PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC
A.DẠNG TOÁN CHỨNG MINH
I.Chứng minh hai góc bằng nhau.
Cách 1:
Hai góc so le trong, so le ngoài,hoặc đồng vị của hai đường thẳng // thì bằng
nhau. (h1)
Cách2:
Hai góc ở vị trí đối đỉnh. (h2)

(h1)

(h2)

Cách 3:
Hai góc của một tam giác cân. ( hoặc tam giác đều).
Cách 4:
Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng
dạng.
Cách 5:
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau.
Cách 6:
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Cách 7:
Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ 3.
Cách 8:
Chứng minh hai góc cùng phụ hay cùng bù một góc.
Cách 9:
Là hai góc ở đáy của hình thang cân.
Cách 10:
Là hai góc đối của hình bình hành.
Cách 11:

Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác.
Cách 12:
Hai góc bằng tổng hoặc hiệu hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau


Cách 13:
Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.
Cách 14:
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
II.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Cách 1:
Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
Cách 2:
Hai cạnh bên của tam giác hoặc hình thang cân.
Cách 3:
Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
Cách 4:
Hai cạnh đối của hình bình hành ( hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông).
Cách 5:
Hai dây căng hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn
bằng nhau.
Cách 6:
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Cách 7:
Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành.
Cách 8:
Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.
Cách 9:
Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Cách 10:

Sử dụng tính chất đường trung trực.
Cách 11:
Sử dụng tính chất đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và // với
cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Cách 12:
Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm.
Cách 13:
Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một biểu thức.
III.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Cách 1:
Sử dụng tính chất tiếp tuyến. ( vuông góc với bán kinh đi qua tiếp điểm)


Cách 2:
Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính- cung và dây.

M

Cách 3:
Sử dụng định nghĩa đường trung trực.

B

A

Cách 4:
N
Tính chất các đường đồng thời trong tam giác cân.
Cách 5:
Chứng minh là đường cao còn lại của tam giác.

Cách 6:
Là hai tia phân giác của hai góc kề bù
Cách 7:
Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. ( chứng minh tam giác vuông):
a) áp dụng định lý đảo của định lý Pi – Ta – Go.
b) Trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng.
c) Tam giác ABC có tổng hai góc bằng 900.
Cách 8:
Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng //
thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Cách 9 :
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 900.
IV.Chứng minh hai đường thẳng //.
Cách 1:
Chứng minh chúng tạo với một cát tuyến
hai góc:
* bằng nhau ở vị trí:
a) so le trong
b) so le ngoài
c) đồng vị
* bù nhau ở các vị trí:
a) trong cùng phía.
b) ngoài cùng phía.
Cách 2:
Chứng minh chúng cùng // với đường thứ 3.
Cách 3:

B



Chứng minh chúng cùng vuông góc với đường thứ 3.
Cách 4:
Là hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau trong một đường tròn.
Cách 5:
Sử dụng tính chất đường trung bình.
Cách 6:
Sử dụng định lý Ta_Lét đảo.
Cách 7:
Là hai cạnh đối của hình bình hành.
Cách 8:
Là hai cạnh đáy của hình thang.
V.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Cách làm
Hình minh họa
Cách 1:
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng
0
180 (hình thang cân, hình chữ nhật,
hình vuông đều là tứ giác nội tiếp)

Cách 2: (h8)
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng
nhìn xuống cạnh chứa hai đỉnh còn lại
dưới một góc α( hai góc bằng nhau).

Cách 3: (h9)
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh
bằng góc trong của đỉnh đối diện.

Cách 4: (h10)

Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một
điểm ( mà điểm đó có thể xác đinh
được). Điểm đó là tâm của đường tròn
ngoại tiếp tứgiác.


Cách 5 : trường hợp đặc biệt:
( Khi áp dụng cần phải chức minh)
a)Nếu hai cạnh đối của tứ giác
AB và DC cắt nhau tại M
thỏa mãn: MA.MB = MD.MC
ta có thể chứng minh:

C

D
M
B

A

tứ giác ABCD nội tiếp.
b)Nếu hai đường chéo của tứ
giác AC và BD cắt nhau tại P thỏa
mãn:
PA.PC = BD. PB
Ta có thể chứng minh :

C


D

P

A

B

tứ giác ABCD nội tiếp.

VI.chứng minh dẳng thức hình học.
Chứng minh a.b = c.d ( chứng minh đẳng thức tích). Chuyển về chứng minh
tỷ lệ thức:
a d
a c
= hoặc =
c b
d b

Cách 1:Gắn vào hai tam giác đồng dạng.
Cách 2: Sử dụng định lý Talét, hệ quả của định lý Talét.
Cách 3: Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
Cách 4: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cách 5: Lập hai tỷ số từ tích chứng minh chúng cùng bằng một tỷ số thứ ba.
VII.Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
1.Trường hợp tam giác thường:
a) Ba cạnh bằng nhau đôi một ( c-c-c).
b) Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau (c-g-c).
c) Một cặp cạnh bằng nhau kề giữa hai cặp góc bằng nhau (g-c-g).
2.Trường hợp tam giác vuông:

a) Cạnh huyền – góc nhọn tương ứng bằng nhau.


b) Cạnh huyền – cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
VIII.Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
1.Trường hợp tam giác thường:
a) Có hai góc bằng nhau.
b) Có một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
c) Có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
2.Trường hợp tam giác vuông.
a) Có một cặp góc nhọn bằng nhau.
b) Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ.
IX.Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của (O;R).
Cách 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.
Cách 3: Chứng minh góc tạo bởi tia MT với một dây của đường tròn bằng nửa số
đo của cung bị chắn.
A
T
C

MT là tiếp tuuyến của (O;R)
*Hoặc
B

MT là tiếp tuuyến của (O;R)
Cách 4: Đặc biệt:
Nếu MT2=MA.MB đi chứng minh:

A


M

B

MT là tiếp tuuyến của (O;R)
T
a
X.Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng.
Cách 1:
Chứng minh AB,AC cùng // với một đường thẳng

.

.

A
B
Cách 2:
Chứng minh BC, BA cùng vuông góc với một đường thẳng.
Cách 3:
Chứng minh ba điểm đó tạo thành một góc bẹt. (
= 1800)
Cách 4:

.

C



Chứng A, B, C cùng thuộc thuộc một đường nào đó: đường trung trực của
đoạn thẳng, đường phân giác của một góc.
Cách 5:
Chứng minh AB, AC là hai tia trùng nhau.
XI. Chứng minh ba đường đồng qui.
Cách 1:
Chứng minh đó là 3 đường trung tuyến,3 đường cao, 3 đường trung trực, 3
đường phân giác trong (hoặc một phân giác trong và hai phân giác ngoài của hai
góc còn lại) trong một tam giác.
Cách 2:
Gọi giao điểm của hai đường là Q chứng minh đường còn lại cũng đi qua Q.
B. DẠNG BÀI TẬP TÍNH TOÁN.
I.Tính số đo góc.
Dựa vào các kiến thức sau:
1.Gắn vào giải tam giác vuông (Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông)
2.Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 1800.
3.Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 900.
3.Tính chất các góc trong đường tròn.
5.Góc này bằng góc kia đã biết số đo.
II.Tính độ dài đoạn thẳng.
Cách 1: Gắn vào giải tam giác vuông.
Cách 2: áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.
Cách 3: Gắn vào tỷ lệ thức (xem các cách như chứng minh dẳng thức hình
học).
III. Tính diện tích chu vi các hình.
*Có thể chuyển về bài toán tính độ dài các đoạn thẳng
* Chú ý :
-Tỷ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỷ số đồng
dạng.
- Tỷ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng.

- Hai tam giác có chung đường cao thì tỷ số diện tích bằng tỷ số cạnh tương
ứng. Hai tam giác có chung cạnh thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai đường cao tương
ứng.
- Khéo léo khi phân chia hình.
C.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÌNH A LÀ HÌNH B
*Giả sử hình A là hình B cần thêm điều kiên gì? Điều kiện đó có liên quan
gì đến điều kiện bài ra?


D.DẠNG QUĨ TÍCH HAY TẬP HỢP ĐIỂM
1.Nếu M cách đều hai đầu đoạn thẳng AB cố định thì M nằm trên trung trực của
AB.
2.Nếu M cách đều hai cạnh của một góc thì M nằm trên tia phân giác của góc đó.
3.Nếu M cách O cố định một khoảng không đổi R thì thuộc (O;R).
4.Nếu M nhìn xuống AB cố định một góc không đổi thì M nằm trên cung chứa
góc dựng trên đoạn AB.
5.Nếu M cách đường thẳng cố định a một khoảng bằng h thì M nằm trên 2 đường
thẳng // với a và cách a một khoảng bằng h.

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC CƠ BẢN
Bài 1
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B. Vẽ đườngkính AC và
AD của (O) và (O’). Tia CA cắt đường tròn (O’) tại F,tia DA cắt đường tròn (O)
tại E.
1. Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp
MC
2. Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) và (O’) lần lượt tại M và N. Chứngminh tỉ số
NF
không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A.
3. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

4. Gọi K là giao điểm của NF và ME. Chứng minh đường thẳng KIluôn đi qua một
điểm cố định khi đường thẳng MN quay quanh A
5. Khi MN // EF. Chứng minh MN = BE + BF
Bài 2
Cho hình vuông ABCD cố định . E là điểm di động trên cạnh CD(E ≠C và D ). Tia
AE cắt đường thẳng BC tại F. Tia Ax vuông gócvới AE tại A cắt đường thẳng DC
tại K.
1. Chứng minh ∠CAF = ∠CKF .
3. Chứng minh ∆KAF vuông cân
4. Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF
5. Gọi M là giao điểm của BD và AE. Chứng minh IMCF nội tiếp
ID
6. Chứng minh khi điểm E thay đổi vị trí trên cạnh CD thì tỉ số
không đổi.
CF
Tính tỉ số đó?
Bài 3
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M là điểmthuộc cung nhỏ
AC. Vẽ MH ⊥BC tại H , vẽ MI ⊥AC tại I.
1. Chứng minh ∠IHM = ∠ICM .


2. Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K.Ch/ minh MK⊥BK.
3. DF cắt EB tại M, HF cắt EC tại N.Chứng minh ∆MIH ~ ∆MAB.
4. Gọi E là trung điểm IH và F là trung điểm AB. Chứng minh tứgiác KMEF nội
tiếp . Suy ra ME ⊥EF.
Bài 4
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC vớiđường tròn ( B
và C là hai tiếp điểm ).Vẽ CD ⊥AB tại D cắt (O) tạiE. Vẽ EF ⊥BC tại F; EH ⊥AC
tại H.

1. Chứng minh các tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp.
2. Chứng minh EF2 = ED. EH.
3. Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp.
4. Chứng minh MN ⊥EF.
Bài 5
Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn . Vẽ tiếp tuyến AMvà cát tuyến
ACD (tia AO nằm giữa hai tia AM và AD). Gọi I làtrung điểm CD.
1. Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn. Xác định tâm K.
2. Gọi H là giao điểm của MN và OA .Chứng minh CHOD nội tiếp
3. Đường tròn đường kính OA cắt (O) tại N. Vẽ dây CB ⊥MO cắtMN tại F. Chứng
minh CFIN nội tiếp.
4. Tia DF cắt AM tại K. Chứng minh KE ⊥AM.
Bài 6
Cho OM = 3R , MA , MB là hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O)tại C, BC cắt
MA tại F, AC cắt MB tại E.
1. Chứng minh MAOB nội tiếp
2. Chứng minh EB2 = EC.EA
3. Chứng minh E là trung điểm MB
4. Chứng minh BC.BM = MC.AB
5. Tia CF là phân giác của ∠MCA .
6. Tính diện tích ∆BAD theo R.
Bài 7
Cho MA , MB là hai tiếp tuyến của (O). C là điểm thuộc cung nhỏAB. Vẽ CD
⊥AB. CE ⊥MA , CF⊥MB.
1. Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC.
2. Chứng minh CE.CF = CD2.
3. AC cắt ED tại H, BC cắt DF tại K. Chứng minh CHDK nội tiếp
4. Chứng minh HK // AB.
5. Chứng minh HK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoạitiếp ∆CKF và
∆CEH.

6. Gọi I là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (CKF) và (CEH).Chứng minh
đường thẳng CI đi qua trung điểm của AB.
Bài 8
Cho đường thẳng d cắt (O;R) tại C và D. M là điểm di động trên d(M ngoài đường
tròn và MC < MD ). Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (Avà B là hai điểm), H là trung
điểm CD.


1. Chứng minh MIHF và OHEI là các tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh MA2 = MC.MD
3. Chứng minh CIOD nội tiếp
4. Chứng minh 4IF.IE = AB2
5. Chứng minh khi M di động thì đường thẳng AB luôn điểm quađiểm cố định
Bài 9
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; haiđường cao AD
và BE cắt nhau tại H (D ∈BC ; E ∈AC ; AB < AC).
1. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp
2. Chứng minh OC vuông góc với DE
3. CH cắt AB tại F. Chứng minh :
AB 2 + AC 2 + BC 2
AH . AD + BH .BE + CH .CF =
2
4. Đường phân giác trong AN của ∠BAC cắt BC tại N , cắt đườngtròn (O) tại K.
(K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp∆CAN. Chứng minh KO và CI cắt
nhau tại điểm thuộc đườngtròn (O).
Bài 10
Cho (O;R) và dây BC = 2a cố định. M ∈tia đối tia BC. Vẽ đườngtròn đường kính
MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D (A thuộccung lớnBC). AD cắt MO tại H, cắt
OE tại N.
1. Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) và MA2 = MB.MC

2. Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp
3. Tính ON theo a và R
4. Tia DE cắt (O) tại F. Chứng minh ABCF là hình thang cân
Bài 11
Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB . C là điểm chính giữa cung AB , K là
trung điểm BC. AK cắt (O) tại M . Vẽ CI vuông góc vớiAM tại I cắt AB tại D.
1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy ra số đo góc ∠ OID
2. Chứng minh OI là tia phân giác của ∠ COM
OI
3. Chứng minh ∆CIO ~ ∆CMB . Tính tỉ số
MB
AM
4. Tính tỉ số
. Từ đó tính AM , BM theo R
BM
5. Khi M là điểm chính giữa cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIOtheo R
Bài 12
Cho ∆ABC (AC > AB và ∠ BAC< 900). Gọi I , K lần lượt là trungđiểm AB và AC.
Các đường tròn (I ) đường kính AB và (K ) đườngkính AC cắt nhau tại điểm thứ
hai là D . Tia BA cắt (K) tại E; tia CAcắt (I) tại F.
1. Chứng minh B,C, D thẳng hàng
2. Chứng minh BFEC nội tiếp
3. Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với với đường tròn ngoạitiếp ∆AEF. So
sánh DH và DE
Bài 13
Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoàiđường tròn . Từ


điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EFcắt dây AB tại D. Tia CE cắt (O)
tại điêm I. Các tia AB và FI cắtnhau tại K

1. Chứng minh EDKI nội tiếp
2. Chứng minh CI.CE =CK.CD
3. Chứng minh IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của ∆AIB
4. Cho A , B , C cố định. Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổinhưng vẫn đi
qua A , B thì đường thẳng FI luôn đi qua một điểmcố định
Bài 14
Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D . Vẽ đường tròn(O) đường kính
CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) tại E. AEcắt (O) tại F.
1. Chứng minh ABCE nội tiếp
2. Chứng minh ∠ BCA = ∠ ACF
3. Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đườngthẳng BC.
Chứng minh BMCN nội tiếp
4. Xác định vị trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN cóbán kính nhỏ
nhất
Bài 15
Cho ∆ABC có B∝và C∝nhọn .các đường tròn đường kính AB và ACcắt nhau tại
H. Một đường thẳng d tùy ý đi qua A lần lượt cắt haiđường tròn tại M và N.
1. Chứng minh H ∈BC
2. Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao?
3. Gọi I và K là trung điểm của BC và MN. Chứng minh bốn điểm A, H, I , K∈một
đường tròn .Từ đó suy ra quỹ tích của I khi dquay quanh A
4. Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Bài 16
Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng nhau và cắt nhautại A và B. Vẽ
cát tuyến qua B cắt (O) tại E , cắt (O’) tại F.
1. Chứng minh AE = AF
2. Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB (C ∈(O) ; D ∈(O’) ), GọiK là giao điểm
của CE và FD. Chứng minh AEKF và ACKD làcác tứ giác nội tiếp
3. Chứng minh ∆EKF cân
4. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh I , A , K thẳng hàng

5. Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào?
Bài 17
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với(O). Vẽ dây BD
// AC. AD cắt (O) tại K. Tia BK cắt AC tại I.
1. Chứng minh IC2 = IK.IB
2. Chứng minh ∆BAI ~ ∆AKI
3. Chứng minh I là trung điểm AC
4. Tìm vị trí điểm A để CK ⊥AB
Bài 18
Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố định với OA = 2R. BC là đườngkính quay
quanh O. Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC cắt đường thẳngAO tại I.
1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy ra I là điểm cố định


2. Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E. DE cắt OA tại K.
a. Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp
b. Tính AK theo R
c. Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ∆ADEvới OA. Chứng minh tứ
giác BOND nội tiếp . Suy ra Nlà điểm cố định
3. Tìm vị trí của BC để diện tích ∆ABC lớn nhất
4. Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nhỏ nhất.
Bài 19
Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định. M là điểm di chuyển trêncung lớn
cungAB . Vẽ hình bình hành MABC. Vẽ MH ⊥BC tại H cắt (O)tại K. BK cắt MC
tại F.
1. Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp . Suy ra K là trực tâm của∆MBC
2. Tia phân giác của ∠ AMB cắt (O) tại E và cắt tia CB tại N.Chứngminh ∆MBN
cân. Suy ra N thuộc một cung tròn cố định tâm O’khi M di chuyển trên cung lớn
AB
3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O’)

4. Khi AB = R 3 . Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R
Bài 20
Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố định ( AB< 2R ) . Mộtđiểm M tùy ý trên
cung lớn AB ( M≠A , B ) . Gọi I là trung điểmcủa dây AB và (O’) là đường tròn
qua M và tiếp xúc với AB tại A.Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao
điểm thứ hai là N, P.
1. Chứng minh IA2 = IP.IM
2. Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành
3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)
4. Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố
định
Bài 21
Cho ∆ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đườngtròn (O’)
đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳngd quay quanh A cắt
đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N saocho A nằm giữa M và N.
1. Chứng minh H ∈BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông
HM
2. Chứng minh tỉ số
không đổi
HN
3. Gọi I là trung điểm MN , K là trung điểm BC. Chứng minh 4điểm A , H , I , K
cùng thuộc một đường tròn và I di chuyển trênmột cung tròn cố định
4. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích ∆MHN lớn nhất
Bài 22
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng một nửa mặtphẳng bờ AB
kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳngd thay đổi cắt Ax tại M ,
cắt By tại N sao cho AM.BN = a2.
1. Chứng minh ∆AOM ~ ∆BON và ∠ MONvuông
2. Gọi H là hình chiếu của O trên MN. Chứng minh đường thẳng dluôn tiếp xúc
với một nửa đường tròn cố định tại H.



3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆MON chạy trênmột tia cố định
4. Tìm vị trí của đường thẳng d sao cho chu vi ∆AHB đạt giá trị lớnnhất, tính giá
trị lớn nhất đó theo a
Bài 23
Cho ∆ABC có ba góc nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hànhBHCD. Đường
thẳng qua D và // BC cắt đường thẳng AH tại E.
1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , chứng minh ∠ BAE = ∠ OACvà BE
= CD
3. Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng AM cắt OH tại G.Chứng minh G là
trọng tâm của ∆ABC
Bài 24
Cho ba điểm cố định A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự đó ). Mộtđường tròn (O)
thay đổi nhưng luôn đi qua B, C. Từ điểm A kẻ cáctiếp tuyến AM, AN đến đường
tròn (O). Đường thẳng MN cắt AO vàAC lần lượt tại H và K
1. Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định
2. Gọi I là trung điểm BC. Vẽ dây MD // BC. Chứng minh DN điqua điểm cố định
3. Chứng minh đường tròn (OHI) luôn đi qua 2 điểm cố định
Bài 25
Cho ∆ABC có ∝A = 45 0 , BC = a . O là tâm đường tròn ngoại tiếp∆ABC. B’ và
C’ là chân các đường cao hạ từ B và C xuống các cạnhtương ứng . Gọi O’ là điểm
đối xứng của O qua đường thẳng B’C’.
1. Chứng minh A , B’ , O’ , C’ cùng thuộc một đường tròn tâm I
2. Tính B’C’ theo a
3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a
Bài 26
Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếptuyến MA và
MB với (O)

1. Chứng minh ∆AMB đều và tính MA theo R
2. Qua điểm C thuộc cung nhỏ ≈AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tạiE và cắt MB
tại F. Chứng minh chu vi ∆MEF không đổi khi Cchạy trên cung nhỏ AB
3. OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H. Chứng minh EK ⊥OF.
4. Khi sđ BC≈= 900 . Tính EF và diện tích ∆OHK theo R
Bài 27
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định. Điểm A di chuyển trêncung lớn BC.Các
đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
1. Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn
2. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại Mvà N. Chứng
minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộcmột đường tròn
3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua mộtđiểm cố định
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi quamột điểm cố
định O’
5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O)
Bài 28


Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R 3 .Vẽ đường tròn (M) đườngkính BC. Lấy
điểm A∈(M) (A ở ngoài (O) ). AB , AC cắt (O) tại Dvà E. Đường cao AH của
∆ABC cắt DE tại I.
1. Chứng minh AD.AB = AE.AC
2. Chứng minh I là trung điểm DE
3. AM cắt ED tại K. Chứng minh IKMH nội tiếp
AH
4. Tính DE và tỉ số
theo R
AK
5. Tìm vị trí điểm A để diện tích ∆ADE lớn nhất
Bài 29

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyếnchung gần P của hai
đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với(O’) tại B. Tiếp tuyến cỏa (O) tại
P cắt (O’) tại điểm thứ hai là D (D≠P), đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại K.
Chứng minh :
1. Bốn điểm A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn
2. ∆BPK cân
3. Đường tròn ngoại tiếp ∆PQK tiếp xúc với PB và KB
Bài 30
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyếnchung gần B của
hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tạiC và D. Qua A kẻ đường thẳng
song song với CD lần lượt cắt (O) và(O’) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD
lần lượt cắt đườngthẳng MN tại P và Q; các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại
E.Chứng minh :
1. Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2. ∆EPQ cân