MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bản chất của vật chất tối trong vũ trụ vẫn là một trong những vấn đề
thách thức của vật lý hạt, thiên văn học và vũ trụ học. Một trong các loại hạt
có khả năng đóng góp vào vật chất tối là hạt giả vô hướng nhẹ, chẳng hạn như
axion, saxion, ….Các hạt vô hướng nhẹ là các boson Goldstone xuất hiện
dưới thang phá vỡ đối xứng tự phát của đối xứng Peccei – Quinn(PQ), đối
xứng Lepton hoặc đối xứng thế hệ.
Trong mô hình chuẩn (SM) của vật lý hạt còn tồn tại nhiều vấn đề chưa
được giải quyết, có những vấn đề hấp dẫn và khó khăn nhất của SM đó là vấn
đề “bậc”, vấn đề vi phạm CP mạnh (strong CP) và vấn đề vật chất tối, trong
SM không có vật chất tối[1],[2],[3],[4]. Cho đến nay đã có rất nhiều các giải
pháp để giải thích các vấn đề trên, tuy nhiên thành công hơn cả là các giải
pháp siêu đối xứng và cơ chế Peccei – Quinn, cả hai giả thuyết này đều liên
quan đến việc các đối xứng bị phá vỡ. Lý thuyết siêu đối xứng (SUSY) là sự
mở rộng của SM và được đề xuất vào những năm 70 của thế kỉ XX, trong
SUSY có sự đối xứng của các hạt có spin khác nhau, lý thuyết này đã giải
thích thuyết phục cho vấn đề bậc. Vấn đề vi phạm CP được giải quyết thông
qua cơ chế PQ, theo cơ chế này người ta đưa vào một trường giả vô hướng đó
là axion[6].
Trong mô hình axion siêu đối xứng, saxion xuất hiện cùng axion trong
θ=

1
( s+ia ) + 2a%θ+Fφ θθ
2

siêu đa tuyến axion:

,trong đó saxion(s) là thành phần

vô hướng thực, có spin = 0. Saxion tương tác rất yếu với vất chất thông
1


thường, do đó nó có thể là thành viên của WIMP, là ứng viên của các hạt vật
chất tối. Khối lượng của saxion phụ thuộc vào các mô hình axion và được
đánh giá trong khoảng 1keV ÷ 100MeV[5]. Gần đây tình hình nghiên cứu
saxion cũng được các nhà vật lý quan tâm, tuy nhiên đặc tính hủy của các ứng
viên vật chất tối thành vật chất thông thường cần phải được nghiên cứu nhằm
hy vọng chỉ ra được những bằng chứng có lợi để khẳng định sự tồn tại của nó
trong mô hình cũng như trong vũ trụ như là những hạt vật chất tối. Vì lí do đó
chúng tôi chọn đề tài: “Một số đặc tính hủy saxion trong mô hình KSVZ”
làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự hủy cặp saxion- photon thành các fermion. Trên cơ sở
đó chỉ ra các đặc tính cơ bản của saxion để khẳng định sự tồn tại của nó trong
vũ trụ cũng như vai trò của nó trong vật chất tối.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc
Feynman để tính các biểu thức giải tích về độ rộng phân rã và tiết diện tán xạ.
- Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số và vẽ đồ thị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự hủy cặp saxion- photon thành
các fermion.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử,
chúng tôi tính toán giải tích và đánh giá số độ rộng phân rã và tiết diện tán xạ
của các quá trình hủy saxion.

2



5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn
Các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp cho lý thuyết và thực nghiệm trong
việc khẳng định sự tồn tại của các hạt vật chất tối và giải quyết bài toán vi
phạm đối xứng CP- mạnh trong sắc động học lượng tử .
6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Mô hình axion KSVZ .
Chương II: Bình phương yếu tố ma trận của quá trình hủy cặp saxion photon thành các fermion.
Chương III: Tiết diện tán xạ của của quá trình hủy cặp saxion – photon
thành các fermion.

3


CHƯƠNG I
MÔ HÌNH AXION KSVZ
1.1. Axion trong mô hình KSVZ (Kim - Shifman - Vainstein – Zakharov)[6].

Để nghiên cứu tương tác photon – axion (

aFF%

), Kim [1979] và nhóm

Shifman - Vainstein – Zakharov [1980] đưa vào một quark nặng Q. Để thực
hiện đối xứng PQ thì Q phải không có khối lượng trần, điều này cho phép ta
giả sử Q là một tam tuyến màu. Tính chất điện yếu của Q rất quan trọng để
đưa ra tương tác axion – photon – photon. Tương tác Yukawa và thế Higgs
thích hợp với đối xứng PQ là [6]:

*
*
L Y =-f QσQ
σQ
,
L
R-f Q R
L

(1.1)

V ( φ ,σ) =-μφ2φ +φ -μσ2 σ* σ+λφ ( φ +φ ) +λσ ( σ* σ ) +λfσφ +φ σ* σ.
2

trong đó

φ

2

là lưỡng tuyến Higgs trong mô hình chuẩn,

hướng phức của SU(2)

⊗

U(1) có tích là Q
σ=

a

i
1 %
v+ρ e v
2

(

σ

(1.2)
σ

là đơn tuyến vô

và có thể được khai triển:

)

.

Phép biến đổi đối xứng PQ tương ứng với nhóm U(1)PQ là:
σ = eiQασ σ,

(1.3.1)
i

QL = e 2

Qαα


i
- Q αα

Q L ;Q R = e 2

4

QR .

(1.3.2)


Đối với khoảng hữu hạn của các thông số trong thế năng, người ta có thể thu
σ ≥ f 0 ≈ 200GeV

được

và làm cho Q nặng.
Qσ =1

Dòng PQ với

là
1
J μPQ =v%∂ μ a- Qγμ γ5 Q,
2

(1.4)

v%

.
2

σ =

Dòng axion đối với nhiễu loạn chiral (Bardeen và Type [1978]) là:

(

)

1
1
J μa =v%∂ μ a- Qγμ γ5 Q+
uγμ γ5 u+dγμ γ5 d .
2
2 ( 1+Z )

(1.5)

Thành phần Lagrangian mô tả tương tác axion- quark là:
L ( a-q ) =

mu a
( uiγ 5d+diγ 5d+.... ) .
f a ( 1+Z )

(1.6)

Từ phương trình trên ta thu được tương tác axion - nucleon như sau:


(

)

N′,a L ( a-q ) N =N ′ iγ 5 g ( ) +g ( ) τ 3 N a ,

g ( 0) =

trong đó

M ( 0 ) ( 3) M
G A ;g =
2f a
2f a

0

3

 1-Z 

÷G A
 1+Z 

Với M là khối lượng của nucleon và

(1.7)

.

Z=m u /md

. Đối với mô hình này

(Weinberg [1977] và GA=1,26 được xác định từ phân rã

β

(Nagels [1979]).

Tương tác axion – photon được xác định từ Lagrangian sau:

5

Z = 0, 56


L=

∂ a
2
1
∂ μ a ) +ψ μγ
(
2
N DW


+αfL μ ψ( f+hcqf )
∑

X
 f

fL


÷


i
i
αq
αq

 e 2caγγ a
2
2
−  ∑ ψqR e M q e ψqL +hc ÷Fem F%
em ,
2
32π
f
a
 q


caγγ =caγγ +6α∑ Qi
i

trong đó


(

em
i

)

(1.8)

2

lấy tổng theo các quark nhẹ,

αi

được xác định

từ phương trình:
-

a
-α
∑=0.i
fa i

(1.9)

Đối với 3 vị ta có:
αu =


md m s
,
m u m d +m d m s +m s m u

αd =

αs =

m u ms
,
m u m d +m d ms +ms m u

md mu
.
m u m d +m d m s +m s m u

(1.10.1)

(1.10.2)

(1.10.3)

1.2. Axion trong mô hình siêu đối xứng
Lý thuyết thống nhất lớn ra đời dựa vào các nhóm Lie có biểu diễn được
lấp đầy bởi những hạt với spin cố định. Tuy nhiên, lý thuyết này chưa thiết
lập được quan hệ giữa các hạt có spin khác nhau. Ngoài ra nguyên lý chuẩn
chỉ cố định được các tương tác vector, còn các tương tác Yukawa và tương
tác vô hướng thì vẫn chưa chịu sự ràng buộc nào. Do đó, sự mở rộng mô hình
này là rất cần thiết và phải theo hướng xây dựng một đối xứng liên quan giữa


6


các hạt có spin khác nhau. Đối xứng này được gọi là “siêu đối xứng’’
(SUSY).
Mục tiêu của lí thuyết này là đi xây dựng một đối xứng mà có thể thống
nhất được đối xứng ngoài (không - thời gian) với đối xứng trong (spin đồng
vị). Dựa trên lý thuyết nhóm, người ta chỉ ra rằng các vi tử của hai nhóm nói
trên giao hoán với nhau. Do đó, để thực hiện được mục tiêu, người ta đưa vào
một vi tử mới

Qiα

[3], nó có các tính chất liên hệ với các vi tử của nhóm

Poincare như sau:

{

}

[Qα ,Pμ ]=[Qα&,Pμ ]=0, { Qα ,Qβ } = Qα&,Qβ& =0

{ Q ,Q } =2σ
α

β&

μ

αβ μ

1
[Qα ,M μν ]=σ (
2

trong đó

( α,β )

(1.11)

P,

(1.12)
Q) ,
β

μν α

β

1
[Qα&,M μν ]=σ (
2

σμ = ( σ 0 ,σi ) ;σ -μ = ( σ 0 ,-σ i ) ,

nhận giá trị (1,2),


&&)
( α,β

chiều nhận giá trị

σ

β&

( μ,ν )

β&

(1.13)
i

là các ma trận Pauli và

nhận giá trị

số spinor Weyl; còn các chỉ số

{ 0,1, 2,3}

với

Q) ,

μν α&


2)
( 1,&&

1
σ μν = [γ μ ,γ ν ]
4

.

là các chỉ số thành phần các chỉ

là chỉ số của các thành phần vector 4

. Từ (1.13) ta thấy các vi tử mới

Qiα

không giáo

hoán với phép quay, do đó nó lập nên phép quay Lorentz không sơ đẳng và
liên hệ với các hạt có spin khác nhau, cụ thể là nó có thể biến đổi fermion
thành boson và ngược lại:

7


Q fermion = boson ;Q boson = fermion .

(1.14)
Đại số Lie thông thường kết hợp với các giao hoán tử và phản giao

hoán tử (1.11), (1.12), (1.13) gọi là đại số Lie phân bậc hay còn được gọi là
đại số siêu đối xứng, đây cũng là cơ sở cho sự ra đời của SUSY – đối xứng
giữa hai loại hạt theo các thống kê khác nhau: boson – fermion.
Trong lý thuyết siêu đối xứng, ở vùng năng lượng thấp, saxion xuất
hiện cùng với axion và axino trong lý thuyết siêu trường chiral sau:
θ=

1
( s+ia ) + 2a%θ+Fφ θθ.
2

Trong đó a là trường axion,

a%

(1.15)

là trường axino, s là trường saxion,

Fφ

là

trường phụ.
1.3. Đánh giá khối lượng của saxion
Do đặc tính tương tác yếu với vật chất thông thường nên các tính chất
của chúng (quá trình tạo hoặc rã) ngoài phụ thuộc vào hằng số phân rã axion
fa

, còn phụ thuộc rất mạnh vào khối lượng của chúng. Với saxion, việc đánh


giá khối lượng của nó khá đơn giản, từ siêu thế:
W=λ p XQ p Q p .

(1.16)
Trong đó

λp

là hằng số liên kết, X là đa tuyến được xây dựng từ các tích PQ

và có giá trị trung bình chân không là

X =f a

Qp

còn

và

Qp

là các đa tuyến

quark. Từ sự phá vỡ siêu đối xứng đưa đến kết quả gần đúng sau:

8



f2
fa :
.
ms

Với

f ≥ 104GeV

(1 .17)

f là thang khối lượng và ms là khối lượng của saxion. Nếu

khối lượng saxion đủ nhỏ thì có thể đánh giá cùng bậc với khối lượng của
gravitino

ms = ξ mG°

với thông số

ξ

có bậc của đơn vị.

Từ các điều kiện vũ trụ học và thiên văn học, hằng số phân rã axion f a được
xác định trong khoảng:
109 GeV ≤ f a ≤ 1012GeV.

(1.18)


Từ (1.43) và (1.44) ta thu được khoảng khối lượng của saxion với giá trị thấp
nhất của thang khối lượng

f=104GeV

là:

1keV ≤ ms ≈ m G° ≤ 100MeV.

(1.19)

Như vậy khối lượng của saxion là nhỏ và có thể so sánh được với khối lượng
của gravitino, do đó chúng có thời gian sống có thể là rất lâu (hạt bền), vì vậy
chúng là ứng viên tốt cho hạt vật chất tối.
1.5. Kết luận
Trong chương này chúng tôi đã trình bày về:
+ Axion trong KSVZ: ở đây, chúng tôi trình bày tương tác axion

°
aFF

từ

các quark nặng, đưa ra biểu thức Lagrangian mô tả tương tác của axion với
các hạt vật chất khác .

9


+ Axion trong mô hình siêu đối xứng: chúng tôi trình bày sự xuất hiện của

saxion cùng với axion và axino từ siêu trường chiral và đánh giá khối lượng
của saxion.

CHƯƠNG II
BÌNH PHƯƠNG YẾU TỐ MA TRẬN CỦA QUÁ TRÌNH HỦY
CẶP SAXION –PHOTON THÀNH CÁC FERMION
Trong chương này, chúng tôi tính bình phương biên độ tán xạ của quá
trình hủy cặp saxion-photon thành các fermion theo các kênh s, u, t và sự giao
thoa giữa các kênh này trong trường hợp chùm fermion (

f + ,f -

) phân cực và

không phân cực.
2.1. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình hủy cặp saxion - photon
thành các fermion khi chưa phân cực
2.1.1.Bình phương biên độ tán xạ của quá trình huỷ saxion theo kênh s
2.1.1.1. Giản đồ Feynman theo kênh s
Quá trình va chạm với hai hạt ở trạng thái đầu là saxion và photon và
trạng thái cuối là các fermion được biểu diễn dưới dạng:
s(p1 ) + γ (p 2 ) → f − (k1 ) + f + (k 2 )

10

,


trong đó
+ p1, p2 là xung lượng của các hạt saxion và photon ở trạng thái đầu,

+ k1, k2 là xung lượng của các hạt fermion

f−

và

f+

ở trạng thái cuối .

s ( p1 )

γ ( p2

11


Hình 2.1. Sự hủy cặp saxion – photon sinh các fermion theo kênh s
2.1.1.2. Bình phương biên độ tán xạ
Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ của quá trình này là:
αc
-ig μν
δ
δ δ
Ms δ= ε2 (p )(-i)
[2p
)u(k
)(-ieγ
)v(k
)

2 s q
μ g2μ-ps q2 -p
sμ q ](
1
μ
2
4πfa
qs2
ieα
δ
δ
δ
=ε (p c)[2p
δ q 2g -p 2 qs -p
μ q2μ ]u(k
s
2 )γ
sμ v(k 1)
2
4πfa qs

t

rong đó:

q s =p1 +p 2

;

v= v12 +v 22 =247GeV


χ

2

μ
2

(2.1)

≈1

,

.

Trong các biểu thức trên, để cho gọn ở đây chúng tôi không viết chỉ số spin
của các hạt tham gia và chỉ số phân cực của photon.
Ma trận liên hợp Hermit của ma trận Ms:
-ieα *μ'
′
′
δ
M s+δ'=ε 2 (p c)v(k
)γ [2p
-pδs q δ'2 -p
)
2 s q
μ' g 2μ'
sμ'q ]u(k

1
22
4πfa qs

.

Bình phương biên độ tán xạ là:
2

Ms

2

 eα c 
= ∑ M s M =ε 2 (p δ )ε
(p )v(k
)γ*μ' u(k
)u(k
)γμ v(k
)
∑
2
1
1
2
22 ÷
4πf
q
spins,pol
a s  spins,pol


+
s δ'

12

(2.2)


×[2p 2qs gμ' δ′ -p2μ' qs δ′ -p2 δ'qsμ' ][2p2 qs gμ δ -p2μ qs δ -p2 δ qsμ ]
.

Sử dụng các công thức:

∑ε

*
δ'

(p 2 )ε δ (p 2 )=-g δδ′

pol

,

∑ u(k )u(k )= ( kˆ -m
1

1


1

spins

f

)
,

∑

(

v(k 2 )v(k 2 )= kˆ 2 +m f

)

,
mf

và tính toán không bỏ qua khối lượng của các fecmion
2

Ms

2

 eα c 
=- 
2 ÷

 4πfa qs 

m 2f

và

. Khi đó ta được:

[ [ 32 ( p 2qs ) ( k 2k1 ) - ( p 2q s ) ( k 2q s ) ( k1p2 ) - ( p 2q s ) ( q s k1 ) ( p 2k 2 ) ]
2

2
+8 ( p 2 k 2 ) ( p 2 k1 ) q s2 + ( q s k 2 ) ( q s k1 ) p 22  +20 ( k1k1 +m f2 ) ( p 2q s ) 


.

(2.3)

2.1.2.Bình phương biên độ tán xạ của quá trình huỷ saxion theo kênh u
2.1.2.1. Giản đồ Feynman theo kênh u
Quá trình hủy cặp saxion-photon thành các fermion theo kênh u được
mô tả bằng giản đồ Feynman như sau:

13


s ( p1 )

( -ieγ )


f + ( k2 )

f - ( qu )

μ

i(qˆ u +m f )
q 2u -m f2

γ ( p2 )

 imγf

 λa

Hình 2.2. Sự hủy cặp saxion – photon sinh các fermion theo kênh u
Trong quá trình va chạm hai hạt ở trạng thái đầu là saxion và photon, thành
hai hạt ở trạng thái cuối là các fermion (

f + ,f -

). Hạt trung gian truyền tương

tác là fecmion có xung lượng qu.
s(p1 )+γ(p 2 ) → f - (k1 )+f + (k 2 ),

trong đó
+ p1, p2 là xung lượng của các hạt saxion và photon ở trạng thái đầu
+ k1, k2 là xung lượng của các hạt fecmion

14

f−

và

f+

ở trạng thái cuối .

5


÷


f-(k


2.1.2.2. Bình phương biên độ tán xạ
Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ theo kênh u là:
Mu =

(

iemχf
u(k1 )γ 5 ( qˆ u +m fμ) γ v(k
)ε μ2(p )
2
2

2
q u -m f v

)

q u = k1 -p1 = p 2 -k 2

trong đó

,

(2.4)

.

Ma trận liên hợp Hermit của ma trận Mu:
M +u =-

(

iemχf
v(k 2μ')γ
q 2u -m f2 v

)

(uqˆ

+m
)ε *μ' 2(p )

)5 γ u(k
f
1

.

(2. 5)

Sử dụng các công thức :

$
 ∑ v(p 2 )v ( p 2 ) =p 2 -mf ,
spins

$
 ∑ u ( p1 ) u ( p1 ) =p1 +m f ,
spins
 ε*ν ( k ) ε μ ( k ) =-g μν .
1
1
∑
 pol

Bình phương biên độ tán xạ là:
2

Mu

2


 emχ

=-  2 f 2 ÷ 16 ( k 2q u ) ( k1q u ) -8 ( k 2 k1 ) q u2 +32m f2 ( k 2q u ) +8m f2 (k1k 2 )
 ( q u -m f ) v ÷


-16mf2 (q u k1 )+q 2u  -16 m f4 

15

(2.6)


2.1.3. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình huỷ saxion theo kênh t
2.1.3.1. Giản đồ Feynman theo kênh t
(

s ( p1 )

imγf 5
)
λa

f + ( k2 )

f - (q t )
f - ( k1 )

γ ( p2 )


( -ieγ )
μ

Giản đồ Feynman

cho quá trình hủy saxion –photon thành các fermion theo kênh t được biểu
diễn bởi hình :

Hình 2.3. Sự hủy cặp saxion – photon sinh các fermion theo kênh t
Từ hình vẽ trên, hạt saxion
f - ( qt )

s ( p1 )

và tạo thành hạt fermion

photon

γ ( p2 )

ở trạng thái đầu chuyển thành hạt fermion

f + ( k2 )

và tạo thành hạt fermion

. Sau đó, fermion
f - ( k1 )

:


γ ( p 2 ) +s ( p1 ) → f - ( k1 ) +f + ( k 2 ) .

16

f - ( qt )

kết hợp với hạt


2.1.3.2. Bình phương biên độ tán xạ
Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ theo kênh t là:
Mt =

(

emχf
u(k1μ)γ (t qˆ +m
)ε μ (p
)
)5 γ v(k
f
2
2
2
2
q t -m f v

)


(2.7)

q t =p1 -k 2 =k1 -p 2

trong đó:

.

Ma trận liên hợp Hermit của ma trận Mt:
M +t =

-iemχf
v(k 2 )γ 5 ( qˆ t +m fμ') γ u(k
)ε *μ'2(p )
1
2
2
( q t -mf ) v

.

(2.8)

Bình phương biên độ tán xạ là:
2

Mt

2


 emχ 
=-  2 f 2 ÷ [16 ( k 2q t ) ( k1q t ) -8(k1k 2 )q 2t +32m f2 (q t k 2 )
 (q t -m f )ν 

.

+8mf2 (k1k 2 )-16m f2 (q t k1 )-16m f2 q 2t -16m f4 ].

(2.9)

2.1.4. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình huỷ saxion theo giao
thoa giữa kênh u và kênh t.
Ta viết lại biểu thức biên độ tán xạ của kênh u và liên hợp Hermit của
biên độ tán xạ theo kênh t:
Mu =

(

iemχf
q 2u -mνf2

)

u ( kγ1 ) (q5 $+m
)γfμ v k2( ε) μp1( , )
u

(2.10)

Liên hợp Hermit của biên độ tán xạ theo kênh t:

M +t =

iemχf
$ )γ u k( ε ) *ν'p ( . )
v ( kγ2 ) (q5 +m
fν'
1
1
t
2
2
(q t -m f )ν

Từ (2.10) và (2.11) ta có:

17

(2.11)




e 2 mχ2 2
M u M +t = - 4  2 2 f 2 2 2 ÷{ 2[(k1q u )(k 2 q t )+(k 1 k 2 )(q u q t )+(k1q t )(k 2q u )]
 (q u -m f )(q t -m f )ν 

+4m f2 (k1q u )+2m f2 (k1k 2 )+4m f2 (k1q t )-2m f2 (q u k 2 )

-4m f2 (q u q t )-2m f2 (k 2 q t )-4mf4 }


(2.12)

Tính toán tương tự đối với bình phương biên độ giữa kênh s với kênh u,và với
kênh t ta chỉ thu được giá trị ảo.
2.2. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình hủy cặp saxion-photon
thành các fermion khi chùm f+ ,f- phân cực.
2.2.1. Quá trình hủy cặp saxion -photon theo kênh s khi chùm fermion
f + ,f -

phân cực.

18


s ( p1 )

19


Quá trình va chạm theo kênh s khi chùm fermion

f +,f -

phân cực chỉ thu được

biên độ tán xạ khác không trong trường hợp chùm fermion

f + ,f -

cùng phân


cực trái hoặc cùng phân cực phải. Xét cho cả hai trường hợp chùm fermion
f + ,f -

cùng phân cực trái và cùng phân cực phải ta có giản đồ Feynman như

hình vẽ sau:

Hình 2.4. Sự hủy cặp saxion-photon thành các fermion khi chùm fermion

f + ,f -

cùng phân cực trái và cùng phân cực phải
Áp dụng quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ theo kênh s trong trường hợp
chùm

f + ,f -

cùng phân cực trái là

ieα
δ
δ
δ
MsLLδ=ε 2(p c)[2p
q g 2μ-p s q 2-p
)(
sμ q ]u(k
1
22 s μ

4πfa qs

1+γ 5
)γ v(k
)
2
2

μ

(2.13)

và liên hợp hermit của biên độ tán xạ:
-ieα *μ'
+
M sLLδ'
=ε 2(p c)v(k
)(
2
4πfa qs2

′
′
δ 1+γ 5δ
δ'
)γ
[2p
-p s q 2-p
)
2 s qμ' g 2μ'

sμ'q ]u(k
1
2

(2.14)

20


Áp dụng quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ theo kênh s trong trường hợp
chùm f+, f- cùng phân cực phải là:
ieα
δ
δ
δ
M sRRδ=ε 2 (p c)[2p
)(
2 s q
μ g 2μ-p s q 2 -p
sμ q ]u(k
1
4πfa qs2

1-γ 5
)γ v(k
)
2
2

μ


(2.15)

và liên hợp Hermit tương ứng:
-ieα
+
*μ'
M sRRδ'
=ε 2 (p c)v(k
)(
22
4πfa qs

′
′
δ 1-γ 5 δ
δ'
)γ
[2p
-p s q 2 -p
),
2 s q
μ' g 2μ'
sμ' q ]u(k
1
2

(2.16)

M sLR =0,


(2.17)

MsRL =0.

(2.18)

Từ các công thức (2.13), (2.14), (2.15) và (2.16) ta thu được các kết quả sau:
2

M sLL M

+
sLL

=M sRR M

+
sRR

 eα c 
=- 
2 ÷
 4πfa qs 

×{ 16 ( p 2 qs )

2

( k 2 k1 ) - ( p2 qs ) ( k 2 qs ) ( k1p2 ) - ( p2qs ) ( qs k1 ) ( p2 k 2 ) ]


2
+4 ( p 2 k 2 ) ( p 2 k1 ) q s2 + ( q s k 2 ) ( q s k1 ) p 22  +10 ( k1k1 ) ( p 2q s ) 


(2.19)
2

M sLL M

+
sRR

=MSRR M

+
SLL

 eα c 
=- 
{10m f2 (p 2 q s ) 2 }
2 ÷
 4πfa qs 

,

(2.20)

2.2.2. Quá trình hủy cặp saxion -photon theo kênh u khi chùm fermion
f + ,f -


phân cực.

21


s ( p1 )

( -ieγ )
μ

+
f L,R

f - ( qu )
i(qˆ u +m f )
q 2u -m f2

γ ( p2 )

Quá trình huỷ cặp saxion-photon sinh cặp fermion theo kênh u khi chùm fermion
f +, f −

phân cực được mô tả bằng giản đồ Feynman sau:

Hình 2.5. Sự hủy cặp saxion-photon thành các fermion theo kênh u
f +f khi chùm
phân cực

Áp dụng quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ theo kênh u khi chùm fermion

f+, f- cùng phân cực trái và cùng phân cực phải là:
 iemχ 
M uLL =  2 f 2 ÷u L ( kγ1 ) (q5 ˆ+m
)γfμ vL k2( ε) μp2(
u
(q
-m
)ν
 u f 

22

)
(2.21)


 iemχ 
M uRR =  2 f 2 ÷u R ( kγ1 ) (q5 ˆ+m
)γfμ vR k2( ε) μp2( . )
u
 (q u -mf ) 

(2.22)

và liên hợp Hermit của biên độ tán xạ trong hai trường hợp này là:
 -iemχ 
ˆ f )γ5 uL k1( ε )
M +uLL =  2 f2 ÷vL ( kγ2μ') (qu +m
(q
-m

)ν
 u f 
 -iemχ 
ˆ f )γ5 uR k1( ε )
M +uRR =  2 f2 ÷vR ( kγ2μ') (qu +m
(q
-m
)ν
 u f 

p2(

*μ'

)
(2.23)

p2(

*μ'

)
(2.24)

Tương tự đối với trường hợp khi chùm fermion f + phân cực trái, chùm
fermion f- phân phải và ngược lại, ta có:
 iemχ 
M uLR =  2 f 2 ÷u L ( kγ1 ) (q5 ˆ+m
)γfμ vR k2( ε) μp2(
u

 (q u -m f )ν 
 -iemχ 
ˆ f )γ5 uL k1( ε )
M +uLR =  2 f2 ÷v R ( kγ2μ') (qu +m
 (q u -m f )ν 

)
(2.25)
p2(

*μ'

(2.26)

 iemχ 
M uRL =  2 f 2 ÷u R ( kγ1 ) (q5 ˆ+m
)γfμ vL k2( ε) μp2(
u
(q
-m
)ν
 u f 
 -iemχ 
ˆ f )γ5 uR k1( ε )
M +uRL =  2 f2 ÷vL ( kγ2μ') (qu +m
 (q u -m f )ν 

Áp dụng các công thức :

1-γ5


 u L = 2 u,

u = 1+γ 5 u,
 R
2

1-γ
 v = 5 v,
 L 2

1+γ5
 vR =
v.

2

23

)

)
(2.27)
p2(

*μ'

)
(2.28)



1+γ 5

 u L =u( 2 ),

 u =u( 1-γ5 ),
 R
2

 v =v( 1+γ 5 ),
 L
2

1-γ
 vR =v( 5 ).

2

Và các công thức :

Từ các công thức (2.21), (2.22), (2.23), ( 2.24), (2.25), ( 2.26), (2.27) và
(2.28) ta thu được các kết quả:
2

M uLL M

+
uLL

=M uRR M


+
uRR

 emχf2

=- 
4(k1k 2 ),
2
2 ÷
 ν(q u -mf ) 

(2.29)

2

M uLR M

+
uLR

=M uRL M

+
uRL

 emχf

=- 
4[2(k 2 q u )(k1q u )-q u2 (k1k 2 )],

2
2 ÷
ν(q
-m
)
u
f 


(2.30)

2

M uLL M

+
uLR

=M uLR M

+
uLL

 emχf2

=
4(k1q u ),
2
2 ÷
 ν(q u -mf ) 


(2.31)

2

M uRR M

+
uRL

=M uRL M

+
uRR

 emχf2

=
4(k1q u ),
2
2 ÷
 ν(q u -mf ) 

(2.32)

2

M uRR M

+

uLR

=M uLR M

+
uRR

 emχf2

=- 
8(k 2q u ),
2
2 ÷
 ν(q u -mf ) 

(2.33)

2

M uLR M

+
uRL

=M uRL M

+
uLR

 emχf2


=
8(q u2 ),
2
2 ÷
 ν(q u -mf ) 

(2.34)

2

M uLL M

+
uRL

=M uRL M

+
uLL

 emχf2

=- 
8(k 2 q u ),
2
2 ÷
ν(q
-m
)

u
f 


24

(2.35)


2

M uLL M

+
uRR

=M uRR M

+
uLL

 emχf2

=
8mf2
2
2 ÷
 ν(q u -mf ) 

(2.36)


2.2.3. Quá trình hủy cặp saxion -photon theo kênh t khi chùm fermion
f + ,f -

phân cực.
s ( p1 )

(

im f γ 5

λa

)

f L+,R, L, R ( k2 )
f − (qt )

γ ( p2 )

f R−,L,R,L ( k1 )

( −ieγ )
µ

Quá trình huỷ cặp

saxion-photon sinh các cặp fermion theo kênh t khi chùm fermion

f + ,f -


phân

cực thu được biên độ tán xạ cho 4 trường hợp mô tả bằng giản đồ Feynman
sau:

25