Mục lục
Mục lục

1

Lời cảm ơn

3

Lời mở đầu

4

1

Một số kiến thức cơ bản về đại số Banach và lý thuyết phổ

6

1.1

Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Một số ví dụ về Đại số Banach . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Phổ và giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4


Một số tính chất của phổ của toán tử tuyến tính . .

11

1.2.5

Tích phân Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2

2

Ph-ơng trình hàm Cauchy và một số nửa nhóm

18

2.1

Ph-ơng trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Nửa nhóm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1



Môc lôc

2

2.3

Nöa nhãm c¸c to¸n tö liªn tôc ®Òu . . . . . . . . . . . . . . 28

3

Bµi to¸n Cauchy ®èi víi to¸n tö tuyÕn tÝnh kh«ng giíi néi

35

4 Nöa nhãm nh©n trªn C0 (Ω)

48

KÕt luËn

56

Tµi liÖu tham kh¶o

57

2



Lời cảm ơn
Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn tận tình, chu đáo của TS
. Đặng Anh Tuấn đồng thời cùng sự giúp đỡ và chỉ dậy quý báu của Thầy
PGS.TS Đặng Đình Châu mà tôi đã nhận đ-ợc trong suốt quá trình làm
luận văn. Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng biến ơn sâu sắc và kính trọng tới hai
Thầy. Mặc dù bận nhiều công việc nh-ng hai Thầy đã luôn bảo ban chỉ
dẫn tôi tận tình, đồng thời động viên tôi hoàn thiện đ-ợc luận văn này.
Tôi xin đ-ợc gửi lời cám ơn chân thành đến thầy Bảy. Ng-ời đã tận
tình chỉ ra cho tôi rất nhiều thiếu xót để tôi có thể sửa chữa, khắc phục
những sai sót và hoàn thành đ-ợc khoá luận này.
Tôi cũng xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học đã
giảng dạy và dìu dắt tôi trong 4 năm qua, để tôi có đ-ợc ngày hôm nay, có
thể hoàn thành khoá luận này.Và còn rất nhiều sự động viên từ gia đình,
bạn bè. Cám ơn tất cả mọi ng-ời!
Một lần nữa cho tôi đ-ợc gửi lòng biết ơn chân thành, sâu sắc của mình
đến tất cả!
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2009
Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh Thuý

3


Lời mở đầu

4

Lời mở đầu
Lý thuyết nửa nhóm một tham số của toán tử tuyến tính trên không gian
Banach bắt đầu xuất hiện từ nửa đầu của thế kỉ XX, và đạt đến cốt lõi
của nó vào năm 1948 với định lý sinh Hille-Yosida, và sau đó đạt tới đỉnh

đầu tiên của nó vào năm 1957 với sự xuất bản cuốn "Semigroups and funtional Analysis" của E. Hille và R. S. Philips. Vào những năm của thập
kỉ 70 và 80 thế kỉ XX, nhờ sự cố gắng nghiên cứu của nhiều trung tâm
nghiêm cứu, tr-ờng học khác nhau, lý thuyết nửa nhóm đ-ợc đạt tới một
trạng thái hoàn hảo, đ-ợc thể hiện rất tốt trong các chuyên khảo của E.
B. Davies[Dav80], J. A. Goldstein[Gol85], A. Dazy[Paz83], và còn của rất
nhiều nhà toán học khác. Nửa nhóm đã trở thành một công cụ quan trọng
trong ph-ơng trình vi tích phân và ph-ơng trình hàm vi phân, trong cơ
học l-ợng tử hoặc trong lýthuyết điều khiển vô hạn chiều. Ph-ơng pháp
nửa nhóm cũng đ-ợc ứng dụng với thành công lớn để cụ thể hoá các
ph-ơng trình,...,trong hệ động lực dân số hoặc trong lý thuyết vận tải.....
Trong khoá luận này, tôi xin trình bày về dùng ph-ơng pháp nửa nhóm
để nghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy.
Cấu trúc của khoá luận gồm 4 ch-ơng:

Ch-ơng 1: Một số kiến thức cơ bản về đại số Banach và lý thuyết phổ.
Trong phần này, trình bày cơ bản những định nghĩa, ví dụ, định lý, bổ
đề về các không gian tuyến tính, định chuẩn, Banach, đại số Banach
và lý thuyết phổ.
Ch-ơng 2: Ph-ơng trình hàm Cauchy và một số nửa nhóm.
4


Lời mở đầu

5

2.1 Ph-ơng trình hàm Cauchy.
2.2 Nửa nhóm ma trận.
2.3 Nửa nhóm các toán tử liên tục đều.
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số nửa nhóm, nghiệm

của bài toán Cauchy và từ tính chất của nửa nhóm ta suy ra tính chất
nghiệm của bài toán Cauchy.
Ch-ơng 3: Bài toán Cauchy đối với toán tử tuyến tính không giới nội.
Trong ch-ơng tr-ớc, ta đã nghiên cứu nửa nhóm các toán tử tuyến
tính giới nội. Trong phần này, chúng ta đi nghiên cứu nó với toán tử
tuyến tính là không giới nội, từ đó ta cũng nghiên cứu tính chất của
nhiệm của bài toán Cauchy.
Ch-ơng 4: Nửa nhóm nhân trên C0 ().
Từ tính chất của phổ của nửa nhóm nhân, ta suy ra tính chất của nửa
nhóm nhân, và từ đây ta đi nghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy
và suy ra đ-ợc tính chất ổn định của nghiệm của bài toán Cauchy.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nh-ng do trình độ và thời gian còn hạn
chế, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong nhận đ-ợc
những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn!

5


Ch-ơng 1
Một số kiến thức cơ bản về đại số
Banach và lý thuyết phổ
1.1
1.1.1

Không gian tuyến tính định chuẩn
Không gian tuyến tính

Cho X là một tập tuỳ ý, K là tr-ờng số (C, R).
Định nghĩa 1.1.1. Không gian tuyến tính là một tập X, trên đó xác định
hai phép toán cộng hai phần tử của X và phép nhân các phần tử của X

với một số thuộc tr-ờng số K.
Hai phép toán đó đ-ợc xác định nh- sau:
1. Phép cộng: Đó là ánh xạ :
:

XìX

X

(x, y) = x + y
thoả mãn các tiên đề sau:
(a) x + y = y + x

với mọi x, y X;

(b) (x + y) + z = x + (y + z)

với mọi x, y, z X;
6


1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn

7

(c) Tồn tại phần tử 0 X thoả mãn: x + 0 = 0 + x = x

với mọi

x X;

(d) Với mọi phần tử x X đều tồn tại phần tử đối, kí hiệu (x)
thoả mãn x + (x) = 0.
2. Phép nhân với một số: Đó là ánh xạ:
:XìK X
(kí hiệu (x, ) = x hoặc x, x K, K) thoả mãn:
(a) (x) = (x) = (x)

với mọi x X; , K;

(b) Tồn tại phần tử 1 K thoả mãn 1.x = x với mọi x X;
(c) ( + )x = x + x

với mọi x X, , K;

(d) (x + y) = x + y

với mọi x X, K.

K = R thì không gian tuyến tính X gọi là không gian tuyến tính
thực.
K = C thì không gian tuyến tính X gọi là không gian tuyến tính
phức.
Ví dụ 1.1.2. (a) R là không gian tuyến tính thực.
(b) C là không gian tuyến tính phức.
(c) K n = {(x1 , x2 , ........., xn ), xi K, i = 1, n}-- không gian tuyến tính.
(d) C[a,b] tập hợp các hàm thực (hoặc phức) liên tục trên [a, b] là không
gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số và nhân thông
th-ờng.
(e) l2 = {(x1 , x2 , . . . , xn , . . . ),




|xi |2 < +, xi K} là không gian

i=1

tuyến tính với phép cộng và phép nhân với một số theo toạ độ.
7


1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn

1.1.2

8

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian tuyến tính. Một ánh xạ : X R
đ-ợc gọi là một chuẩn trên X nếu thoả mãn các tiên đề sau: (ta kí hiệu
(x) = x )
1. x 0

với mọi x X và (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;

2. x = ||. x

với mọi x X và với mọi K;

3. x + y x + y


với mọi x, y X.

Định nghĩa 1.1.4. Không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn trên ã
xác định trên nó gọi là một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.5. Dãy {xn }
n=1 X với X là không gian tuyến tính định
chuẩn đ-ợc gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu

> 0 cho tr-ớc tồn tại

n0 (phụ thuộc ) sao cho với mọi n, m > n0 ta có:
xn xm < .
Định nghĩa 1.1.6. Không gian X đ-ợc gọi là không gian đầy đủ khi và
chỉ khi mọi dãy cơ bản đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.7. Nếu không gian định chuẩn X là không gian đầy đủ
thì X đ-ợc gọi là không gian Banach hay Banach--không gian.
Ví dụ 1.1.8.

1. Trong R hoặc C đặt x = |x| thì ta có R hoặc C là một

không gian Banach trên R hoặc C.
2. Trong K n đặt
n

|xi |2

x = (x1, x2 , ..........., xn ) =
i=1


8

1/2

,


1.2. Đại số Banach

suy ra

ã

9

là chuẩn trong Cn -- còn gọi là chuẩn Euclide.

Suy ra d(x, y) = x y = (

n
i=1 |xi

1

yi|2 ) 2 là khoảng cách Euclide

đã biết. Vậy K n là không gian Banach.
3. C[a,b] với x = max |x(t)| là không gian Banach với
atb


d(x, y) = max |x(t) y(t)|
atb

là khoảng cách đã biết.
4. l2 = {(x1 , x2 , . . . , xn , . . . ), xn K,
Trong l2 đặt x = (





|xn |2 < }.
n=1

|xi |2 )1/2 với x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ta suy ra

i=1

l2 là không gian Banach.

1.2

Đại số Banach

1.2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. Không gian tuyến tính B đ-ợc gọi là đại số nếu trong
nó đã đ-a thêm một phép toán đại số nữa-phép nhân, thoả mãn các tiên

đề sau:
1. (f g)h = f (gh)

f, g, h B;

2. a, f(g + h) = f g + f h

f, g, h B;

b, (f + g)h = f h + gh

f, g, h B;

3. (f g) = (f)g

C, f, g B;

4. Nếu tồn tại phần tử e B sao cho ef = f e = f với mọi f B thì e
đ-ợc gọi là đơn vị của đại số B và bản thân đại số đ-ợc gọi là đại số
có đơn vị;
9


1.2. Đại số Banach

10

5. Nếu bản thân phép nhân giao hoán, tức là thoả mãn:
f g = gf


f, g B,

thì đại số B đ-ợc gọi là đại số giao hoán;
Không gian định chuẩn B đ-ợc gọi là đại số định chuẩn nếu nó là đại
số có đơn vị và thoả mãn thêm 2 tiên đề:
6. e = 1;
7. f g

f

g

f, g B;

Nếu đại số định chuẩn B mà đầy đủ (tức không gian Banach) thì nó
đ-ợc gọi là Đại số Banach.
1.2.2

Một số ví dụ về Đại số Banach

a, Tr-ờng C
Các số phức z cho một ví dụ đơn giản về Đại số Banach nếu trang bị chuẩn
cho nó theo công thức:
z = |z| =

(x2 + y 2 ), (z = x + iy).

Các số phức tạo thành một tr-ờng, ta kí hiệu tr-ờng này là C.
Trong C đối với mọi phần tử, trừ phần tử 0, ta định nghĩa phép chia là
ng-ợc của phép nhân.

Đơn vị trong C là e = 1.
b) Đại số Banach các toán tử tuyến tính bị chặn.
Giả sử X là không gian Banach.
Ta xét không gian L(X, X) là không gian tất cả các toán tử tuyến tính
liên tục ánh xạ từ X vào chính nó.
Với các phép toán cộng nhân toán tử với số và phép nhân thông th-ờng
với các toán tử .
10


1.2. Đại số Banach

11

Đơn vị trong L(X, X) là toán tử đồng nhất.
Chuẩn trong L(X, X) đ-ợc định nghĩa nh- sau:
A = sup Ax .
x

1

Ta biến L(X, X) thành một đại số Banach với đơn vị là I.
1.2.3

Phổ và giải thức

Định nghĩa 1.2.2. Cho B là đại số Banach và f B .Phổ của f là tập:
B (f ) = { C : f e là không khả nghịch trong B},
và tập giải của f là tập:
B (f) = C\B (f).

Nếu
/ (f) thì ta gọi là giá trị chính quy.
Xét hàm R : C\(f) B với
R f = (e f )1
xác định trên tập các điểm chính quy của phần tử f đ-ợc gọi là giải thức
của phần tử đó. Hơn nữa bán kính phổ của f đ-ợc xác định là :
rB (f ) = sup{|| : B (f)}.
Để đơn giản từ giờ về sau ta sẽ kí hiệu (f), (f), r(f ) lần l-ợt là tập phổ,
tập giải và bán kính phổ của f .
1.2.4

Một số tính chất của phổ của toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X là không gian Banach phức, A X.
D(A) là tập con của X.
11


1.2. Đại số Banach

12

Ta có
A : D(A) X X
là toán tử tuyến tính.
C đ-ợc gọi là giá trị chính quy của A nếu tồn tại (I A)1 L(X) .
Tập các giá trị chính quy đ-ợc kí hiệu là (A) và
C\(A) = (A) là tập phổ của A.
D(A) X; A : D(A) X đ-ợc gọi là một toán tử đóng nếu:
xn D(A) mà xn x và Axn y thì x D(A) và Ax = y.

Định lý 1.2.4. Nếu toán tử A không có phổ là toàn thể mặt phẳng phức thì
A là toán tử đóng.
Chứng minh: Giả sử
/ (A).
Xét ánh xạ:
B : X D(A),
B = (I A)1 L(X).
Giả sử {xn } D(A), xn x và Axn y.
Đặt hn = (I A)xn ta có:
lim hn = lim (I A)xn = x y.

n

n

Suy ra ta có:
B(x y) = lim Bhn = lim (I A)1(I A)xn = x.
n

n

Vậy x D(A) .
Và
(I A)x = (I A)B(x y) = (x y).
Suy ra Ax = y .
Từ đó ta có A là toán tử đóng.
Định lý đ-ợc chứng minh.
12



1.2. Đại số Banach

13

Ta xét một số tính chất sơ cấp sau:
Giả sử có A : D(A) X X là toán tử đóng và (A).
Ta kí hiệu :R(, A) = (I A)1 .
Nhân 2 vế với (I A) ta có:
(I A)R(, A) = I.
Nhân phân phối và chuyển vế ta có:
A.R(, A) = R(, A) I.
Chuyển vế và nhân 2 vế của đẳng thức trên với R(à, A) ta nhận đ-ợc điều
sau:
[R(, A) A.R(, A)]R(à, A) = R(à, A).

(1.1)

T-ơng tự ta có:
R(, A)[àR(, A) A.R(à, A)] = R(, A).

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta có:
R(, A) R(à, A) = (à )R(, A)R(à, A).

(Hệ thức Hilbert)

Suy ra R(, A), R(à, A) giao hoán với nhau.
Mệnh đề 1.2.5. Phổ (A) của phần tử A của Đại số Banach X là tập
compact không rỗng trong C.

Chứng minh: Ta đ-a ra một số bổ đề sau tr-ớc khi chứng minh:
Bổ đề 1.2.6. Ta giả thiết 0 < < 1, A L(X), A <
Khi đó phần tử (I A) khả nghịch và
(I A)1 = I + A + A2 + A3 + ........ + An + . . .

13


1.2. Đại số Banach

14

Chứng minh: Thực vậy, đặt
sn = I + A + ã ã ã + An,
ta có:
Sn Sn+p

=

An+1 + An+2 + ..... + An+p



A

n+1

+ A

n+2


+ ...... + A

n+p

n+1 + n+2 + ....... + n+p
n+1 (1 + + 2 + ...... + p1 )
1
n+1
n 0.
1
Vậy ta suy ra:{Sn}
n=0 là dãy Cauchy trong L(X).
Vậy Sn hội tụ đến phần tử s nào đó. Ta có:.
s(I A) = lim sn(I A) = lim (I An+1 ) = I.
n

n

T-ơng tự ta chứng minh đ-ợc (I A)s = I.
1
Bổ đề 1.2.7. Giả sử A0 là phần tử khả nghịch và ||A|| ||A1
0 || . Khi

đó A1 = A0 + A là phần tử khả nghịch và
1 1
A1 1 = (I + A1
0 A) A0 .

Chứng minh: Thật vậy, A1 = A0 + A = A0 (I + A1

0 A) = A0 (I A) và
||A|| = || A1
0 A|| < 1.
áp dụng bổ đề trên ta đ-ợc điều phải chứng minh.
+ Chứng minh (A) bị chặn.
Lấy C, || > A ta sẽ chứng minh (A).
Suy ra (A) nằm trong hình tròn r = A .
Tức là:

(A) { sao cho || < A }.

Mặt khác ta có:
1
I A = (I A),

14


1.2. Đại số Banach

15

A
1
A =
< 1.

||
1
1

Ta suy ra rằng :(I A) khả nghịch và (I A)1 L(X).


Do đó (I A) khả nghịch và
(I A)1 =
Vậy :

1
1
(I )1 L(X).



(A).

+ Chứng minh (A) đóng.
Tính chất đóng của (A) đ-ợc suy ra ngay từ bổ đề 2: nếu 0 chính quy thì
lân cận || < ||A(0)|| chỉ gồm các điểm chính quy vì (0 + )I A =
0 I A + I.
1.2.5

Tích phân Bochner

Mệnh đề 1.2.8. Giả sử ta có hàm f : [0, 1] X liên tục với X là không
gian Banach phức.
Xét hàm đơn giản:

n

gn (t) =


Xi .XIi (t)
i=1

với [0, 1] =

ni=1 Ii ,

Ii Ij = với i = j
n

1

gn (t) =
0

m(Ii )Xi .
i=1

Hàm f đ-ợc gọi là tích phân Bochner nếu {gn } là các hàm đơn giản sao
cho:
lim gn (t) = f (t),

n
1

||gn(t) f (t)||dt = 0.

lim


n

0

15


1.2. Đại số Banach

16

1
gn (t)
n 0

Khi đó lim

tồn tại và ta gọi đó là tích phân Bochner của f trên

[0, 1].
1

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh { gn (t)dt} là dãy Cauchy trong X.
0
1

Suy ra ta cần chứng minh

(gn (t) gm (t))dt 0 khi m, n .


0

Ta có:

n

gn (t) =

Xin X[in](t).
i=1
m

gm (t) =

Xim X[im] (t).
i=1

[0, 1] =

ni=1 Iin

=

m
i=1 Iim .

Ta đặt:
{Ij }pj=1 = {Iln Ikm , 1 l n, 1 k m}
Từ điều trên ta suy ra:
p


gn (t) =

Yj X[Ij ] (t)
j=1
p

gm (t) =

Zj X[Ij ] (t)
j=1

Mặt khác ta có:
p

1

(gn(t) gm (t))dt =
0

(Yj Zj )m(Ij )
j=1

Suy ra:

p

1

(gn (t) gm (t))dt

0

Yj Zj m(Ij )
j=1

Mà:
p

gn (t) gm (t)

=

Yj Zj XIj (t)
j=1
1



gn (t) gm (t) dt 0
0

16


1.2. §¹i sè Banach

17

Suy ra ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.


17


Ch-ơng 2
Ph-ơng trình hàm Cauchy và một số
nửa nhóm
2.1

Ph-ơng trình hàm Cauchy

Bài toán 2.1.1. Tìm tất cả các ánh xạ T (.) : R+ C thoả mãn ph-ơng
trình hàm:
T (t + s) = T (t)T (s)

t, s 0,

(2.1)
(2.2)

T (0) = 1.
Một cách dễ dàng ta thấy, hàm mũ:
t eta

(2.3)

thoả mãn (2.1)--(2.2), là nghiệm của bài toán trên với a C. Ta có thể dễ
dàng thử lại đánh giá trên:
Vì a C, ta có thể viết a bằng công thức sau:
a = b + ic.
Suy ra:

eta = etb (cos tc + i sin tc).
18


2.1. Ph-ơng trình hàm Cauchy

19

Lần l-ợt ta sẽ xem xét từng điều kiện của bài toán trên:
eta esa = etb (cos tc + i sin tc)esb (cos sc + i sin sc)

(2.4)

= etb esb (cos tc cos tc + i cos tc sin sc + i sin tc cos sc sin tc sin sc),
e(t+s)a = e(t+s)b (cos(t + s)c + i sin(t + s)c)

(2.5)

= etb esb (cos tc cos sc sin tc sin sc + i sin tc cos sc + i cos tc sin sc).
Từ (2.5) và (2.6) ta suy ra:
e(t+s)a = eta esa .
Vậy điều kiện 1 của bài toán đ-ợc thoả mãn. Mặt khác ta có:
e0t = 1.
Vậy điều kiện 2 thoả mãn.
Từ đó ta suy ra eta là nghiệm của bài toán trên.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử có: T (t) = eta với a C và với mọi t 0.
Khi đó ta có T (.) là hàm khả vi và thoả mãn bài toán Cauchy sau:
d
T (t) = aT (t)
dt

T (0) = 1.

với t 0,

(2.6)
(2.7)

Ng-ợc lại, hàm T (.) : R+ C định nghĩa bởi T (t) = eta với a C là hàm
khả vi duy nhất thoả mãn (2.6)--(2.7).
Cuối cùng, chúng ta l-u ý rằng:a =

d
dt T (t) t=0 .

Chứng minh: Đầu tiên ta đi chứng minh T (t) = eta khả vi. Ta có:
eta et.a eta
eta (et.a 1)
e(t+t)a eta
lim
=
=
.
t0
t
t
t

19



2.1. Ph-ơng trình hàm Cauchy

20

Mặt khác ta có:
et.b(cos(t.c) + i sin(t.c)) 1
et.a 1
=
t
t
b.t
cos(t.c) 1 i sin(t.c).et.b
e
+
.
=
t
t
Mà:

ebt cos(tc) 1
ebt cos(tc) 1
lim
= lim
t0
t0
t
t

=b


i sin(tc)e(tb)
= ic.
và
lim
t0
t
e(t+t) eta
Vậy ta suy ra:
lim
= b + ic = a.
t0
t
d
Vậy T (t) = eta là khả vi và T (t) = a.eta .
dt
Bây giờ chúng ta đi chứng minh khẳng định duy nhất.
Giả sử có hàm S(.) : R+ C là 1 hàm khả vi khác cũng thoả mãn
(2.6)--(2.7). Khi đó hàm mới Q(.) : [0, t] C đ-ợc định nghĩa nh- sau:
Q(s) = T (s)S(t s) với 0 s t
với t > 0 là khả vi.
Khi đó ta có:
d
d
d
Q(s) =
T (s).S(t s) + S(t s).T (s)
ds
dt
dt

= aT (s)S(t s) aS(t s)T (s)
= 0.
Ta suy ra Q(.) là hằng số.
Từ khẳng định Q(.) là hằng số ta có những điều sau:
Q(t) = Q(0),
Q(0) = S(t),
Q(s) = T (t).
20


2.1. Ph-ơng trình hàm Cauchy

21

Q(s) = Q(0)
Do đó:
S(t) = T (t).
Vậy ta suy ra T (.) là duy nhất.
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử T (.) : R+ C là hàm liên tục thoả mãn(2.1)--(2.2).
Khi đó T (.) là khả vi, và tồn tại duy nhất a C sao cho (2.6)--(2.7) xảy ra.
Chứng minh: Từ hàm T (.) liên tục trên R+ , ta định nghĩa hàm V (.) bởi:
t

V (t) :=

T (s)ds,

t 0.

0


Ta có:
t+t

V (t + t) V (t)
=
t

t

T (s)ds

t+t

T (s)ds

0

0

T (s)ds
=

t

t

t

t+t


T ()
=

ds
t

t

= T (),

(Theo định lý trung bình).

Suy ra:
V (t + t) V (t)
t0
t
Vậy từ đó ta có V (.) khả vi và V (.) = T (t).
lim

= T (t).

Điều này kéo theo:
1
V (t) V (0)
lim V (t) = lim
= T (0) = 1 = V (0).
tt
t0 t
t

Do đó, khi t 0 ta có: | V t(t) 1| <

1
2

21

Suy ra với t0 > 0, V (t0 ) là khác 0,


2.1. Ph-ơng trình hàm Cauchy

22

do vậy V (t0 ) khả nghịch:
T (t) = V (t0)1 V (t0 )T (t)
t0

= V (t0)1 T (t)

T (s)ds
0

t0

= V (t0)1

T (t + s)ds
0
t+t0


= V (t0)1

T (s)ds
t

1

= V (t0) (V (t + t0 ) V (t)),

t 0.

Suy ra T (.) là khả vi với đạo hàm:
d
T (t + h) T (t)
T (h) T (0)
T (t) = lim
= lim
T (t)
t0
t0
dt
h
h
= T (0).T (t),
t 0.
Vậy:
a = T (0).
Định lý đ-ợc chứng minh xong.
Ví dụ 2.1.4. Một hàm f : R R đ-ợc gọi là hàm cộng nếu nó thoả mãn

ph-ơng trình hàm :
f (s + t) = f (s) + f (t)

với s, t R.

Khi đó ta có khẳng định sau : Hàm f : R R là hàm cộng khi và chỉ khi
T (t) = ef(t) thoả mãn (2.6)--(2.7).
Chứng minh: Chiều thuận: (f là hàm cộng, suy ra T (t) = ef(t) thoả mãn
(2.6)--(2.7)). Ta có:
ef(s+t) = ef(s)+f(t) = ef(s) .ef(t) .
22


2.2. Nửa nhóm ma trận

23

Vậy điều kiện 1 thoả mãn và:
ef(0) = 1.
Suy ra thoả mãn điều kiện 2.
Ng-ợc lại ta có:
T (t + s) = ef(t+s)
T (t) = ef(t)
T (s) = ef(s)
Mà T (t + s) = T (t)T (s)
Suy ra ta có: ef(t+s) = ef(t) + ef(s)
Hay f (t + s) = f (t) + f (s). Vậy suy ra f là hàm cộng.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

2.2


Nửa nhóm ma trận

Trong phần này chúng ta xem xét không gian vecto hữu hạn chiều X = Cn ,
không gian L(X) các toán tử tuyến tính trên X sẽ đồng nhất trên không
gianMn (C) tất cả các ma trận cỡ n ì n, và một hàm có giá trị ma trận:
T (.) : R+ Mn (C)
thoả mãn ph-ơng trình hàm:
T (t + s) = T (t)T (s)

với mọi t, s 0,

(2.8)
(2.9)

T (0) = I.

Bài toán 2.2.1. Tìm tất cả các ánh xạ T (.) : R+ Mn (C) thoả mãn
ph-ơng trình hàm (2.8)--(2.9).

23


2.2. Nửa nhóm ma trận

24

Định nghĩa 2.2.2. Với A Mn(C) và t R+ , ma trận mũ etA đ-ợc định
nghĩa bởi:


tA

e

=
k=0

t k Ak
.
k!

Lấy 1 chuẩn trên Cn và t-ơng ứng chuẩn ma trận trên Mn (C) đ-ợc xem
nh- tổng riêng của chuỗi trên dạng một dãy Cauchy, do vậy chuỗi hội tụ
và thoả mãn:
etA et

A

t 0.

Mệnh đề 2.2.3. Cho A Mn (C), ánh xạ
R+

t etA Mn(C)

là liên tục và thoả mãn
e(t+s)A = etA esA

(2.10)


t, s 0,

(2.11)

e0A = I.
Chứng minh: Tr-ớc tiên ta đi chứng minh t etA là liên tục, ta có:
e(t+h)A etA = etA (ehA I)

t, h R.

Mặt khác, ta có

hA

e

I

=
k=0



k=1

Ta có chuỗi

hk A
k!
k=0



k

hk Ak
I =
k!

|h|k A
k!

hội tụ đến e|h|


k=0

hk A
k!

k=1

hk Ak
k!

k

.

A


1 vì với |h| < 1 ta có:


k

= 1 + |h|
k=1

24



|h|k1 A
k!

k

.


2.2. Nửa nhóm ma trận

25

A n
|h|k1 A n

. Song chuỗi
k!
k!

1 vì theo tiêu chuẩn D.Alembert:



Do |h| < 1 nên
e

A

k=1

A k
hội tụ đến
k!

ak
k+1
= > 1,
= lim
k ak+1
k A
lim

và



e

A


=
k=0

Vậy ta suy ra
Ta suy ra:


k=1

A n
=1+
k!

A n
hội tụ đến e
k!

A

k=1

A n
k!

1.

lim ehA I = lim (e|h|

h0




A

h0

1) = 0.

Do đó t etA là liên tục.
hk A k
hội tụ, ta có thể chứng minh điều kiện thứ nhất của
Từ chuỗi
k!
k=0
bài toán Cauchy trên bằng tích Cauchy của chuỗi vô hạn:


k=0

t k Ak
k!



k=0

s k Ak
=
k!




k

n=0


n=0

=
n=0

tnk Ank sk Ak
(n k)! k!

(t + s)n An
.
n!

Vậy t etA thoả mãn (2.8)--(2.9).

Mệnh đề 2.2.4. Giả sử có T (t) := etA với A Mn (C). Khi đó hàm
T (.) : R+ Mn(C) là khả vi và thoả mãn bài toán Cauchy:
d
T (t) = AT (t)
dt
T (0) = I.

với t 0,


(2.12)
(2.13)

Ng-ợc lại, mọi hàm khả vi T (.) : R+ Mn (C) thoả mãn (2.12)--(2.13) luôn
có dạng T (t) = etA với A Mn (C). Cuối cùng, chúng ta có A = T (0).
25