L I CAM OAN
Tôi xin cam đoan:
(i) Lu n v n đã đ
tài li u c a tôi d

c hoàn thành v i s h c t p, nghiên c u, s u t m
is h

ng d n c a PGS.TS

V n L u.

(ii) Lu n v n trình bày các k t qu m i đây v t i u.

H c viên
Vy Thanh H

1

ng


L IC M
Tr

c tiên tôi xin đ

d y trong ch

N

c g i l i c m n đ n t t c quý Th y Cô đã gi ng

ng trình Cao h c Toán ng d ng khóa 1 – Tr

Th ng Long, nh ng ng

ng

ih c

i đã truy n đ t ki n th c h u ích v ngành Toán ng

d ng làm c s cho tôi hoàn thành lu n v n này.
c bi t tôi xin chân thành c m n Th y giáo PGS.TS.

V nL u–

Gi ng viên Tr

ng

báu t n tình h

ng d n tôi trong su t quá trình th c hi n luân v n, đ ng th i

còn là ng

i h c Th ng Long. Th y đã dành nhi u th i gian quý

i giúp tôi l nh h i đ


c nh ng ki n th c chuyên môn và rèn luy n

cho tôi tác phong nghiên c u khoa h c.
Qua đây, tôi c ng xin đ
bè thân thi t là nh ng ng

c bày t lòng bi t n sâu s c t i gia đình, b n

i luôn sát cánh bên tôi, t o m i đi u ki n t t nh t

cho tôi, đã nhi t tình giúp đ , chia s , đ ng viên tôi trong su t quá trình h c
t p, c ng nh khi tôi th c hi n và hoàn thành luân v n nay.
M c dù đã r t c g ng song luân v n không kh i có nh ng thi u sót, r t
mong nh n đ

c ý ki n góp ý c a các Th y giáo, Cô giáo và các anh ch h c

viên đ luân v n đ

c hoàn thi n h n.

Phú Th , tháng 04 n m 2015
H c viên th c hiên

Vy Thanh H

ng

2


Thang Long University Libraty


M CL C

Ch

ng 1. S

VECT

T N T I NGHI M C A BÀI TOÁN CÂN B NG

............................................................................................................6

1.1. Các khái ni m và k t qu b tr .......................................................... 6
1.2. S t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect v i gi thi t gi đ n
đi u. ............................................................................................................. 14
1.3. S t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect v i gi thi t t a đ n
đi u. ............................................................................................................. 19
1.4. Tr
Ch

ng h p t ng quát h n. ................................................................ 23

ng 2. CÁC NGHI M H U HI U VÀ H U HI U HENIG C A

BÀI TOÁN CÂN B NG VECT ................................................................ 27
2.1. Các khái ni m và đ nh ngh a ............................................................. 27

2.2. Phép vô h

ng hóa bài toán cân b ng vect .................................... 30

2.3. S t n t i nghi m .............................................................................. 34
2.4. Tính liên thông c a t p nghi m ......................................................... 41
K T LU N .................................................................................................... 46
TÀI LI U THAM KH O ............................................................................ 47

3


M

Bài toán cân b ng vect đ
bao g m nhi u bài toán nh các tr

U

c nhi u tác gi quan tâm nghiên c u. Nó
ng h p đ c bi t: Bài toán b t đ ng th c

bi n phân vect , bài toán t i u vect , bài toán đi m b t đ ng, bài toán bù
vect , bài toán cân b ng Nash,.... Ng

i ta nghiên c u bài toán cân b ng

vect v s t n t i nghi m, đi u ki n t i u, tính n đ nh nghi m, thu t toán
tìm nghi m,….
Nhi u k t qu v s t n t i nghi m c a bài toán cân b ng đã nh n

đ

c. Bianchi, Hadjisavvas và Schaible (1997) đã ch ng minh các k t qu v

s t n t i nghi m h u hi u y u c a bài toán cân b ng vect v i các gi thi t
v tính gi đ n đi u ho c t a đ n đi u. Gong (2001) đã thi t l p m t s k t
qu v s t n t i nghi m h u hi u, nghi m h u hi u Henig c a bài toán cân
b ng vect và tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig c a b t đ ng
th c bi n phân vect .

ây là đ tài đ

c nhi u tác gi trong và ngoài n

c

quan tâm nghiên c u. Chính vì v y tôi ch n đ tài: “V s t n t i nghi m c a
bài toán cân b ng vect ”.
Lu n v n trình bày các k t qu nghiên c u v s t n t i nghi m và tính
liên thông c a t p nghi m c a bài toán cân b ng vect

c a Bianchi,

Hadjisavvas, Schaible (1997) và Gong (2001).
Lu n v n bao g m ph n m đ u, hai ch

ng, k t lu n và danh m c các

tài li u tham kh o.
Ch


ng 1. S t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect

Trình bày các k t qu c a M. Bianchi, N. Hadjisavvas và Schaible [3] v s
t n t i nghi m h u hi u y u c a bài toán cân b ng vect v i các song hàm gi
đ n đi u ho c t a đ n đi u cùng v i m t đi u ki n b c.

4

Thang Long University Libraty


Ch

ng 2. Các nghi m h u hi u và h u hi u Henig c a bài toán cân

b ng vect
Trình bày khái ni m nghi m h u hi u Henig c a bài toán cân b ng
vect , các k t qu v vô h

ng hóa bài toán cân b ng vect , các k t qu v

t n t i nghi m h u hi u và tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig và
t p nghi m h u hi u y u c a b t đ ng th c bi n phân Hartman – Stampacchia
vect . Các k t qu trình bày trong ch

ng này là c a X. Gong [7].

5



Ch
S

ng 1
T N T I NGHI M C A BÀI TOÁN CÂN B NG VECT
Ch

ng 1 trình bày các k t qu v s t n t i nghi m h u hi u y u c a

bài toán cân b ng vect v i các song hàm gi đ n đi u ho c t a đ n đi u và
đi u ki n b c. Các k t qu trình bày trong ch

ng này là c a M. Bianchi, N.

Hadjisavvas và Schaible [3].
1.1.

Các khái ni m vƠ k t qu b tr
Cho X là m t không gian vect tôpô Hausdorff th c, Y là m t không

gian vect l i đ a ph

ng th c. Xét nón C nh n, đóng, l i trong Y, int C   .

Khi đó, C sinh ra m t th t vect trong Y, xác đ nh b i:
x  y n u và ch n u y – x  C.
Do int C   , ta c ng có m t th t y u trong Y, đ
x


y n u và ch n u y – x  int C,

x

y n u và ch n u y – x  C,

c xác đ nh b i

x < y n u và ch n u y – x  C.
Chú ý r ng y  0 kéo theo y

0. H n n a,

x  0, y  0  x  y  0
và

x  0, y  0  x  y  0 ,

6

Thang Long University Libraty


b i vì

C  int C  int C.
N u C là nón l i đóng và Y là không gian l i đ a ph

ng th c thì t n t i


phi m hàm tuy n tính liên t c khác 0 là   C * , trong đó





C*   Y* :  (y)  0,  y  C .

H nn a

 C khi và ch khi  (y)  0 ( C*) ;
yint C khi và ch khi  (y)  0 (  C * / 0) .
Gi

s

K  X là m t t p không r ng, đóng, l i, và xét song hàm

F: K  K  Y sao cho F(x, x)  0 v i m i x  K. Chúng ta s trình bày các k t
qu v s t n t i nghi m c a bài toán cân b ng vect (kí hi u là VEP) nh
sau: Tìm x* K sao cho
0, v i m i, y  K ,

F(x*, y)
hay t

ng đ

ng


F(x*, y)  -int C.
Bài toán b t đ ng th c bi n phân vect (kí hi u là VVI) là m t tr
đ c bi t c a bài toán (VEP) v i
F(x, y) = A( x), y x ,

7

ng h p


trong đó A là m t ánh x t K vào L(X, Y), không gian c a t t c các toán t
tuy n tính liên t c t X vào Y. Các bài toán (VEP) và (VVI) t ng quát hóa các
bài toán t

ng ng trong tr

toán vô h

ng đó l n l

ng h p vô h

ng (Y = R), ta ký hi u các bài

t là (EP) và (VI).

B đ 1.1.1. Gi s a, b  Y, v i a < 0 và b < 0. Khi đó, t p h p các
c n trên c a a và b là không r ng và giao v i (-int C).
Ch ng minh. Ta ph i ch ra t n t i c < 0 sao cho a  c, b  c . Ta ch
c n ch n c =  b, v i  > 0 g n v i 0.

B đ 1.1.2. Gi s a, b  Y, v i a < 0 và b

0. Khi đó, t p h p các

c n trên c a a và b là không r ng và giao v i Y C.
Ch ng minh. Ta ph i ch ra r ng t n t i c

0 sao cho a  c, b  c . Vì

int C  0, t n t i d  int C sao cho d – b  C. V i t  [0, 1], ta đ t

dt = td + (1 - t)b.
Vì C là đóng và l i nên t n t i t0  (0, 1) sao cho

dt  C, v i m i t  [ t0 , 1],
dt  C, v i m i t  [0, t0 ).
Nói riêng, ta có dt  0  a . Nh v y,
0
dt  a  int C .
0

B i v y, v i t1 < t0 đ g n t0 , thì ta có

8

Thang Long University Libraty


dt  a  int C .
1


t c = dt . Khi đó, c  C và do đó c
1

0. H n n a, chúng ta có

c  a , c  b  t1(d -b)  0 .
Bây gi , cho K  X là t p khác r ng, đóng, l i. Xét song hàm F: K x K
 Y. Song hàm F đ

c g i là t a đ n đi u n u v i m i x, y  K,

F(x, y) > 0  F(y, x)  0.
Song hàm F đ
F(x, y)
ho c t

ng đ

c g i là gi đ n đi u n u v i m i x, y  K
0  F(y, x)

0,

ng,

F(x, y) > 0  F(y, x) < 0.
Cu i cùng, song hàm F đ

c g i là gi đ n đi u ch t n u v i m i x  y , x, y


 K,
F(x, y)

0  F(y, x) < 0.

Rõ ràng, tính gi đ n đi u kéo theo tính t a đ n đi u và tính gi đ n
đi u ch t kéo theo tính gi đ n đi u trong tr

ng h p vô h

ng.

i u ng

c

l i không đúng.
M t hàm f : K  Y đ

c g i là n a liên t c d

t ph p

9

i n u v i m i  Y ,


L( )  {x K: f (x)  },

là đóng trong K. M t hàm f : K  Y đ

c g i là n a liên t c trên n u v i m i

 Y , t p h p
U ( )  {x K: f (x)  }
đóng trong K. Chú ý r ng m t hàm liên t c v a là hàm n a liên t c trên v a là
n a liên t c d

i, b i vì

L( )  {x  K: f (x) -   int C} = f 1[(  int C )c ]
L( )  {x  K: f (x) -   (int C )} = f 1[(  int C )c ] .

M t hàm f : K  Y đ

c g i là hemi - liên t c n u v i m i x, y  K , hàm

 (t )  f ( x  t ( y  x)) ,
xác đ nh v i m i t [0, 1] , là n a liên t c trên và n a liên t c d
Ta ch ra r ng tính n a liên t c d

i là t

ng đ

i.

ng v i tính C – liên


t c. Nh c l i: m t hàm f : K  Y là C - liên t c t i x* K n u v i b t k lân
c n V c a f (x*) trong Y, t n t i m t lân c n U c a x* trong X sao cho

f ( x) V  C, xU  K .
H n n a, f là C - liên t c trên K n u nó là C - liên t c t i m i x  K.
B đ 1.1.3. Hàm f : K  Y n a liên t c d

i khi và ch khi nó là C -

liên t c.

10

Thang Long University Libraty


Ch ng minh. Theo đ nh ngh a, f là n a liên t c d

i khi và ch khi v i

m i  Y , t p h p
L( )c  {x  K: f (x) -   int C} = f 1[(  int C )] ,

là m trong K.
Gi s f là C - liên t c. L y x* L( )c . Khi đó, a + int C là m t lân
c n c a f(x*). Do đó, t n t i m t lân c n U c a x* sao cho, v i m i xU  K
f (x)  (a + int C) + C =  + int C;
t c là, v i m i xU  K , ta có x  L( )c . Do đó, L( )c là m trong K.
Ng


c l i, gi s f là n a liên t c d

i. Xét m t lân c n V c a f(x*) v i
x* K. Khi đó, t n t i m t   V sao cho  < f(x*). Vì L( )c là m trong K
nên t n t i m t lân c n U c a x* sao cho, v i m i xU  K , x  L( )c , t c
là f (x) >  . Do đó,
f (x)   + int C  V + C,
và f là C - liên t c.
T B đ 1.1.3, ta suy ra r ng, n u f1: K  Y và f2: K  Y là các hàm
n a liên t c d

i thì hàm f1 + f2 c ng là n a liên t c d

K, v i m i lân c n V c a f1 (x*) + f2 (x*), ta có th tìm đ

i. Th t v y, cho x*
c các lân c n Vi c a

fi (x*), i = 1, 2, sao cho V1  V2  V . Vì f1 và f2 là C – liên t c nên t B đ
1.1.3 ta có th tìm đ

c các lân c n Ui c a x* sao cho

fi ( x) Vi  C , x Ui  K và i = 1, 2.

11


t U  U1 U 2 , ta th y f1 + f2 là C – liên t c, b i v y nó là n a liên t c d


i.

H qu khác c a B đ 1.1.3 có th phát bi u nh sau
B đ 1.1.4. N u f: K  Y là n a liên t c d
 f là n a liên t c d

i thì hàm giá tr th c

i v i m i   C* .

Ch ng minh. N u  = 0 thì b đ đ

c ch ng minh.

Bây gi , gi s   0 và x*  K . V i b t k   0 , ta xác đ nh
V  {y  K:  ( y) <  } .

T B đ 1.1.3, f là C – liên t c, b i v y v i b t k

x*  K , t n t i m t lân

c n U c a x* sao cho

f ( x)  ( f ( x*) V)  C,

xU  K .

Do đó v i b t k xU  K , t n t i y V sao cho f ( x)  f ( x* )  y . B i v y,

 f ( x)   f ( x*)   ,

t c là  f là n a liên t c d
M t hàm f: K  Y đ

i t i x* .
c g i là t a l i n u v i m i  Y , t p h p

L ( )   x  K : f (x)    ,

là t p l i (xem [9]).
N u hàm f là t a l i thì t p h p

12

Thang Long University Libraty


L ( )   x  K : f ( x)    ,

c ng là t p h p l i. Th t v y, cho x, y  L ( ) , ta đ t
zt  tx  (1  t ) y, t  (0,1) .

Do B đ 1.1.1, t n t i   0 sao cho:

f ( x)     ; f ( y)     .
T tính t a l i, ta có

f ( zt )       .
Hàm f: K  Y đ

c g i là t a l i hi n n u f là t a l i và v i m i x, y


 K sao cho f (x) < f (y) thì

f (zt) < f (y), v i m i zt  tx  (1 t ) y, t  (0,1) .
Hàm f: K  Y đ

c g i là

*

- t a l i n u v i m i   C * , hàm

 f : K  R là t a l i. Hàm f: K  Y đ

c g i là * - t a l i bán ch t n u v i

m i   C * {0} , hàm  f : K  R là t a l i bán ch t. Ta bi t r ng m i hàm
*

- t a l i là tr

ng h p riêng c a hàm t a l i (xem [9]).

B đ 1.1.5. N u hàm f: K  Y là n a liên t c d

i và là * - t a l i bán

ch t thì f là t a l i hi n.
Ch ng minh. T B đ 1.1.4 thì hàm  f là n a liên t c d


iv im i

  C * . Theo gi thi t  f là t a l i bán ch t. Do đó  f là t a l i.

13

i u


này kéo theo f là t a l i. Ta c n ch ra r ng: v i m i x, y  K sao cho f (x) <
f(y) thì
f (zt) < f (y), v i m i zt  tx  (1  t ) y, t  (0,1) .
T đi u ki n f (x) < f (y), ta suy ra r ng

 f ( x)   f ( y),   C*
Vì  f là t a l i bán ch t nên b t đ ng th c trên kéo theo

 f (zt )   f ( y),   C* {0},
Do đó f (zt) < f (y).
Ta g i (xem [5]) m t ánh x  : K  2K là m t KKM – ánh x n u v i
n

m i yi  K, i  1,..., n; và m i y   i yi , i  0,  i  1 , ta có y   ( yi ) .
i 1

1.2.

S t n t i nghi m c a bƠi toán cơn b ng vect v i gi thi t gi đ n

đi u.

Xét t p h p

 ( y)   x  K : F ( x, y)

0}, y  K .

T gi thi t F ( x, x)  0 ta có y  ( y) .
B đ 1.2.1. Gi s W ( x)   y  K : F ( x, y)  0 là t p l i v i x  K .
Khi đó,  là m t KKM – ánh x .

14

Thang Long University Libraty


Ch ng minh. Gi s ng

c l i r ng y  ( yi ) . Do đó, y  ( yi ) , v i

m i i = 1,..., n, và khi đó F ( y, yi )  0 v i m i i = 1,..., n.

i u này kéo theo

yi W ( y) , và t gi thi t l i c a W(x) ta suy ra y W( y) .

i u này mâu

thu n v i y  ( y) .
Nh n xét 1.2.1. Tính l i c a t p h p W(x), x  K , đ


cđ mb on u

hàm F(x, .) t a l i v i x  K .
Bây gi ta xét đi u ki n b c sau:
(C)

T n t i m t t p h p comp c B  K và vect

y*  B sao cho F(x, y*) <

0 v i x  K {0}.
T đi u ki n b c (C) ta suy ra  ( y* )  B . Do đó, n u gi thi t c a B
đ 1.2.1 th a mãn thì B đ Fan [6] kéo theo

yK

 ( y)   ,

Trong đó  ( y) là bao đóng c a  ( y) .
Bây gi , cho

 * ( y)   x K : F ( y, x)

0}, y  K .

ch ng minh k t qu ti p theo, chúng ta đ a ra các gi thi t sau:
(i)

V im ic


0 và x  K thì t p h p  y  K : F ( x, y)  c là t p

l i.

15


(ii)

N u F(x, y) < F(x, z) và F(x, z)

0 thì F(x, zt) < F(x, z) v i

zt = ty + (1 - t)z và t  (0,1) .
Nh n xét 1.2.2. Gi thi t (i) kéo theo tính l i c a t p W(x), x  K .
Các gi thi t (i) và (ii) đ

c suy ra t tính t a l i hi n c a hàm F(x, .),

x  K .

Nh c l i: Ánh x T: X  Y đ

x, y  X, T ( x  ty)
trong đó kí hi u

c g i là hemi – liên t c trên X n u

T(x) khi t  0 (t R),


ch s h i t y u.

M nh đ 1.2.1. N u song hàm F th a mãn các gi thi t (i), (ii) và n u
F( x, .) là hemi – liên t c v i y  K thì

yK

 * ( y) 

yK

 ( y) .

Ch ng minh. L y x 

yK

 * ( y) . Khi đó F(y, x)

0 v i y  K . V i

m t y  K c đ nh, ta đ t

yt  ty  (1 t ) x, t  (0,1) .
Khi đó,
F(yt, x)

0,

t  (0,1) .


(1.1)

Ta ph i ch ng minh r ng

F ( yt , y) 0,  t  (0,1) .

16

Thang Long University Libraty


Gi s ng
Tr

c l i r ng F(yt*, y) < 0 v i t*  (0,1) nào đó. Ta xét 2 tr

ng h p:

ng h p 1. N u F ( yt* , x)  0  F ( yt* , x)  F ( yt* , y) . T gi thi t (ii), ta

th y r ng F ( yt* , yt* )  F ( yt* , x) , do (1.1). Khi đó, F ( yt* , yt* )  0 kéo theo
F ( yt* , x)  0 . i u này mâu thu n v i (1.1).

Tr

0, thì t B đ 1.1.2, t n t i c

ng h p 2. N u F ( yt* , x)


0 sao cho

F ( yt* , x)  c, F ( yt* , y)  c . T gi thi t (i), ta suy ra F ( yt* , yt* )  c , cho nên

c  0 , ta đi đ n m t mâu thu n.

0 v i t  (0,1) , và t tính hemi – liên t c thì F ( x, y)

Do đó, F ( yt , y)

0.

i u này th a mãn v i y  K , và b i v y,
x

yK

 ( y) .

nh lí 1.2.1. Gi s r ng F th a mãn các gi thi t c a M nh đ 1.2.1,
mà F(x, .) là n a liên t c d

i v i x  K và F(x, y) là gi đ n đi u. N u

đi u ki n b c (C) th a mãn thì (VEP) có m t nghi m.
Ch ng minh. Vì F là gi đ n đi u, ta có

 ( y)   *( y), y K .
T tính n a liên t c d


yK

 ( y) 

yK

i,  * ( y) là t p đóng. Do đó,  ( y)   *( y) . B i v y,

 * ( y) 

yK

 ( y) ,

do M nh đ 1.2.1.

17


Vì v y,
yK

 (y)   .

Do đó,
yK

 (y)   ;

t c là (VEP) có m t nghi m.

Nh n xét 1.2.3. Ch ng minh trên ch ra r ng, trong tr
song hàm gi đ n đi u, t p nghi m
ch ra cho tr
T

ng h p vô h

yK

 ( y) 

yK

ng h p các

 * ( y) . V n đ này đ

c

ng trong [2].

nh lí 1.2.1 và Nh n xét 1.2.2, ta suy ra k t qu sau
nh lí 1.2.2. Gi s r ng F th a mãn các gi thi t sau:
(A1) F(. , y) là hemi – liên t c v i y  K ;
(A2) F(x, y) là gi đ n đi u;
(A3) F(x, .) là n a liên t c d

i và t a l i hi n v i x  K .

N u đi u ki n b c (C) th a mãn thì bài toán (VEP) có m t nghi m.

H qu 1.2.1. Gi s r ng F th a mãn các gi thi t c a
ho c

nh lí 1.2.1

nh lí 1.2.2. Khi đó t p nghi m là khác r ng và comp c.

18

Thang Long University Libraty


Ch ng minh. Do

yK

 ( y) 

yK

 ( y) , t p các nghi m là đóng. Theo

gi thi t (C), t n t i t p h p comp c B  K và ph n t

 ( y* )  B . B i v y,

yK

y*  B sao cho


 ( y)  B , t c là t p nghi m là comp c.

Nh n xét 1.2.4. V i các gi thi t c a

nh lí 1.2.1 ho c

nh lí 1.2.2

t p nghi m không l i.
Chúng ta xét ví d sau:
Cho X  Y  R2, K  [0,1]  0,1 , C  R2+. D th y r ng, song hàm
F(x, y) = (y1 – x1 , y2 – x2),
v i x = (x1, x2) và y = (y1, y2), th a mãn các gi thi t c a

nh lí 1.2.2. Các

vect x* = (0, 1) và x  (1,0) là các nghi m c a (VEP), vì
( y1, y2  1)

0, y  K và ( y1 1, y2 )

0, y  K .

1 1
Tuy nhiên, x =  ;  không ph i là nghi m, vì
2 2

F(x, y) = ( y1 –

1

1
1
1
, y2 – ) < 0, v i 0  y1 < , 0  y2 < .
2
2
2
2

T đ nh ngh a c a tính gi đ n đi u ch t, ta th y h qu sau đúng.
H qu 1.2.2. Gi s r ng F th a mãn các gi thi t c a
ho c

nh lí 1.2.1

nh lí 1.2.2 và cho F là gi đ n đi u ch t. Khi đó, nghi m c a bài toán

là duy nh t.

19


1.3.

S t n t i nghi m c a bƠi toán cơn b ng vect v i gi thi t t a đ n

đi u.
Nh c l i: Ph n trong đ i s c a t p K   trong không gian X là t p






Ai ( K)  x K : x X,    0: x   x K,   0,   .
Khi chúng ta chuy n t tính gi đ n đi u sang gi thi t y u h n là tính
t a đ n đi u c a F, thì c n có đi u ki n m nh h n (A3) c a
Chúng ta c n thêm hai gi thi t n a nh trong tr

ng h p vô h

nh lí 1.2.2.
ng [2]. i u

này d n đ n các gi thi t sau:
(A1) F(. , y) là hemi – liên t c v i y  K ;
(A2’) F(x, y) là t a đ n đi u;
(A3’) F(x, .) là n a liên t c d

i và * - t a l i bán ch t v i x  K ;

(A4) F(x, .) là * - t a lõm bán ch t v i x  K ;
(A5)

i u ki n b c (C) th a mãn;

(A6) Ph n trong đ i s Ai(K) c a K là không r ng.
B đ 1.3.1. Gi s F th a mãn các gi thi t (A1), (A2’), (A4). Xét x, y

 K sao cho x ( y), x *( y) , thì t n t i   C * {0} sao cho


 ( F ( x, y))  0,

 ( F ( x, y '))   ( F ( x, y)), y '  K.

20

Thang Long University Libraty


Ch ng minh. B t đ ng th c đ u tiên là đúng vì x ( y) , và do đó
0. i u này kéo theo t n t i   C * khác không sao cho  ( F ( x, y))

F ( x, y)
0.

ch ng minh b t đ ng th c th 2, gi s ng

c l i v i y '  K , ta có

 (F ( x, y '))   (F ( x, y)) .
t
yt  ty ' (1  t ) y, t   0,1 .

Vì F(x, . ) là * - t a lõm bán ch t, ta có

 ( F ( x, yt ))   ( F ( x, y ))  0, t  (0,1) .
B i v y, F( x, yt )

F ( yt , x)


0. T tính t a đ n đi u, ta suy ra r ng

0, v i m i t  (0,1) .

Khi đó, tính hemi – liên t c kéo theo F ( y, x)

0, b i v y x * ( y) . i u đó

mâu thu n v i gi thi t.
nh lí 1.3.1. Gi s F th a mãn các gi thi t (A1), (A2’), (A3’), (A4),
(A5), (A6). Khi đó, (VEP) có nghi m.
Ch ng minh. Gi s ng

c l i r ng (VEP) không có nghi m. Theo B

đ 1.1.5, F(x, .) là t a l i v i x  K . B i v y, có
yK

L y x

 ( y)   .

yK

 ( y) ; z  Ai( K) .

21


Khi đó, x ( z) . Do đó, t n t i m t l

Gi

i  x  , x  ( z) sao cho x  x .

r ng, v i  , x  * ( z) . Khi đó B

s

đ

1.3.1 kéo theo t n t i

  C * {0} sao cho

 ( F ( x , z))  0,

 ( F ( x , y))   ( F ( x , z)), y  K.
B i v y, hàm t a l i bán ch t g ( y)   ( F ( x , y )) đ t m t c c đ i tuy t đ i
t i z trên K. Vì z  Ai( K ) nên g là h ng s trên K (xem [2]), t c là

 ( F ( x , y))   ( F ( x , z))  0, y  K .
Do đó,

F ( x , y)

0, y  K ;

t c là, (VEP) có m t nghi m. i u này mâu thu n v i gi thi t

trên.


B i v y,

x  * ( z),  ,
ngh a là,

F ( z, x )

0,  .

Do tính n a liên t c d

i, ta suy ra r ng F ( z, x)

0. V i b t k x K , ta xét

xt  tz  (1  t ) x, t   0,1 .

22

Thang Long University Libraty


Khi đó,

xt  Ai( K), t  (0,1] ,
Và ta có F ( xt , x)
F ( x, x)

0. Do tính hemi – liên t c,

0, x  K .

Do v y,
x

xK

 * ( x) .

Do M nh đ 1.2.1, ta có
xK

 * ( x) 

xK

 ( x) .

Khi đó,
F ( x, x)

0, x  K ;

t c là (VEP) có m t nghi m. i u này mâu thu n v i gi thi t.
Nh n xét 1.3.1. Gi thi t (A4) có th làm y u đi nh sau: v i m i

  C * {0},

 ( F ( x, y ))   ( F ( x, y ')) và  ( F ( x, y '))
kéo theo


 ( F ( x, yt ))   ( F ( x, y ')) ,

23

0


v im i

yt  ty  (1 t ) y '; t  (0,1) .
1.4.

Tr

ng h p t ng quát h n

Trong ph n này, chúng ta ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán
(VEP) trong tr

ng h p

F(x, y) = G (x, y) + H (x, y),

(1.2 )

v i G : K  K  Y, H : K  K  Y . N u H = 0 thì các k t qu nh n đ
quy v tr

ng h p c a


cs

nh lí 1.2.2.

Trong ph n ti p theo, chúng ta c n có đ nh ngh a sau. M t song hàm G đ

c

g i là gi đ n đi u theo H (H – gi đ n đi u ) n u, v i m i x, y  K :

G( x, y)  H ( x, y)

0 kéo theo G( y, x)  H ( x, y)

0.

Chú ý r ng v i H = 0, đ nh ngh a này quy v đ nh ngh a c a song hàm gi
đ n đi u. H n n a, d th y r ng m i song hàm C – đ n đi u là tr

ng h p

đ c bi t c a H – gi đ n đi u. Chúng ta đ a vào các gi thi t sau:
(I)

G( x, x)  0, x K ;

(II)

G(. , y) là hemi – liên t c v i y  K ;


(III) G(x, y) là H – gi đ n đi u;
(IV) G(x, .) là n a liên t c d
(V)

i và l i v i x  K ;

H(x, x) = 0 v i x  K ;

24

Thang Long University Libraty


(VI) H(. , y) là n a liên t c trên v i y  K ;
(VII) H (x, . ) là l i v i x  K ;
(VIII)

i u ki n b c (C) th a mãn.

V i y  K , chúng ta xét các t p h p:

 ( y)   x  K : F ( x, y) 0}  {x K : G( x, y)  H ( x, y)

 *( y)  {x K : G( y, x)  H ( x, y)

0}

0}.


T B đ 1.2.1 chúng ta bi t r ng  ( y) là m t KKM – ánh x . Do đó, đi u
ki n b c (C) đ m b o r ng

yK

 ( y)   .

M nh đ 1.4.1. N u song hàm G th a mãn các gi thi t (I), (II), (IV)
và n u song hàm H th a mãn các gi thi t (V) và (VII) thì

yK

 * ( y) 

yK

 ( y) .

Ch ng minh. Trong tr

ng h p

yK

Khi đó,
G ( y, x)  H ( x, y)

0, y  K .

V i m i y  K c đ nh, đ t

yt  ty  (1  t ) x,

t  (0,1) .

25

 * ( y)   , ta l y x

yK

 * ( y) .