SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán
Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài I. (2,0 điểm).
1) Tính giá trị biểu thức : khi x = 9.
x +1
2) Cho biểu thức với .
2 >= 0; xx −≠111  x + 1
 x − xA
P=
+ x + 1 ÷.
a) Chứng minh .
 x + 2 P2x= x +x5+ 2  x − 1
b) Tìm giá trị của x để 2P = .
x
Bài II. (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập
phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân
xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày.
Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III. (2,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường
thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y
= x2.
a) Tìm tọa độ các giao điểm của
(d) và (P).
b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.
Bài IV. (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M
khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P.
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm
của BP và ME // NF.
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ
giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Bài V. (0,5 điểm).
 4
x+ y +


 1 −
 x + y

1
=5
y −1
2
= −1
y −1


Với a, b, c là các số dương Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab .
thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
--------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:............................................................
Giám thị 1 (Họ tên và ký).....................................Giám thị 2 (Họ tên và ký)........................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán
Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2014
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I. (2,0 điểm).


1) Tính giá trị biểu thức : khi x = 9.
x +1
2) Cho biểu thức với .
2 >= 0; xx −≠111  x + 1
 x − xA
P=
+ x + 1 ÷.
a) Chứng minh .
 x + 2 P2x= x +x5+ 2  x − 1
b) Tìm giá trị của x để 2P = .


x

Bài 1
Bài 1.1
(0,5 điểm)

Với x = 9 thì

Bài 1.2.
(1,5 điểm)
b) - Với ta có:
- Để 2P = nên

Hướng dẫn giải

Điểm

x > 0; xx +
≠ 11
P22= xx++15
x=
x
2 x + 3 x − 2 = 0 - Đưa về được phương trình

0, 25

3 +1 4
0, 5
x = 9 =3⇒ A=
= =2

3 −1 2
x + 1 a) Chứng minh .
P=
- Với ta có
x > 0; x ≠ 1
x

 x +1
x−2
x
P = 
+
÷.
x0,( 25x + 2) ÷
 x ( x + 2)
 x −1
0, 25
x+ x −2
x +1
P=
.
( x x−(1)(xx ++x 2)
1+ 2) x −x1+ 1 =
P=
.
- Vậy vớita có .
0, 25
x > 0; xx +
≠ 11
x( x +

x 2)
x −1
P=
x

0, 25
Tính
được
thỏa
mãn
> loai
0; x)≠ 1
 x = x−2(
1 điều kiện
0, 25

⇔ x = - vậy với x = 1/4 thì 2P
1
 x=
2 x +5
4
=

2
Bài II. (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân
xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày.
Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài 2


Bài 2
(2,0 điểm)

Hướng dẫn giải

(2,0 điểm)

- Gọi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo là x ( sản
phẩm; đk x nguyên dương)
Khi đó trên thực tế mỗi ngày phân xưởng làm được số sản phẩm là x + 5
(sp)
- Số ngày làm theo kế hoạch là: 1100 ngày
Số ngày làm trên thực tế là: ngày 1100
x

+5
Vì thời gian thực tế ít
1100 x 1100
−
= 2 kế hoạch 2 ngày , ta có
x
x+5
phương trình:

x1 = −55; x2 = 50 + Giải phương trình tìm
được

0, 5

0,5

0,25
0,5

055 Vì nên thỏa mãn điều kiện của
xx21x==>−50
ẩn, không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng làm được 50 sp.

0,25


Bài III. (2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
1
 4
+
=5
2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường 
x + y y −1

2
thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x .


 1 − 2 = −1
 x + y y − 1

a) Tìm tọa độ các giao điểm của
(d) và (P).
b) Gọi A, B là giao điểm của (d)


và (P). Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 3

Hướng dẫn giải

Giải hệ phương trình đk
 4 x ≠ y;1y ≠ 1.
+
=
5(1)
 x + y y −1

- Lấy (1) trừ từng vế
9 
=9⇔
4 y − 18= 1 ⇔ y = 2(tm) cho (2) ta được:

y −1
−
= −4(2)
- Thay y = 2 vào (1)
 x + y y − 1

Bài 3.1
(1,0 điểm)

ta tính được x = -1
Vậy hệ pt có nghiệm là (x; y) = ( - 1; 2 )


 x = 2 a) - Xét phương
trình hoành độ
 x = −3 giao điểm:

Bài 3.2.
(1,0 điểm)

x 2 = -x + 6 ⇔ x 2 + x - 6 = 0 ⇔ 

 x = 2 ⇒ y = 4 - Chỉ ra:
 x = −3 ⇒ y = 9 - Kết luận: A(2;4) và B(-3;9)


Điểm
0,25
0, 5
0,25

0, 25
0, 25

- b) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.
0, 25
S∆ OAB = SAA 'B'B − S∆OAA ' − S∆OBB' Ta có
Ta có A’B’ = , AA’ =, x − x = xy −
94A ' = 5
A
B =x
B'
A'

B'
BB’ =
Diện

tích
thang
(đvdt)
(đvdt); (đvdt)

hình AA '+ BB' S
9+4
65
'B'B
=
.AAA
'B'
=
.5 =
:

⇒ S∆ OAB
(đvdt)
- Kết luận

2

2

2


11 S∆OAA
27
OBB''
== AB'
' A.A
B.B'O
'O == 4 65 27


= SAA 'B'B − 2S2∆OAA ' − S∆OBB' =2 −  + 4 ÷ = 15
2  2


0, 25


Bài IV. (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M
khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P.
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm
của BP và ME // NF.
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ
giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
.Bài 4
Hướng dẫn giải
(3,5 điểm)
Hình vẽ:
P

N
F

O

A

B

0,25

M
E

1
(0,75 điểm)

- Tứ giác AMBN có 4 góc vuông, vì là 4 góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn (O;R)

0,75
Q

Ta có (cùng chắn cung AM của
·
·
ANM
= ABM
(O;R) )


2
(1 điểm)

3
(1,0 điểm)

- Chỉ ra (cùng phụ với góc MAB) ABM
·
·
= AQB

0,25
0,25

·
·
ANM
= AQB

0,25

- Vì nên MNPQ nối tiếp (do ANM
·
·
= AQB
có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc
trong đối diện ) .

0,25


*/ Chứng minh: F là trung điểm của BP.
- Chỉ ra OE là đường trung bình của tam giác ABQ.
. - Chứng minh được OF // AP nên OF là đường trung bình của tam giác ABP

0,25

- Nên .

Suy ra F là trung điểm của BP.

0,25


*/ Chứng minh: ME // NF
Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF.
Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm của cạnh huyền BP.
·
ONF
= 900 Xét 2 tam giác NOF = OFB (c-c-c)
nên .
0
·
OME
= 90 Tương tự ta có nên ME // NF vì
cùng vuông góc với MN

0,25
0,25

= 2R.PQ − AM.AN

2R.(PB
+ BQ) − AM.AN - Ta thấy :
2SMNPQ ==2S
APQ − 2SAMN

0,25

⇒
BP
AB2AB
= BP.QB
=
QB BA

- Tam giác ABP

4
(0,5 điểm)

đồng dạng tam giác QBA suy ra

PB + BQ ≥ 2 PB.BQ = 2 (2R) 2 = 4R Nên áp dụng bất đẳng
thức Cosi ta có
2

0,25
AM 2 + AN 2 MN 2 - Ta có = 2R
AM.AN ≤
=
Do đó,. Suy ra 2S

SMNPQ
2R 2 =≥ 6R
3R 2
MNPQ ≥ 2R.4R −
2
2
Dấu bằng xảy ra khi AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc AB.
Bài V. (0,5 điểm).
Với a, b, c là các số dương Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab .
thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 5

Hướng dẫn giải

(0,5 điểm)

- Ta có
Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab
Mà (Do a + b +c
2a + bc = (a + b + c)a + bc
= 2)

(0,5 điểm)

= a 2 + ab + bc + ca
(a + b) + (a + c)
(Áp dụng bất đẳng = (a + b)(a + c) ≤
2

0,25


thức với 2 số dương
a+b và a+c)
Vậy ta có (1)
(a +2a
b) ++ bc
(a + c)
≤
Tương tự ta có :
2
(2)
(a +2b
b) +
+ ca
(b + c)
≤ (a + c) + (b + c)
(3)
2c +2 ab
0,25
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ⇒≤Q ≤ 2(a +2 b + c) = 4
Khi a = b = c = thì Q = 4
2
vậy giá trị lớn nhất của Q là 4.
3
Lưu ý khi chấm bài:
- Điểm toàn bài không được làm tròn.
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình
bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm.