tín hiệu trong trường hợp
diện tích của tín hiệu gần hoặc bằng không.
Việc xét sự tập trung của tín hiệu qua nghiên cứu sự phân bố của nó theo trục thời
gian không hữu hiệu bằng qua sự phân bố năng lượng. Bởi vì năng lượng tức thời của
tín hiệu tỉ lệ thuận với bình phương giá trị tức thời của tín hiệu, cho nên có thể coi
mức độ tập trung của tín hiệu là variance của bình phương tín hiệu, được định nghĩa
như sau:
∞
∫ (t − t
σ x22 = − ∞
x2
) 2 x 2 (t )dt
(2.15)
∞
∫x
2
(t )dt
−∞
Có thể thấy từ biểu thức (2.15) là, variance của bình phương tín hiệu được chuẩn hóa
theo năng lượng của tín hiệu và được xác định đối với hoành độ trọng tâm của bình
phương tín hiệu. Đó chính là sự phân tán của năng lượng tín hiệu xung quanh điểm
này. Variance của bình phương tín hiệu có thể viết dưới dạng (xem 2.13)
∞ 2
t x (t )dt ∫ tx (t )dt
∫
- −∞∞
σ x22 = − ∞∞
2
2
∫−∞x (t )dt −∫∞x (t )dt
∞
2
2
2
(2.16)
Variance của bình phương tín hiệu đóng vai trò quan trọng khi xét nguyên lý bất định.
12- Độ rộng tương đương
Độ rộng tương đương của tín hiệu được định nghĩa như sau:
∞
∆t x =
∫ x(t )dt
−∞
(2.17)
x (0 )
Thông số này không đặc trưng cho tất cả các loại tín hiệu, có thể thấy là đối
với tín hiệu có giá trị bằng không tại t = 0 và những tín hiệu có giá trị tích phân bằng
không. Do đó để đặc trưng cho thời hạn của tín hiệu người ta đưa ra thông số sau.
13- Độ rộng trung bình bình phương
Variance của bình phương tín hiệu biểu thị mức độ tập trung năng lượng tín
hiệu, giá trị của nó càng nhỏ, trong thời hạn ngắn, năng lượng của tín hiệu càng tập
10
Chương 2: Tín hiệu xác định
trung. Bởi vì variance của bình phương tín hiệu có thứ nguyên bình phương thời gian,
cho nên nó biểu thị độ rộng trung bình của khoảng tập trung năng lượng tín hiệu.
Độ rộng trung bình của tín hiệu do đó được định nghĩa như sau:
∞
−2 2 2
∫ (t − t x ) x (t )dt
∆T x = − ∞
∞
x2
∫
−∞
1/ 2
1/ 2
2
∞
∞ 2
2 2
∫ t x (t )dt ∫ tx (t )dt
= −∞∞
− −∞∞
x 2 (t )dt x 2 (t )dt
∫
−∫∞
−∞
(2.18)
14- Trung bình chạy
Trung bình chạy được định nghĩa đối với khoảng thời gian 2T vì nó phụ
thuộc vào việc chọn thời điểm t. Công thức định nghĩa:
1
2T
t +T
∫ x(τ )dτ
(2.19)
t −T
Khi xác định trung bình chạy, ta sẽ có được mô tả đối với tín hiệu được làm bằng
phẳng.
2.3 TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH THỰC
2.3.1 Tín hiệu năng lượng có thời hạn hữu hạn (tín hiệu xung)
1-
Xung vuông góc
∏
(t ) (H.2.1)
x(t)
1
-1/2
0
1/2
Hình 2.1
11
Chương 2: Tín hiệu xác định
0 t >1/ 2
x(t) = ∏(t) = 1/ 2 t =1/ 2
1 t <1/ 2
[x] =1; Ex=1
Ta có thể biểu diễn các xung vuông góc nằm ở vị trí bất kỳ trên thang thời gian, có độ
rộng và độ cao bất kỳ như trên hình 2.2.
x(t)
a
x(t)=a
t
c
[x ] =
t
b
t − c
b
∏
ab;Ex= a2b
Hình 2.2
Khi nhân một tín hiệu bất kỳ với hàm
t − c
b
∏
ta có thể giữ lại một phần của tín
hiệu đó và bỏ đi những phần khác theo ý muốn.
2-
Xung tam giác Λ (t) (H.2.3)
x(t)
t
-1
0
1
Hình 2.3
12
Chương 2: Tín hiệu xác định
0
1 − t
x(t)= Λ (t)=
với
t >1
t ≤1
[x ] =1; Ex=2/3
3-
Xung cosin (H.2.4)
x(t)
X
t
-π/2w0
0
π/2w0
Hình 2.4
t
π / ω0
x(t)= Xcos ω 0 t. ∏
[x ] = 2 X ;Ex= πX
ω0
4-
2
2ω 0
Xung hàm mũ (H.2.5)
x(t)
X
0
T
Hình 2.5
13
Chương 2: Tín hiệu xác định
x(t)= Xe −αt
t − T / 2
; α >0
T
∏
[x ] = X (1 − e −αT )
α
Ex=
X2
(1 − e −2αT )
2α
2.3.2 Tín hiệu năng lượng có thời hạn vô hạn
1-
Hàm mũ suy giảm (H.2.6)
x(t)
X
t
0
Hình 2.6
Xe −αt
x(t)=
với
0
[x ] = X
α
2-
; Ex=
t≥0
t<0
α >0
X2
2α
Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ
14
Chương 2: Tín hiệu xác định
Xe −αt sin ω 0 t
x(t)=
[x] =X
3-
0
với
t≥0
t<0
X 2ω 02
ω0
;
E
=
x
4α (α 2 + ω 02 )
ω 02 + α 2
Tín hiệu Sa
sin ω 0 t
x(t)= Sa( ω 0 t.)= ω 0 t
[x ] =
với
1
t≠0
t =0
π
; Ex= π / ω 0
ω0
Tín hiệu Sa đóng vai trò quan trọng trong việc rời rạc tín hiệu. Vì vậy người ta ký hiệu
nó bằng chữ Sa từ chữ Samling (tiếng anh là lấy mẫu)
4-
Tín hiệu Sa2
sin 2 ω 0 t
x(t)= Sa ( ω 0 t)= (ω 0 t ) 2
1
2
[x ] =
π
;
ω0
Ex=
với
t≠0
t =0
2 π
3 ω0
15
Chương 2: Tín hiệu xác định
5-
Tín hiệu Gausse
x(t)= e −πt
[x ] =1;
2
Ex=
1
2
2.3.3 Tín hiệu không tuần hoàn có công suất trung bình hữu hạn
1-
Bước nhảy đơn vị 1(t) (H.2.11)
x(t)
1
1/2
t
0
Hình 2.11
1
x(t)= 1(t)= 1 / 2
0
〈x〉 =
1
2
;P x=
t >0
với t = 0
t<0
1
2
Bước nhảy có giá trị bất kỳ, tại một điểm bất kỳ ta có thể viết:
x(t) = X1(t-T) (hình 2.12)
16
Chương 2: Tín hiệu xác định
x(t)
X
t
0
T
Hình 2.12
x (t)
x (t)
x
x
a)
b)
0
T
0
t
T
t
Hình 2.13
Hình 2.13 ta có:
2-
x(t)=
X
[t1(t ) − (t − T )1(t − T )] (a)
T
x(t)=
X
t [1(t ) − 1(t − T )]
T
(b)
Hàm mũ tăng dần (H.2.14)
x(t)
1
t
0
Hình 2.14
17
Chương 2: Tín hiệu xác định
x(t)= (1 − e −αt )1(t)
〈x〉 =
3-
1
2
;Px=
α >0
1
2
Tín hiệu Sgn(t) (H.2.15)
Hình 2.15
1
x(t)= Sgnt= 0
−1
t>0
với t = 0
t<0
〈x〉 =0; Px=1
4-
Tín hiệu sit
t
〈x〉 =Sit= ∫ saτdτ
0
〈x〉 =0; Px=
π
2
18
Chương 2: Tín hiệu xác định
2.3.4 Tín hiệu tuần hoàn
1-
Tín hiệu sin
x(t)= Xsin ω 0 t,
〈x〉 =0; Px=
2-
t( − ∞, ∞ )
X2
2
Dãy xung vuông góc lưỡng cực
x(t)
…
-T
X
-T/2 0
…
T/2
〈x〉 =0
Px=X2
3-
Dãy xung vuông góc đơn cực:
19
T
t
Chương 2: Tín hiệu xác định
τ
X
T
τ
Px = X 2
T
x =
2.3.5 Tín hiệu gần tuần hoàn:
Một lớp tín hiệu rất quan trọng có thời hạn vô hạn và công suất trung bình
hữu hạn, đó là tín hiệu gần tuần hoàn. Với … ω −2 , ω −1 , ω 0 , ω1 , ω 2 … là dãy số thực
bất kỳ, và … X-2,
X-1, X0, X1, X2 … là dãy số phức, ta hãy xét tổng hữu hạn các số
hạng sau:
N
∑X
n=− N
n
e jωnt (2.20)
Tổng này là một đa thức lượng giác. Nếu với mọi n = 0, 1, 2… ta có
ω −n = − ω n và X-n= − X n*
Trong đó − X n* - là liên hiệp phức của Xn
Thì đa thức lượng giác trên sẽ là một hàm thực theo thời gian. Người ta gọi tín hiệu
gần tuần hoàn là tín hiệu có thể được làm gần đúng bằng một đa thức lượng giác với
độ chính xác bất kỳ. Định nghĩa này không hoàn toàn chính xác về mặc toán học, nó
chỉ là một sự gần đúng.
Nếu tồn tại một số dương ω 0 , sao cho với mọi n =1, 2 … có thể tìm được số nguyên
Kn để cho ω n =Kn ω 0 , thì đa thức lượng giác sẽ là hàm tuần hoàn. Nếu đồng thời là số
nhỏ nhất, thì chu kỳ cơ bản của hàm này sẽ bằng:
T=
K
2π
=2 π n
ω0
ωn
(2.21)
Từ đây có thể thấy rằng, đa thức lượng giác (2.20) sẽ là hàm tuần hoàn, nếu với hai chỉ
số n, m ta có tỉ số:
ωn K n
=
ωm K m
(2.22)
là số hữu tỉ.
Tóm lại, có thể thấy tín hiệu gần tuần hoàn bao gồm các tín hiệu sau:
§ Tín hiệu tuần hoàn được biểu diễn bởi tổng hữu hạn (2.20) thỏa mãn điều
kiện (2.22).
20
Chương 2: Tín hiệu xác định
§ Tín hiệu tuần hoàn được làm gần đúng bằng đa thức (2.20) với N tiến tới vô
cùng và thõa mãn điều kiện (2.22).
§ Tín hiệu không tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn (2.20) và
tồn tại ít nhất cặp chỉ số n,m sao cho ω n / ω m là một số vô tỉ.
§ Tín hiệu không tuần hoàn được là gần đúng bằng đa thức lượng giác có độ
chính xác bất kỳ (2.20) với N tiến tới vô cùng, tương tự sẽ tồn taị ít nhất một
cặp chỉ số n, m sao cho ω n / ω m là một số vô tỉ.
2.3.6 Tín hiệu phân bố
Tương tự như trong vật lý và trong lý thuyết mạch trong LTTH người ta
cũng dùng khái niệm phân bố. Nó được gọi là các giả hàm hay các hàm tổng quát. Nó
thường được dùng trong ba trường hợp sau:
§ Phân bố được dùng như một mô hình toán học cho một loại tín hiệu nào đó.
§ Phân bố đựơc dùng để mô tả các phép toán tác động lên tín hiệu ví dụ phép
rời rạc tín hiệu hay lặp tuần hoàn tín hiệu.
§ Phân bố được dùng để mô tả phổ của tín hiệu, trong trường hợp tín hiệu
không có phổ Forurier thông thường, ví dụ như bước nhảy đơn vị, tín hiệu tuần
hoàn và nhiều tín hiệu có năng lượng không xác định.
1-
Phân bố δ (t):
1
δ(
t)
1
t
δ(
t-t0)
t
0
t0
Hình a
Hình b
Hình 2.21
0
δ (t)=
∞
∞
và
∫
với
t≠0
t=0
(2.23)
δ (t)dt=1
(2.24)
−∞
21
Chương 2: Tín hiệu xác định
§ Trong lý thuyết về phân bố, δ (t) được hiểu là giới hạn của dãy {δ (t ,τ )} của
các hàm {δ (t ,τ )} thỏa mãn các điều kiện sau:
0
lim δ (t ,τ ) =
τ →0
∞
khi
t≠0
(2.25)
t =0
và với τ >0
∞
∫
δ (t ,τ ) dt=1
(2.26)
−∞
§ Khi phân bố δ (t) dịch chuyển trên thang thời gian một khoảng t0, nó sẽ
được ký hiệu là δ (t − t 0 ) và đựợc mô tả như sau (H.2.21b).
0
δ (t − t 0 ) =
∞
∞
và
∫
với
t ≠ t0
(2.27)
t = t0
δ (t − t 0 ) dt=1
(2.28)
−∞
Dãy hàm định nghĩa của δ (t − t 0 ) có thể là:
π (t − t 0 ) 2
1
exp
−
τ2
τ
•
(2.29)
Các tính chất của phân bố δ (t) :
§ Tính chất 1: Nhân δ (t) với hằng số:
∞
∫
a δ (t) dt= a
−∞
∞
∫
δ (t) dt=a; a ∈ R
(2.30)
−∞
§ Tính chất 2: Quan hệ với bước nhảy đơn vị:
t
∫ δ (t ' ) dt’=1(t)
(2.31)
d1(t )
= δ (t)
dt
(2.32)
−∞
§ Tính chất 3: Nếu x(t) là tín hiệu bất kỳ thì:
x(t) δ (t)=x(0) δ (t)
(2.33)
x(t) δ (t − t 0 ) = x(t0) δ (t − t 0 )
(2.34)
§ Tính chất 4: Nếu x(t) là tín hiệu bất kỳ thì:
22
Chương 2: Tín hiệu xác định
∞
∫
x(t) δ (t) dt=x(0)
(2.35)
x(t) δ (t − t 0 ) dt=x(t0)
(2.36)
−∞
∞
∫
−∞
§ Tính chất 5: Thay đổi thang độ (tỉ lệ)
t
δ
t0
= t 0 δ (t )
(2.37)
§ Tính chất 6. Tính chất chẵn. δ (t) = δ (-t).
§ Tính chất 7.Tính chập của phân bố δ (t) với hàm bất kỳ
∞
∞
−∞
−∞
∫ x(t ' )δ (t − t ' )dt ' =
x (t ) * δ (t ) =
∫ x(t − t ' )δ (t ' )dt ' = x(t )
x(t)* δ (t − t 0 ) =x(t-t0)
2-
( 2.38)
Phân bố δ ’(t) :
Phân bố δ ’(t) là đạo hàm của phân bố δ (t) , nó được xác định bởi dãy hàm
định nghĩa sau
{δ ' (t ,τ )}= d δ (t ,τ )
dt
(2.39)
trong đó δ (t ,τ ) là dãy hàm định nghĩa phân bố δ (t) , phép tính đạo hàm được hiểu
theo nghĩa thông thường.
Các tính chất của phân bố δ ’(t):
∞
∫
δ ’(t) dt=x(0)
(2.40)
x(t) δ ' (t − t 0 ) dt=-x’(t0)
(2.41)
−∞
∞
∫
−∞
3-
Cặp phân bố δ (t) chẵn và lẻ:
Cặp phân bố δ (t) chẵn và lẻ được ký hiệu đặc biệt như sau:
1
1
1
1
(t)=1/2 δ (t + ) + δ (t − )
2
2
(2.42)
(t)=1/2 δ (t + ) − δ (t − )
2
2
(2.43)
23
Chương 2: Tín hiệu xác định
Các phân bố này được biểu diễn trên hình 2.23 a, b, chúng được dùng để mô tả phổ
của các tín hiệu điều hòa sin và cosin.
4-
Phân bố lược:
Phân bố lược lược ký hiệu là
(t) và được định nghĩa như sau:
∞
(t)=
∑ δ (t − n)
(2.44)
n = −∞
Đồ thị của phân bố lược cho trên hình 2.24a. Từ định nghĩa của phân bố
lược có thể thấy nó là dãy tuần hoàn của delta Đirăc, có độ cao đơn vị và cách nhau
một khoảng đơn vị, tên gọi của phân bố lược là hoàn toàn trực quan xuất phát từ đồ thị
của nó.
Theo định nghĩa nó là tín hiệu tuần hoàn nhưng lại có công suất trung bình
không hữu hạn.
24
Chương 2: Tín hiệu xác định
Phân bố lược được dùng nhiều trong LTTH, nó được dùng để mô tả tín hiệu
rời rạc hoặc các phép tính tác động lên tín hiệu bị rời rạc hoặc phép tính tác động lên
tín hiệu rời rạc, ngoài ra nó còn dùng để biểu diễn phép tính lặp tuần hoàn và phổ của
tín hiệu tuần hoàn.
v
Các tính chất của phân bố lược:
§ Tính chất 1: Tính chất rời rạc:
∞
x(t)
(t)=
∑ x(n)δ (t − n)
(2.45)
n = −∞
Trong đó x(t) là tín hiệu bất kỳ.
§ Tính chất 2. Tính chất lặp tuần hoàn:
∞
x(t)*
∑ x (t − n )
(t)=
(2.46)
n = −∞
Tín hiệu x(t) là tín hiệu xung có thời hạn nhỏ hơn hoặc bằng đơn vị.
§ Tính chất 3. Tính chất chẵn:
(t)=
(-t)
(2.47)
§ Tính chất 3. Phân bố lược là tín hiệu tuần hoàn
(t) n = 0,±1...
(t+n)=
(2.48)
§ Tính chất 5. Thay đổi thang độ (tỉ lệ):
∞
t
τ
∑ δ (t − n τ )
( )= τ
(2.49)
n = −∞
Từ tính chất 5 thấy rằng, dãy delta đirăc cách nhau một khoảng bằng nhau (chu kỳ )
T>0 và có độ cao như nhau, có thể viết dưới dạng:
1
T
v
t
τ
∞
( )=
∑ δ (t − nT )
(2.50)
n = −∞
Tính chất rời rạc và lặp tuần hoàn của dãy (2.50) như sau:
-Tính chất 1
x(t)
1
T
t
T
( )=
∞
∑ x(nT )δ (t − nT )
n = −∞
Trong đó x(t) là tín hiệu bất kỳ.
-Tính chất 2
25
(2.51)
