MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1.1 Giới thiệu chương

2

2

1.2 Tổng quan về bộ lọc số 3
1.2.1 Hàm truyền đạt

4

1.2.2 Đặc tuyến tần số

6

1.2.2.1 Bộ lọc lý tưởng

7

1.2.2.2 Bộ lọc thực tế

9

1.3 Các bước để thiết kế một bộ lọc số

1.4 Kết luận chương

11

CHƯƠNG 2 BỘ LỌC SỐ FIR
2.1 Giới thiệu chương

10

12

12

2.2 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính 12
2.2.1 Đáp ứng xung h(n)

12

2.2.2 Đáp ứng tần số H(ejω)

14

2.3 Các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR có pha tuyến tính
2.3.1 Phương pháp cửa sổ 16
2.3.1.1 Cửa sổ chữ nhật

18

2.3.1.2 Cửa sổ tam giác


18

2.3.1.3 Cửa sổ Hanning

18

2.3.1.4 Cửa sổ Hamming

18

2.3.1.5 Cửa sổ Blackman 19

16


2.3.1.6 Cửa sổ Kaiser

19

2.3.2 Phương pháp lấy mẫu tần số

20

2.3.3 Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng
2.4 Cấu trúc của bộ lọc FIR

27

2.4.1 Cấu trúc dạng trực tiếp


27

2.4.2 Cấu trúc dạng ghép tầng

28

2.4.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính
2.5 Kết luận chương

23

28

29

CHƯƠNG 3 BỘ LỌC SỐ IIR
3.1 Giới thiệu chương

31

31

3.2 Đặc tính của bộ lọc nguyên mẫu tương tự
3.2.1 Bộ lọc Butterworth

32

3.2.2 Bộ lọc Chebyshev

34


3.2.2.1 Bộ lọc Chebyshev loại I

32

35

3.2.2.2 Bộ lọc Chebyshev loại II 36
3.2.3 Bộ lọc Elliptic

37

3.3 Các phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự
3.3.1 Nguyên tắc

38

38

3.3.2 Phương pháp bất biến xung (Impulse invariance) 39
3.3.3 Phương pháp biến đổi song tuyến tính (Bilinear transformation )

41

3.3.4 Phương pháp tương đương vi phân (Approximation of derivatives )

43

3.3.5 Phương pháp biến đổi z tương thích (Matched-z transformation)


44

3.4 Biến đổi băng tần

45

3.5 Cấu trúc bộ lọc số IIR 48


3.5.1 Cấu trúc bộ lọc số IIR dạng trực tiếp

48

3.5.2 Cấu trúc bộ lọc số IIR dạng ghép tầng

50

3.5.3 Cấu trúc bộ lọc số IIR dạng song song

51

3.6 Kết luận chương

52

CHƯƠNG 4 TÍNH TOÁN THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ THÔNG DẢI CÓ
DẢI THÔNG 800KHZ – 1200KHZ
4.1 Giới thiệu chương

54


54

4.2 Thiết kế bộ lọc số FIR 54
4.2.1 Tính toán thiết kế

54

4.2.1.1 Phương pháp cửa sổ

54

4.2.1.2 Phương pháp lấy mẫu tần số
4.2.2 Phần mô phỏng

56

56

4.2.2.1 Lưu đồ thuật toán 57
4.2.2.2 Kết quả mô phỏng 59
4.3 Thiết kế bộ lọc số IIR 63
4.3.1 Tính toán thiết kế

63

4.3.1.1 Sử dụng bộ lọc Butterworth

64


4.3.1.2 Sử dụng bộ lọc Chebyshev1

66

4.3.1.3 Sử dụng bộ lọc Chebyshev2

68

4.3.2 Kết quả mô phỏng

71

4.4 Kết luận chương

76

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI
TÀI LIỆU THAM KHẢO 78
PHỤ LỤC

79

77



CÁC TỪ VIẾT TẮT

ADC
BPF

BSF
DAC
DFT
DSP
FIR
HPF
IDFT
IIR
LHP
LPF

Analog Digital Converter
Band Pass Filter
Band Stop Filter
Digital Analog Converter
Discrete Fourier Transform
Digital Signal Processing
Finite Impulse Response

Chuyển đổi tương tự sang số
Bộ lọc thông dải
Bộ lọc chắn dải
Chuyển đổi số sang tương tự
Biến đổi Fourier rời rạc
Xử lý tín hiệu số
Đáp ứng xung hữu hạn
High Pass Filter
Bộ lọc thông cao
Inverse Discrete Fourier Transform Biến đổi Fourier rời rạc ngược
Infinite Impulse Response

Đáp ứng xung vô hạn
Left Half Plane
Nửa mặt phẳng bên trái
Low Pass Filter
Bộ lọc thông thấp


LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay, chúng ta tiếp xúc với rất nhiều loại tín hiệu và dưới nhiều dạng khác nhau như: Âm thanh,
hình ảnh hay các tín hiệu thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển rađa, địa chất và khí tượng ... Bên cạnh
các tín hiệu có ích cũng luôn tồn tại các tín hiệu không cần thiết trong hoàn cảnh riêng nào đó, mà ta gọi
đó là nhiễu. Do vậy lĩnh vực xử lý tín hiệu mỗi ngày càng phát triển mạnh. Trong đó không thể không
nhắc tới vai trò của các bộ lọc, lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi,
biến dạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn. Sử dụng bộ lọc số ta có thể làm được rất nhiều
điều với tín hiệu số như: Loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu như nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa các kênh
truyền dẫn hoặc sai lệch trong đo lường, để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã được trộn
lẫn theo chủ định nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tín hiệu trong các thành
phần tần số của chúng, hay đơn giản nhất là lấy đi một phần phổ tín hiệu mà ta mong muốn. Xét về đáp
ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR và bộ lọc có
đáp ứng xung vô hạn IIR. Mỗi loại bộ lọc có những đặc điểm riêng và các phương pháp thiết kế khác
nhau. Trong khuôn khổ đồ án này em xin phép được trình bày về các phương pháp để thiết kế một bộ
lọc số thỏa mãn yêu cầu cho trước. Với mục tiêu xác định như trên, đồ án được chia thành 4 chương với
nội dung cơ bản như sau:
Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số.
Chương 2: Bộ lọc lọc số FIR
Chương 3: Bộ bộ lọc số IIR
Chương 4: Tính toán thiết kế và mô phỏng bộ lọc số có dải thông 800KHz -1400 KHz.
Trong quá trình làm đồ án không tránh khỏi những sai sót, em mong các thầy cô trong hội đồng góp ý để
em có thể hoàn thiện hơn trong những luận án sau này.



CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

1.1 Giới thiệu chương
Quá trình lọc tín hiệu nhằm tiến hành việc phân bố lại các thành phần tần số của tín hiệu. Quá trình này
được thực hiện thông qua các bộ lọc. Các bộ lọc được sử dụng nhằm hai mục đích sau:
- Phân tích tín hiệu được áp dụng khi tín hiệu mong muốn bị giao thoa với các tín hiệu khác hay nói
cách khác là bị các loại nhiễu tác động vào.
- Phục hồi tín hiệu: khi tín hiệu ta mong muốn hay cần đánh giá bị sai lệch đi bởi nhiều yếu tố của
môi trường tác động vào, làm cho nó bị biến dạng gây ảnh hưởng đến kết quả đánh giá.
Có hai kiểu bộ lọc chính:
- Bộ lọc tương tự là một mạch điện tử tương tự bao gồm: điện trở, tụ điện, bộ khuyếch đại thuật
toán, ghép với nhau theo một sơ đồ cụ thể.
- Bộ lọc số thường dùng một chip DSP để xử lý, thậm chí là máy tính, tuy nhiên trước khi có thể xử lý
tín hiệu thì tín hiệu phải đi qua bộ ADC, và sau khi xử lý xong thì đi qua bộ DAC.
Ưu điểm của bộ lọc tương tự là giá thành rẻ, tác động nhanh, dải động (Dynamic Range) về biên độ và
tần số đều rộng.
Tuy nhiên các bộ lọc số thì có ưu điểm vượi trội hơn hẳn so với lọc tương tự:
-

Bộ lọc số thì có khả năng lập trình được, còn một bộ lọc tương tự muốn thay đổi cấu trúc phải thiết kế lại

-

bộ lọc
- Các bộ lọc số dễ dàng thiết kế, dễ kiểm tra và dễ thi hành trên một máy tính.
Bộ lọc tương tự thường nhạy cảm với sự thay đổi của nhiệt độ, độ ẩm... phụ thuộc lớn vào sai số của các


-

linh kiện. Các bộ lọc số thì không gặp phải vấn đề này, và rất ổn định với cả thời gian và nhiệt độ.
Các bộ lọc số linh hoạt hơn nhiều trong xử lý tín hiệu, với nhiều cách khác nhau hay chính là khả năng

-

thích nghi tốt hơn so với bộ lọc tương tự.
Các bộ xử lý DSP nhanh có thể xử lý các tổ hợp phức tạp, phần cứng lại tương đối đơn giản, và có mật độ
tích hợp cao.
1.2 Tổng quan về bộ lọc số
Các quá trình hoạt động của một bộ lọc số thể hiện như hình dưới:

ADC
Tín hiệu tương tự chưa được lọc
Tín hiệu số được lấy mẫu

Bộ xử lý

DAC
Số hóa tín hiệu đã lọc Tín hiệu tương tự đã được lọc


Hình 1.1: Quá trình hoạt động của bộ lọc số
Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Đặc trưng bởi một đáp ứng xung và một đáp
ứng tần số. Mỗi đáp ứng đều chứa đầy đủ thông tin về bộ lọc nhưng ở dạng khác nhau. Nếu có được
một trong hai đáp ứng thì có thể suy ra đáp ứng kia bằng cách tính toán trực tiếp. Đáp ứng xung là đầu
ra của hệ thống khi đầu vào là xung đơn vị. Còn đáp ứng tần số là từ phép biến đồi Fourier của đáp ứng
xung.


Hình 1.2: Đáp ứng xung của hệ thống

Hình 1.3: Đáp ứng tần số của hệ thống
1.2.1 Hàm truyền đạt
Trong miền thời gian, một hệ thống LTI được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) của nó. Với tín hiệu vào
x(n) cho trước, đáp ứng của hệ thống được tính bằng phép chập:

Hoặc bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:


Trong miền z, phép chập được chuyển thành phép nhân. Qua biến đổi z công thức (1.1) trở thành:

Với X(z) là biến đổi z của tín hiệu vào x(n).
H(z) là hàm truyền đạt của hệ thống.

Biến đổi z hai phía đối với phương trình sai phân (1.2):

Suy ra:

Nếu a0 = 1, ta được:

Điều kiện để hệ thống ổn định:
Trong miền thời gian rời rạc n:

Trong miền z:
Một hệ thống LTI nhân quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các điểm cực của hàm truyền đạt H(z) phải
nằm bên trong đường tròn đơn vị.
Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính: Bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn
FIR (Finite Impulse Response) còn gọi là bộ lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR
(Infinte Impulse Response) còn gọi là bộ lọc đệ quy.

Bộ loc đáp ứng xung hữu hạn FIR:
Nếu các hệ số trong phương trình (1.6) bằng 0, ta có phương trình sai phân sẽ có dạng:
Theo (1.8):
Hệ thống FIR có thể có chính xác pha tuyến tính. Do đó thường rất hữu ích trong các ứng dụng xử lý
tiếng nói khi yêu cầu xác định thứ tự thời gian là cần thiết.


Các phương pháp thường được sử dụng để thiết kế bộ lọc số FIR là: phương pháp cửa sổ, phương pháp
lấy mẫu tần số và phương pháp xấp xỉ tối ưu.
Bộ lọc đáp ứng xung vô hạn IIR
Hệ thống IIR bao gồm cả điểm không và điểm cực, phương trình sai phân (1.2) có thể được viết lại như
sau:

Hệ thống IIR có đáp ứng xung chiều dài vô hạn nhưng do công thức truy hồi (1.9) nên nó sử dụng ít phép
tính hơn so với khi thiết kế hệ thông FIR.
Sự khác nhau nữa là hệ thống IIR không thể có pha tuyến tính chính xác như hệ thống FIR. Phương pháp
thiết kế chung nhất là dựa trên những biến đổi thiết kế tương tự.
1.2.2 Đặc tuyến tần số
Việc thiết kế bộ lọc thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc số lý tưởng. Chúng ta sẽ nghiên cứu 4 bộ lọc số
lý tưởng tiêu biểu là:
- Bộ lọc số thông thấp lý tưởng.
- Bộ lọc số thông cao lý tưởng.
- Bộ lọc số thông dải lý tưởng.
- Bộ lọc số chắn dải lý tưởng.

1.2.2.1 Bộ lọc lý tưởng
Bộ lọc thông thấp lý tưởng:

ωc


Tần số cắt
Dải chặn
Dải thông

1

-π

-ωc

0

ωc

π

ω


Hình 1. 4: Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng.[1]

Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha 0.
Bộ lọc thông cao lý tưởng:
ωc

Tần số cắt
Dải chặn
Dải thông

1


-π

-ωc
0
ωc
ω
π
Hình 1. 5: Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng.[1]

Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng pha 0.
Bộ lọc thông dải lý tưởng:
ωc1, ωc2

Tần số cắt
Dải chặn
Dải thông

1

-π

Hình 1.6: Đáp
ωc1dải lý tưởng
ωc2 [1] π
-ωc2
-ωc1ứng biên độ của0 bộ lọc thông

ω



Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông dải lý tưởng pha 0.
Bộ lọc chắn dải lý tưởng:
ωc1, ωc2

Tần số cắt
Dải chặn
Dải thông

1

-π

Hình
ứng biên độ của bộ
dải lý tưởng
[1]
ωc2
-ωc21. 7: Đáp
-ωc1
0 lọc chắn ωc1

Đáp ứng xung h(n) của bộ lọc chắn dải lý tưởng pha 0.
1.2.2.2 Bộ lọc thực tế
Xét một bộ lọc số thông thấp làm ví dụ:

Hình 1. 8: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp thực tế [1]
Có 4 tham số quyết định đến chỉ tiêu của bộ lọc số:
-


Tần số giới hạn dải thông .
Tần số giới hạn dải chắn .

π

ω


- Độ gợn sóng dải thông .
- Độ gợn sóng dải chắn .
Về mặt lý tưởng các độ gợn sóng trong dải thông và dải chặn cảng nhỏ càng tốt, tần số giới hạn dải thông
và dải chặn gần nhau để cho dải quá dộ càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên trong thực tế thì các tham số này
nghịch nhau, để độ gợn nhỏ thì dải quá dộ phải lớn nên tùy theo yêu cầu của từng trường hợp cụ thể ta
lựa chọn cách thiết kế phù hợp.
1.3 Các bước để thiết kế một bộ lọc số [7]
Việc thiết kế một bộ lọc số tiến hành theo 3 bước:
- Đưa ra các chỉ tiêu (Specifications): Để thiết kế một bộ lọc, đầu tiên chúng ta cần xác định các
chỉ tiêu. Các chỉ tiêu được xác định theo yêu cầu của người dùng.
- Tìm các xấp xỉ (Appproximations): Một khi chỉ tiêu đã được xác định, sử dụng các khái niệm và
công cụ toán học khác nhau để tiến tới biểu diễn và tính gần đúng cho bộ lọc với tập các chỉ tiêu đã cho.
Bước này là chủ đề chính của việc thiết kế lọc số.
- Thực hiện bộ lọc (Implementation): Kết quả của các bước trên được mô tả dưới dạng một
phương trình sai phân, hoặc một hàm hệ thống H(z), hoặc một đáp ứng xung h(n). Từ các mô tả này
chúng ta có thể thi hành bộ lọc bằng phần cứng hoặc phần mềm mô phỏng trên máy tính.
Với bộ lọc FIR có thể đạt được chính xác yêu cầu về pha tuyến tính. Còn bộ lọc IIR, một dải thông có pha
tuyến tính là rất khó đạt. Do đó, chúng ta chỉ xét các chỉ tiêu về biên độ.


Hình 1.9: Các chỉ tiêu bộ lọc số (a) tuyệt đối (b) tương đối [7]
Có 2 loại chỉ tiêu:

- Các chỉ tiêu tuyệt đối bao gồm: .
- Các chỉ tiêu tương đối bao gồm: Rp là độ gợn sóng trong dải thông tính theo dB và As là suy hao trong
dải chắn tính theo dB.
Mối quan hệ giữa hai loại chỉ tiêu:

R p = −20 log10

A s = −20 log10
1.4 Kết luận chương

1 − δ1
>0
1 + δ1

δ2
>0
1 + δ1

(1.14)
(≈0) trong dải thông
(1.15)
(>>1) trong dải chắn

Có hai kiểu lọc chính là lọc tương tự và lọc số. Các bộ lọc số được sử dụng rộng rãi trong thực tế nhờ
những ưu điểm vượt trội so với các bộ lọc tương tự như:
• Một bộ lọc số có thể được lập trình nên trở nên linh hoạt và dễ sửa đổi thông số
• Rất ổn định với cả thời gian và nhiệt độ.
• Các bộ lọc số linh hoạt hơn nhiều trong xử lý tín hiệu, với nhiều cách khác nhau hay chính là
khả năng thích nghi tốt hơn so với bộ lọc tương tự.
• Các bộ xử lý DSP nhanh có thể xử lý các tổ hợp phức tạp, phần cứng lại tương đối đơn giản, và

có mật độ tích hợp cao.
Bộ lọc số có hai chức năng chính là phân tích tín hiệu và phục hồi tín hiệu.
Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn
FIR (Finite Impulse Response) và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response).
Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc thành 4 loại cơ bản: Thông thấp, thông cao, thông
dải và chắn dải.
Việc thiết kế bộ lọc thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc số lý tưởng. Có 4 loại chỉ số tuyệt đối là và 2
loại chỉ số tương đối là .


CHƯƠNG 2

BỘ LỌC SỐ FIR

2.1 Giới thiệu chương
FIR (Finite Impulse Response) là bộ lọc số đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn. Ngoài ra bộ
lọc số FIR còn thích hợp với các bộ lọc yêu cầu pha tuyến tính. Ưu điểm của đáp ứng pha tuyến tính là:
-

Bài toán thiết kế chỉ bao gồm các phép tính thực, không có các phép tính phức dẫn tới việc tính toán trở

-

nên đơn giản hơn.
Bộ lọc pha tuyến tính không có méo trễ nhóm và chỉ bị trễ một khoảng không đổi.
Có 3 phương pháp thường được sử dụng để tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính:

-

- Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques).

- Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequnecy Sampling Design Techniques ).
Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques).
Mỗi phương pháp có những ưu điểm và khuyết điểm riêng. Chương này trình bày các đặc tính, phương
pháp thiết kế và cấu trúc của bộ lọc FIR.
2.2 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính
Cho h(n) với 0 ≤ n ≤ M-1 là đáp ứng xung có chiều dài M của bộ lọc FIR ta có hàm truyền hệ thống là:

H ( z) =

M −1

∑ h( n) z

−n

n =0

(2.1)

Đáp ứng tần số có dạng:

H ( e jω ) =

M −1

∑ h ( n )e

− jωn

n =0


(2.2)

Do bộ lọc FIR có pha tuyến tính nên ta giả sử pha có dạng phương trình tuyến tính như sau :

∠H (e jω ) = β − αω , − π ≤ ω ≤ π

.

2.2.1 Đáp ứng xung h(n)
- Trường hợp 1:

β = 0 ⇒ ∠H (e jω ) = −αω , − π ≤ ω ≤ π

Để pha tuyến tính thì h(n) phải đối xứng:

h(n) = h( M − 1 − n), 0 ≤ n ≤ M − 1, α =

M −1
2

(2.3)


Có hai kiểu đối xứng tùy thuộc vào M:

- M lẻ: khi đó

α=


α

là một số nguyên. Đáp ứng xung đối xứng qua điểm

- M chẵn, khi đó

α Hình 2.1 Đáp ứng xung đối xứng qua điểm

M −1
2

.

M −1
2

, M lẻ
không là một số nguyên đáp ứng xung đối xứng như hình dưới:

Hình 2.2 Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn

- Trường hợp 2:

β ≠ 0 ⇒ ∠H (e jω ) = β − αω , − π ≤ ω ≤ π

Đáp ứng pha là một đường thẳng không đi qua gôc tọa độ. Khi này ta có h(n) phản đối xứng :

h (n ) = −h (M − 1 − n ), 0 ≤ n ≤ M − 1

α=

và

M −1
π
,β =±
2
2

(2.4)

Như trên ta có hai kiểu phản đối xứng phụ thuộc vào M:

- M lẻ: Trong trường hợp này,

α

α=
nguyên. Đáp ứng xung phản đối xứng qua

M −1
2

.


α=

α=
Tại


M −1
2

- M chẵn ,

α

Hình 2.3 Đáp ứng xung phản đối xứng qua
, giá trị của h(

α

M −1
2

, M lẻ

)=0.

không nguyên, đáp ứng xung phản đối xứng như hình dưới:

2.2.2 Đáp ứng tần số H(ejω)

Hình 2.4 Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn

Ta có thể chia thành 4 loại bộ lọc FIR pha tuyến tính theo cấu trúc phản đối xứng và đối xứng, M chẵn
hay M lẻ.
Đáp ứng tần số của một bộ lọc FIR có pha tuyến tính nói chung :

π

M −1
H(e jω ) = H r (e jω )e j(β−αω) ; β = ± , α =
2
2

(2.5)


- Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp

h( n ) = h( M − 1 − n ) β = 0
,

α=

, M lẻ,

M −1
2

ứng

xung

đối

xứng,

là một số nguyên.


( M −1) / 2
H(e jω ) =  ∑ a ( n ) cos ωn  e − jω( M −1) / 2
 n =0


(2.6) Với a(n) được tính

theo công thức:

 M −1
a ( 0) = h

 2 

; mẫu ở chính giữa

(2.7)

 M −1

a ( n ) = 2h 
− n 1≤ n ≤ M −3
 2

2
;

(2.8)

- Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng


h( n ) = h( M − 1 − n ) β = 0
,

α=

, M chẵn,

M −1
2

không phải số nguyên.

M / 2
1  
 
H(e jω ) =  ∑ b( n ) cosω n −   e − jω( M −1) / 2
2  
 
 n =1

Với

M

b( n ) = 2 h  − n 
 2

M /2


Lưu ý : Tại

ω=π

thì Hr(ejω) =

n = 1,2,...,
với

 

M
2

cho việc thiết kế bộ lọc thông cao hoặc chắn dải.

(2.10)

1 

∑ b( n) cosπ  n − 2  = 0
n =1

(2.9)

. Như vậy bộ lọc FIR loại 2 không thích hợp


- Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-3 (Type 3):


β =±

π
2

α=
, M lẻ,

M −1
2

Đáp ứng xung phản đối xứng,

là một số nguyên và

 π  M −1  
 ω
2  

 M −1 
c( n ) = 2 h 
− n
 2


Lưu ý: Tại

ω=0

và


ω=π

n = 1,2,...,
với

(2.11)

M
2

(2.12)

thì Hr =0. Vậy bộ lọc FIR loại 3 không thích hợp cho việc thiết kế bộ lọc thông

thấp, thông cao và cả chắn dải.
- Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-4 (Type 4):

β =±

π
2

α=
, M chẵn,

M −1
2

Đáp ứng xung phản đối xứng,


h( n ) = − h( M − 1 − n )

 π  M −1  
ω
2  

M / 2
1   j  − 
 
H (e ) =  ∑ d ( n ) sin ω n −  e  2 
2  
 
 n =1

M

d ( n ) = 2h  − n 
2


 

,

không phải biến nguyên.

jω

M /2


,

 M −1
h
=0
 2 

j  −
( M −1) / 2
H(e ) =  ∑ c( n ) sin ωn  e  2 
 n =0

jω

Với

h( n ) = − h( M − 1 − n )

n = 1,2,...,
với

M
2

(2.13) Với

(2.14) Lưu ý: Tại

ω=0


thì Hr(ejω) =

1 

∑ d ( n) sin 0 n − 2  = 0
n =1

. Vậy bộ lọc FIR loại 4 không thích hợp cho việc thiết kế bộ lọc thông thấp và

cả chắn dải.
Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính
đã nêu:
Type
FIR Type 1

LPF


HPF


BPF


SBF






FIR Type 2




FIR Type 3


FIR Type 4



Bảng 1: Khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc số [7]
2.3 Các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR có pha tuyến tính
2.3.1 Phương pháp cửa sổ
Ý tưởng của phương pháp này là cắt (nhân với hàm cửa sổ) đáp ứng xung bộ lọc lý tưởng (vô hạn, không
nhân quả) để thu được đáp ứng xung bộ lọc FIR có pha tuyến tính, nhân quả. Do vậy việc quan trọng là
tìm ra đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng và lựa chọn hàm cửa sổ thích hợp.
Xét ví dụ với bộ lọc thông thấp.
Đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng với tần số ωc < π:
(2.15)
Đáp ứng xung lý tưởng của bộ lọc này có dạng:

[

]

hd (n) = F −1 H d (e jω ) =


sin[ω c (n − α )]
π (n − α )

(2.16)

Ta thấy hd(n) đối xứng theo α , có độ dài vô hạn và không nhân quả. Để có đáp ứng xung của bộ lọc FIR

thực tế, ta nhân đáp ứng xung của bộ lọc lý tửng

hd (n)

với một hàm cửa sổ w(n), với w(n) là một hàm

α

đối xứng đối theo nằm trong khoảng từ 0 đến M-1 và bằng 0 trong các khoảng còn lại.
Kết quả thu được là đáp ứng xung của bộ lọc thực tế h(n) đối xứng hoặc phản đối xứng với α=(M-1)/2
trong khoảng [0,M-1].

h(n) = hd(n).w(n)

(2.17)

Trong miền tần số, đáp ứng tần số của bộ lọc FIR nhân quả H(ejw) là tích chập vòng của đáp ứng tần số bộ
lọc lý tưởng Hd(ejw) và đáp ứng tần số của hàm cửa sổ W(ejw).
H(ejw) = Hd(ejw) ⊗ W(ejw)
Hình 2.5 biểu diễn phương pháp cửa sổ trong miền tần số:

(2.18)



Hình 2.5 Quá trình thực hiện phương pháp cửa sổ [7]

Nhận xét:
-

Do cửa sổ w(n) có chiều dài M hữu hạn nên đáp ứng tần số của nó có một búp chính độ rộng tỷ lệ với

-

1/M và các búp phụ hai bên có biên độ nhỏ hơn.
Tích chập tuần hoàn tạo ra đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế H(ejw) giống với dạng của đáp ứng tần số

-

của bộ lọc lý tưởng Hd(ejw) nhưng bị méo đi .
Búp chính tạo ra một dải chuyển tiếp trong H(ejw) , độ rộng của búp chính có quan hệ với độ rộng của dải

-

chuyển tiếp, búp chính càng lớn thì dải chuyển tiếp càng lớn.
Các búp phụ tạo ra gợn sóng có hình dạng như nhau ở cả dải thông và dài chắn.
Một số loại cửa sổ thường sử dụng:
2.3.1.1 Cửa sổ chữ nhật
(2.19)
2.3.1.2 Cửa sổ tam giác

w(n) =

2n

M-1
2 -2n
M-1
0

0 ≤ n ≤ M-1
2
≤n≤M-1
M-1
2
Các trường hợp khác

(2.20)

2.3.1.3 Cửa sổ Hanning
(2.21)
2.3.1.4 Cửa sổ Hamming


(2.22)

2.3.1.5 Cửa sổ Blackman

(2.23)
Dưới đây là bảng tổng kết các thông số về độ rộng dải chuyển tiếp và độ suy giảm dải chắn tối thiểu đối
với từng loại cửa sổ.
Tên cửa sổ

Độ rộng dải chuyển tiếp
Xấp xỉ

Chính xác

Chữ nhật
Bartlett
Hanning
Hamming
Blackman

Độ suy giảm dải
chắn tối thiểu
21dB
25dB
44dB
53dB
74dB

Bảng 2 : Các thông số về độ rộng dải chuyển tiếp và độ suy giảm cải chắn tối thiểu của từng cửa sổ [7]
2.3.1.6 Cửa sổ Kaiser
Để đạt được độ suy giảm dải chắn như mong muốn, cần tìm một loại của sổ phù hợp. Đối với các loại
cửa sổ đã nêu trên, hàm cửa sổ có biên độ búp phụ càng thấp thì độ rông búp chính lại tăng dẫn tới dải
chuyển tiếp bị nới rộng. Như vậy phải tăng bậc bộ lọc để giải quyết yêu cầu bài toán.
Cửa sổ Kaiser có thông số β có thể điều chỉnh được do đó có thể điều chỉnh được độ rộng của búp phụ
so với đỉnh của búp sóng chính. Tương tự với các hàm cửa sổ khác, độ rộng búp chính có thể thay đổi
nhờ việc điều chỉnh chiều dài cửa sổ do vậy điều chỉnh được độ rộng dải chuyển tiếp. Với các đặc điểm
đã nêu các bộ lọc số được thiết kế rất có hiệu quả khi sử dụng cửa sổ Kaiser.
Hàm cửa sổ được cho dưới dạng:


2n  2 


I 0  β 1 − 1 −
 
 M − 1  

w(n) =
I 0[ β ]

(2.24)

, với 0≤ n ≤ M-1
Trong đó: I0[.] là hàm Bessel bậc không được hiệu chỉnh
β là tham số phụ thuộc vào bậc bộ lọc M.
Các bước thiết kế một bộ lọc thông thấp sử dụng cửa sổ Kaiser:
-

Cho trước các chỉ tiêu thiết kế của bộ lọc thông thấp: ωs, ωp, As, Rp

∆f =
-

Độ rộng dải chuyển tiếp :

M=
-

Bậc của bộ lọc:
Tính tham số β:

ωs − ω p
2π


A s − 7.95
+1
14.36∆f

0.1102(As - 8.7) ,

nếu As 50

0.5842 (As - 21)0.4 + 0.07886(As – 21) , nếu 21 < As < 50

(2.25)

(2.26)


β=

(2.27)

2.3.2 Phương pháp lấy mẫu tần số
Cho h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR có chiều dài M, H(k) là biến đổi Fourier rời rạc với M điểm và
H(z) là hàm truyền của hệ thống. Ta có:
Đáp ứng tần số được xác định bằng công thức:
Với:
Mặt khác bộ lọc FIR pha tuyến tính nên ta có:
H(k) được viết lại:
Trong đó:
Với bộ lọc FIR loại 1 và 2:
Với bộ lọc FIR loại 3 và 4:

Đáp ứng xung h(n) tìm được:
Ý tưởng cơ bản: Cho bộ lọc thông thấp lý tưởng Hd(ejω) có chiều dài M, lấy mẫu Hd(ejω) ở M điểm cách
đều nhau trong khoảng [0 : 2π]. Đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế H(ejω) được nội suy từ các mẫu H(k)
theo phương trình (2.30). Đáp ứng xung của bộ lọc thực tế h(n) tính theo (2.35). Các bước tương tự tiến
hành cho các bộ lọc chọn tần loại khác.

Hình 2.6 Hình ảnh lấy mẫu và nội suy thành đáp ứng thực tế [7]
-

Nhận xét:
Lỗi xấp xỉ là sự sai khác giữa đáp ứng lý tưởng và thực tế bằng không tại các tần số được lấy mẫu.
Lỗi xấp xỉ tại các tần số khác nhau phụ thuộc vào mức độ dốc hay độ biến đổi đột ngột tại tần số đó hay
phụ thuộc vào hình dạng của đáp ứng tần số lý tưởng.


-

Tại tần số có đáp ứng càng dốc, ví dụ gần biên của dải thông hay dải chắn, thì có hàm sai số xấp xỉ càng
lớn.
Có 2 phương pháp thiết kế:
Phương pháp thiết kế đơn giản: Sử dụng ý tưởng cơ bản và không đưa ra ràng buộc nào về lỗi xấp xỉ,
nghĩa là chấp nhận lỗi này sinh ra do thiết kế. Phương pháp này ít được sử dung trong thực tế.
Phương pháp thiết kế tối ưu: Cố gắng tối thiểu hóa lỗi trong dải chắn bằng cách thay đổi các giá trị của
mẫu trong dải chuyển tiếp. Trong phương pháp này chúng ta phải tăng M để tạo ra các mẫu tự do trong
dải chuyển tiếp có thể nhận giá trị trung gian giữa 0 và 1. Số mẫu ở dải chuyển tiếp là không lớn, chỉ cần
từ 1 đến 2 mẫu là đủ vì trong thực tế dải chuyển tiếp là rất nhỏ so với dải thông và dải chắn. Thay đổi
các giá trị chuyển tiếp quá độ có thể cho kết quả tốt hơn, hay nói một cách khác có thể thu được hệ số
suy giảm lớn nhất đối với M và độ rộng dải chuyển tiếp đã cho. Bài toán đặt ra ở đây là việc phải tìm cách
tối ưu hóa giá trị tại 1 và 2 mẫu đó để đạt được độ suy giảm dải chắn tối thiểu lớn nhất.


2.3.3 Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng
Ý tưởng của phương pháp này là xuất phát từ một dãy có chiều dài M cho trước, sử dụng thuật toán
Remez để tìm ra dãy đáp ứng xung sao cho cực đại của hàm sai số giữa đáp ứng tần số của bộ lọc lý
tưởng và đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế là nhỏ nhất. Nếu đáp ứng tần số của dãy đáp ứng xung tìm
được nói trên vẫn chưa thoả mãn điều kiện yêu cầu của thiết kế, tăng giá trị M. Quá trình này được lặp
đi lặp lại đến khi tìm ra được bộ lọc thoả mãn các yêu cầu đã được đặt ra.
Trong phần 2.2.2 đáp ứng tần số của 4 loại bộ lọc FIR pha tuyến tính có thể được viết lại như sau:
Các giá trị của β và Hr(ω) được cho trong bảng dưới đây:
Loại bộ lọc
FIR loại 1
FIR loại 2
FIR loại 3
FIR loại 4

β

Bảng 3: Giá trị của β và Hr(ω) cho từng loại bộ lọc FIR pha tuyến tính. [7]
Biểu thức Hr(ω) trong 4 trường hợp có thể được viết lại dưới dạng tổng quát sau:
Với P(ω) tính bằng:
Bảng sau đây đưa ra giá trị L, các hàm P(ω) và Q(ω) cho 4 loại bộ lọc:


Loại bộ lọc
FIR loại 1
FIR loại 2
FIR loại 3
FIR loại 4

Q(ω)
1

cos
sin ω
s

L

P(ω)

Bảng 4: Giá trị L, các hàm P(ω) và Q(ω) cho 4 loại bộ lọc [7]
Gọi Hdr(ω) là hàm độ lớn của đáp ứng tần số mong muốn, W(ω) là hàm trọng số có tác dụng trải đều sai
số giữa bộ lọc thực tế lý tưởng trên cả dải thông và dải chắn. Hàm sai số giữa bộ lọc thực tế và bộ lọc lý
tưởng được xây dựng như sau:
Hàm E(ω) có miền xác định chỉ là phần dải thông và dải chắn, mà không xác định tại dải chuyển tiếp.
Nếu ta lựa chọn hàm trọng số được tính bằng biểu thức sau:
Với δ1 và δ2 lần lượt là độ gợn sóng của dải thông và dải chắn.
Thì hàm sai số ở cả dải thông và dải chắn đều không vượt quá δ 2. Điều này có nghĩa nếu như ta tối thiểu
hoá cực đại của hàm sai số E(ω) là δ 2 ta tự động có luôn cực đại của sai số giữa bộ lọc thực tế và bộ lọc lý
tưởng ở dải chắn là δ2 và ở dải thông là δ1.
Theo (2.38) và (2.40):

Nếu định nghĩa các hàm trọng số biến dạng và hàm độ lớn của đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng biến dạng
là:
(ω) = W(ω) Q(ω)
Và
Thì hàm sai số của cả 4 loại bộ lọc có cùng dạng chung:
Bài toán Chebyshev: Tìm các hệ số a(n) hoặc (n) hoặc (n) hoặc (n) nhằm tối thiểu hoá cực đại của trị
tuyệt đối hàm sai số trên dải thông và dải chắn. Hay:
min
Trong tập các hệ số


[max|E(ω)|]
ω∈S

(2.43)