BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN DUY AN

TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC
VÀ LUẬT FERMAT CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN DUY AN

TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC
VÀ LUẬT FERMAT CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: T.S Nguyễn Hữu Trọn

Bình Định - Năm 2015

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

iii

Lời nói đầu

v

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Một số khái niệm về ánh xạ đa trị . . . . . . .

1

1.1.2


Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới
của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . .

6

Đạo hàm của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Đạo hàm Bouligand . . . . . . . . . . . . . . .

8

Nón pháp tuyến, dưới vi phân, đối đạo hàm . . . . . .

9

1.3.1


Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3

Đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.3
1.2

1.3

2 Lý thuyết chặn sai số

16

2.1

Khái niệm chặn sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16

2.2

Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

i


ii
3 Tính chính quy mêtric của các ánh xạ đa trị

20

3.1

Tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tổng quát . .

20

3.2

Tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị trên đồ thị .

21

3.2.1


Ánh xạ đa trị trên đồ thị . . . . . . . . . . . .

21

3.2.2

Tính chính quy mêtric . . . . . . . . . . . . . .

22

4 Điều kiện cần cho các bài toán tối ưu đa trị

34

4.1

Bài toán tối ưu đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.2

Điều kiện cần tối ưu sử dụng đối đạo hàm . . . . . . .

36

4.2.1

Luật Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


36

4.2.2

Luật nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . .

50

Điều kiện cần tối ưu sử dụng đạo hàm Bouligand . . .

54

4.3.1

Luật Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.3.2

Luật nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . .

59

4.3

Kết luận

61


Tài liệu tham khảo

62


iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
F :X

ÑY
Ñ

F ✁1 :Y X
dom F
epi f
rge F
Gr F
ker F
N
R
C
φ
⑥x⑥
①x, y②
V ♣xq
B ♣x, rq
D♣x, rq
SX
X✝
K✝

int A
co A
aff A
d♣x, Aq
xÝ
Ñ x¯
S

xÝ
Ñ x¯
w
xk Ý
Ñ
x
✝
w
x✝k ÝÝÑ x✝
♣ε ♣S, xq
N
♣ ♣S, xq
N
N ♣S, x
¯q
♣
❇f ♣x¯q
❇f ♣x¯q
f

: Ánh xạ đa trị từ X vào Y
:

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

Ánh xạ ngược của F
Miền hữu hiệu của F
Tập trên đồ thị của f
Miền ảnh của F
Đồ thị của F
Tập các không điểm của F
Tập số nguyên dương
Tập số thực

Tập số phức
Tập rỗng
Chuẩn của x
Tích vô hướng của các véctơ x và y
Họ các lân cận của x
Hình cầu mở tâm x bán kính r
Hình cầu đóng tâm x bán kính r
Mặt cầu đơn vị trong X
Không gian đối ngẫu của không gian Banach X
Nón liên hợp của nón K
Phần trong của A
Bao lồi của A
Bao affine của A
Khoảng cách từ x đến tập A

: xÑx
¯ và x € S

: xÑx
¯ và f ♣xq Ñ f ♣x
¯q
: Dãy véctơ xk hội tụ đến véctơ x theo tôpô yếu
:
:
:
:
:
:

Dãy véctơ x✝k hội tụ đến véctơ x✝ theo tôpô ✝ yếu

Tập các véctơ ε- pháp tuyến của S tại x
Nón pháp tuyến Fréchet của S tại x
Nón pháp tuyến cơ sở của S tại x
¯
Dưới vi phân Fréchet của f tại x
¯
Dưới vi phân cơ sở của f tại x
¯


iv

❇Ω

f ✶ ♣ xq
①✝ F ♣x
D
¯, y¯q♣☎ q
D✝ F ♣x
¯, y¯q♣☎ q
TB ♣S, x
¯q
DB F ♣x
¯, y¯q

:
:
:
:
:

:

Hàm chỉ của tập φ ✘ Ω ⑨ X
Đạo hàm Fréchet của f tại x
Đối đạo hàm Fréchet của F tại ♣x
¯, y¯q
Đối đạo hàm Monkhovich của F tại ♣x
¯, y¯q
Nón tiếp tuyến của S tại x
¯
Đối đạo hàm Bouligand của F tại ♣x
¯, y¯q

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
t.ư

: tương ứng


v

Lời nói đầu
Tính chính quy mêtric là một trong những tính chất quan trọng
của ánh xạ đa trị, thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà toán học trên thế giới. Hiện nay, kết quả đạt được theo hướng
này là rất phong phú và đa dạng.
Tính chính quy mêtric có nguồn gốc trong Nguyên lý ánh xạ mở
cho các ánh xạ tuyến tính đạt được trong những năm 1930 bởi Banach
và Schauder. Sau đó, Nguyên lý này được giải thích lại và tổng quát
trong hai kết quả cổ điển đặc sắc: Định lý về không gian tiếp xúc của

Lyusternik [7] và Định lý về tính toàn ánh của Graves [6]. Bước quyết
định tiếp theo trong lịch sử phát triển này là sự mở rộng của Nguyên
lý ánh xạ mở Banach-Schauder cho các ánh xạ đa trị có đồ thị lồi,
đóng được thiết lập độc lập bởi Ursescu [13] và Robinson [12] (Định
lý Robinson-Ursescu nổi tiếng).
Trong ba mươi năm qua, sau khi sự tương đương giữa tính chính
quy mêtric và tính mở với tỉ lệ tuyến tính trong bối cảnh tổng quát
của các ánh xạ đa trị giữa các không gian véctơ định chuẩn được xác
định rõ ràng. Nhiều nổ lực đã trải qua để đạt được các điều kiện cần
đảm bảo các tính chất này theo các đối tượng vi phân tổng quát khác
nhau và để hiểu mối liên hệ với các Định lý điểm bất động và với
các điều kiện tối ưu cho một số lớp các bài toán tối ưu. Có rất nhiều
các tác giả đã đóng góp cho sự phát triển của lĩnh vực nghiên cứu
này. Chúng tôi liệt kê những tác giả tiêu biểu như J. P. Aubin, J.
M. Borwein, A. Dontchev, A.V. Dmitruk, H. Frankowska, A. loffe, D.
Klatte, B. Kummer, A.A. Milyutin, B. S. Mordukhovich, J. P. Penot,
S. M. Robinson, R. T. Rockafellar, C. Ursescu và một số người khác.
Trong luận văn này chúng tôi khảo sát tính chính quy mêtric cho
một loại ánh xạ đa trị đặc biệt có tên là ánh xạ trên đồ thị mà đã
được chứng minh là rất quan trọng trong các bài toán tối ưu véctơ đa
trị. Luận văn "Tính chính quy mêtric và luật Fermat cho các
bài toán tối ưu đa trị" nhằm mục đích tìm hiểu tính chính quy
mêtric của ánh xạ đa trị trên đồ thị và ứng dụng trong việc thiết lập


vi
các điều kiện cần tối ưu (Luật Fermat, Luật Lagrange) cho các bài
toán tối ưu đa trị trên các không gian Banach.
Để đạt được các mục đích trên, ngoài mục lục, bảng ký hiệu chữ
viết tắt, phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chúng tôi chia

thành bốn chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị: Chương này được chúng
tôi dành để trình bày các kiến thức cơ cở cần thiết nhất về ánh
xạ đa trị như định nghĩa, tính liên tục, đạo hàm, đối đạo hàm,...
của ánh xạ đa trị, các khái niệm cơ bản của Giải tích đa trị và
Giải tích biến phân và một số kết quả kinh điển như Quy tắc
tổng, Quy tắc tổng mờ và Nguyên lý biến phân Ekeland.
Chương 2. Lý thuyết chặn sai số: Chương này, chúng tôi dành
để trình bày một số kết quả về Lý thuyết chặn sai số, thông qua
đó chúng tôi nghiên cứu về chặn sai số cho các hàm nửa liên tục
dưới.
Chương 3. Tính chính quy mêtric của các ánh xạ đa trị: Chương
này dành cho việc nghiên cứu tính chính quy mêtric của các ánh
xạ đa trị. Đặc biệt là nghiên cứu tính chính quy mêtric cho một
loại ánh xạ đa trị đặc biệt, cụ thể là ánh xạ đa trị trên đồ thị.
Chương 4. Điều kiện cần cho các bài toán tối ưu đa trị: Chương
này đề cập đến bài toán tối ưu đa trị và Điều kiện cần cho các
bài toán tối ưu đa trị.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và
đầy nhiệt tâm của TS. Nguyễn Hữu Trọn. Nhân đây, tôi xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn
Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa
Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán khoá XV đã
tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời
gian học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi muốn gửi
lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè, những người đã chia sẻ, ủng hộ và
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.


Chương 1


Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản
của Giải tích đa trị và Giải tích biến phân được sử dụng nhiều trong
các chương sau. Các kết quả trong chương này chủ yếu được lấy từ
giáo trình của Nguyễn Đông Yên r14s.

1.1

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

1.1.1

Một số khái niệm về ánh xạ đa trị

Ñ

Định nghĩa 1.1.1. Cho X, Y là hai tập hợp bất kì. Cho F : X
Y
Y
là ánh xạ từ X vào toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2 ).
Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy, với mỗi x € X, F ♣xq
là một tập hợp con của Y .

Ñ

Người ta thường sử dụng kí hiệu F : X
Y để chỉ F là ánh xạ
đa trị từ X vào Y .
Nếu với mỗi x € X tập F ♣xq chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì

ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho kí hiệu
F :X
Y người ta sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X Ñ Y.

Ñ

1


2
Định nghĩa 1.1.2. Cho X, Y là hai không gian tôpô. Xét ánh xạ đa
trị F : X
Y xác định trên X, nhận giá trị trong tập các tập con
của Y . Đồ thị của F được cho bởi

Ñ

Gr F

✏ t♣x, yq € X ✂ Y

:y

€ F ♣xq✉.

Miền hữu hiệu của F được cho bởi
dom F

✏ tx € X ⑤F ♣xq ✘ φ✉.


Miền ảnh của F được cho bởi
rge F

✏ ty € Y : ❉x € X sao cho y € F ♣xq✉ ✏

↕

€

F ♣xq.

x dom F

Ánh xạ ngược F ✁1 : Y
định bởi công thức

Ñ X của ánh xạ đa trị F : X Ñ Y

F ✁1 ♣y q ✏ tx € X : y

được xác

€ F ♣xq✉, ❅y € Y.

Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Kí hiệu B ♣x, εq và D♣x, εq
lần lượt là hình cầu mở và hình cầu đóng, với tâm x € X và bán kính
ε → 0 và BX , DX , SX tương ứng là hình cầu đơn vị mở, hình cầu đơn
vị đóng và mặt cầu đơn vị trong X. Cho x € X và S ⑨ X, kí hiệu
khoảng cách từ x đến S bởi
d♣x, S q :✏ inf ⑥x ✁ y ⑥ .


€

y S

Quy ước d♣x, φq ✏ ✽.
Cho x € X, V ♣xq là tập tất cả các lân cận của x ứng với tôpô của X.
Như thường lệ, cl và int lần lượt là bao đóng và phần trong tương ứng
của các tập hợp. aff S là bao affine của một tập khác rỗng S ⑨ X.
X ✝ là không gian đối ngẫu của X và chúng ta đặt ①☎ , ☎② cho các cặp
đối ngẫu giữa X và X ✝ . Trên không gian tích X ✂ Y , ta thường sử
dụng chuẩn tổng

⑥♣x, yq⑥ ✏ ⑥x⑥   ⑥y⑥ , ❅♣x, yq € X ✂ Y.
Lưu ý rằng, chuẩn đối ngẫu trên X ✝ ✂ Y ✝ là chuẩn max.


3

1.1.2

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục
dưới của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.1.3. Cho X, Y là hai không gian tôpô. Ta nói ánh xạ
đa trị F : X
Y là nửa liên tục trên tại x
¯ € dom F nếu với mọi tập
mở V ⑨ Y thỏa mãn F ♣x
¯q ⑨ V tồn tại lân cận mở U của x

¯ sao cho

Ñ

F ♣xq ⑨ V,

❅x € U.

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F thì F được gọi
là nửa liên tục trên ở trong X.
Ví dụ 1.1.1. Ánh xạ đa trị
F ♣xq ✏

✩
✬
✫

{0}
[-1,1]
✬
✪
{1}

nếu x ➔ 0,
nếu x ✏ 0,
nếu x → 0

từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X, Y là hai không gian tôpô. Ta nói ánh xạ
đa trị F : X

Y là nửa liên tục dưới tại x
¯ € dom F nếu với mọi tập
mở V ⑨ Y thỏa mãn F ♣x
¯q ❳ V ✘ φ tồn tại lân cận mở U của x
¯ sao
cho
F ♣xq ❳ V ✘ φ, ❅x € U ❳ dom F.

Ñ

Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc dom F , thì F được gọi
là nửa liên tục dưới ở trong X.
Ví dụ 1.1.2. Ánh xạ đa trị
F ♣xq ✏

★

[0,1]
{0}

nếu x ✘ 0,
nếu x ✏ 0

từ R vào R là nửa liên tục dưới tại x
¯ ✏ 0.
Ví dụ 1.1.3. Ánh xạ đa trị
F ♣ xq ✏

★


[-1,1]
{0}

nếu x ✏ 0,
nếu x ⑧✏ 0

từ R vào R là không nửa liên tục dưới tại x
¯ ✏ 0.


4
Định nghĩa 1.1.5. Cho X, Y là hai không gian tôpô. Ta nói ánh xạ
đa trị F : X
Y là liên tục tại x
¯ € dom F nếu F đồng thời là nửa
liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x
¯. Nếu F là liên tục tại mọi
điểm thuộc dom F , thì F được gọi là liên tục ở trên X.

Ñ

Ví dụ 1.1.4. Ta kí hiệu co M là bao lồi của tập M tức là co M là
tập lồi nhỏ nhất chứa M .
Ánh xạ đa trị F ♣xq ✏ cotsin x, cos x✉ từ R vào R là liên tục ở trên R.
Sau đây chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa tính nửa liên tục dưới
của ánh xạ đơn trị.
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là không gian tôpô và ánh xạ f : X Ñ
R ❨ t ✽✉. Kí hiệu dom f ✏ tx € X : f ♣xq ➔  ✽✉. Khi đó, f là nửa
liên tục dưới tại x
¯ € dom f nếu

lim inf f ♣xq ➙ f ♣x
¯ q.
x

Ñx¯

Ñ

Định nghĩa 1.1.7. Ta nói F : X
Y là mở tại ♣x
¯, y¯q € Gr F nếu
ảnh qua F của một lân cận bất kì của x
¯ là một lân cận của y¯.
Tính mở với tỉ lệ tuyến tính như trong định nghĩa sau đây là mạnh
hơn tính mở nói trên.

Ñ

Định nghĩa 1.1.8. Cho X, Y là các không gian mêtric, F : X
Y
là một ánh xạ đa trị. F được gọi là mở với tỉ lệ tuyến tính c → 0 quanh
♣x¯, y¯q € Gr F nếu tồn tại hai lân cận U € V ♣x¯q và V € V ♣y¯q và một
số dương ε → 0 sao cho với mọi ♣x, y q € Gr F ❳ ♣U ✂ V q và với mọi
ρ € ♣0, εq ta có
B ♣y, ρcq ⑨ F ♣B ♣x, ρqq.

(1.1.1)

Nhận xét 1.1.1. Tính mở với tỉ lệ tuyến tính của ánh xạ đa trị kéo
theo tính mở.

Chứng minh. Giả sử F là mở với tỉ lệ tuyến tính c → 0 quanh ♣x
¯, y¯q €
Gr F . Khi đó, tồn tại hai lân cận U € V ♣x
¯q và V € V ♣y¯q và một số


5
dương ε → 0 sao cho với mọi ♣x, y q € Gr F ❳ ♣U
ρ € ♣0, εq ta có
B ♣y, ρcq ⑨ F ♣B ♣x, ρqq.

✂ V q và với mọi

Lấy U ✏ B ♣x, ρq là một lân cận bất kì của x, theo trên ta có B ♣y, ρcq ⑨
F ♣B ♣x, ρqq. Vì B ♣y, ρcq là lân cận của y nên F ♣B ♣x, ρq cũng là lân cận
của y. Điều đó chứng tỏ F mở tại ♣x
¯, y¯q € Gr F .
Tính mở với tỉ lệ tuyến tính tương đương với tính chính quy mêtric
của F quanh ♣x
¯, y¯q được phát biểu như sau.

Ñ

Định nghĩa 1.1.9. Cho X, Y là các không gian mêtric, F : X
Y là
một ánh xạ đa trị. F được gọi là chính quy mêtric quanh ♣x
¯, y¯q € Gr F
với môdun L → 0 nếu tồn tại hai lân cận U € V ♣x
¯q và V € V ♣y¯q sao
cho với mỗi ♣x, y q € ♣U ✂ V q,

d♣x, F ✁1 ♣y qq ↕ Ld♣y, F ♣xqq.

(1.1.2)

Ví dụ 1.1.5. Cho F ♣xq ✏ r0; 1s, x € R. Ta thấy F là chính quy
mêtric quanh ♣x
¯, y¯q € Gr F . Thật vậy, với U ✑ R là lân cận của x
¯
và V ✏ ♣0; 1q là lân cận của y¯, ta thấy với mỗi ♣x, y q € ♣U ✂ V q thì
(1.1.2) luôn đúng.
Một tính chất khác có liên quan mật thiết với tính mở với tỉ lệ
tuyến tính và tính chính quy mêtric là tính chất giả Lipschitz được
định nghĩa như sau.

Ñ

Định nghĩa 1.1.10. Cho X, Y là các không gian mêtric, F : X
Y
là một ánh xạ đa trị. F được gọi là giả Lipschitz quanh ♣x
¯, y¯q € Gr F
với hằng số l → 0 nếu tồn tại hai lân cận U € V ♣x
¯q và V € V ♣y¯q sao
cho
d♣y, F ♣xqq ↕ ld♣x, x✶ q,

❅x, x✶ € U, ❅y € F ♣x✶ q ❳ V.

Ñ

(1.1.3)


Nhận xét 1.1.2. Cho x
¯ € X. F : X
Y là giả Lipschitz quanh
♣x¯, y¯q € tx✉ ✂ F ♣x¯q thì F là nửa liên tục dưới tại x¯.
Ta có mối quan hệ của ba khái niệm trên như sau.


6

Ñ

Mệnh đề 1.1.1. Cho X, Y là hai không gian mêtric, F : X
Y là
ánh xạ đa trị có đồ thị đóng và ♣x
¯, y¯q € Gr F . Khi đó các mệnh đề sau
đây là đúng:
(i) F là chính quy mêtric địa phương quanh điểm ♣x
¯, y¯q với môdun
L nếu và chỉ nếu F mở với tỉ lệ tuyến tính c ✏ L✁1 quanh điểm
♣x¯, y¯q.
(ii) F là chính quy mêtric địa phương quanh điểm ♣x
¯, y¯q với môdun L
✁
1
nếu và chỉ nếu F
là giả Lipschitz quanh điểm ♣y¯, x
¯q € Gr F ✁1
với hằng số l ✏ L.


1.1.3

Nguyên lý biến phân Ekeland

Nguyên lý biến phân do Ekeland đề xuất năm 1974 là một công
cụ mạnh trong Giải tích phi tuyến, Giải tích không trơn, Giải tích đa
trị, Giải tích biến phân và trong các hướng khác nhau của Toán học.
Định lý 1.1.1. ♣r2s, r14sq (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho ♣X, dq
là một không gian mêtric đầy đủ và f : X Ñ R ❨ t ✽✉ là một hàm
chính thường ♣dom f ✘ φq, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới ở trên
X. Giả sử rằng z € X và σ → 0 thỏa
f ♣z q ↕ inf f
X

Khi đó, tồn tại y

  σ.

€ X sao cho

(i) d♣z, y q ↕ 1,
(ii) f ♣y q   σd♣z, y q ↕ f ♣z q,
(iii) f ♣xq   σd♣x, y q ➙ f ♣y q,

❅x € X.

Chứng minh của Định lý này có thể xem trong [2,14].


7


1.2
1.2.1

Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Nón tiếp tuyến

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là tập con trong không gian định chuẩn
X, và x
¯ là một điểm thuộc bao đóng M của M . Nón tiếp tuyến Bouligand của M tại x
¯, được kí hiệu bởi TM ♣x
¯q, là tập hợp những véctơ
v € X thỏa mãn điều kiện
lim inf
tÑ0 

d♣x
¯   tv, M q
t

✏ 0.

(1.2.4)

Nhắc lại rằng d♣x, M q ✏ inf ⑥x ✁ y ⑥ . Đẳng thức (1.2.4) có nghĩa

€

y M


là

❉ttk ✉ ⑨ R  ③t0✉ sao cho
d♣x
¯   tk v, M q
lim
✏ 0, tk Ñ 0 khi k Ñ ✽.
k

Ñ✽

tk

Khi đó,
TM ♣x
¯q ✏tv : ❉ttk ✉ ⑨ R  ③t0✉, tk

Ñ 0,

❉tv ✉ ⑨ X, v Ñ v, x¯   tk vk € M, ❅k € N✉.
k

Ví dụ 1.2.1. Đặt M
♣0, 0q, ta có

k

✏ tx ✏ ♣x1 , x2 q : x2 ✏ ⑤x1 ⑤✉ ⑨ R2 . Với x¯ :✏
TM ♣0q ✏ M.


Ví dụ 1.2.2. Đặt M ✏ tx ✏ ♣x1 , x2 q : x2 ✏ x21 ✉ ⑨ R2 . Lấy x
¯ ✏ ♣0, 0q,
ta có
TM ♣x
¯q ✏ tv ✏ ♣v1 , 0q : v1 € R✉.
Định lý 1.2.1. (Công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand). Giả sử
gi ✏: X Ñ R ♣i ✏ 1, . . . , mq là các hàm số thực liên tục trên không
gian định chuẩn X. Đặt
M

✏ tx € X : gi ♣xq ↕ 0, , ❅i ✏ 1, . . . , m✉.

Giả sử x
¯ € M . Đặt I ♣x
¯q ✏ ti : gi ♣x
¯q ✏ 0✉. Khi đó,


8
1. Nếu I ♣x
¯q ✏ φ, thì TM ♣x
¯q ✏ X;
2. Nếu I ♣x
¯q ✘ φ và ti : gi ♣☎ q ♣i ✏ 1, . . . , mq là khả vi Fréchet tại x
¯
thì
✶
¯q ⑨ tv € X : gi ♣x
¯q♣v q ↕ 0, ❅i € I ♣x
¯q✉;

TM ♣x
¯,
3. Nếu I ♣x
¯q ✘ φ và ti : gi ♣☎ q ♣i ✏ 1, . . . , mq là khả vi Fréchet tại x
và điều kiện chính quy sau thỏa mãn

❉v0 € X để gi✶ ♣x¯q♣v0 q ➔ 0 , ❅i € I ♣x¯q

(1.2.5)

€ X ⑤ gi✶ ♣x¯q♣vq ↕ 0, ❅i € I ♣x¯q✉.

(1.2.6)

thì
¯q ✏ tv
TM ♣x

Ví dụ 1.2.3. Đặt M :✏ tx
Với x
¯ ✏ ♣1, 1q, ta có
TM ♣x
¯q ✏ tv

1.2.2

✏ ♣x1 , x2 q : x1   x2 ➙ 2, x2 ↕ x31 ✉ ⑨ R2 .

✏ ♣v1 , v2 q : v1   v2 ➙ 0, v2 ↕ 3v1 ✉.


Đạo hàm Bouligand

Cho X, Y là các không gian định chuẩn, F : X
đa trị.

Ñ Y là các ánh xạ

Định nghĩa 1.2.2. (Đạo hàm Bouligand). Đạo hàm Bouligand DF z¯♣☎ q :
X
Y của F tại điểm z¯ ✏ ♣x
¯, y¯q € Gr F là ánh xạ đa trị có đồ thị
trùng với nón tiếp tuyến Bouligand TGr F ♣z¯q của đồ thị F tại z¯, tức là

Ñ

DF z¯♣uq ✏ tv

€ Y : ♣u, vq € TGr F ♣z¯q✉, ❅u € X.

Nếu F ♣xq ✏ f ♣xq là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Df x¯ ♣☎ q thay cho
DF ♣x¯,f ♣x¯qq ♣☎ q.


9

1.3

1.3.1

Nón pháp tuyến, dưới vi phân, đối đạo

hàm
Nón pháp tuyến

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại những nét chính của
phép xây dựng nón pháp tuyến, dưới vi phân, đối đạo hàm - những
khái niệm chính của Giải tích biến phân theo cách tiếp cận bằng không
gian đối ngẫu của B. S Mordukhovich. Trước hết, ta nhắc lại rằng X ✝
kí hiệu đối ngẫu tôpô của không gian định chuẩn X. Giá trị của phiếm
hàm x✝ € X ✝ tại x € X được kí hiệu bởi ①x✝ , x②. Các kí hiệu w và w✝
được dùng để chỉ tôpô yếu và tôpô ✝ yếu của cặp đối ngẫu ♣X, X ✝ q.
Cho tập hợp khác rỗng S và một hàm f : X Ñ R, R ✏ r✁✽,  ✽s,
khi đó ta dùng các kí hiệu sau:
S
•xÝ
Ñ
x
¯ nếu x Ñ x
¯ và x € S,
f
•xÝ
Ñ
x
¯ nếu x Ñ x
¯ và f ♣xq Ñ f ♣x
¯ q.
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là không gian véctơ định chuẩn, S là một
tập con không rỗng của X và cho x € S, ε ➙ 0. Tập các véctơ ε✁pháp
tuyến Fréchet của S tại x € S là
①ε ♣S, xq :✏ tx✝
N


✝
€ X ✝ ⑤ lim sup ①x⑥u, u✁✁x⑥x② ↕ ε✉.
uÝ
Ñx

(1.3.7)

S

Nếu ε ✏ 0, thì các phần tử ở vế phải (1.3.7) được gọi là các véctơ
pháp tuyến Fréchet.
♣ ♣S, xq và được gọi là
Tập các véctơ pháp tuyến đó được kí hiệu bởi N
nón pháp tuyến Fréchet của S tại x.
Lấy x
¯ € S, nón pháp tuyến cơ sở (còn được gọi là nón pháp tuyến qua
giới hạn hay nón pháp tuyến Mordukhovich) của S tại x
¯ là

✝

N ♣S, x
¯q :✏ tx✝

S
w
€ X ✝ ⑤❉εn Ó 0,xn ÝÑ
x
¯, x✝n ÝÝÑ x✝ ,

(1.3.8)
✝
♣ε ♣S, xn q, ❅n € N✉.
xn € N
♣S ♣x
♣ ♣S, x
Trong một số trường hợp, ta có thể viết N
¯q thay cho N
¯q và
NS ♣ x
¯q thay cho N ♣S, x
¯q.
n


10
Lưu ý rằng, trong các định nghĩa trên tập S không cần phải đóng. Hơn
①ε ♣S, xq ✏ N
①ε ♣cl S, xq với S ⑨ X, x € S và ε ➙ 0 và N
①ε ♣S, xq ⑨
nữa, N
①
Nε ♣T, xq khi x € T ⑨ S và ε ➙ 0.
Mặt khác, nếu X là một không gian Asplund (tức là không gian
Banach mà mọi hàm lồi, liên tục xác định trên một tập lồi
mở khác rỗng đều khả vi trên một tập con trù mật của tập
mở đó ), và S là tập đóng địa phương trong lân cận điểm x
¯ (tức là tồn
tại hình cầu đóng tâm x
¯ với bán kính dương có giao với S là một tập

đóng trong X), khi đó công thức cho nón pháp tuyến cơ bản (1.3.8)
có dạng đơn giản hơn, cụ thể là:
N ♣S, x
¯q ✏ tx✝

✝

S
w
♣ ♣S, xn q, ❅n € N✉.
€ X ✝ ⑤❉xn ÝÑ
x
¯, x✝n ÝÝÑ x✝ , x✝n € N

(1.3.9)
Nhận xét 1.3.1.

♣ ♣S, xq.
1. N ♣S, x
¯q ✏ lim sup N
x

ÝÑx¯
S

Điều này cũng có nghĩa là x✝ € N ♣S, x
¯q khi và chỉ khi tồn tại
w✝
S
✝

✝
các dãy xn Ý
Ñ x¯, xn ÝÝÑ x sao cho

①x✝ , x ✁ xn ② ↕ 0.
xÝ
Ñx ⑥x ✁ xn ⑥

lim sup
S

n

Hay,

✁ ①x✝ , x ✁ xn ② ➙ 0.
xÝ
Ñx ⑥x ✁ xn ⑥
Nếu S € X là một tập lồi, x
¯ € S thì
lim inf
S

n

2.

N ♣S, x
¯q ✏ tx✝
Ví dụ 1.3.1. Nếu S

x
¯ ✏ ♣0, 0q, thì

€ X ✝ : ①x✝ , x ✁ x¯② ↕ 0, ❅x € S ✉.

✏ tx ✏ ♣x1 , x2 q €

R 2 : x2

➙

0, x1

➙ 0✉

và

♣S ♣x
N ♣S, x
¯q ✏ N
¯q

✏ tx ✏ ♣x1 , x2 q € R2 : x2 ↕ 0, x1 ↕ 0✉.

Vì tập S lồi nên nón pháp tuyến qua dưới hạn trùng với nón pháp
tuyến theo nghĩa giải tích lồi.


11
Ví dụ 1.3.2. Nếu S ✏ tx ✏ ♣x1 , 0q

R2 : x2 ➙ 0✉ và x
¯ ✏ ♣0, 0q, thì

€ R2 : x1 ➙ 0✉ ❨ tx ✏ ♣0, x2 q €

♣S ♣x
N
¯q ✏ tx ✏ ♣x1 , x2 q € R2 : x1

và

↕ 0, x2 ↕ 0✉

♣S ♣x
NS ♣x
¯q ✏ N
¯q ❨ ♣r0,  ✽q ✂ 0q ❨ ♣0 ✂ r0,  ✽qq.

1.3.2

Dưới vi phân

Định nghĩa 1.3.2. Cho X là một không gian Banach và hàm số
f : X Ñ R hữu hạn tại x
¯ € X. Dưới vi phân Fréchet của f tại x
¯ là
tập hợp

❇ ♣x¯q : ✏ tx✝ € X ✝ ⑤♣x✝ , ✁1q € N♣ ♣epi f, ♣x¯, f ♣x¯qqq✉
f ♣xq ✁ f ♣x

¯q ✁ ①x✝ , x ✁ x
¯②
✏ tx✝ € X ✝ ⑤ lim
inf
➙ 0✉,
xÑx
¯
⑥x ✁ x¯⑥

♣f

và dưới vi phân cơ bản (còn được gọi là dưới vi phân qua dưới hạn,
hoặc dưới vi phân Mordukhovich) của f tại x
¯ được xác định bởi

❇f ♣x¯q :✏ tx✝ € X ✝ ⑤♣x✝ , ✁1q € N ♣epi f, ♣x¯, f ♣x¯qqq✉,
ở đây, epi f là tập trên đồ thị của f được xác định bởi
epi f
Nhận xét 1.3.2.

✏ t♣x, rq € X ✂ R : f ♣x ↕ rq✉.

(1) ♣
❇f ♣x¯q là tập lồi, đóng ✝ yếu;

(2) Trong không gian Banach tổng quát, với mỗi hàm nửa liên tục
dưới ta có ♣
❇f ♣x¯q ⑨ ❇f ♣x¯q;
(3) Nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì ❇ f ♣x
¯q là tập đóng, có

thể không lồi. Chẳng hạn, xét hàm f ♣xq ✏ ✁⑤x⑤ với mọi x € R
và x
¯ ✏ 0, ta có ❇ f ♣0q ✏ t✁1, 1✉;
(4) Nếu X là không gian vô hạn chiều, thì ❇ f ♣x
¯q có thể không đóng;


12
(5) Trong không gian Asplund, ta có

❇f ♣x¯q ✏ lim sup ♣❇f ♣xq;
xÝ
Ñx¯
f

(6) Nếu f là tập lồi thì cả hai dưới vi phân ♣
❇f ♣x¯q và ❇f ♣x¯q đều trùng
với dưới vi phân lồi tức là

❇f ♣x¯q ✏ tx✝ € X ✝ : ①x✝ , x ✁ x¯② ↕ f ♣xq ✁ f ♣x¯q, ❅x € X ✉.
Ví dụ 1.3.3. Nếu f ♣xq ✏ ⑤x⑤ với mọi x € R và x
¯ ✏ 0, thì
♣
❇f ♣x¯q ✏ ❇f ♣x¯q ✏ r✁1, 1s.
Vì hàm số f này là lồi, nên dưới vi phân qua dưới hạn trùng với dưới
vi phân theo nghĩa giải tích lồi.
Ví dụ 1.3.4. Nếu f ♣xq ✏ ✁⑤x⑤ với mọi x € R và x
¯ ✏ 0, thì

❇ ♣x¯q ✏ φ, ❇f ♣x¯q ✏ t✁1, 1✉.


♣f

Hàm f này không lồi và dưới vi phân qua giới hạn cũng là tập không
lồi.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x
¯ € X nếu
✝
✝
tồn tại x € X sao cho
f ♣xq ✁ f ♣x
¯q ✁ ①x✝ , x ✁ x
¯②
xÑx
¯
⑥x ✁ x¯⑥
lim

✏ 0.

Khi đó, x✝ được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x
¯.
Chú ý 1.3.1.
tf ✶ ♣x¯q✉;

1. Nếu f khả vi Fréchet tại x
¯

€


X thì ♣
❇f ♣x¯q

2. Hàm f được gọi là khả vi chặt tại x
¯ € X nếu ❉x✝
f ♣xq ✁ f ♣uq ✁ ①x✝ , x ✁ u②
xÑx
¯,uÑx
¯
⑥x ✁ u⑥
lim

✏

€ X ✝ sao cho

✏ 0;

3. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì hai khái niệm trên trùng
nhau.


13
Nhận xét 1.3.3. (1) Nếu f là hàm khả vi chặt tại điểm x
¯ thì tập
❇f ♣x¯q chỉ chứa một phần tử, đó là đạo hàm chặt của f tại x¯.
Nghĩa là ❇ f ♣x
¯q ✏ t∇f ♣x
¯q✉;
(2) Một hàm là khả vi Fréchet liên tục trong một lân cận của một

điểm, thì nó cũng khả vi chặt tại điểm đó.
Định nghĩa 1.3.4. Cho tập hợp Ω ⑨ X khác rỗng, trong đó X là
một không gian Banach. Xét hàm chỉ δΩ ♣☎ q của Ω được cho bởi công
thức
★
0,
nếu x € Ω
δ Ω ♣ xq ✏
 ✽, nếu x ❘ Ω.
Nón pháp tuyến Fréchet và nón pháp tuyến qua giới hạn (còn được
gọi là nón pháp tuyến Mordukhovich) của Ω tại x
¯ € Ω còn được định
nghĩa tương ứng bởi các công thức
♣ ♣Ω, x
N
¯q :✏ ♣
❇δΩ ♣x¯q,

(1.3.10)

N ♣Ω, x
¯q :✏ δΩ ♣x
¯q

(1.3.11)

và

thông qua dưới vi phân tương ứng của hàm chỉ.
♣ ♣Ω, x

Ta đặt N
¯q ✏ φ và N ♣Ω, x
¯q ✏ φ nếu x
¯ ❘ Ω.
Trong một số trường hợp, ta có thể viết δ ♣Ω, xq thay cho δΩ ♣xq.
Nhận xét 1.3.4. Do (1.3.10) và do công thức của hàm chỉ, ta có
♣ ♣Ω, x
x✝ € N
¯q khi và chỉ khi

✁ ①x✝ , x ✁ x¯② ➙ 0.
xÝ
Ñx¯ ⑥x ✁ x¯⑥

lim inf
Ω

Hay,

①x✝ , x ✁ x¯② ↕ 0.
xÝ
Ñx¯ ⑥x ✁ x¯⑥

lim sup
Ω

Quy tắc tổng mờ sau đây cho dưới vi phân Fréchet sẽ rất hữu dụng
trong phần tiếp theo.



14
Định lý 1.3.1. (Quy tắc tổng mờ) Cho X là không gian Asplund
và ϕ1 , ϕ2 : X Ñ R ❨ t✽✉ sao cho ϕ1 liên tục Lipschitz quanh x
¯ €
dom ϕ1 ❳ dom ϕ2 và ϕ2 nửa liên tục dưới quanh x
¯ (tức là ϕ2 nửa liên
tục dưới tại mỗi điểm thuộc một lân cận nào đó của x
¯). Khi đó, với
mọi γ → 0 ta có
↔

❇♣ϕ1   ϕ2 q♣x¯q ⑨ t♣❇ϕ1 ♣x1 q   ♣❇ϕ2 ♣x2 q⑤xi € x¯   γDX ,
⑤ϕi ♣xi q ✁ ϕi ♣x¯q⑤ ↕ γ, i ✏ 1, 2✉   γDX .

♣

Dưới vi phân cơ bản thỏa mãn quy tắc tổng sau đây.
Định lý 1.3.2. (Quy tắc tổng) Nếu X là không gian Asplund và
f1 , f2 , . . . , fn✁1 : X Ñ R là Lipschitz quanh x
¯ và fn : X Ñ R là nửa
liên tục dưới quanh x
¯ (tức là fn nửa liên tục dưới tại mỗi điểm thuộc
một lân cận nào đó của x
¯) thì

❇

n
➳


✏

fi ♣x
¯q ⑨

i 1

1.3.3

n
➳

✏

❇fi ♣x¯q.

i 1

Đối đạo hàm

Ñ

Định nghĩa 1.3.5. Cho F : X
Y là ánh xạ đa trị giữa các không
gian Banach. Khi đó, đối đạo hàm Fréchet của F tại ♣x
¯, y¯q € Gr F là
✝
✝
✝
①

ánh xạ đa trị D F ♣x
¯, y¯q : Y
X được xác định bởi

Ñ

①✝ F ♣x
D
¯, y¯q♣y ✝ q :✏ tx✝

€ X ✝ : ♣x✝ , ✁y✝ q € N♣ ♣Gr F, ♣x¯, y¯qq✉.

(1.3.12)

Tương tự, đối đạo hàm qua giới hạn (hay đối đạo hàm Mordukhovich)
của F tại ♣x
¯, y¯q là ánh xạ đa trị D✝ F ♣x
¯, y¯q : Y ✝
X ✝ được xác định
bởi

Ñ

D ✝ F ♣x
¯, y¯q♣y ✝ q :✏ tx✝

€ X ✝ : ♣x✝ , ✁y✝ q € N ♣Gr F, ♣x¯, y¯qq✉.

(1.3.13)


①✝ f ♣x
Nếu F ♣xq ✏ tf ♣xq✉ là ánh xạ đơn trị thì ta viết D
¯q thay cho
✝
✝
①✝ f ♣x
D
¯, f ♣x
¯qq và D f ♣x
¯q thay cho D f ♣x
¯, f ♣x
¯qq.


15
Nếu f tương ứng là khả vi Fréchet và khả vi chặt tại x
¯ thì các đối đạo
hàm trong (1.3.12) và (1.3.13) được tính như sau:

✶
①✝ f ♣x
D
¯q♣y ✝ q ✏ ♣f ♣x
¯qq✝ ♣y ✝ q,
và

❅y ✝ € Y ✝

✶
D ✝ f ♣x

¯q♣y ✝ q ✏ ♣f ♣x
¯qq✝ ♣y ✝ q,

❅y ✝ € Y ✝ .
①✝ f ♣x
Khi đó, với mọi y ✝ € Y ✝ , D
¯q♣y ✝ q và D✝ f ♣x
¯q♣y ✝ q là các tập có
một phần tử. Nếu f là khả vi chặt tại x
¯ thì

✶
①✝ f ♣x
D
¯q♣y ✝ q ✏ D✝ f ♣x
¯q♣y ✝ q ✏ ♣f ♣x
¯qq✝ ♣y ✝ q,

❅y ✝ € Y ✝ .

Nếu xét các ánh xạ đa trị có đồ thị lồi, thì ta có một dạng biểu diễn
đặc biệt cho đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich được
thể hiện trong Mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.3.1. (r2s) Cho X, Y là các không gian Banach và F :
X
Y là ánh xạ đa trị có đồ thị lồi và ♣x
¯, y¯q € GrF . Khi đó, với mọi
✝
✝
y € Y , ta có công thức tính giá trị của các đối đạo hàm như sau


Ñ

①✝ F ♣x
D
¯, y¯q♣y ✝ q ✏ D✝ F ♣x
¯, y¯q♣y ✝ q

✏ tx✝ € X ✝ ⑤ ①x✝ , x¯② ✁ ①y✝ , y¯② ✏ ♣x,ymax
r①x✝ , x¯② ✁ ①y✝ , y¯②s✉.
q€GrF

Ví dụ 1.3.5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn

te1 , e2 , . . .✉ và cho f : r✁1, 1s Ñ H, được định nghĩa bởi
f ♣xq ✏ 2✁k r♣2k 1 ⑤x⑤ ✁ 1qek ✁ ♣2k ⑤x⑤ ✁ 1qek 1 s,
với 2✁♣k 1q ↕ ⑤x⑤ ↕ 2✁k .
Ta có f ♣0q ✏ 0.
Ta thấy f là Lipschitz liên tục trên r✁1, 1s và khả vi Fréchet tại tất
cả các điểm có dạng x ✏ 2✁k và x ✏ ✁2✁k .
Ta có:
nếu 2✁♣k 1q
và

①✝ f ♣x
D
¯q♣y ✝ q ✏ ①y ✝ , 2ek ✁ ek 1 ② ☎ sign x

➔ ⑤x⑤ ➔ 2✁k ,


①✝ f ♣0q♣y ✝ q ✏ t0✉,
D

❅y✝ € H.


Chương 2

Lý thuyết chặn sai số
Để nghiên cứu tính chính quy mêtric cho một loại ánh xạ đa trị
đặc biệt, cụ thể là các ánh xạ đa trị trên đồ thị, chúng tôi sử dụng
phương pháp có nguồn gốc từ việc nghiên cứu về chặn sai số cho các
hàm nửa liên tục dưới. Do vậy, để xem xét vấn đề, trước hết chúng
tôi nhắc lại một số khái niệm nền tảng của Giải tích và các kết quả
trong Lý thuyết chặn sai số.

2.1

Khái niệm chặn sai số

Cho X là một không gian mêtric và f : X
hàm số. Đặt

Ñ R ❨ t ✽✉ là một

S :✏ tx € X : f ♣xq ↕ 0✉.

(2.1.1)

Ta kí hiệu maxtf ♣xq, 0✉ bởi rf ♣xqs  . Chúng ta nói rằng (2.1.1) có một

sai số bị chặn toàn cục trên X nếu tồn tại một số thực c → 0 thỏa
d♣x, S q ↕ crf ♣xqs  ,

❅x € X.

(2.1.2)

Cho x0 € S, chúng ta nói rằng (2.1.1) có một chặn sai số tại x0 nếu
tồn tại một số thực c → 0 thỏa (2.1.2) với mọi x quanh x0 .
Quy ước 0.♣ ✽q ✏ 0.
16


17
Cho f : X ✂ P Ñ R ❨ t ✽✉ là một hàm giá trị thực mở rộng, X là
một không gian mêtric đầy đủ và P là một không gian tôpô, kí hiệu
S ♣pq :✏ tx € X : f ♣x, pq ↕ 0✉.

2.2

Một số tính chất cơ bản

Định lý sau đây cung cấp đặc trưng của chặn sai số đối với hệ phụ
thuộc tham số f ♣x, pq ↕ 0.
Định lý 2.2.1. ♣r3sq Cho X là một không gian mêtric đầy đủ và P
là một không gian tôpô. Giả sử f : X ✂ P Ñ R ❨ t ✽✉ thỏa các điều
kiện sau với ♣x
¯, p¯q € X ✂ P :
(a) x
¯ € S ♣p¯q;

(b) Ánh xạ p ÞÑ f ♣x
¯, pq là nửa liên tục dưới tại p¯;
(c) Cho bất kì p gần p¯, ánh xạ x ÞÑ f ♣x, pq là nửa liên tục dưới gần
x
¯. Cho τ → 0. Các khẳng định sau là tương đương:
(i) Tồn tại một lân cận V ✂ W ⑨ X ✂ P của ♣x
¯, p¯q sao cho
với bất kì p € W , ta có V ❳ S ♣pq ✘ φ và
d♣x, S ♣pqq ↕ τ rf ♣x, pqs  , ❅♣x, pq € V

✂ W.

(2.2.3)

(ii) Tồn tại một lân cận V ✂ W ⑨ X ✂ P của ♣x
¯, p¯q và một số
thực γ → 0 sao cho với mỗi ♣x, pq € V ✂ W với f ♣x, pq €
♣0, γ q và cho bất kì ε → 0, ta có thể tìm được z € X thỏa
mãn
0 ➔ d♣x, z q ➔ ♣τ

  εq♣f ♣x, pq ✁ rf ♣z, pqs  q. (2.2.4)
Định nghĩa 2.2.1. Độ dốc mạnh ⑤∇f ⑤♣xq của hàm f nửa liên tục
dưới tại x € dom f :✏ tu € X : f ♣uq ➔  ✽✉ là đại lượng được xác
định bởi ⑤∇f ⑤♣xq ✏ 0 nếu x là cực tiểu địa phương của f và bởi
⑤∇f ⑤♣xq ✏ lim sup f ♣xdq♣x,✁ yfq♣yq ,
y Ñx,y ✘x