MỤC LỤC

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mô hình chuẩn (MHC) là mô hình thống nhất 3 loại tương tác: tương tác
điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh. MHC đã mô tả thành công bức tranh hạt
cơ bản và các tương tác mà trước đó còn hiểu một cách đơn giản sơ khai. Mô hình
chuẩn đã cho chúng ta sự thành công trong việc thống nhất tương tác điện từ và
tương tác yếu. Nhiều thực nghiệm đã khẳng định tính đúng đắn của mô hình tại
thang năng lượng điện yếu cỡ 200 GeV với độ chính xác rất cao. Cơ chế phá vỡ đối
xứng tự phát với sự có mặt của hạt Higgs hạt tạo ra khối lượng cho vật chất từ đó
tạo ra khối lượng cho vũ trụ. Tuy nhiên, mô hình chuẩn còn tồn tại một số vấn đề
cần giải quyết như: Mô hình chuẩn không thể trả lời về hơn 95% lượng vật chất tối
và năng lượng tối của vũ trụ, vì những hạt trong mô hình chuẩn đều có thể quan sát
được và không thỏa mãn điều kiện vật chất tối. Mô hình chuẩn cũng không trả lời
được tại sao số thế hệ của fermion chỉ là 3, tại sao các điện tích quan sát thấy lại
gián đoạn và bằng một số nguyên lần điện tích nguyên tố, tại sao quark t lại nặng
hơn nhiều so với dự đoán (trong Mô hình chuẩn thì khối lượng của quark t là 10
GeV trong khi đó vào năm 1995 người ta đo được khối lượng của nó là 175 GeV).
Đặc biệt là trong mô hình chuẩn, khối lượng neutrino (một loại hạt hạ nguyên tử
sinh ra từ sự phân rã của các nguyên tố phóng xạ) bằng không. Tuy nhiên, giải
Nobel vật lí năm 2015 được trao cho hai nhà khoa học Takaaki Kajita đến từ Đại
học Tokyo (Nhật) và Arthur B.McDonald thuộc Đại học Queen (Canada) trong việc
đóng góp trọng yếu của họ đối với các thử nghiệm cho thấy hạt neutrino thay đổi
tính đồng nhất. Sự biến đổi này đòi hỏi các hạt neutrino phải có khối lượng. Để có
thể giải thích được những hạn chế của MHC, đòi hỏi các nhà vật lý lý thuyết phải
tìm ra những mô hình mới và việc mở rộng MHC là một yêu cầu tất yếu. Từ đó các
hướng mở rộng mô hình chuẩn ra đời và nó hứa hẹn nhiều hiện tượng vật lí mới rất

thú vị tại thang năng lượng cao.
Với sự phát triển của khoa học vật lý nói chung cũng như vật lý hạt cơ bản
nói riêng đã có nhiều hướng mở rộng mô hình chuẩn, mỗi hướng đều có ưu và
2


nhược điểm riêng. Ví dụ, các mô hình mở rộng dựa trên nhóm đối xứng chuẩn
SU(3)XSU(3)XU(1) [2] vẫn chưa thể giải quyết được sự phân bậc khối lượng của
hạt Higgs. Các mô hình siêu đối xứng có thể giải thích vấn đề này. Tuy nhiên, nó lại
dự đoán vật lý mới ở thang năng lượng rất thấp (cỡ TeV)…Có một hướng khả quan
là lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian. Lý thuyết đầu tiên theo hướng này là
lý thuyết Kaluza – Klein, mở rộng không thời - gian bốn chiều thành không - thời
gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ.
Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về hiện tượng luận. Tuy nhiên, ý tưởng của
nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như: thống nhất Higgs - Gauge
(GHU), lý thuyết mở rộng với không thời gian lớn, lý thuyết dây…là một trong
những lý thuyết trên, mô hình Randall - Sundrum có thể giải quyết vấn đề phân bậc
khối lượng, giải thích tại sao lại chỉ có ba thế hệ fermion, vấn đề khối lượng
neutrino…
Mô hình Randall - Sundrum với radion và vật lý gắn với nó là một yếu tố
trong mô hình. Tìm được radion sẽ là một trong những bằng chứng khẳng định tính
+ −
đúng đắn của mô hình. Vì vậy, chúng tôi chọn “ Tán xạ µ µ → Zφ khi chùm

µ + , µ − phân cực trong mô hình Randall – Sundrum” làm đề tài nghiên cứu cho
luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
+ −
+
−

Nghiên cứu quá trình tán xạ μ μ → Zφ khi chùm μ , μ phân cực. Trên cơ

sở đó chỉ ra các hướng có lợi thu radion từ thực nghiệm để khẳng định sự tồn tại của
nó cũng như tính đúng đắn của mô hình mở rộng.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
+ −
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu quá trình tán xạ μ μ → Zφ khi chùm

μ + , μ − phân cực.

3


4. Giả thuyết khoa học
+ −
Nếu luận văn thành công thì thông qua quá trình tán xạ μ μ → Zφ khi chùm

μ + , μ − phân cực chúng tôi có thể cung cấp cho thực nghiệm các kết luận quan trọng

trong quá trình tìm kiếm radion, chỉ ra được hướng có lợi để thu được tín hiệu của
radion.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ −
+
−
Nghiên cứu quá trình tán xạ μ μ → Zφ khi chùm μ , μ phân cực. Cụ thể là

tính biểu thức bình phương biên độ tán xạ và biên độ giao thoa của quá trình theo các
kênh s, u, t. Từ đó đánh giá số tiết diện tán xạ vi phân và tiết diện tán xạ toàn phần.
6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, chúng tôi
+ −
tính toán giải tích, khảo sát và đánh giá số tiết diện tán xạ của quá trình μ μ → Zφ

+
−
khi chùm μ , μ phân cực.

7. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc Feynman
để tính biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ.
- Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số và vẽ đồ thị.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Mô hình Randall - Sundrum.
+ −
+
−
Chương II: Biên độ tán xạ của quá trình μ μ → Zφ khi chùm μ , μ phân cực.

+ −
+
−
Chương III: Tiết diện tán xạ của quá trình μ μ → Zφ khi chùm μ , μ phân cực.

4


9. Tóm tắt cô đọng các luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả
+ −

+
−
Trong quá trình nghiên cứu tán xạ μ μ → Zφ khi chùm μ , μ phân cực,

chúng tôi đã sử dụng phương pháp lí thuyết trường lượng tử và giản đồ Feynman. Từ
đó đưa ra được biểu thức bình phương biên độ tán xạ và biên độ giao thoa của quá trình
theo các kênh s, u, t. Sau đó, khảo sát và đánh giá số cho tiết diện tán xạ của quá trình.
Cụ thể là đã đưa ra các đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân theo
cosθ và tiết diện toàn phần theo năng lượng khối tâm trong các trường hợp phân cực
+
−
khác nhau của chùm μ , μ .

Các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào thực nghiệm trong việc tìm kiếm
radion, cũng như là bằng chứng để khẳng định cho tính đúng đắn của mô hình.

5


CHƯƠNG I
MÔ HÌNH RANDALL – SUNDRUM
1.1. Tác dụng và khoảng bất biến của mô hình
Năm 1990 Ranman Sundrum và Lisa Randall đã đưa ra một mô hình 5 chiều
theo mô hình Braneworld về lý thuyết nhiều chiều của Kaluza – Klein và gọi không
-thời gian 4 chiều là Brane và nhiều chiều hơn gọi là Bulk do đó dựa trên cơ sở này
đối với MHC đã mở rộng không – thời gian bốn chiều Minkowski của MHC thành
không – thời gian năm chiều. Trong mô hình này, chiều thứ năm thêm vào trên một
vòng tròn compact S1. Không – thời gian thu hút chính là không gian đối xứng cực
đại và có độ cong âm (anti – de Sitter space). Trên chiều thứ năm, ta đưa vào đối
xứng chẵn lẻ Z2. Vì vậy, hai điểm


(x μ ,φ )

và

(x μ ,-φ )

là đồng nhất. Chiều thứ năm

thêm vào trên Orbifold compact S1/ Z2 hai Brane 3 chiều được đặt vào hai điểm cố
định là φ = 0 và φ = π . Brane tử ngoại (UV – Brane, hay Brane Planck ) được đặt tại
φ = 0, trong Brane này tương tác chủ yếu là tương tác hấp dẫn, Brane ẩn Brane

Planck ở mức năng lượng cao. Brane hồng ngoại (IR – Brane, SM – Brane) định xứ
tại φ = π là Brane quan sát được, Brane TeV ở năng lượng thấp, ở Brane này tương
tác chiếm ưu thế là các tương tác mạnh, yếu và tương tác điện từ. Hai yếu tố cơ bản
để nghiên cứu hiện tượng trong MHC là tác dụng và metric. Vậy để nghiên cứu ta
có biểu thức tọa độ của một điểm trong không – thời gian năm chiều lúc này là
(x μ ,φ )

. Khoảng năm chiều có dạng:

ds 2 = G MNdx M dx N = G μν dx μ dx ν + 2G μφ dx μ dxφ + Gφφ dφ 2 .

6

(1.1)


với GMN là tenxơ metric năm chiều, quy ước viết tenxơ này giống với [3] nhưng

ngược với [6]. Số hạng

G μφ

bị khử ở mode không do đối xứng Orbifold, nên lúc

này ta có:

ds 2μ = Gν μν dx dx 2+ Gφφ dφ ,

(1.2)

với metric tương ứng với các Brane UV và IR lần lượt là:
vis μ
g μν
= G MN (x , φ = π)

và

hidμ
g μν
= G MN (x , φ = 0)

.

Các tác dụng tổng quát năm chiều mà hai tác giả đưa ra có dạng:

S = Sgravity + Svis + Shid ,
(1.3)


ˆ
Sgravity = -∫ d 4 xdy -g(
Svis =

∫d x

Shid =

∫d

4

4

π
R
+ Λ ) = ∫ d 4 x ∫ dφ G (-Λ-2M 3 R),
-π
16πG 5

−g vis ( L vis − Vvis ),

x −g hid ( L hid − Vhid ).

(1.3a)
(1.3b)
(1.3c)

Trong đó:
Sgravity


: hàm tác dụng của trường hấp dẫn.

Svis : hàm tác dụng trong Brane mà ta có thể quan sát được.
Shid : hàm tác dụng trong Brane mà ta không quan sát được.
Với M là khối lượng Planck 5 chiều, G = detG MN, Λ là hằng số vũ trụ 5 chiều
$$

$ $
$ μν
g
và R là độ cong vô hướng [3],
, ( μ,ν = 0, 1, 2, 3, 4 trong đó 4 liên quan đến tọa
μν
$ μν (x,y=0) g μν (x) ≡ g$ μν (x, y =1/2), (μ, ν=1, 2, 3)
g
(x)
≡
g
hid
độ y) là metric Bulk và
, vis

7


∈2 = 16πG 5 =
là metric cảm ứng trên Brane. Sử dụng kí hiệu
rằng


nếu

hằng

số

vũ

trụ

Bulk

và

Brane

1
M 3P15 . Người ta thấy

được

liên

quan

bởi

-12m 0
Λ
= -Vhid = Vvis =

m0
∈2 và nếu điều kiện biên biến đổi tuần hoàn xác định (x, y)
cùng với (x, -y) được áp đặt thì công thức Einstein 5D được dẫn đến metric dưới đây:

ds 2 = eη-2σ(y)dxμνdx μ- b νdy 02.

2

(1.4)

Tác dụng trên thực chất là một mở rộng của tác dụng Hilbert – Einstein 4
chiều trong lý thuyết tương đối rộng của Einstein, do đó có được một giải pháp phù
hợp cho các công thức Einstein tương ứng với lí thuyết năng lượng thấp trên Brane
khả kiến cùng với metric phẳng, các Brane phải có giá trị như nhau nhưng hằng số
vũ trụ đối lập nhau và chúng phải có liên quan đến các hằng số vũ trụ Bulk một
cách chính xác.
1.2. Lời giải phương trình Einstein và khoảng bất biến trong trường hợp cổ điển
Xét trường hợp đơn giản nhất trong cổ điển là trường hợp có tồn tại của vật
chất trên 3 – brane được xét theo dao động xung quanh trạng thái chân không. Do
đó, trong phần này ta chỉ xét đến metric năm chiều cổ điển ở trạng thái nền (ground
state). Mặt khác như đã biết, trường hợp cổ điển là trường hợp không có các hạt vật
chất thông thường (particle excitation), tức là Lvis = Lhid = 0, với Vvis và Vhid luôn
nhận các giá trị không đổi gọi là năng lượng chân không (vacuum energy). Các giá
trị này đóng vai trò là nguồn hấp dẫn ngay cả khi không có các hạt vật chất thông
thường.
Từ các phương trình (1.3) và (1.4) ta có tác dụng cổ điển có dạng như sau:

8



S=

=

∫ d x∫

π

dφ G ( Λ−

−2M R)3

− d∫ x(4

4
∫ d x ∫-π dφ  G ( Λ−

−2M R)3

− −g vis Vδ(
π) − g− hid
V vid
)δ( )φ 
vis φ −

4

-π

π


g− V
vis

vis

+ g− V
vid )vid

(1.5)

Phương trình trên cho thấy xuất hiện các hàm delta Dirac xuất hiện trong
biểu thức trên là do các 3 – brane định xứ tại φ = 0 và φ = π. Vậy biến phân của S
theo GMN:


− − g vis Vδ(
π) − g− hid
V vid
)δ( )φ δG
vis φ −


δ G G MN G
=
MN
2
Ta có: δG
,


MN

.

(1.6)

G R
δ GR
= (R MN + MN ) G
MN
δG
2
,

δ − g vis G μν − g vis μ ν
=
δMδ N
δG MN
2
,

δ − g hid G μν − g hid μ ν
=
δM δ N
δG MN
2
.

Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu δS = 0 thì phương trình Einstein năm chiều
được suy ra có dạng:


G (R MN −

G MN R
1 
)=−
−Λ GG MN + V −g gδvis μδ νδ( φ −
π)
vis
vis μν M N
2
4M 3 
+ Vhid −g hidμνgδhidμMδ Nνδ( )].
φ

(1.7)

Phương trình (1.7) là khoảng không bất biến có dạng (1.2) trong đó:

G μν dx μ dx ν : f(φ )η μνdx μdx ν

,

−2σ(φ )
để giải quyết được vấn đề phân bậc, ta chọn f(φ ) = e
trong đó f(φ) phải là hàm

tuần hoàn theo φ do đó:

G μν = ημν e −2σ(φ )


9

,

(1.8)


với và

ημν = diag( − 1, 1, 1, 1)

Gφφ dφ 2 = - rC2 dφ 2

và

hay

Gφφ = − rC2

. Xét rc không đổi

và gọi là bán kính compact của chiều mở rộng, như vậy từ (1.9) và (1.10) có:

G MN

 −e −2σ(φ )

 0
=  0


 0
 0


)
ds 2 = eη−2σ(φdx
μνdx

0

0
0

e −2σ(φ )
0
0
0
μ

e −2σ(φ )
0
0

0
0
0
e −2σ(φ )
0


0 

0 
0 ,

0 
− rC2 

(1.9)

rν d− c2, φ 2

(1.10)
ta có:
vis μ
g μν
= G MN (x , φ = π) = G μν (φ = π),

 − e−2σ(π)

0
= 
0

0

0

0
0


e−2σ(π)
0
e −2σ(π)
0
0






e −2σ(π)  =η μνe

0
0
0

−2σ(π)

,

(1.11)
hidμ
g μν
= G MN (x , φ = 0) = G μν (φ = 0),

 − e−2σ(0)
0
0

0 


−2σ(0)
0
e
0
0 

=
 0
0
e −2σ(0)
0 


0
0
e −2σ(0)  =η μνe
 0
ta thu được kết quả tính toán (phụ lục A) như sau:

10

−2σ(0)

,

(1.12)



ημν
R μν =σ"(
− 2)e
rc

φ)
φ + -2σ(
4σ'
( )

eφ

2

ημν
2
c

r

,

-2σ(φ )

 φ) −σ' (2 φ) ,
R φφ = 4σ"(
R μφ =R φμ =0.

(1.13)

Tiếp theo ta tính số hạng Ricci vô hướng R:

R = G MNμν
R MNμν= G R + G φφ R φφ
=η eμν

= −

2σ(φ )

 η
  − μν2σ"( )e
φ
r
 c

−2σ(φ )

+ 4σ' (2 )φ

ημν
e
rc2

−2σ(φ )

 1
 φ) −σ' (2 φ) 
 − 2 4σ"(
 rc


4
 2σ"(φ ) − 5σ'2 (φ )  ,
2 
rc

(1.14)

thay giá trị R vào phương trình (1.7) ta được:
 R μν
rc2e −4σ(φ ) 
 0

−

1
4M 3

0  1  G μν
÷− 
R φφ  2  0


G μν
−4σ(φ ) 
 −Λrc e


0


Vhidμνeη4σ(0)e

0  
÷R  =
G φφ  

0 
4σ(π)
e
÷ + Vvis eη
μν
Gφφ 

− 2σ(π) μ
M N

δ δ δ( ν

δ δ δ( ν ), φ

− 2σ(0) μ
M N

φ π)−

(1.15)

với chỉ số φφ ta được:

rc2e −4σ(φ ) (R φφ −


1
1
Gφφ R) = −
Λrc e −4σ(φ )Gφφ
3
2
4M

6σ '2
Λ'
⇔ 2 = −
,
rc
4M 3

với chỉ số μν ta được:
11

(1.16)


2 − 4σ(φ )
rcμν
e
(Rμν −

1
1
G R) = − c 3 (Λ rμν e − 4σ(φ ) G

2
4M
2σ(0)
+ Vvis e 2σ(π)δ (φ − π ) + Vhid eδ(
) ,φ

(1.17)

kết quả cuối cùng ta thu được:
V
3σ "(φ )
=δ( ) hid3
2
rc
4M rc

V
φ +δ( vis3π). φ −
4M rc

(1.18)

Như vậy, ta thấy được phương trình Einstein năm chiều (1.7) tương đương
với hệ hai phương trình (1.16) và (1.18).
Ta xét phương trình (1.16):
6σ'2 (φ )
−Λ
=
,
rc2

4M 3

do tính đối xứng Ofbifold nên σ phải thỏa mãn các điều kiện sau:

σ > 0,
σ(φ ) = σ(φ + 2π),
σ( − φ ) = σ(φ ),
(1.19)
trong đó, điều kiện σ > 0 có được là do yêu cầu của sự phân bậc.
Đặt:

k2 =

−Λ
24M 3

(k ≥ 0),

(1.20)

kết hợp (1.16) và (1.20) thì nghiệm của phương trình trên là bất biến với phép biến
đổi φ → −φ nên ta có:

σ = krc φ + C

.

 σ(0) = 0 ⇒ C = 0

σ(π) = krc π

Chọn: 
ta thu được nghiệm của phương trình (1.16) là:

σ = krc φ

12

.

(1.21)


Chu kì có thể được chọn là: (0, 2π), (-π, π),…với điều kiện chu kì ta chọn phải
chứa hai điểm cố định 0 và π và được mô tả như hình 1.1.

0
π
2π
-π
π
-2π
2π

σ(π )
σ

Hình 1.1
∗ Xét chu kì (-π, π), từ phương trình (1.21) ta có:

σ' = krc sign(φ )

,

σ"
=
kr
sign'(
φ
)
c

trong đó:

13


1 khi φ > 0
sign(φ ) = 
-1 khi φ < 0

và

sign'(φ ) = 2σ(φ ),
− π)
do đó với φ ∈ (π,

ta có:

σ'' = 2krc δ(φ).

(1.22)


∗ Xét chu kì (0, 2π), từ đồ thị ta có:

σ = − krc (φ − π) + krc π,
do đó :
σ" = − 2krc (φ − π)

.

(1.23)

kết hợp hai phương trình (1.22) và (1.23) ta thu được:
σ'' = 2krc [δ(φ ) − δ(φ − π)]

.
(1.24)

So sánh (1.18) với (1.24) với giả thuyết Vvis , Vhid , Λ phụ thuộc cùng một thang k
thì ta có:

rc2
Vhid
2krc =
12M 3 rc


rc2
−2kr =
Vvis
c


12M 3 rc


Vhid = 24kM 3

,

3

Vvis = − 24kM

⇒

(1.25)

2
3
với Λ = − 24k M , ta có khoảng bất biến trong trường hợp cổ điển có dạng:

-2kr φ

ν
c 2
ds 2μ = eη
dx μνdx2

r d−

φ


c

.

(1.26)

Nghiệm của phương trình Einstein (trong trường hợp thế năng vượt trội động năng):
-2kr φ

ds 2 =eη c +r μνd

14

2
c

φ2

(1.27)


1.3. Khối lượng Planck trong 4D
Bài toán thứ bậc được giải quyết khá tốt trong mô hình Randall - Sundrum.
Xét dao động của trường hấp dẫn không khối lượng, khoảng bất biến khi đó có
dạng:
ν −2kT(x)2φ
ds 2μ = eη
h  (μν)+2 dxμν dx
x 


φ

T (x)d−

,

(1.28)
với điều kiện bán kính compact r c nhỏ (lớn hơn 1/k), khi đó chiều thứ năm sẽ
không thể quan sát bằng những thí nghiệm hiện tại cũng như trong tương lai.
trong đó:
µ ,ν = 0,1, 2,3; k là một hằng số,

h μν

biểu diễn dao động tenxơ trong không gian Minkowski và là graviton của lý

thuyết hiệu dụng bốn chiều (đây cũng đồng thời là mode không khối lượng trong khai
triển Kaluza – Klein của

G μν

gμν (x) =η

). Gọi metric bốn chiều Minkowski định xứ là:
μν

+h

μν


(1.29)

Hàm thực T(x) là hằng số địa phương. Bán kính compact là r c là VEV (vacuum
expectation value) của trường modulus T(x). Theo các lý thuyết có nhiều chiều mở
rộng hơn, modulus sẽ ổn định tại VEV r c của nó với khối lượng ít nhất là 10 -4eV.
Bây giờ ta thay T bằng r c trong trường hợp chiều mở rộng compact. Tác dụng
gravity có dạng:

Sgravity =

π

4
3
∫ d x ∫ dφ G ( − 2M R),
−π

(1.30)

R = e 2krc φ R
,

−2kr φ
G
=
e
g
 μν
μν


(1.31)

ta có:

với R là tenxơ Ricci vô hướng bốn chiều có được từ

15

gμν (x)

và


 G = − grc e −4krc φ
,

MN
 R = G R MN

(1.32)

thay các kết quả này vào (1.29) ta được:

Sgravity =

π

− 4kr φ
4

3 2kr φ
∫ d x ∫ dφ − grc e c ( − 2M e c R).
−π

(1.33)
Mặt khác trong lý thuyết 4 chiều ta có:
2
Sgravity = − ∫ d 4 x −g 2M P1
R

.

(1.34)

Từ (1.33) và (1.34) ta được:
π

M 2P1 = rc M 3 ∫ dφ e

− 2krc φ

−π

= 2rc M 3 (−

= (1 − e

1 −2krcφ π
)e
0

2krc

− 2krπ
c

M3
)
.
k

(1.35)

Ta thấy vấn đề phân bậc khối lượng được giải quyết khi ta chọn được giá trị
thích hợp của rc thì khối lượng năm chiều M sẽ cùng bậc với khối lượng Planck
trong không – thời gian bốn chiều.
1.4. Khối lượng Higgs
Tìm ra hạt Higgs có ý nghĩa lớn đóng vai trò trung tâm trong việc tạo ra khối
lượng cho các hạt khi tương tác với chúng. Chúng ta biết mô hình chuẩn (SM –
Standard Model) đã thống nhất tương tác điện từ và tương tác điện yếu trong một sơ
đồ chung với hạt photon truyền tương tác điện từ có khối lượng bằng không. Trong
khi đó, khối lượng của hạt truyền tương tác yếu lại có khối lượng rất lớn. Như vậy,
đối xứng điện yếu bị phá vỡ và tác nhân phá vỡ đó chính là hạt Higgs.
Ta xem xét sự sinh khối lượng trường Higgs từ điều kiện chuẩn hóa các
trường thì có thể xác định được khối lượng vật lý ta có:
16


vis
g μν
= e −2krπc gμν


(1.36)

Để xác định Lagrangian của trường vật chất, ta cần biết tương tác của các
trường trên 3 – brane với trường hấp dẫn năng lượng thấp.
Ta có biểu thức hàm tác dụng:

SHiggs =

∫d x
4μν

− g vis μ+ g (D ν H) (D H)λ(
−2


2

H v− ) , 

2

0

(1.37)

biểu thức này chứa một tham số khối lượng v0, do
 −g vis = e −4krπc
 vis
−2krπ

g μν = e c gμν
 μν
2krπ
μν
c
g vis = e g

−g
,

(1.38)
nên ta có:

SHiggs =

4μν
+ 2krπ
2 2
∫ d x −g vis μ e c g ν (D H) (D H)λ(0− H

2

v− ) , 


(1.39)

đặt:
 H = e2krπc H phys
,

 2
2 − 2krπ
 v = v0 e c

(1.40)

thu được hàm sóng sau khi tái chuẩn hóa là:
4μν
+
 g (D
SHiggs μ= phys
Hphys ) phys
(D H
∫ d x −ν g phys

0

)λ(H
−

+ 2 2

H

v− )


.

(1.41)


Như vậy, thang khối lượng vật lý được thiết lập bởi thang phá vỡ đối xứng và
xây dựng được khối lượng vật lý của trường Higgs là:

v ≡ e− krπc v 0
m ≡ e − krπc m0 .

17

,

(1.42)
(1.43)


Kết quả này thu được là hoàn toàn tổng quát: với bất kỳ tham số khối lượng
m0 nào trên 3 – brane trong cơ sở lý thuyết mở rộng số chiều sẽ tương ứng với khối
lượng vật lý (1.43). Vì m0 là khối lượng trần (rất lớn). Nếu chọn m 0 = MPl =
1019GeV thì m ; 1TeV. Khối lượng này nằm trong thang năng lượng đo được, với
kết quả này hy vọng trong tương lai có thể xác định bằng thực nghiệm.
1.5. Tại sao phải cần có Orbifold
Trong mô hình RS cũng như một số mô hình vật lý khác. Chúng ta đã biết các
fermion biến đổi dưới biểu diễn spinor của nhóm Lorentz. Chính vì vậy, khi thiết lập
một lý thuyết dựa trên một khoảng không – thời gian với số chiều lẻ, thì một vấn đề
đặt ra đó là theo cách thông thường không thể sinh ra được các fermion chiral.
Để giải quyết được vấn đề fermion chiral bằng cách người ta đưa vào đối
xứng Orbifold. Trong lí thuyết biểu diễn nhóm, có hai biểu diễn bất khả quy không
tương ứng với các spinor Wey liên hệ lẫn nhau thông qua biến đổi chẵn lẻ trong
không - thời gian bốn chiều. Khi mở rộng không - thời gian năm chiều chỉ có một
biểu diễn bất khả quy tạo ra spinor Dirac. Điều này có thể hiểu được bằng cách xét

đại số Clifford có các thành phần sinh ra các vi tử của biểu diễn spinor. Để thỏa mãn
đầy đủ hệ thức:

{ ΓM , ΓN }

= 2ηMN .

(1.44)

Trong không - thời gian năm chiều, ta phải bổ sung ma trận thứ năm vào các
ma trận γ. Thỏa mãn điều kiện ma trận này phải phản giao hoán với bốn ma trận ban
đầu. Trong Đại số Clifford trong không gian năm chiều bao gồm các ma trận 4x4
[6]. Nên ta có cách chọn duy nhất ở đây là:
Γ5 = iγ 5 = −γ 0 γ1γ 2 γ 3

.

(1.45)

Toán tử chiếu trong không gian năm chiều lúc này có dạng γ 0 γ1γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 = 1 ,
dựa vào (1.44) thì thấy được điều này làm mất đi khả năng xây dựng toán tử chiếu
vì γ5 lúc này là một phần của đại số. Như vậy, ta chỉ có một biểu diễn bất khả quy
đây là cơ sở để xây dựng được không - thời gian năm chiều:

18


φ =0
φ =π


φ = −π
Đồng nhất +φ với −φ

φ =0
φ =π

φ =0
φ =π

Hình 1.2: Cách đưa vào đối xứng Orbifold
Hình (1.2) chỉ ra cách đưa vào đối xứng Z 2 [7]. Bằng cách đưa vào đối xứng
Orbifold thì thu được các fermion xoắn trái, xoắn phải. Sự phân ly của các spinor
Dirac có thể chia thành các hàm Z2 chẵn lẻ. Để làm rõ điều này có thể xét một ví dụ
có phân cực như sau:
Q(x,φ ) = Q L (x,φ ) + Q R (x,φ )

=

∫

∞

n=0

(n)
Q(n)
L (x)cos(nφ ) + Q R (x)sin(nφ )

 Q (x,φ ) = Q L (x, − φ )
⇒ L

 Q R (x,φ ) = − Q R (x, − φ ) .

19

(1.46)


Mode không của QL tương tự như lưỡng tuyến SU(2) L trong MHC.. Tuy
nhiên, mode không của QR biến mất do đối xứng Orbifold. Để giữ lại các đơn tuyến,
ta cần đưa thêm vào các spinor với biến đổi ngược lại của các thành phần:
c
c

q L (φ ) = q L ( − φ )
q = q + q ⇒ c
c

q R (φ ) = − q R (−φ )
c
L

c
R

(1.47)

Như vậy, qua ví dụ và phần trình bày trên ta thấy khi đưa thêm các spinor thì
vấn đề fermion chiral đã được giải quyết. Chúng sẽ có đóng góp trong quá trình vật
lý bắt đầu từ mode KK đầu tiên.
1.6. Cơ chế Goldberger – Wise

Khi nghiên cứu về mô hình RS ở trên, ta thấy có hai vấn đề cần tinh chỉnh:
thứ nhất nếu ta chọn được giá trị thích hợp của r c thì khối lượng năm chiều M sẽ
cùng bậc với khối lượng Planck trong không - thời gian bốn chiều, nghĩa là sẽ giải
quyết được vấn đề phân bậc khối lượng. Thứ hai việc chọn các giá trị năng lượng
chân không Vhid và Vvis sao cho hằng số vũ trụ hiệu dụng bốn chiều có giá trị bé. Để
thiết lập được một bán kính cố định cho chiều mở rộng mà không cần phải tinh
chỉnh. Từ (1.28) metric có dạng trước khi cơ chế compact hóa có hiệu lực là:
−2kT(x) φ

ν
2
2
ds 2μ = eη
(x)dx
μν dx

T (x)d
− .

φ

(1.48)

Hàm thực T(x) là hằng số địa phương. Trong lý thuyết có nhiều chiều mở rộng hơn
thì có nhiều trường vô hướng hơn và gọi chung là ‘Branon’ hay ‘modulus’. Do đó,
trường vô hướng T(x) gọi là ‘radion’. Khi T là trường tự do và biến thiên theo x.
Mặt khác trung bình chân không (VeV) của radion phải khác không để nó không
đổi và thiết lập bán kính chiều mở rộng, thì sẽ dự đoán chiều mở rộng có bán kính
thay đổi theo sự dịch chuyển xuyên qua không – thời gian. Điều này bảo toàn bất
biến Lorentz trong siêu mặt bốn chiều nhưng không giải quyết được bài toán phân

bậc khối lượng.
Trong MHC bỏ qua các hiệu ứng hấp dẫn (trường hợp tổng quát, khi xét đến
hấp dẫn những tính toán cần thiết cho tenxơ metric ta cần chú ý đến) [4]. Đồng thời
nếu ta thừa nhận cơ chế Goldberger –Wise [8]. Trong cơ chế ổn định Goldberger –
20


Wise, ta đưa vào một trường vô hướng trong không – thời gian tổng quát φ (x,y), dẫn
đến thế hiệu dụng bốn chiều cho trường radion. Thế hiệu dụng này có một cực tiểu
không tầm thường. Tác dụng tương ứng có dạng:

1 4 π
MN
d x ∫ dφ G  gΦ
∂ MΦ ∂ Nm − λ2Φ( −
∫
-π
2

SΦ =

h

vΦ )2 −δ( h2) 2 φ

− λ v (Φ 2 − v 2v )2 δ(φ − π)  .

(1.49)

Trong đó các chỉ số v, h tương ứng với visible và hidden và g MN được xác

định theo [5], mặt khác λ h ≡ Vhid , λ ν ≡ Vvis . Lấy tích phân từng phần ta được
phương trình chuyển động có dạng như sau:
4σ
eδ(
π)
δ( )
φ−
φ
∂ (Φ ) − m 2 Φ = 4λv Φ (Φ 2 − v2v )
+4λh Φ (Φ 2 − v2h )
,
2
T(x)
T(x)
T (x)

để ý rằng

σ ≡ T(x) φ

(1.50)

. Nếu cho vế phải bằng không thì nghiệm của phương trình sẽ

có dạng là:
Φ(φ ) = e 2σ Aevσ + Be − vσ 

trong đó giá trị:

v = 4+


,

(1.51)

m2
k2 .

Thay (1.51) vào tác dụng (1.49) ta thu được số hạng động năng bốn chiều và thế
năng hiệu dụng bốn chiều khi phân tích theo chiều thứ năm:

Vφ [T(x)] = k(v + 2)A 2 [e 2vkT(x)π − 1] + (k − 2)B2 [1 − e −2vkT(x)π ]

+λ h(Φ 2(0) −v h2) 2 + λ ve

−4kT(x)π

(Φ 2(π) −v 2v) 2 .

(1.52)
Để thu được các số hạng tỉ lệ với hàm δ có được từ đạo hàm cấp hai của σ và các
brane bằng cách lấy tích phân phương trình chuyển động (1.50).

k[(v + 2)A + (2 − v)B] − 2λ h Φ(0)(Φ 2 (0) − v 2h ) = 0,
ke2kT(x)π [(2ν)e
+
21

A (2
+ v)e

−

vkT(x)π

− vkT(x)π

2
B] 2λ
+ Φ(π)(Φ
(π)
v− ) 2v= 0,
v

(1.53)
(1.54)


Từ các kết quả tính toán ở trên, ta thấy các số hạng biên đòi hỏi trường vô
hướng Φ(φ) phải có trung bình chân không trên các brane sao cho Φ(π) = Φ(0) = 0
hoặc Φ(0) = vh và Φ(π) = vv. Dựa vào phương trình (1.51) gợi ý cho ta cách chọn
thứ hai. Từ phương trình (1.53), (1.54) có thể cố định các hệ số A và B mà không
mất tính tổng quát giả sử cho các λh, λv là lớn. Khi đó ta có A, B có biểu thức:

A = v v e −(2 +v)kT(x)π − e −2vkT(x)π v h ,

(1.55)

B = − v v e− (2 + v)kT(x)π + (1 − e−2vkT(x)π )v h ,

(1.56)


ở đây bỏ qua số hạng chứa lũy thừa e -kT(x)π . Nếu ta khai triển theo tham số bé
ò=

m2
4k 2 thì thế năng sẽ có dạng:

Vφ [T(x)] = 4ke−4kT(x)π (v v − v h e− òkT(x)π )2

+ òk[v 2h − v h e−4kT(x)π (v V − v h e− òkT(x)π )2
− Vh e− (4 + ò)kT(x)π (2v v − v h e − kT(x)π )] + Ο (ò2 ),
(1.57)
ở bậc một, cực tiểu thế đạt khi:
<T(x)> = r =

v
4k 2
ln( h ).
2
πm
vv

(1.58)

m2
2
Do đó, với k cỡ 10-1 (hàm ln có bậc cỡ đơn vị) thì kr ≈ 10 đồng thời vấn
đề phân bậc khối lượng đã được giải quyết.
1.7. Kết luận
Mô hình Randall – Sundrum là một trong những mô hình đầu tiên theo định

hướng cho rằng không - thời gian là nhiều hơn 4 chiều và đây là một mô hình hấp
dẫn 4D ở khoảng cách ngắn, hấp dẫn 5D ở khoảng cách lớn. Mô hình đã giải quyết

22


được những vấn đề như là: mở rộng không - thời gian bốn chiều thành không - thời
gian năm chiều, giải quyết được hạn chế về bài toán thứ bậc trong MHC, giải quyết
được vấn đề giãn nở tăng tốc vũ trụ, giải thích tại sao lại chỉ có ba thế hệ fermion,
vấn đề khối lượng neutrino…

CHƯƠNG II
+ −
μ
μ → Zφ
BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH

KHI CHÙM

μ + , μ − PHÂN CỰC

2.1. Biên độ tán xạ theo kênh s khi chùm

μ + , μ − phân cực

+ −
Quá trình tán xạ µ µ → Zφ theo kênh s được mô tả bởi phương trình như sau:

μ + (p 2 )+μ − (p1 ) → Z(k1 )+φ(k 2 ),
+

−
trong đó: p1 ,p 2 lần lượt là xung lượng của các hạt μ , μ và k1 ,k 2 là xung lượng

của radion và hạt Z. Quá trình được biểu diễn thông qua giản đồ Feynman:

µ + (p2 )
−

μ (p1 )

k1

µ

Zq s

v

k2

φ

α
Z

+ −
Hình 2.1. Giản đồ Feynman của quá trình tán xạ µ µ → Z φ theo kênh s

23



Từ giản đồ hình 2.1, áp dụng quy tắc Feynman ta tính biên độ tán xạ trong các
+
−
+
−
trường hợp phân cực của chùm μ , μ . Đầu tiên chùm μ , μ cùng phân cực phải,

khi đó ta có biên độ tán xạ theo kênh s trong trường hợp này là:

qq 
-ig 2m z ( c + γa ) 
M sRR =
g -η μ ε2 ν ÷(k να)
2
2
2  vμ
4C w (q s - m Z ) 
mZ 

 vμ - a μ 
μ
 v(p )γ÷ (1+2 γ )u(p ),5
 2 

*
α

2


1

(2.1)

μ
μ
ở đây, ta có q s = q ,μ = 0,1,2,3.

Lấy liên hợp Hertmit biểu thức (2.1) ta thu được:

M

+ ν'α'
sRR

q μ' q ν ,  μ
ig 2 m z ( c + γa ) 
= 2 2 2  g v'μ' -η ε2 5 (k
÷ )
4C w (q s - m Z ) 
mZ 

α'

2

 vμ - a μ 
 u(p )(1÷- γ 1)γ v(p ).
 2 


,

2

(2.2)

+ −
Từ ( 2.1) và ( 2.2), ta được bình phương biên độ tán xạ của quá trình µ µ → Zφ khi
+
−
chùm μ , μ cùng phân cực phải là:

2
M sRRνμ
=

 * qμ q ν
g 4 m 2Z
2να
g - 2
α 2 22 (c +γa)
v'μ'
4
2
16C w (qs - m Z )
mZ


×ην'α' εα' (k 2 )


=

4

,

v(p2 )γμ (1+γ5 )u(p1 )u(p1 )(1- γ5 )γμ v(p2 )

2qμ qμ' q 2 qμ qμ' k 2μ k 2μ'
qμ' k 2μ
g 4 m 2Z
2
(c
+
γa)
[-g
+
+
-(qk 2 ) 4
μμ'
4
2
2 2
2
4
2
16C w (q s - m Z )
mZ
mZ
mZ

mZ

-(qk 2 )

Với:

24

(vμ - a μ )2

qμ' q ν' 


÷η ε (k )  g - 2 ÷
mZ 



q μ k 2μ'
m

4
Z

{

q μ q μ'
μ
ˆ μ m )(1+(qk 2 )2μ 6 ]Sp (pˆ 2μ- m )γ (1+
5 γ 1 )(p +

5 γ )γ
mZ

{

μ
ˆ μ m )(1I1 = Sp (pˆ 2μ- m )γ μ (1+
5 γ 1 )(p +
5 γ )γ

,

,

}.
(2.3)

} = 2Sp{ pγˆ pˆγ }.
μ,

μ

2

1


Thay I1 vào (2.3) ta có:

(vμ - a μ ) 2

g 4 m 2Z
2
|M sRR | =
(c + γa)
{8(p 2 p1 )
2
16C 4w (q s 2 -m 2Z ) 2
2

2 q s 2 (q s k 2 ) 2
+[ 2 - 4 +
][8(p 2 q s )(p1q s ) - 4q s 2 (p 2 p1 )]
6
mZ mZ
mZ
+

8(q s k 2 )
1
[8(p 2 k 2 )(p1 k 2 ) - 4k 22 (p 2 p1 )] [(p 2 k 2 )(qs p1 )]
2
mZ
m 4Z

+ (p 2 q s )(k 2 p1 )-(p 2 p1 )(k 2 q s )}.

(2.4)
+
−
Tiếp theo, chúng tôi tính biên độ trong trường hợp chùm μ , μ cùng phân cực


trái. Áp dụng quy tắc Feynman tương tự (2.1) và (2.2) ta có biên độ tán xạ khi chùm
μ + , μ − phân cực trái biểu thức:

qμ q ν 

1+ γ 5 μ
1- γ 5
-ig 2 m z
M sLL = 2 2 2  g vμ - 2 ÷( c + γa ) η να ε *α (k 2 )v(p 2 )(
)γ ( v μ -a μ γ 5 ) (
)u(p1 )
2
2
4C w (q s - m Z ) 
mZ 
qμ q ν 

 vμ + a μ
-ig 2 m z
= 2 2 2  g vμ - 2 ÷( c + γa ) η να ε*α (k 2 ) 
4C w (q s - m Z ) 
mZ 
 2


μ
÷v(p 2 )γ (1-γ 5 )u(p1 ).



(2.5)

Ta lấy liên hợp Hertmit biểu thức (2.5) ta có:

M

q μ' q ν , 

 vμ + a μ
ig 2 m z
= 2 2 2  g v'μ' - 2 ÷( μc + γa ) η ε α' (k 2 ) 
4C w (q s - m Z ) 
mZ 
 2

+ ν'α'
sLL

,

÷u(p1 )(1+γ 5 )γ v(p 2 ).


(2.6)

Từ (2.5) và (2.6) ta tính được bình phương biên độ tán xạ trong trường hợp này:

25