TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
-----oOo-----

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN
TRỊ

Giáo viên hướng dẫn:
Dương Thị Xuân An

SVTH: Văn Lộc Chơn
MSSV: 1060002
Lớp: SP.Toán K32

Cần Thơ, 04/2010

-1-


LỜI CẢM ƠN
********
Trước tiên cho tôi được gởi lời cảm ơn tới
Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Cần Thơ, Ban
Chủ Nhiệm Khoa Sư Phạm đã tạo điều kiện để tôi
được làm luận văn tốt nghiệp, đã quan tâm và đôn
đốc tôi trong quá trình thực hiện luận văn.

Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô
trong Tổ Bộ Môn Toán, đặc biệt là cô Dương Thị
Xuân An đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong
thời gian làm luận văn.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

-2-


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 4
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 4
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 4
3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................................. 4
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................. 4
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................ 5
6. Cấu trúc luận văn ........................................................................................................ 5
PHẦN NỘI DUNG ................................................................................................................. 6
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................. 6
1.1 Chuỗi Fourier ............................................................................................................ 6
1.2 Phép biến đổi Fourier.............................................................................................. 12
1.3 Phép biến đổi Laplace ............................................................................................. 16
1.4 Bài toán Sturm – Liouville. Hàm đặc biệt .............................................................. 18
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ .................................................................................................. 30
2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier) ...................................................... 30
2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier............................................................... 42
2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace .............................................................. 43
2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson .................................................... 46
2.5 Phương pháp D’Alembert ....................................................................................... 52

CHƯƠNG III: BÀI TẬP................................................................................................... 57
3.1. Dùng phương pháp tách biến để giải các bài toán ................................................. 57
3.2. Dùng phương pháp phép biến đổi Fourier để giải các bài toán ............................. 74
3.3. Dùng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán .................................................. 80
3.4. Dùng công thức tích phân Poisson để giải các bài toán......................................... 86
3.5. Dùng phương pháp D’Alembert để giải các bài toán ............................................ 91
PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................................... 98
U

-3-


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành quan trọng và rất phát triển
trong toán học. Lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng được phát triển đầu tiên
bởi nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Leonard Euler và Joseph-Louis Lagrange,
những người đã nghiên cứu về phương trình sóng trên sợi dây; Daniel Bernoulli và
Euler, những người đã xem xét về lý thuyết thế vị. Sau đó, nó được phát triển bởi
Adrien-Marie Legendre và Pierre-Simon Laplace cũng như nhà toán học nổi tiếng
Joseph Fourier từ việc khai triển thành chuỗi cho nghiệm của phương trình truyền
nhiệt.
Phương trình đạo hàm riêng cũng là một môn học khá thú vị đối với tôi.
Trong quá trình học, tôi đặc biệt chú ý tới các bài toán biên trị. Nhưng nhìn chung,
các sách lý thuyết thường ít đề cập đến các phương pháp giải các loại bài toán này
hoặc chỉ đề cập trong một khía cạnh nào đó. Chính vì thế, tôi chọn đề tài “Một số
phương pháp giải bài toán phương trình đạo hàm riêng biên trị” nhằm tập trung chủ
yếu vào một số phương pháp giải bài toán biên giúp người đọc dễ dàng tham khảo
hơn.


2. Mục đích nghiên cứu
Trọng tâm của luận văn là đi vào nghiên cứu “Một số phương pháp giải bài toán
phương trình đạo hàm riêng biên trị”. Ở đây, tôi không có tham vọng trình bày đầy
đủ tất cả các phương pháp giải, do thời gian nghiên cứu còn hạn chế, mà chỉ quan
tâm đến một số phương pháp thường dùng trong việc giải bài toán biên.

3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các phương pháp giải bài toán biên trị được đưa ra trong
đề tài.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
ƒ Nghiên cứu cơ sở lý thuyết có liên quan.
ƒ Sắp xếp hệ thống lý thuyết theo trình tự.
ƒ Lựa chọn đưa ra một số ví dụ ứng với từng phương pháp giải cụ thể.
-4-


ƒ Giải bài tập và sắp xếp theo hệ thống.

5. Phương pháp nghiên cứu
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ

Đọc sách và tham khảo tài liệu.
Phương pháp toán học.
Phương pháp phân tích.
Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.


6. Cấu trúc luận văn
PHẦN MỞ ĐẦU
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Chuỗi Fourier
1.2 Phép biến đổi Fourier
1.3 Phép biến đổi Laplace
1.4 Bài toán Sturm-Liouville. Hàm đặc biệt
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ
2.1 Phương pháp tách biến
2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier
2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace
2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson
2.5 Phương pháp D’Alembert
CHƯƠNG III: BÀI TẬP
PHẦN KẾT LUẬN

-5-


PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Chuỗi Fourier
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Chuỗi hàm có dạng
a0 ∞
+ ∑ ( an cos nx + bn sin nx) (−π ≤ x ≤ π )

2 n =1

(1.1)

trong đó a0 , an , bn , n = 1, 2,... là các hằng số, được gọi là chuỗi lượng giác.
Các

hàm

số

sin nx ,

cùng

cosnx

với

số

hạng

tổng

quát

2π
, n = 1, 2,... liên tục
n

và khả vi mọi cấp. Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì tổng của nó là hàm tuần hoàn với chu
un ( x) = an cos nx + bn sin nx là các hàm tuần hoàn với chu kỳ

kỳ 2π . Vấn đề đặt ra là ta có thể khai triển hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ
2π thành chuỗi lượng giác (1.1) hay không? Và giả sử hàm số f(x), tuần hoàn với

chu kỳ 2π , khai triển được thành chuỗi lượng giác (1.1)
a0 ∞
f ( x) = + ∑ (an cos nx + bn sin nx) (−π ≤ x ≤ π )
2 n =1

(1.2)

thì các hệ số a0 , an , bn , n = 1, 2,... được xác định như thế nào? Các hệ số này có tính
được theo f(x) hay không?
Trước hết, bằng cách tính trực tiếp, chúng ta thấy rằng
π

π

−π

−

∫ sin nxdx = ∫π cosnxdx =0,
π

∫π sin mxcosnxdx =0,

−


⎧0, m ≠ n

π

∫π sin mx sin nxdx = ⎨⎩π , m = n

−

-6-


⎧0, m ≠ n

π

∫π cosmxcosnxdx = ⎨⎩π , m = n

−

Từ đó, nếu chuỗi lượng giác (1.1) hội tụ đều đến hàm số f(x) trên đoạn

[ −π , π ] thì các hệ số được tính bởi công thức sau
a0 =
an =
bn =

π

1


π

∫
π

1

π

∫

f ( x) cos nxdx, n = 1,2,…

(1.3)

−π

π

1

π

f ( x)dx,

−π

∫


f ( x)sin nxdx.

−π

Thật vậy, từ (1.2), ta tích phân hai vế từng số hạng từ −π → π thì
π

∫π f ( x)dx =

−

a0 =

Suy ra

1

π

a0
.2π
2

π

∫

f ( x)dx

−π


Để tính an , n = 1, 2,... ta nhân cosnx vào hai vế của (1.2) rồi lấy tích phân từng
số hạng từ −π → π . Khi đó
π

∫

f ( x)cos nxdx = an .π

−π

an =

Suy ra

1

π

π

∫

f ( x) cos nxdx.

−π

Tương tự, nhân vào hai vế của (1.2) với sinnx rồi lấy tích phân từng số hạng
từ −π → π , ta được
bn =


1

π

π

∫

f ( x)sin nxdx, n = 1, 2,...

−π

Trên đây, ta đã giả sử hàm f(x) khai triển được thành chuỗi Fourier và luôn
lấy tích phân được chuỗi ở vế phải theo từng số hạng. Tuy vậy, chúng ta cũng nhận
thấy rằng chỉ cần f(x) khả tích trên đoạn [ −π , π ] thì có thể tính được các hệ số ở
(1.3). Vì vậy, ta cũng có chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x).
Định nghĩa 1.2 Cho f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π . Chuỗi lượng
giác (1.1) với các hệ số a0 , an , bn , n = 1, 2,... được tính bởi công thức (1.3) được gọi là
-7-


chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x) trên đoạn

[ −π , π ] .

Các hệ số

a0 , an , bn , n = 1, 2,... được gọi là hệ số Fourier của hàm f(x).


Như vậy, mọi hàm f(x) khả tích trên đoạn [ −π , π ] đều có chuỗi Fourier tương
ứng của nó và ta kí hiệu
f ( x) ∼

a0 ∞
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx) (−π ≤ x ≤ π )
2 n =1

1.1.2 Điều kiện đủ để chuỗi Fourier của hàm số f(x) hội tụ

Như đã biết, mọi hàm f(x) khả tích trên đoạn [ −π , π ] đều có chuỗi Fourier
tương ứng. Tuy nhiên, chuỗi Fourier thu được trong trường hợp này có thể không
hội tụ và nếu chuỗi hội tụ thì chưa chắc tổng của chuỗi là f(x). Ta có kết quả cơ bản
sau đây (không chứng minh) 1 :
Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π ,
đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [ −π , π ] thì chuỗi Fourier của nó hội tụ
từng điểm trên đoạn này và tổng của chuỗi bằng f(x) nếu f(x) liên tục tại
f ( x+ ) + f ( x− )
x ∈ ( −π , π ) , bằng
2

nếu f(x) gián đoạn (loại 1) tại x ∈ ( −π , π ) và

f (−π + ) + f (π − )
bằng
tại x = ±π .
2

D Ví dụ
Cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định bởi


f(x) = x, (−π ≤ x ≤ π )
thì chuỗi Fourier tương ứng của f(x) là
∞

∑ (−1)

n +1

n =1

2
sin nx (−π ≤ x ≤ π )
n

Thật vậy, theo (1.3) các hệ số của chuỗi là
1 x2 π
1
a0 = ∫ xdx = .
= .0 = 0
π −π
π 2 −π π
1

an =

1

π


1

π

π

∫π x cos nxdx = 0

−

Người đọc có thể tham khảo chứng minh trong tài liệu tham khảo [1]

-8-


bn =

1

π

π

2π

∫ x sin nxdx = π ∫ x sin nxdx

−π

0


π 1π
⎞
2⎛ x
= ⎜ − cos nx + ∫ cos nxdx ⎟
0 n0
π⎝ n
⎠
π
2
2
= − cos nπ + 2 sin nx
0
n
nπ
2
2
= − (−1) n = (−1) n +1 .
n
n

Bởi vì hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ −π , π ] nên chuỗi Fourier của nó sẽ hội
tụ về x tại mọi điểm, tức là chúng ta có
∞
2
x = ∑ (−1) n +1 sin nx (−π ≤ x ≤ π )
n
n =1

1.1.3 Khai triển Fourier trên đoạn [ 0, π ]


Để tìm khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ 0, π ] , ta có thể thác triển
f(x) thành hàm F(x) trên đoạn [ −π , π ] sao cho trên đoạn [ 0, π ] thì f ( x) ≡ F ( x) . Sau
đó, ta tìm khai triển Fourier của hàm số F(x) trên đoạn [ −π , π ] . Khi đó, khai triển
Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ 0, π ] chính là khai triển Fourier của hàm F(x)
trên đoạn [ 0, π ] . Thông thường, chúng ta thác triển theo hai cách:
(i) Thác triển f(x) thành hàm số chẵn F(x)
⎧⎪ f ( x), x ∈ [ 0, π ]
F ( x) = ⎨
⎪⎩ f (− x), x ∈ [ −π ,0]

(ii) Thác triển f(x) thành hàm số lẻ F(x)
⎧⎪ f ( x), x ∈ [ 0, π ]
F ( x) = ⎨
⎪⎩− f (− x), x ∈ [ −π ,0]

-9-


1.1.4 Khai triển Fourier hàm có chu kỳ 2l
Cho hàm số f(x) có chu kỳ 2l , l > 0. Giả sử chúng ta cần tìm chuỗi Fourier tương

ứng của F(x) trên đoạn [ −l , l ] . Ta sẽ dùng phép biến đổi t =

πx
l

và xét hàm số

⎛ tl ⎞

F (t ) = f ( x) = f ⎜ ⎟ .
⎝π ⎠

Ta có
⎛l
⎞
⎛ lt
⎞
⎛ lt ⎞
F (t + 2π ) = f ⎜ (t + 2π ) ⎟ = f ⎜ + 2l ⎟ = f ⎜ ⎟ = F (t )
⎝π
⎠
⎝π
⎠
⎝π ⎠

hay F(t) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π . Vậy khai triển Fourier của hàm F(x) trên
đoạn [ −π , π ] là
F (t ) ∼

a0 ∞
+ ∑ (an cos nt + bn sin nt ) (−π ≤ t ≤ π )
2 n =1

với các hệ số được cho bởi
a0 =

1

π


π

∫

−π

F (t )dt =

1l
f ( x)dx
l −∫l

1l
nπ x
dx
an = ∫ F (t ) cos ntdt = ∫ f ( x)cos
π −π
l −l
l
bn =

1

π

1

π


π

∫

F (t )sin ntdt =

−π

(1.4)

1l
nπ x
dx , n = 1,2,…
f ( x)sin
∫
l −l
l

Từ đó, ta được khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [ −l , l ] là

f ( x) ∼

a0 ∞ ⎛
nπ x
nπ x ⎞
+ ∑ ⎜ an cos
+ bn sin
⎟ (−l ≤ x ≤ l )
2 n =1 ⎝
l

l ⎠

với các hệ số được tính bởi (1.4).
1.1.5 Chuỗi Fourier sin và cosin
Định nghĩa 1.3 Cho f là hàm số liên tục từng đoạn xác định trên (0, L) .
Chuỗi Fourier cosin của f trên (0, L) là
f ( x) =

a0 ∞
⎛ nπ x ⎞
+ ∑ an cos ⎜
⎟
2 n =1
⎝ L ⎠

- 10 -


Ở đây
an =

2L
⎛ nπ x ⎞
f
x
c
(
)
os
⎜

⎟dx n = 0,1,2,…
L ∫0
⎝ L ⎠

Chuỗi Fourier sin của f trên (0, L) được định nghĩa bởi
∞
⎛ nπ x ⎞
f ( x) = ∑ bn sin ⎜
⎟
n =1
⎝ L ⎠

Ở đây
2L
⎛ nπ x ⎞
bn = ∫ f ( x)sin ⎜
⎟dx n = 1,2,…
L0
⎝ L ⎠

1.1.6 Một số ví dụ
Ví dụ 1.1.6.1. Cho hàm số f ( x) = π − x , 0 ≤ x ≤ π . Hãy tìm chuỗi Fourier sin của

hàm số f ( x) trên 0 ≤ x ≤ π bằng cách áp dụng công thức trong 1.1.5
Ta có
bn =

2π

π∫


f ( x)sin nxdx =

0

2π

2

(π − x)sin nxdx =
π∫
n
0

Do đó
∞
1
f ( x) = 2∑ sin nx với 0 ≤ x ≤ π ( x ≠ 0 ).
n =1 n

1
n =1 n
∞

π − x = 2∑ sin nx , với 0 ≤ x ≤ π .

Vậy

Ví dụ 1.1.6.2. Tìm khai triển Fourier của hàm số f ( x) = x 2 trên đoạn [ −1,1] .


Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên bn = 0, n = 1, 2,...
Ta có
a0 =

1

∫

−1

an =

1

f ( x)dx = 2 ∫ x 2 dx =
0

1

2
3

1

∫ f ( x) cos nπ xdx = 2∫ x

−1

2


cos nπ xdx = (−1) n

0

Vậy khai triển Fourier cần tìm là
1 4 ∞ ( −1) n
x = + 2 ∑ 2 cos nπ x , với −1 ≤ x ≤ 1 .
3 π n =1 n
2

- 11 -

4
n π2
2


1.2 Phép biến đổi Fourier
Một hàm f(x) liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2π có thể được biểu diễn bởi chuỗi
Fourier
∞
1
f ( x) = ao + ∑ (an cos nx + bn sin nx)
2
n =1

an =
bn =

1


π
1

π

(1.5)

π

∫π f ( x) cos nxdx, n = 0,1, 2,...

−

π

(1.6)

∫π f ( x) sin nxdx , n = 0,1, 2,...

−

Chúng ta có thể nhìn các phương trình (1.5), (1.6) dưới các quan điểm như sau:
Với mỗi f(x) chúng ta cho tương ứng một tập các số thực {an , bn } , n=0,1,2…bởi ánh
xạ F
F
f ( x) ⎯⎯
→ {an , bn }

F được gọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn của hàm f(x).

F
→ f ( x) , F-1 gọi là phép biến đổi Fourier đảo
Từ (1.5) ta lại thấy rằng {an , bn } ⎯⎯
−1

hữu hạn.
Cặp công thức (1.5), (1.6) được gọi là công thức Fourier thuận nghịch.
Nếu biết f(x) thì từ (1.6) ta được {an , bn } và ta gọi là biến đổi Fourier hữu hạn của
f(x). Ngược lại, nếu có {an , bn } thì từ (1.5) ta được f(x) và gọi là biến đổi Fourier đảo
của {an , bn } .
Áp dụng công thức Euler:

1
cos nx = (einx + e−inx )
2
1
sin nx = (einx − e−inx )
2i
ta có (1.5) được viết lại:

f ( x) =

∞

∑Ce

n =−∞

1
Với Cn =

2π

− inx

(1.7)

n

π

∫π f ( x)e

−

- 12 -

inx

dx

(1.8)


Nếu f khá tốt thì:
1
2π

π

∫


−π

π
1 ⎧⎪
⎪⎫
inx π
− in ∫ f ( x)einx dx ⎬
f '( x)e dx =
⎨ f ( x )e
−π
2π ⎩⎪
−π
⎭⎪
inx

Giả sử f (π ) = f (−π )
Khi đó
1
2π

π

∫

−π

π

1

f '( x)e dx = −
in ∫ f ( x)einx dx = −inCn
2π −π
inx

Vế bên trái là phép biến đổi Fourier hữu hạn của f '( x) , vế bên phải là phép
biến đổi Fourier hữu hạn của f(x) nhân với hệ số -in. Áp dụng công thức (1.7), ta
được:
∞

f '( x) =

∑ −inC e

− inx

n

n =−∞

(1.9)

Như vậy đạo hàm theo x của f(x) có được bằng cách nhân hệ số Fourier của
f(x) với –in. Tương tự nếu f '(π ) = f '(−π ) thì
∞

∑ −n C e

f ''( x) =


2

− inx

n

n =−∞

Bây giờ, giả sử chúng ta có một hàm f(x) không tuần hoàn được định nghĩa ở
trên khoảng –L < x < L.
Đặt x’=( π /L)x thì trong khoảng ( − L, L ) chúng ta có thể biểu diễn f(x) dưới
dạng chuỗi Fourier như sau:

f(

L

π

∞

∑Ce

x ') =

n =−∞

1
Với Cn =
2π


π

∫

− inx'

n

L
f ( x ')einx' dx '

−π

π

Trở về biến x:

f ( x) =

∞

∑ C ( L )e

n =−∞

− in(π /L)x

n


(1.10)

L

C

( L)
n

1
=
f ( x )ein(π /L)x dx
∫
2L − L
- 13 -

(1.11)


(1.10) và (1.11) là cặp biến đổi Fourier thuận nghịch trên ( − L, L ) .
Nếu f(x) được xác định trên ( −∞, +∞ ) thì ta sẽ tìm cách biến đổi cặp công
thức thuận nghịch (1.10), (1.11) bằng cách cho L → ∞ ta sẽ được một cặp Fourier
thuận nghịch ở trên khoảng vô hạn ( −∞, +∞ ) .
⎧ π⎫
Chúng ta nhận xét rằng dãy ⎨n ⎬ , n=0,1,2…càng ngày càng dày đặc trên
⎩ L⎭
đường thẳng thực khi L → ∞ . Điều này cho phép ta thay ở trong (1.10) và (1.11)
n(π / L) → ω ∈ ℜ liên tục.

Với ω cố định, cho L → ∞ . Từ (1.11)

∞

∧

∫

lim 2 LCn( L ) = f (ω ) =
L →∞

−∞
∞

∧

F [ f ] ≡ f (ω ) =

Đặt

f ( x)eiω x dx

∫

f ( x)eiω x dx

(1.12)

−∞

là biến đổi Fourier của f.
Thay vì có hàm Cn( L ) xác định với mỗi trị giá của số nguyên n bây giờ ta có

∧

f (ω ) xác đinh với mỗi trị giá ω thực. Điều kiện cho biểu thức tích phân (1.12) tồn

tại là
∞

∫

f ( x) dx < ∞

−∞

Giả sử f khá tốt
L2

∫

f '( x)eiω x dx = f ( x)eiω x

L1

L2
L1

L2

− iω ∫ f ( x)eiω x dx
L1


L1 → (−∞) và L2 → ∞ và giả sử f ( x) → 0 khi x → ∞
∞

∫

−∞

hay F [ f ' ]=

∞

∧

f '( x)eiω x dx = −iω ∫ f ( x)eiω x dx = −iω f (ω )
−∞

−iω F [ f ]

Tương tự nếu ta có f '( x) → 0 khi x → ∞ thì F [ f '' ]=

- 14 -

−ω2 F [ f ]


Tính chất này tương tự như phép biến đổi Fourier hữu hạn đã nói ở trên, đưa
phương trình đạo hàm riêng về phương trình vi phân thường. Điều khác biệt ở đây là
phép biến đổi Fourier dùng ở miền −∞ < x < ∞ .
D Công thức biến đổi Fourier đảo
∞


Nếu f thoả

∫

∞

∫

f < ∞ (tuyệt đối khả tích) và

−∞

f 2 < ∞ (bình phương khả tích)

−∞

thì có cặp công thức thuận nghịch
∞

∧

∫

f (ω ) =

∧

f ( x)eiω x dx , F [f] = f


−∞

f ( x) =

∞ ∧

1
2π

∫

∧

f (ω )e − iω x d ω , F-1[ f ] = f

−∞

Ta đi vào chứng minh.
Ta có

1
2π

∞ ∧

∫

f (ω )e

− iωt


−∞

1
dω =
2π

∞

∫e

− iωt

−∞

∞

dω ∫ f ( x)eiω x dx
−∞

Đổi thứ tự lấy tích phân
1
2π

∞ ∧

∞

−∞


−∞

∫

f (ω )e − iωt d ω =
∞

∫

∫

f ( x)dx

∞

1
2π

∫e

− iω ( t − x )

dω

−∞

f ( x)δ (t − x)dx = f (t )

−∞


với δ (t − x) là hàm Dirac delta.
D Định lý tích chập
Cho hai hàm thực f và g, tích chập của f và g là một hàm thực h định nghĩa bởi
( f * g )(t ) = h(t ) =

∞

∫

−∞

∞

f (t − τ ) g (τ )dτ = ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ
−∞

Định lý 1.2 (định lý tích chập):
Nếu có f và g sao cho
∧

f (ω ) =

∞

∫

∧

f ( x)eiω x dx ; g (ω ) =


−∞

∞

∫ g ( x )e

−∞

và

( f * g )(t ) = h(t )

thì

h(ω ) = f (ω ) g (ω )

∧

∧

Chứng minh:
- 15 -

∧

iω x

dx



Ta có:
∧

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

iωt
iωt
∫ h(t )e dt = ∫ e dt ∫ f (t − x) g ( x)dt

h(ω ) =

Đổi biến z = t – x ⇒ t = z + x , dt = dz
∧

h(ω ) =

∞

∫e


iω ( z + x )

−∞

dz ∫ f ( z ) g ( x)dx
−∞

∞

∞

−∞

−∞

∧

h(ω ) =

∞

∧

∧

iω z
iω x
∫ e f ( z )dz ∫ e g ( x)dx = f (ω ) g (ω )

1.3 Phép biến đổi Laplace

Cho hàm f(t) được xác định trên khoảng [ 0,∞ ) . Biến đổi Laplace (còn gọi là
ảnh Laplace) của f(t) là hàm F(p) được xác định bởi tích phân:
∞

F(p) = ∫ e − pt f (t )dt

(1.13)

0

với điều kiện tích phân này hội tụ, p là một số phức. Phép biến đổi từ f(t) sang F(p)
theo (1.13) được gọi là phép biến đổi Laplace.
Điều kiện để tích phân (1.13) hội tụ là tồn tại các hằng số M và α sao cho
f (t ) ≤ Meα t cho mọi t > 0. Biến đổi Laplace còn được kí hiệu:

F(p) ≡ L [ f (t ) ]
1.3.1 Các tính chất cơ bản của L [ f (t ) ]
● Tính tuyến tính
⎡n
⎤ n
L ⎢ ∑ Ci f i (t ) ⎥ = ∑ Ci L [ f (t )]
⎣ i =1
⎦ i =1

● Tính chất đồng dạng

Nếu L [ f (t )] = F(p) thì L [ f (α t )] =

1


α

F(

p

α

)

● Định lý tịnh tiến thứ nhất

Nếu L [ f (t )] = F(p) thì L ⎡⎣e at f (t ) ⎤⎦ = F(p-a)
● Định lý tịnh tiến thứ hai

Nếu L [ f (t )] = F(p) thì L [ua (t ) f (t − a)] = e − ap F(p)
trong đó hàm Heaviside
- 16 -


⎧0, 0 ≤ t < a
ua (t ) = ⎨
⎩1, t ≥ a

● Ảnh Laplace của đạo hàm

Nếu L [ f (t )] = F(p) thì L [ f '(t )] = pF(p) – F(0)

L ⎡⎣ f ( n ) (t ) ⎤⎦ = p n F ( p) − p n −1 f (0) − p n −2 f '(0) − ... − f ( n −1) (0)
● Đạo hàm của ảnh Laplace


Nếu L [ f (t )] = F(p) thì F(n)(p) = L ⎡⎣(−1) n t n f (t ) ⎤⎦
● Ảnh Laplace của tích phân

⎡t
⎤ F ( p)
Nếu L [ f (t )] = F(p) thì L ⎢ ∫ f (τ )dτ ⎥ =
p
⎣0
⎦
● Tích phân của ảnh Laplace

Nếu L [ f (t )] = F(p) thì

∞

⎡ f (t ) ⎤
t ⎥⎦

∫ f ( p)dp = L ⎢⎣
p

● Ảnh Laplace của hàm tuần hoàn

Nếu f(t + T) = f(t) thì L [ f (t )] =

1 T − pt
e f (t )dt
1 − e− pT ∫0


● Ảnh laplace của tích chập hai hàm

Tích chập của hai hàm liên tục ϕ (t ), f (t ) với 0 ≤ t < ∞ là hàm
t

ϕ * f (t ) ≡ ∫ ϕ (t − τ ) f (τ )dτ
0

Định lý Borel:
Nếu L [ϕ (t ) ] = φ ( p ) , L [ f (t ) ] = F ( p ) thì L [ϕ * f ] = φ ( p) F ( p ) .
1.3.2 Biến đổi Laplace ngược
Phép biến đổi từ hàm F(p) sang hàm f(t)

L−1 [ F( p)] = f (t )
được gọi là phép biến đổi Laplace đảo nếu và chỉ nếu

L [ f (t )] = F(p)
Ta có thể xác định f(t) khi cho trước F(p) dựa vào các tính chất của L [ f (t )] .
- 17 -


Định lý 1.3
Nếu f(t) là một hàm gốc có chỉ số tăng là s0 và F(p) là hàm ảnh của f(t) thì tại mọi
điểm liên tục của hàm f(t), ta có

1 a + i∞
F( p)e pt dp
∫
2π i a −i∞


f (t ) =

trong đó, a là một số thực bất kì, a > s0 .

1.4 Bài toán Sturm – Liouville. Hàm đặc biệt
1.4.1 Bài toán Sturm – Liouville
Bài toán Sturm – Liouville là bài toán biên tuyến tính cấp hai thuần nhất chứa
một tham số dạng
⎧[ p ( x) y '] '− q( x) y + λ r ( x) y = 0, 0 < x < 1
⎪
⎨a1 y (0) + a2 y '(0) = 0
⎪b y (1) + b y '(1) = 0
2
⎩1

(1.14)
(1.15)
(1.16)

trong đó các hàm p, p ', q và r là liên tục trên đoạn 0 ≤ x ≤ 1 và hơn nữa p(x) > 0 và
r(x) > 0 với mọi điểm trong 0 ≤ x ≤ 1 ; a1 , b1 , a2 , b2 là các hằng số, λ là tham số.
Người ta bảo bài toán biên thuần nhất (1.14), (1.15), (1.16) là bài toán Sturm
– Liouville kỳ dị nếu các hàm p, p ', q và r chỉ liên tục trong khoảng hở 0 < x < 1 và
không thỏa các điều kiện trên ở một hoặc hai điểm biên.
Ta có định lý sau (không chứng minh) 2 :
Nếu φ1 và φ2 là các hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville (1.14), (1.15),
(1.16) ứng với các trị riêng λ1 và λ2 . Nếu λ1 ≠ λ2 thì φ1 và φ2 trực giao đối với hàm
trọng lượng r ở trên 0 < x < 1 nghĩa là
1


∫ rφ φ dx = 0
1 2

0

1.4.2 Hàm Bessel
Xét bài toán:
( xu ') '− (m 2 / x)u + λ xu = 0 , 0 < x < 1

(1.17)

u (1) = 0
u bị chặn khi x → 0
2

Người đọc có thể tham khảo chứng minh trong tài liệu tham khảo [4]

- 18 -

(1.18)


xu ' = 0 khi x → 0

m là hằng số thực, λ là tham số.
(1.17), (1.18) là bài toán Sturm – Liouville có một điểm kỳ dị tại biên x = 0.
Đặt t = x λ thì (1.17) trở thành

d ⎛ du ⎞ m 2
u + tu = 0

⎜t ⎟ −
dt ⎝ dt ⎠ t
hay

d 2u
du
t
+t
+ (t 2 − m2 )u = 0
(1.19)
2
dt
dt
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai gọi là phương trình Bessel bậc
2

m.
Ta muốn tìm nghiệm riêng giải tích tại t = 0 dưới dạng chuỗi nguyên
∞

u (t ) = t α ∑ ant n , a0 ≠ 0

(1.20)

n =0

Lấy đạo hàm của (1.20) theo t rồi thế vào (1.19). Gom chung các số hạng
cùng mũ t ta được

[


]

{[

]

}

∞
⎧
⎫
t α −1 ⎨ (α 2 − m 2 ) a 0 + (α + 1) 2 − m 2 a1t + ∑ (α + n ) 2 − m 2 a n + a n − 2 t n ⎬ = 0
n=2
⎩
⎭

Chuỗi này đồng nhất không chỉ nếu các hệ số của t triệt tiêu
Suy ra

α = ± m , a1 = 0 , an = −

an − 2
, n = 2,3,...
(α + n) 2 − m 2

1
(hằng số tuỳ ý) lúc đó ta được một nghiệm của
2 m!
(1.19) giải tích tại t = 0 gọi là J m (t ) .

Chọn α = m và a0 =

m

(−1) k (t / 2) m + 2 k
k !(m + k )!
k =0
∞

J m (t ) = ∑

(1.21)

(1.21) được gọi là hàm Bessel loại 1 cấp m.
Hàm Bessel thông dụng nhất là hàm Bessel bậc 0 và bậc 1.
Ta có
2k

(−1) k ⎛ t ⎞
t2
t4
t6
J 0 (t ) = ∑
⎟ = 1 − 2 + 2 2 − 2 2 2 + ...
2 ⎜
2 2 .4 2 .4 .6
k = 0 ( k !) ⎝ 2 ⎠
∞

(−1) k ⎛ t ⎞

J1 (t ) = ∑
⎜ ⎟
k = 0 k !( k + 1)! ⎝ 2 ⎠
∞

2 k +1

3

5

t
1 ⎛t⎞
1 ⎛t⎞
= −
⎜ ⎟ +
⎜ ⎟ − ...
2 1!2! ⎝ 2 ⎠ 2!3! ⎝ 2 ⎠

- 19 -


Ta nhận thấy J 0 '(t ) = − J1 (t )
Phép thử tỷ số cho thấy chuỗi nguyên (1.21) hội tụ, khi t → ∞ , thì J m (t ) có
dáng điệu như t.
1.4.2.1 Đạo hàm và công thức truy hồi

Nhân chuỗi (1.21) với t − m , đạo hàm từng số hạng theo t rồi thu gọn thì được
d −m
(t J m (t )) = −t − m J m +1 (t )

dt

(1.22)

Nếu nhân chuỗi (1.21) với t m , đạo hàm, thu gọn thì được
d m
(t J m (t )) = t m J m −1 (t )
dt

(1.23)

Từ (1.22) ta suy ra
− mt − m −1.J m (t ) + t − m .J m '(t ) = −t − m .J m +1 (t )

Hay
J m '(t ) −

m
J m (t ) = − J m +1 (t )
t

Từ (1.23) ta suy ra
mt m −1.J m (t ) + t m J m '(t ) = t m J m −1 (t )

Hay
J m '(t ) +

m
J m (t ) = J m −1 (t )
t


Từ đó ta có
t
[ J m−1 (t ) + J m+1 (t )]
2m
1
J m '(t ) = [ J m −1 (t ) − J m +1 (t ) ]
2
1.4.2.2 Zero của hàm Bessel J m (t )
J m (t ) =

Trở lại phép đổi biến t = λ x
Nghiệm giải tích tại x = 0 của phương trình
( xu ')'− (m 2 / x)u + λ xu = 0

là

J m ( λ x)

Dùng điều kiện biên u(1) = 0
- 20 -

(1.24)


Suy ra
Jm ( λ ) = 0

(1.25)


Giải phương trình (1.25) ta được các trị riêng của bài toán (1.17), (1.18).
Người ta chứng minh được rằng, với m thực thì phương trình J m (t ) = 0 có vô
số nghiệm dương kí hiệu là
j1( m ) , j2( m ) ,..., > 0

Các nghiệm này lập thành dãy vô hạn { jk( m ) } k = 1, 2,...
Với jk( m ) → ∞ khi k → ∞
Các jk( m ) được gọi là zero của hàm Bessel J m (t )
1.4.2.3 Họ trực giao đầy đủ Bessel

Các trị riêng của bài toán Sturm – Liouville (1.17), (1.18) gọi là λk( m ) được
cho bởi các zero của hàm Bessel J m (t )

λk( m ) = ⎡⎣ jk( m ) ⎤⎦

2

Suy ra
jk( m ) = λk( m )

Các hàm riêng tương ứng là J m ( λk( m ) x)

{

}

Như vậy ta có họ các hàm riêng J m ( λk( m ) x) , k = 1, 2,... là họ trực giao trên
0 < x < 1 đối với hàm trọng lượng r(x) = x và
1


∫ xJ

m

( λ

(m)
k

x).J m ( λ

(m)
i

0

,k ≠i
⎧0
⎪
2
x)dx = ⎨ 1
⎡ J m +1 ( λk( m ) ) ⎤ , k = i
⎪⎩ 2 ⎣
⎦

Ta sẽ chứng minh (1.26).
Ta có u = J m (t ) là nghiệm của phương trình
t2

d 2u

du
+t
+ (t 2 − m 2 )u = 0
2
dt
dt

Và u 1 ( x) = J m ( λk( m ) x); u2 ( x) = J m ( λi( m ) x) là nghiệm của phương trình

- 21 -

(1.26)


⎛ ( m) m2 ⎞
m2
1
(m)
( xu1 ') '−
u1 + λk xu1 = 0 ⇔ u1 ''+ u1 '+ ⎜ λk − 2 ⎟ u1 = 0
x
x
x ⎠
⎝

(*)

⎛ ( m) m2 ⎞
m2
1

(m)
( xu2 ') '−
u2 + λk xu2 = 0 ⇔ u2 ''+ u2 '+ ⎜ λk − 2 ⎟ u2 = 0
x
x
x ⎠
⎝

(**)

và

Nhân (*) với u2 và (**) với u1 rồi trừ vế theo vế ta được:
1
(u1 ''.u2 − u1 .u2 '') + (u1 '.u2 − u1 .u2 ') + ( λk( m ) − λi( m ) ) u1u2 = 0
x
d
⇔ x (u1 '.u2 − u1 .u2 ') + (u1 '.u2 − u1 .u2 ') = ( λi( m ) − λk( m ) ) xu1u2
dx
d
⎡⎣ x(u1 '.u2 − u1 .u2 ') ⎤⎦ = ( λi( m ) − λk( m ) ) xu1u2
⇔
dx

Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên từ 0 → 1:
1
d
⎡⎣ x(u1 '.u2 − u1 .u2 ') ⎤⎦dx = ⎡⎣ x(u1 '.u2 − u1 .u2 ') ⎤⎦
0
0 dx


1

1

( λi( m) − λk( m ) ) ∫ xu1u2 dx = ∫
0

+ Với k ≠ i :
Suy ra
1

∫ xJ

m

( λk( m ) x).J m ( λi( m ) x)dx =

0

λ

(m)
i

1
[u1 '(1).u2 (1) − u1 (1).u2 '(1)]
− λk( m )

Mà

⎧u 1 (1) = J m ( λk( m ) )
⎪
⎨
⎪⎩ u2 (1) = J m ( λi( m ) )

là các zero của hàm J m (t ) nên suy ra
1

∫ xJ

m

( λk( m ) x).J m ( λi( m ) x)dx = 0

0

+ Với k = i :
Khi đó (*) và (**) là một phương trình.
Nhân (*) với 2 x 2u1 ' thì

- 22 -


⎡⎣ 2 x 2u1 '.u1 ''+ 2 x(u1 ') 2 ⎤⎦ + 2λk( m ) x 2u1u1 '− 2m 2u1u1 ' = 0
⇔ ⎣⎡ 2 x 2u1 '.u1 ''+ 2 x(u1 ') 2 ⎦⎤ + ⎣⎡ 2λk( m ) x 2u1u1 '+ 2λk( m ) x(u1 ) 2 ⎦⎤ − 2λk( m ) x(u1 ) 2 − 2m 2u1u1 ' = 0
d 2
d
d
⎡⎣ x (u1 ') 2 ⎤⎦ + ⎡⎣λk( m ) x 2 (u1 ) 2 ⎤⎦ − 2λk( m ) x(u1 ) 2 − ( m 2 (u1 ) 2 ) = 0
dx

dx
dx
d
⇒ 2λk( m ) x(u1 ) 2 = ⎡⎣ x 2 (u1 ') 2 + λk( m ) x 2 (u1 ) 2 − m 2 (u1 ) 2 ⎤⎦
dx
Lấy tích phân hai vế từ 0 → 1:
⇔

2λ

(m)
k

2

1

∫ x ⎡⎣ J

m

( λ

(m)
k

0

1
x) ⎤ dx = ⎡⎣ x 2 (u1 ') 2 + λk( m ) x 2 (u1 ) 2 − m 2 (u1 ) 2 ⎤⎦

⎦
0
= [u1 '(1)] + λk( m ) [u1 (1) ] − m 2 [u1 (1) ] − m 2 [u1 (0)]
2

2

2

2

Vì
u1 (1) = J m ( λk( m ) ); u1 '(1) = λk( m ) J m '( λk( m ) ); u1 (0) = J m (0) = 0

nên
2

1

2λ

(m)
k

(m)
(m)
(m)
(m)
2
(m)

∫0 x ⎣⎡ J m ( λk x) ⎦⎤ dx = λk ⎣⎡ J m '( λk ) ⎦⎤ + ( λk − m ) . ⎣⎡ J m ( λk ) ⎤⎦
2

2

Suy ra
2

2
2
1⎡
1⎛
m2 ⎞ ⎡
(m)
(m) ⎤
(m) ⎤
⎡
⎤
=
+
−
)
λ
λ
λ
x
J
(
x
)

dx
J
'(
)
1
.
J
(
⎜
⎟
m
k
k
∫0 ⎣ m k ⎦
⎦ 2 ⎝ λk( m ) ⎠ ⎣ m
⎦
2⎣
1

2
1⎡
1

J m '( λk( m ) ) ⎤ = J m2 +1 ( λk( m ) )
⎦
2⎣
2
Ứng với mỗi m cố định ta có một họ trực giao và người ta chứng minh được

=


{

}

rằng họ J m ( λk( m ) x) đầy đủ ở trên 0 ≤ x ≤ 1 . Điều này có nghĩa là: Giả sử có hàm f
bất kì trên [0,1] khá tốt, thì người ta có thể khai triển f thành chuỗi Fourier theo các
hàm riêng J m ( λk( m ) x) . Thật vậy, giả sử ta có thể khai triển
∞

f ( x) = ∑ Ck J m ( λk( m ) x)
k =0

Nhân hai vế (1.27) với xJ m ( λi( m ) x) rồi lấy tích phân từ 0 → 1 ta nhận được

- 23 -

(1.27)


1

Ck =

∫ xf ( x) J

m

( λk( m ) x)dx


0
1

2

(m)
∫0 x ⎡⎣ J m ( λk x) ⎤⎦ dx

Hay
1

Ck =

∫ xf ( x) J

m

( λk( m ) x)dx

(1.28)
1 2
(m)
J m +1 ( λk )
2
(1.27) và (1.28) là chuỗi Fourier – Bessel.
Người ta chứng minh được rằng chuỗi Fourier – Bessel (1.27) và (1.28) hội tụ
trung bình về hàm f ở trên khoảng (0,1). Điều này có nghĩa là

{J (
m


0

}

λk( m ) x) , k = 1, 2,... đầy đủ trên 0 < x < 1 với hàm trọng lượng x.

1.4.3 Đa thức Legendre
Phương trình vi phân
(1 − x 2 )

d2y
dy
− 2 x + n(n + 1) y = 0
2
dx
dx

(1.29)

với −1 < x < 1 , n ≥ 0, n ∈ Z
là phương trình Legendre.
Chúng ta muốn tìm một nghiệm của phương trình (1.29) dưới dạng chuỗi nguyên
∞

y = ∑ ak x k

(1.30)

k =0


Thay (1.30) vào (1.29) ta được
∞

∑ ⎡⎣ k (k − 1)a x
k

k =0

k −2

(1 − x 2 ) − 2kak x k + n(n + 1)ak x k ⎤⎦ = 0

∞

∑ ⎡⎣[ n(n + 1) − k (k + 1)] a x
k =0

k

k

+ k (k − 1) ak x k −2 ⎤⎦ = 0

Chuỗi (1.31) đồng nhất không chỉ nếu tất cả các hệ số của x triệt tiêu.
Đồng nhất không hệ số của xk
(k + 2)( k + 1)ak + 2 + [ n(n + 1) − k (k + 1)] ak = 0, k = 0,1, 2,...

- 24 -


(1.31)


hay
ak + 2 = −

(n − k )(n + k + 1)
ak
(k + 1)( k + 2)

(1.32)

với k = 0,1, 2,...
Chuỗi (1.31) là một nghiệm của phương trình Legendre (1.29) trên khoảng
hội tụ của nó, miễn là các hệ số của x thoả công thức truy hồi (1.32). Trong đó a0, a1
là các hằng số tuỳ ý.
Với n là số nguyên thì từ (1.32) ta thấy khi k = n thì an+2 = 0 và do đó
an + 4 = an +8 = ... = 0
Khi hằng số a0 bằng 0 thì
a2 = a4 = ... = 0

Khi hằng số a1 bằng 0 thì
a3 = a5 = ... = 0

Như vậy, nếu n lẻ và a0 ≠ 0 thì chuỗi (1.31) rút về đa thức bậc n chỉ chứa các
luỹ thừa chẵn của x.
Do đó luôn luôn có một đa thức là nghiệm của phương trình (1.29) thì không
cần xét đến vấn đề hội tụ.
Từ hệ thức truy chứng (1.32)
ak = −


(k + 1)(k + 2)
ak + 2
(n − k )( n + k + 1)

Cho k + 2 = n
an − 2 = −
an − 4 = −

n(n − 1)
an
2(2n − 1)

( n − 2)(n − 3)
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
an − 2 =
an
4(2n − 3)
2.4(2n − 1)(2n − 3)

Bây giờ các đa thức nghiệm của phương trình (1.30) được viết theo lũy thừa lùi của
x
⎡
⎤
n(n − 1) n − 2 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n −4
y ( x) = an ⎢ x n −
x +
x − ...⎥
2(2n − 1)
2.4(2n − 1)(2n − 3)

⎣
⎦
(2n − 1)(2n − 3)...3.1
; n = 1, 2,..., a0 = 1
n!
thì đa thức (1.33) trở thành đa thức Legendre ký hiệu Pn(x).

Chọn

an =

- 25 -

(1.33)