BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o——————–

PHẠM THỊ HIỀN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Hà Nội 10 - 2003


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o——————–

PHẠM THỊ HIỀN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ

Chuyên nghành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Dương Quốc Việt

Hà Nội - 2003

Lời nói đầu
Dãy số là một nội dung hay và khó, nó được các nhà toán học nghiên cứu từ
rất lâu. Các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số. Nó
không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công
cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình,
lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán quốc tế, Olympic sinh
viên giữa các trường đại học và cao đẳng, cũng thường xuất hiện các bài toán
về dãy số. Ngay trong chương trình sách giáo khoa phổ thông thì dãy số cũng
là một phần quan trọng được đề cập nhiều.
Để đáp ứng cho việc giảng dạy lâu dài cũng như sự quan trọng của những
bài toán về dãy số, trong luận văn này, tác giả xin tập trung vào nghiên cứu
một số chủ đề về dãy số, được thể hiện bởi ba chương sau đây:
Chương 1: Dãy số và một số dãy truy hồi cơ bản, trình bày khái niệm
và một số tính chất về dãy số, một số dãy truy hồi cơ bản, hệ thống bài tập
chương 1.
Chương 2: Phương pháp sử dụng hàm sinh, trình bày phương pháp dùng
hàm sinh là đa thức, dùng hàm sinh là chuỗi lũy thừa vô hạn, hệ thống bài tập
chương 2.
Chương 3: Những tổng vô hạn không thể biểu diễn được qua các
1


hàm đại số, trình bày về tiêu chuẩn cho những tổng không thể biểu diễn được
qua các biểu thức hữu tỉ, biểu thức đại số, hệ thống bài tập chương 3.
Thông qua việc hoàn thành luận văn, tác giả nhận thấy rằng các vấn đề được
đề cập trong luận văn là rất rộng lớn mà trong khuôn khổ của luận văn chỉ thể
hiện được một phần nào. Tuy nhiên những vấn đề được trình bày trong luận
văn sẽ là những kiến thức khởi đầu định hướng cho tác giả tiếp cận các vấn đề
sau này.

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Dương Quốc
Việt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy. Tác giả xin
cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện đã có những ý kiến đóng góp cho
tác giả.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong khoa ToánTin trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số và
lý thuyết số đã nhiệt tình dạy dỗ, truyền thụ kiến thức cho tác giả trong thời
gian học tập tại trường. Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn động
viên và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng .... năm 2013
Học Viên
Phạm Thị Hiền

2


Mục lục
1 Dãy số và một số dãy truy hồi cơ bản
1.1

1.2

1.3

5

Định nghĩa và các tính chất cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1


Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Các định lý cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Một số dãy truy hồi cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Dãy afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng . . . .

9

1.2.3

Phương pháp sai phân và phương trình sai phân . . . . . . 10


1.2.4

Dãy truy hồi dạng un+1 = f (un ) . . . . . . . . . . . . . . . 15

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Phương pháp sử dụng hàm sinh

17

2.1

Dùng hàm sinh là đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Dùng hàm sinh là các chuỗi lũy thừa vô hạn . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Những tổng hữu hạn không thể biểu diễn được qua các hàm đại
3


số
3.1

20

Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu diễn được qua các biểu
thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2

Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu diễn được qua biểu thức
đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Tài liệu tham khảo

24

4


Chương 1

Dãy số và một số dãy truy
hồi cơ bản
Trong chương này, tác giả trình bày về những kiến thức mở đầu của dãy số
như định nghĩa và một số tính chất liên quan, một số dãy truy hồi như dãy afine,
dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng, dãy số dạng un+1 = f (un ).
Cuối cùng là hệ thống bài tập chương 1.

1.1
1.1.1


Định nghĩa và các tính chất cơ bản về dãy số
Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số từ N∗ (hoặc N) vào một tập hợp số
(N, Q, R, C) hay một tập con nào đó của các tập hợp trên. Các số hạng của dãy
số thường được ký hiệu là un , vn , sn , yn thay vì u(n), v (n), x(n), y (n). Bản thân
dãy số được ký hiệu là (xn ).
Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính
5


chất của một hàm số.
Định nghĩa 1.2. Dãy số (xn ) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi n ta có
xn+1

xn (xn+1

xn ). Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy số

đơn điệu.
Dãy số (xn ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi
n ∈ N ta có xn

M.

Dãy số (xn ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi
n ∈ N ta có xn ≥ m.

Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn.

Dãy số (xn ) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu xn+k = xn với mọi n ∈ N.
Dãy số tuần hoàn với chu kỳ 1 được gọi là dãy hằng.
Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô
cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên No (phụ thuộc vào dãy số (xn ) và ε)
sao cho với mọi n > No ta có |xn − a| < ε.
Ta nói dãy số (xn ) dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực
dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên No (phụ thuộc vào dãy số xn và M ) sao
cho với mọi n > No ta có |xn | > M .
Định nghĩa 1.4. Dãy (xn ) được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃No ∈ N:
∀m, n > No , |xm − xn | < ε.

Định nghĩa 1.5. Dãy số (xn ) được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại
d ∈ R sao cho:
∀n ∈ N, xn+1 = xn + d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng, x0 là số hạng đầu, xn là số hạng
thứ n + 1.
6


Ta có các công thức cơ bản sau:
xn = x0 + nd;
Sn = x0 + x1 + ... + xn−1 = n(x0 + xn−1 )/2

Định nghĩa 1.6. Dãy số (xn ) được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn
tại q sao cho:
∀n ∈ N, xn+1 = qxn .

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân, x0 là số hạng đầu,xn là số hạng thứ
n + 1. Ta có các công thức cơ bản sau:

xn = q n x0 ;
Sn = x0 + x1 + · · · + xn−1 =

qn − 1
x0 .
q−1

Nếu |q| < 1 thì (xn ) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn được tính theo công thức :
S=

1.1.2

x0
.
1−q

Các định lý cơ bản về dãy số

Định lí 1.7. (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ). Nếu (xn ), (yn )
là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a và b thì các dãy số (xn + yn ),
xn
a
) cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a−b, a.b, .
yn
b
(Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không).

(xn −yn ), (xn yn ) và (


Định lí 1.8. (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho dãy (xn )
có giới hạn hữu hạn l, nếu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a

xn

b thì a

l

b.

Định lí 1.9. (Định lý kẹp). Cho ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) Trong đó xn , zn có
cùng giới hạn hữu hạn là a, và N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn
cũng có giới hạn là a.
7

yn

zn . Khi đó yn


Định lí 1.10. (Dãy đơn điệu). Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy
giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị
chặn thì hội tụ.
Định lí 1.11. (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau). Cho hai dãy số thực
(an ), (bn ) sao cho:
a) ∀n ∈ N, an

bn ;


b) ∀n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ];
c)bn − an → 0 khi n → ∞.
Khi đó tồn tại duy nhất số thực a sao cho ∩[an , bn ] = {a}.
Định lí 1.12. (Bolzano Veierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích
ra một dãy con hội tụ.

1.2

Một số dãy truy hồi cơ bản

Các bài toán về dãy số thường rất đa dạng và phức tạp. Dưới đây chúng ta
sẽ xem xét một số dạng dãy số đặc biệt và nghiên cứu các tính chất về chúng.
Tuy nhiên, ta có thể sử dụng hai nguyên lý chung để giải các bài toán dãy số
đó là: Viết ra các số hạng đầu tiên của dãy số và tổng quát hóa bài toán.

1.2.1

Dãy afine

Định nghĩa 1.13. Dãy afine là dãy (un )n

0

trong một trường K được xác định

bởi:
un+1 = aun + b

với a và b là các phần tử của K.


8


Số hạng tổng quát.
Trường hợp 1. Nếu a = 1 thì dãy này là một cấp số cộng và ta có:
un = u0 + nb.

Trường hợp 2. Nếu a = 1 thì: un = an u0 + b

an − 1
, ∀n ≥ 0.
a−1

Tính tổng riêng hữu hạn
n

ui , ta có: Sn =

Đặt Sn =

un+1 −nb−u0
, ∀a
a−1

= 1.

i=0

1.2.2


Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số
hằng

Định nghĩa 1.14. Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng là các
dãy số thực có dạng:
un+2 = aun+1 + bun , ∀n = 0.

(1.1)

Trong đó a và b là các hằng số thực.
Kí hiệu Da,b là tập tất cả các dãy thực này thì ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.15. Da,b là một R - không gian véc tơ hai chiều
Số hạng tổng quát
Số hạng tổng quát của dãy (1.1) được xác định như sau:
+ Giải phương trình đặc trưng tương ứngđể tìm t:
t2 − at − b = 0

(1.2)

+Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:
un+2 − aun+1 − bun = 0

9

(1.3)


Trường hợp 1: Nếu (1.2) có hai nghiệm phân biệt: t = t1 ; t = t2 thì dễ thấy
{(tn1 ), (tn2 )} là cơ sở của Da,b nên nghiệm tổng quát của (1.3) sẽ là
un = xtn1 + ytn2 , ∀n ∈ N; x, y ∈ R.


Trường hợp 2: Nếu (1.2) có nghiệm kép là t1 = t2 = t thì (1.3) sẽ có ngiệm tổng
quát là:
un = (x + yn)tn .

Trường hợp 3: Nếu (1.2) có nghiệm phức t = c + i.d, thì ta đặt:
d
−π π
c2 + d2 , tan θ = , θ ∈ (
; ).
c
2 2

r = |λ| =

Lúc đó t = r(cos θ + i. sin θ) và nghiệm tổng quát của (1.3) sẽ là:
un = rn (x. cos nθ + y. sin nθ).

Chú ý: x và y được xác định khi biết u0 , u1 .

1.2.3

Phương pháp sai phân và phương trình sai phân

Định nghĩa 1.16. Sai phân cấp một của hàm số un (Đặt un = u(n)) là đại
lượng: ∆un = un+1 − un . Sai phân cấp k của hàm số u(n) là sai phân cấp (k − 1)
của hàm số đó:
∆k un = ∆k−1 un+1 − ∆k−1 un .
Sai phân có những tính chất cơ bản sau:
Mệnh đề 1.17. Sai phân mọi cấp đều có thể biểu thị theo các giá trị của hàm

số. Hơn nữa:

k
i

k

(−1) Cni un+k−i .

∆ un =
i=0

10


Mệnh đề 1.18. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.19. Sai phân mọi cấp của hằng số bằng 0.
Mệnh đề 1.20. (Sai phân của đa thức) Sai phân cấp k của đa thức bậc m là
đa thức bậc (m − k ) nếu k < m, là hằng số nếu k = m và bằng 0 nếu k > m.
Mệnh đề 1.21. (Tổng các sai phân)
k

∆k un = ∆k−1 uN +1 − ∆k−1 ui .
n=i

Nhận xét 1.22. Từ mệnh đề 1.23. ta có một phép thử để nhận ra các dãy số
có số hạng tổng quát dạng đa thức và tìm ra số hạng tổng quát của dãy số đó.
Phương trình sai phân và dãy truy hồi tuyến tính hệ số hằng
Định nghĩa 1.23. Phương trình sai phân tuyến tính bậc k là một hệ thức tuyến
tính chứa sai phân các cấp tới k :

f (un , ∆un , . . . , ∆k un ) = 0.

Ta biết rằng, sai phân mọi cấp đều có thể biểu thị theo giá trị của hàm số
nên ta có một dạng khác của phương trình sai phân tuyến tính bậc k là:
a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = f (n)

(1.4)

trong đó a0 , . . . , ak là các hệ số hằng, a0 = 0 và f (n) là một biểu thức đã biết.
Nếu f (n) = 0, ta có phương trình:
a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = 0

(1.5)

gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k , trường hợp f (n) = 0
ta gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Ta có khái niệm
nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính:
11


- Hàm số (hay dãy) un phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.4) được gọi là
nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
(1.4).
- Hàm số u˜n phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.5) được gọi là nghiệm tổng
quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.5).
- Một nghiệm cụ thể uˆn thỏa mãn (1.4) gọi là một nghiệm riêng của phương
trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.4).
Giải phương trình sai phân tuyến tính và tìm số hạng tổng quát của dãy truy
hồi tuyến tính là hai việc làm gần như tương đồng nhau. Xét bài toán: Tìm số
hạng tổng quát của dãy số:


 u0 = α0 , . . . , u

k−1

= αk−1

u
n+k = a0 un+k−1 + ... + ak−1 un + f (n), ∀n ≥ 0
với f (n) là biểu thức đã biết của n và ai , i = 0, k − 1 là các hằng số. Giải bài
toán trên tương đương với việc giải phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất bậc k với các điều kiện ban đầu u0 = α0 , . . . , uk−1 = αk−1 . Để giải
phương trình sai phân trên ta giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng:
un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un . Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.24. Tập hợp U tất cả các dãy thỏa mãn phương trình:
un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un

là một không gian véctơ k chiều.
Phương trình: λk − a0 λk−1 − · · · − ak−2 λ − ak−1 = 0 được gọi là phương trình
đặc trưng của phương trình sai phân thuần nhất: un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un ,
căn cứ vào các nghiệm của phương trình đặc trưng có thể tìm ra một cơ sở của
không gian nghiệm dựa vào các mệnh đề sau:
12


Mệnh đề 1.25. Nếu phương trình λk − a0 λk−1 − · · · − ak−2 λ − ak−1 = 0 có
k nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , . . . , λk thì không gian nghiệm U của phương trình
un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un có một cơ sở là {(λn1 ), . . . , (λnk )}.


Mệnh đề 1.26. Nếu phương trình λk − a0 λk−1 − · · · − ak−2 λ − ak−1 = 0 có nghiệm
λ1 bội s thì s dãy (λn1 ), (nλn1 ), . . . , (ns−1 λn1 ) thuộc không gian nghiệm U của phương

trình un+k = a0 un+k−1 + · · · + ak−1 un .
Nhận xét 1.27. Xét trong trường số phức C , vì phương trình đặc trưng luôn có
đủ k nghiệm tính cả nghiệm bội, và bằng việc thay s dãy (λni ), (nλni ), ..., (ns−1 λni )
nếu nghiệm λi bội s, ta luôn tìm được một cơ sở tường minh của không gian
nghiệm U và giải được phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất.
Với phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất ta tìm nghiệm tổng
quát dựa vào mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.28. Nếu u˜n là nghiệm tổng quát của phương trình:
a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = 0

(1.5)

và uˆn là một nghiệm riêng của phương trình:
a0 un+k + a1 un+k−1 + · · · + ak un = f (n)

(1.4)

thì un = u˜n + uˆn là nghiệm tổng quát của (1.4).
Vậy ta có lời giải cho bài toán tìm SHTQ ban đầu bằng cách giải phương
trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với các bước:
- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát u˜n của phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng bằng cách giải phương trình đặc trưng.
- Bước 2: Tìm một nghiệm riêng uˆn của phương trình sai phân tuyến tính
không thuần nhất.
- Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất có dạng un = u˜n + uˆn .
13



- Bước 4: Căn cứ vào các số hạng đầu tiên ta tìm được SHTQ của dãy (un ).
Dựa vào việc tìm nghiệm của phương trình sai phân ta có thể tìm số hạng tổng
quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 như sau
Phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp
2 dựa vào sai phân
Bài toán: Tìm số hạng tổng quát của dãy số
un+2 = aun+1 + bun , ∀n ≥ 0.

Trong đó a và b là các hằng số thực.
+ Giải phương trình đặc trưng tương ứngđể tìm t:
t2 − at − b = 0

(1.2)

+ Tìm nghiệm tổng quát của phương trinh thuần nhất tương ứng:
un+2 − aun+1 − bun = 0

(1.3)

Trường hợp 1: Nếu (1.2) có hai nghiệm phân biệt: t = t1 ; t = t2 thì dễ thấy
{(tn1 ), (tn2 )} là cơ sở của Da,b nên nghiệm tổng quát của (1.3) sẽ là
un = xtn1 + ytn2 , ∀n ∈ N; x, y ∈ R.

Trường hợp 2: Nếu (1.2) có nghiệm kép là t1 = t2 = t thì (1.3) sẽ có ngiệm tổng
quát là:
un = (x + yn)tn

Trường hợp 3: Nếu (1.2) có nghiệm phức t = c + i.d, thì ta đặt:

r = |λ| =

d
−π π
c2 + d2 , tan θ = , θ ∈ (
; ).
c
2 2

Lúc đó t = r(cos θ + i. sin θ) và nghiệm tổng quát của (1.3) sẽ là:
un = rn (x. cos nθ + y. sin nθ).

Chú ý: x và y được xác định khi biết u0 , u1 .
14


Ví dụ 1.29. Tính số hạng tổng quát của dãy số (un ), biết:
u0 = a > 0; u1 = b > 0; un+2 =

2un un+1
, ∀n ≥ 0.
un + un+1

Ví dụ 1.30. Tính số hạng tổng quát của dãy số (un ), biết:
u0 = 1; un+1 = 2un +

3u2n − 2, ∀n ≥ 0.

Ví dụ 1.31. Tìm số hạng tổng quát của dãy:
√


2
+
3
 u = 2, u =
0
1
2

un+2 = un+1 − un , ∀n ≥ 0.

1.2.4

Dãy truy hồi dạng un+1 = f (un )

Dãy số này hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x0 . Sự hội tụ
của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f (x) và x0 .
Giả sử f : D → D là một ánh xạ cho trước và u0 ∈ D.
f đơn điệu tăng trên D

Do un+1 − un = f (un ) − f (un−1 ), nên (un+1 − un ) cùng dấu với (un − un−1 ) và vì
vậy (un+1 − un ) cùng dấu với (u1 − u0 ). Từ đó, nếu u0 ≤ u1 thì (un ) là một dãy
tăng; nếu u0 ≥ u1 thì (un ) là một dãy giảm.
f đơn điệu giảm trên D

Lúc đó ánh xạ tích f 2 = f ◦ f là một hàm tăng trên D. Từ đó, nếu u0 ≤ u2 thì
dãy con (u2n ) là một dãy tăng và (u2n+1 ) là một dãy giảm; nếu u0 ≥ u − 2 thì
dãy con (u2n ) là một dãy giảm và (u2n+1 ) là một dãy tăng.
f liên tục trên D và D là đóng trong R


Khi đó nếu (un ) hội tụ về a thì a ∈ D và a là nghiệm của phương trình f (x) = x.
Đặc biệt. Nếu hàm f thỏa mãn : |f (u) − f (v )| ≤ q|u − v|, ∀u, v ∈ D; 0 < q < 1,
thì dãy (un ) hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất của phương trình
f (x) = x.

15


Ví dụ 1.32. Hãy khảo sát dãy số (un ) với u0 = 1, un+1 =

un
u2n

+1

, ∀n ∈ N.

Ví dụ 1.33. Cho a > 0 cố định, xét dãy (an ) được xác định như sau:
a1 > 0, an+1 = an

a2n + 3a
, ∀n ∈ N.
3a2n + a

Tìm tất cả các số a1 sao cho dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Ví dụ 1.34. Hãy khảo sát dãy số (un ) với

u0 = a > 0, un+1 =

1.3


b2
1
(un + ), b > 0, ∀n ∈ N.
6
un

Bài tập

16


Chương 2

Phương pháp sử dụng hàm
sinh
Cho dãy số hữu hạn hay vô hạn u0 , u1 , u2 , . . . , un , . . . thì chuỗi lũy thừa hữu
hạn hay vô hạn f (t) = u0 + u1 t + · · · + un tn + · · · được gọi là hàm sinh của dãy
số đã cho.
Để hình dung rõ hơn về phương pháp này, trước hết chúng ta hãy xem xét
trường hợp các hàm sinh là đa thức.

2.1

Dùng hàm sinh là đa thức
n

(Cnk )2 = C2nn .

Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng

k=0

Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng
v +1
v−k+1
Cnk Cm
=
k=0

m+n v
C
với v + 1 ≤ min{m, n}.
v + 1 m+n−1
n

Cnk Ckm .

Ví dụ 2.3. Cho các số nguyên dương m ≤ n. Tính tổng
k=m

17


2.2

Dùng hàm sinh là các chuỗi lũy thừa vô
hạn

Phép màu của hàm sinh nằm ở chỗ ta có thể chuyển các phép toán thực
hiện trên dãy số thành các phép toán thực hiện trên các hàm sinh tương ứng

của chúng. Cơ sở lí thuyết của phương pháp này là vành A = R[[x]] các chuỗi
an xn với phép cộng và

lũy thừa hình thức trên trường số thực R có dạng
n≥0
n

bn xn khi và chỉ khi

an x =

phép nhân chuỗi thông thường. Đặc biệt là
n≥0

n≥0

n

an = bn ∀n ∈ N, u =

an x khả nghịch trong A khi và chỉ khi a0 = 0. Hơn
n≥0

thế nữa tìm

1
u

cũng giống như chúng ta vẫn làm tronh Toán Giải tích, phần tử
xn là 1 − x.


nghịch đảo của
n≥0

Việc sử dụng hàm sinh vào bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số được
thực hiện như sau: Giả sử cần tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) cho bởi
một công thức truy hồi nào đó. Ta thiết lập hàm sinh F (x) của (un ). Dựa vào
hệ thức truy hồi, tìm được một phương trình cho F (x), giải phương trình, sẽ
tìm được F (x). Khai triển F (x) theo lũy thừa x (khai triển Taylor), ta tìm được
(un ) với mọi n.
Ví dụ 2.4. Tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonacci (fn ) xác định bởi:
f0 = f1 = 1; fn+2 = fn+1 + fn , ∀n ≥ 0.

Ví dụ 2.5. Tính tổng
k≥0

k
, trong đó
n−k

u
v

= 0 nếu u < v hoặc v < 0.

Ví dụ 2.6. Có n(n > 1) thí sinh ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao
nhiêu cách phát đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau luôn có đề khác nhau,
biết rằng trong ngân hàng đề có đúng m(m > 1) đề và mỗi đề có nhiều bản.

18



2.3

Bài tập

19


Chương 3

Những tổng hữu hạn không
thể biểu diễn được qua các
hàm đại số
n

Vấn đề tính tổng riêng hữu hạn S (n) =

ui của một dãy số (un )n≥1 thường
i=1

hay gặp nhiều trong Toán học Sơ cấp. Mặc dù đã có nhiều công cụ hỗ trợ, nhưng
hầu hết các tổng sẽ là không tính được. Những người có kinh nghiệm khi nhìn
vào một tổng, trước hết họ sẽ cảm nhận được tổng đó có khả năng tính được
hay không. Cảm nhận này có được từ đâu?
n

ui , là đi tìm biểu thức giải tích S (n) của

Thực chất của việc tính tổng

i=1

n

biến số tự nhiên n trong lớp các biểu thức hiện có để S (n) =

ui . Chẳng hạn
i=1

như chúng ta đều biết
n

i=
i=1

n(n + 1)

2

n

(2i − 1) = n2 , . . .

;
i=1

Thế thì, hầu hết các tổng không tính được hoặc chưa tính được, chính là vì biểu
20



thức S (n) không nằm trong lớp các biểu thức quen thuộc của chúng ta.

3.1

Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu
diễn được qua các biểu thức hữu tỉ

Chỉ trừ những học sinh phổ thông mới làm quen với việc tính tổng hữu hạn
của một dãy số, chắc sẽ ít ai lại dại dột đeo đuổi việc tính các tổng:
n

i=1

1
i

n

;

(−1)i

i=1

i

n

;
k=1


1
(a = 0).
ak + b

Việc không nên làm đó là do không có biểu thức hữu tỉ nào biểu diễn các tổng
này. Nguyên nhân sẽ được lý giải qua tiêu chuẩn đơn giản sau:
Định lí 3.1. Biểu thức f (x) với biến nguyên dương x không phải là biểu thức
phân thức hữu tỉ nếu một trong các điều kiện sau đây xảy ra:
f (x)
=0
x→∞ x

(i) lim f (x) = ∞, lim
x→∞

(ii) lim f (x) = 0, lim xf (x) = ∞
x→∞

x→∞

(iii) f (x) nhận mọi giá trị hữu tỉ với mọi x và lim f (x) là một số vô tỉ.
x→∞

n

1

Ví dụ 3.2. Biểu thức của biến số nguyên dương n: f (n) =
i=1


i

không phải là

một biểu thức hữu tỉ.
n

Ví dụ 3.3. Biểu thức của biến số nguyên dương n: g (n) =
i=1

(−1)i
i

không phải

là một biểu thức hữu tỉ.
Ví dụ 3.4. Chứng minh rằng biểu thức với số nguyên dương
n

f (n) =
k=1

1
1
1
+
−
; x ∈ Z; x = −1, −2, . . .
x + 2k − 1 x + 2k x + k


không phải là một biểu thức hữu tỉ .
21


3.2

Tiêu chuẩn cho những tổng không biểu
diễn được qua biểu thức đại số

Bây giờ ta bàn đến một loại tổng khác như
n

n

1

;
2

i=1

i

i=1

1
;
i!


n

1

n

;
4

i=1

i

i=1

(−1)i
.
i!

Tất nhiên, cũng không nên đặt vấn đề đi tính các tổng này, bởi thực tế là không
có các biểu thức đại số trên trường hữu tỉ nào biểu diễn chúng.
Ta biết rằng biểu thức f (x) với biến x được gọi là một biểu thức đại số trên
trường K nếu tồn tại các dạng đa thức P0 (x), P1 (x), . . . , Pn (x) trên K, không
đồng thời bằng 0 để

n

Pi (x)[f (x)]i = 0.
i=0


Các biểu thức được tạo lên từ biến x cùng với các phần tử của Q thông qua 4
phép toán số học, cùng phép khai căn là các biểu thức đại số trên Q. Dựa vào
điều này ta rút ra được một tính chất quan trọng sau:
Định lí 3.5. Nếu biểu thức f (x) với biến x có lim f (x) là một số siêu việt thì
x→∞

f (x) không phải là một biểu thức đại số trên Q.
n

Ví dụ 3.6. Biểu thức của biến số nguyên dương n: h(n) =
k=1

1
không phải là
k!

một biểu thức đại số trên Q.
n

Ví dụ 3.7. Biểu thức của biến số nguyên dương n: g (n) =
k=1

một biểu thức đại số trên Q.

3.3

Bài tập

22


1
k2

không phải là


Kết luận
Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu một số vấn đề cơ bản của dãy số bao
gồm:
Chương 1: Dãy số và một số dãy truy hồi cơ bản, trình bày khái niệm và một số
tính chất về dãy số, một số dãy truy hồi cơ bản. Hệ thống một số bài tập cùng
lời giải.
Chương 2: Trình bày phương pháp dùng hàm sinh là đa thức, dùng hàm sinh là
chuỗi lũy thừa vô hạn, hệ thống một số bài tập cùng lời giải.
Chương 3: Trình bày về tiêu chuẩn cho những tổng không thể biểu diễn được
qua các biểu thức hữu tỉ và biểu thức đại số. Hệ thống một số bài tập cùng lời
giải.

23