BÀI TẬP LỚN
MÔN: HÀM BIẾN PHỨC
NHÓM 2

Năm học 2015 – 2016

1


Chương II
HÀM SỐ BIẾN PHỨC
***
§ 1. HÀM BIẾN PHỨC
Chương này trình bày về giới hạn của hàm cũng như của chuỗi hàm biến số phức,
sau đó áp dụng vào việc xây dựng một số hàm số sơ cấp thường gặp. Điều này ta đã được
biết trong giải tích thực – giải tích của các hàm nhiều biến thực. Vì vậy, về cơ bản không
có gì hoàn toàn mới. Tuy nhiên để thuận lợi cho người học, chúng tôi vẫn đưa ra một số
khái niệm và kết quả sẽ dùng sau này.
1. Định nghĩa:

Giả sử

D⊂C

là một tập tùy ý cho trước. Một hàm biến phức trên

D

với giá trị

f :D→C

phức là một ánh xạ.

w = f ( z ), z ∈ D
Hàm như vậy được ký hiệu là:

.

1.1 Các ví dụ.

z → f ( z ) = az + b
a) Ánh xạ:

xác định một hàm (gọi là hàm nguyên tuyến tính) trên

z → f ( z) =
b) Ánh xạ:
 d
D = C \ − 
 c

az + b
cz + d

,

c≠0

C

.


xác định hàm ( gọi là hàm phân tuyến tính) trên tập
bc − ad ≠ 0

( sau này thường giả thiết
).
1 
1
z → f ( z ) = × z + ÷
2 
z
c) Ánh xạ:
xác định một hàm ( hàm Jukovski)
2


trên

D = C \ { 0}

.

f :D→C
Khi

f

là đơn ánh, hàm

f


hợp

f

không đơn diệp trên

D

là đơn diệp. Khi đó mỗi

Di

nhưng có thể chia

f

D

thành các tập con

được gọi là miền đơn diệp của

Bằng cách viết

hàm

được gọi là đơn diệp. Có thể xảy ra trường

f


Di

lớn nhất trên đó

.

w = u + iv, u = Re w, v = Im w

có thể viết dưới dạng

f ( z ) = u ( z ) + iv ( z )

Hai hàm

u

và

v

được gọi là phần thực và phần ảo của

f

.

u ( z ) = Re f ( z ) = (Re f )( z )
v( z ) = Im f ( z ) = (Im f )( z )


Bằng cách đồng nhất

z

với

( x, y ) , x = Re z, y = Im z

x, y

hai biến thực

và vậy thì hai hàm

u

và

v

, hàm f có thể coi như hàm của

cũng được coi như thế.

Ví dụ:
3


a) Cho hàm
f ( z ) = x3 y + i sin ( x + y )


Ta có
u ( x, y ) = x 3 y

và

v ( x, y ) = sin ( x, y )

b) Giả sử n là một số nguyên. Đặt

f ( z ) = zn.

Viết z = reiφ, z = │z│, φ = argz,

z = reiϕ

ta có:
f (z) = r e
n

inϕ

= r (cos nϕ + i sin nϕ )
n

u(x, y) = rnCosnφ và v(x, y) = rnSinnφ.

Vậy

Chú ý: Ta cũng có thể xét hàm f trên D


⊂ C

, với giá trị trong

C

1.2. Tính liên tục và liên tục đều
Cho hàm f xác định trên tập tùy ý D

⊂

C với giá trị trong C và

z0

là điểm tụ của

D hữu hạn hay là điểm xa vô cùng tận .
Số phức a

∈

f ( z)

C gọi là giới hạn của hàm
lim

z → z0


khi z dần đến

=

=a

∈

V với mọi z U
Nói cách khác khi

z0

và viết

f ( z)

Nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của
f (z) ∈

z0

∩

D,z

z0

sao cho


≠ z0

là hữu hạn , điều trên có nghĩa là
4


∀ε

>0,

Còn khi
∀ε

∃δ

> 0,

z0 = ∞

>0

∃

δ

∀ ∈

z D, 0 < <

thì


<

, thì phát biểu vừa nêu nói rằng

R >0

∀

z

∈

f ( z)

D,

>R:

f ( z) − a < ε

Điểm xa vô tận a =
∀

∃

R >0 ,

f ( z)


∞ ∈ C

gọi là giới hạn của

một lân cận U của

z0

khi z

→ z0

nếu

sao cho

f ( z ) > R∀z ∈ U ∩ D, z ≠ z0
Hàm f gọi là liên tục tại

z0

nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn :

C1 z0
z0
) là điểm cô lập của D . Nói cách khác tồn tại lân cận U của
( trong D) sao cho

U
C2


) Nếu

z0

∩

D=

{ z0 }

không là điểm cô lập của D thì
lim f ( z ) = f ( z )
0

z → z0

Dễ thấy
C2' ∀ε

)

C2

) tương đương với một trong hai điều kiện sau :

>0 ,

∃


một lân cận U của
f ( z ) − f ( z0 ) < ε

,
C2''

) Nếu

{ zn } ⊂

D,

z n → z0

∀

z0

z

sao cho
∈

∩

U D

thì
5



lim f ( z ) = f ( z )
n
0
n→∞

Khi viết
f ( z ) = u ( z ) + iv ( z )

,z

∈

Dễ dàng thấy rằng f liên tục tại

D
z0 ∈

D khi và chỉ khi u và v liên tục tại

Hàm f gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm z

∈

z0

D.

Tương tự như đối với hàm biến thực , nếu f(z) và g(z) là các hàm liên tục tại


α f ( z ) + β g ( z ), z, f ( z ) g ( z ), f ( z ) / g ( z ), g ( z0 ) ≠ 0

liên tục tại

z0 ∈

z0 ∈

D với mọi

D thì

α, β ∈

C.

Hàm f được gọi là hàm liên tục đều trên D nếu :
∀ε

>0,

∃δ

> 0,

∀z1 , z2 ≠ ∞, z1 , z2 ∈

D,<

δ


:

f ( z2 ) − f ( z1 ) < ε

Rõ ràng nếu f liên tục đều trên D thì nó là hàm liên tục trên D .
Các định lý sau được chứng minh tương tự như trường hợp hàm biến thực .

Định lý 1 :Nếu f liên tục trên tập compact K

Định lý 2: Nếu f liên tục trên tập compact

⊂

D thì f liên tục đều trên K.

K⊂D

z → f ( z)
thì hàm

đạt cận trên đúng

∃a, b ∈ K

và cận dưới đúng trên K, tức là

để:

6



f (a) =

sup

f ( z)

z∈K

f (b) =
và

Định lý 3: Nếu f liên tục trên tập compact

K⊂D

inf
z∈K

f ( z)

f (K ) ⊂ D

thì

là compact.

. CHUỖI HÀM
2.1. Sự hội tụ và hội tụ đều

Xét dãy hàm biến số phức:
f1 , f 2 , f 3 ,...., f n ,...
D⊂C

cùng xác định trên tập tùy ý

.

Dãy hàm (1) được gọi là hội tụ tại
hội tụ tại mọi

z∈D

(1)

z∈D

nếu dãy số

{ f n ( z )}

∞

hội tụ. Nếu dãy (1)

ta nói nó hội tụ trên D.

Trong trường hợp giới hạn của dãy là hữu hạn trên D , bằng cách đặt

f ( z ) = lim f n ( z ), z ∈ D

n →∞

f :D →C

ta nhận được hàm
Hàm f như trên được gọi là hàm giới hạn của dãy (1) và viết
f = lim n→∞ f n

Nói một cách cụ thể hơn hàm f là giới hạn của dãy hàm
∀ε > 0

bé tùy ý,

{ fn}

trên D nếu:

∀z ∈ D, ∃N (ε , z ), ∀ n > N(ε , z) :
7


fn ( z) − f ( z) < ε
Nếu

∀ε > 0

bé tùy ý,

∃N (ε )


sao cho :

f n ( z ) − f ( z ) < ε ∀n > N (ε )
và
ta nói dãy hàm
Giả sử

{ fn}

{ fn}

∀z ∈ D

hội tụ đều tới f trên D. Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là dãy hội tụ.

là một dãy hàm trên

D⊂C

. Khi đó “biểu thức” hình thức
∞

f1 + f 2 + ... + f n + ... = ∑ f n
n =1

(2)

được gọi là chuỗi hàm trên D.

Nếu đặt đối với mỗi


n ≥1
n

Sn ( z ) = ∑ f k ( z ), z ∈ D
k =1

ta nhận được dãy hàm

{ Sn }

chuỗi hàm (2). Hơn nữa

trên D. Dãy hàm này được gọi là dãy các tổng riêng của

Sn ( z)

gọi là tổng riêng thứ n.

- Chuỗi hàm (2) gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy
- Nếu dãy

{ Sn }

{ Sn }

hội tụ.

hội tụ đều thì chuỗi (2) gọi là hội tụ đều


Hàm:
f ( z ) = lim Sn ( z ), z ∈ D
n →∞

8


gọi là tổng của (2) và viết:
∞

∞

f = ∑ fn
n =1

f ( z ) = ∑ f n ( z ), z ∈ D
n =1

hay

f là tổng của chuỗi (2).
Định lý 4. Nếu chuỗi (2) hội tụ đều và các hàm
liên tục trên .

fn

liên tục trên thì tổng f của nó cũng

Định lý 5. Giả sử chuỗi (2) hội tụ đều trên và . Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn
lim f k ( z ) = Ck , k = 1, 2,...


z → z0
z∈D

Khi đó chuỗi số hội tụ và nếu là tổng của chuỗi (2) thì
∞

∞

n =1

n =1

lim f ( z ) = ∑ Cn = ∑ lim f n ( z )

z → z0
z∈D

z → z0
z∈D

Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy với chuỗi (2) ta có
f n +1 ( z ) + ... + f n+ p (z) < ε
∀n > N (ε ), ∀p ≥ 1, ∀z ∈ D

Với

z → z0 , z ∈ D

Cho


∀ε < 0, ∃N (ε ) :

.

ta có:
Cn+1 + ... + Cn + p ≤ ε

Với.

∀n > N (ε ), ∀p ≥ 1

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi số hội tụ.
Đặt , khi đó với mọi ta có
n

f ( z ) − C ≤ f ( z ) − S n ( z ) + S n ( z ) − ∑ Ck +
k =1

n

n

k =1

k =1

∑ Ck − C = Rn ( z ) + Sn ( z ) − ∑ Ck +

n


∑C
k =1

k

−C

(3)
9


Vì chuỗi (2) hội tụ đều và chuỗi số hội tụ nên với mọi ta tìm được sao cho
Cố định . Theo giả thiết ta có
Do đó ta tìm được sao cho

Vì vậy với bất đẳng thức (3) cho ta
Nhận xét: Từ định lý 5 ta suy ra rằng: Nếu chuỗi (2)hội tụ đều trên D và các hàm
liên tục trên thì chuỗi cũng hội tụ đều trên và tổng của nó cũng là hàm liên tục trên .
Ví dụ. Xét tính hội tụ đều của chuỗi trong hình tròn đơn vị D(0, 1).
Ta đã biết với mọi |z|<1, chuỗi hội tụ. Ta chứng tỏ rằng sự hội tụ này là không đều trên
D(0,1).
Thật vậy, giả sử chuỗi hội tụ đều trên D(0, 1). Vì mọi hàm

zn

liên tục trên C nên

D (0,1)


theo nhận xét trên chuỗi hội tụ trên hình tròn đóng
∞

. Ta gặp mâu thuẫn vì 1

∈D

∑1
(0,1) và chuỗi

n

n=0

phân kỳ.

2.2 Chuỗi lũy thừa, định lý Abel.
Trường hợp riêng quan trọng của chuỗi hàm là chuỗi lũy thừa:
∞

∑C z
n =0

n

n

(4)

Hay tổng quát hơn:

∞

∑C (z − z )
n =0

n

n

o

(5)

10


Nếu đặt

Z = z − zo

chuỗi (5) được đưa về chuỗi (4). Vì vậy ta chỉ cần nghiên cứu

chuỗi (4).
Rõ ràng chuỗi (4) luôn hội tụ tại

z=0

.

Định lý 6 (Abel).


a) Giả sử chuỗi (4) hội tụ tại

zo ≠ 0

z < zo

. Khi đó chuỗi hội tụ tuyệt đối tại
0 < r < zo

D(0, r )

tụ đều trên hình tròn đóng
b) Nếu chuỗi (4) phân kỳ tại

và hội

với

.

zo

z

thì nó phân kỳ tại mọi mà
Chứng minh. Như trường hợp chuỗi lũy thừa thực
∞

z < zo


.

∑C x , x ∈ R
n

n

n =0

.

Thật vậy:
∞

∑C z
a) Vì chuỗi số

Từ đó, tồn tại

n=0

n

lim Cn zo n = 0

n o

M >0


n →∞

hội tụ nên
sao cho
Cn zo n

≤ M , ∀n = 0,1, 2,..

Vì vậy, nếu viết
n

Cn z = Cn zo
n

n

z
n
  ≤ Mq
z
 o

11


q=

z
zo


∞

∑C z

Với

thì chuỗi

n =0

n

n

hội tụ tuyết đối với mọi

hội tụ đều trên

với
D(0, r )

∞

∑C z
b) Bây giờ giả sử chuỗi

n =0

phân kỳ còn
∞


∑ Cn z 2 n

∑C z

n =0

hội tụ, thì theo phần a) chuỗi

∞

n =0

z2

n=0

và hơn nữa chuỗi

.

n

n 1

∞

∑C z

0 < r < zo


z < zo

z2 > z1

tùy ý với

. Nếu chuỗi

n

n 1

hội tụ. Trái với giả thiết, do đó

n

n 2

phần kỳ.

Định lý 7. (Bán kính hội tụ).
z
R(0 ≤ R ≤ +∞)

Tồn tại số
. Số

R

sao cho chuỗi (4) hội tụ khi

z >R

và phân kỳ khi

gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.

Chứng minh: Đặt
∞


D =  z ∈ C : ∑ Cn z n 
n =0



Vì

0∈ D

nên

D≠∅

hội tụ

và do đó tồn tại
R = sup z ≥ 0

z∈D

Ta sẽ chứng tỏ

R

thỏa mãn yêu cầu của định lý.

12


∞

∑C z
Theo cách đặt, hiển nhiên

n =0

n

z >R

n

phân kỳ với

. Lấy tùy ý
∞

zo ∈ D

Theo định nghĩa của Suprêmum ta tìm được
hội tụ (Theo định lý Abel).
∞

∑C z
n=0

z
với

.

∑C z

z < z0

để

z

. Vì

n =0

n
n 0

hội tụ, nên

n

n

Với mọi

z

cố định xét chuỗi số
∞

∑C z
n =0

n

n

(6)
Theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi (6) hội tụ, khi
lim sup n Cn z n = z lim sup n Cn < 1
n →∞

n →∞

hay
z <

1

lim sup n Cn
n →∞

và phân kỳ khi
lim sup n Cn z n = z lim sup n Cn > 1
n →∞

n →∞

hay
z >

1
lim sup n Cn
n →∞

Từ đó ta có định lý sau cho công thức tính bán kính hội tụ của chuỗi (4).
Định lý 8 (Cauchy - H’adamard). Bán kính hội tụ
R=

R

của chuỗi (4) cho bởi công thức:

1
lim sup n Cn
n →∞

Nhận xét: Nếu tồn tại thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (4) cùng được cho bởi
13

R = lim

n →∞

∞

Ví dụ. a) Tìm miền hội tụ của chuỗi
R = lim

n →∞

n!

∑a
n =1

n2

Cn
Cn +1

zn.

với

n !a ( n +1)

2

(n + 1)!a n

2

a >1

. Áp dụng (8) ta có

a 2 n +1
=∞
n →∞ ( n + 1)

= lim

Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng phức.
∞

1

∑ (n + n ) n

2

zn.

n =1

b, Tìm bán kính hội tụ của chuỗi.
Theo công thức Cauchy - H’adamard (7) ta có:

R=

1
1 2
lim sup n (n + ) n
n →∞
n

lim

n →∞

z

1
1
lim(n + ) n
n →∞
n

=

1
e

2

∞

c) Tìm miền hội tụ của chuỗi

Bởi vì

=

zn
∑
n =1 n !

n 2 + 2 n +1

n!

(n + 1)! z

n2

2 n +1

z
= lim
=
n →∞ n + 1

D (0,1)

Nên miền hội tụ của chuỗi đã cho là hình tròn đóng

.

§3. ĐỊNH NGHĨA CÁC HÀM SƠ CẤP.

3.1 Hàm sơ cấp.
Hàm sơ cấp trước hết là các hàm sau đây:

14


f ( z ) = az + b

hàm nguyên tuyến tính.
f ( z) = z n

f ( z) =

f ( z) =

(n là số nguyên không âm ) - hàm lũy thừa.

az + b
cz + d

- hàm phân tuyến tính.

a0 z n + a1 z n −1 + ... + a n
b0 z m + b1 z m −1 + ... + b m

- hàm hữu tỷ.

Chú ý rằng tất cả các hàm ở trên đều là những trường hợp riêng của hàm cuối cùng.
Cũng như đối với hàm biến thực, ta còn có hàm mũ, hàm lượng giác, hàm
hyperbolic xác định trên toàn mặt phẳng phức.

3.2 Hàm mũ, hàm lượng giác và hàm hyperbolic.
Trong giải tích thực ta đã biết các chuỗi sau đây hội tụ tuyệt đối với mọi số thực
x∈R

e x ,sinx,cosx,shx,chx

lần lượt tới các hàm

.
∞

1 n
x
n = 0 n!

ex = ∑

∞

sin x = ∑ (−1) n
n=0
∞

cosx = ∑ (−1) n
n=0

x 2 n +1
(2n + 1)!
x2n
(2n)!

x 2 n +1
n = 0 (2 n + 1)!
∞

shx = ∑
∞

x2n
n = 0 (2n)!

chx = ∑

15


Theo Định lý Abel các chuỗi nói trên vẫn hội tụ tuyệt đối nếu thay bởi số phức bất
kỳ thuộc . Vì vậy ta có các hàm biến phức tương ứng xác định trên toàn bộ mặt phẳng
phức sau đây:
ez = 1+
shz =

∞
z
1
+ ... = ∑ z n
1!
n = 0 n!

∞

z z3
z 2 n +1
− + ... = ∑ (−1)
1! 3!
(2 n + 1)!
n =0

cos = 1 −
shz =

∞
z2
z 2n
+ ... = ∑ ( −1) n
2!
(2 n)!
n =0

∞
z z3
z 2 n +1
+ + ... = ∑
1! 3!
n = 0 (2 n + 1)!

chz = 1 +

∞
z2
z 2n

+ ... = ∑
2!
n = 0 (2 n)!

3.3. Các tính chất của hàm mũ ez.
Định lý 1.

e z .eω = e z +ω

z,ω ∈ C

với mọi

∑z
∞

n =0

.

n

n!

Chứng minh. Vì các chuỗi số
và
nhân chuỗi và định lý ở §2, Chương I ta có:

∑ω
∞

n =0

n

n!

hội tụ tuyệt đối nên theo công thức

 ∞ n   ∞ ω m  ∞ n z kω n − k
e .e =  ∑ z ÷.  ∑
÷=
 n =0 n ! ÷  n =0 m ! ÷ ∑∑


 n =0 k =0 k !( n − k )!
z

ω

∞

∞

1  n  k n−k
∑  ÷z ω = ∑
n =0 n ! k =0  k 
n =0

=∑

Hệ quả:

ez ≠ 0

với mọi

Thật vậy, với mọi

z ∈C

z ∈C

n

( z +ω )
n!

n

= e z +ω

.

ta đều có

16


e z .e− z = e0 = 1

.

Bởi vì
in =

ta có
e

iz

n

= ∑i z
∞

n

n!

n =0

∞

= ∑ (−1)

z

n

n =0

2n

(2n)!

∞

+ i ∑ (−1)

n

z

2 n +1

(2n + 1)!

n =0

Từ đó
eiz = cos z + i.sin z ∀z ∈ C

.

(1)

Tính toán tương tự ta cũng có
e −iz = cos z − i.sin z ∀z ∈ C

.

(2)

Định lý 2: Hàm lượng giác và hàm hyperbolic được biểu diễn qua hàm mũ theo
các công thức sau:
iz

−
sin z = e e

− iz

2i

iz

+
cos z = e e

(3)
− iz

2

z

−
shz = e e

−z

= −i sin iz

2

z

+
chz = e e
2

(4)

(5)
−z

= cos iz

(6)

17


Chứng minh: Hai công thức đầu nhận được bằng cách trừ và cộng (1) với (2).
Theo định nghĩa ta có ngay
shz + chz = e z

và

shz − chz = e − z

Từ đó nhận được hai công thức còn lại.
z = x + i. y ∈ C

Định lý 3. Với mọi

ta có
e z = e x .(cos y + i.sin y)

Chứng minh. Thật vậy theo định lý 1 ta có
e z = e x +i. y = e x .ei. y

Vì vậy theo công thức (1) ta có
e z = e x .(cos y + i.sin y )

Định lý 4.
hoàn với chu kỳ

ez

2π

là hàm tuần hoàn với chu kỳ

. Vậy

. Hàm

sin z

và

cos z

cùng tuần

.

Chứng minh. Rõ ràng
eω = 1

2π i

e z + 2π i = e z .e 2π i = e z

e a = 1,cos b = 1,sin b = 0

. Mặt khác, nếu

ω = a + ib

mà

e z +ω = e z

thì

. Điều này có nghĩa là:
a = 0, b = 2kπ

18


tức là

ω = 2kπ i.

chu kỳ của

ez

Vậy chu kỳ của hàm

là

2π i

ez

là

2π i

. Chu kỳ của

sin z

và

cos z

là

2π

, suy ra từ

.

BÀI TẬP
Bài 1: Đối với ánh xạ cho bởi
1) Ảnh của các đường

ω = z2

. Hãy tìm:

x = C , y = C , x = y, z = R, arg z = α

và giải thích xem đường

nào được ánh xạ 1-1 lên ảnh của nó.
2) Tạo ảnh của các đường
1
ω= .
z

Bài 2: Cho hàm

u = C , v = C.

Hãy tìm:

1) Ảnh của các đường

x = C , y = C , z = R, arg z = α

z − 1 = 1.

,
19


u = C , v = C.

2) Tạo ảnh của các đường

1
z

ω =z+

Bài 3: Cho các ánh xạ

và

1
ω = z− .
z

Hãy tìm:

z = R.
a) Ảnh của đường tròn
b) Tạo ảnh của các đường

u = C , v = C.

ω=

z =1

Bài 4: Tìm ảnh của đường tròn
ω=e .

qua ánh xạ

z
(1 − z ) 2

z

Bài 5: Đối với ánh xạ

a) Ảnh của các đường

Hãy tìm:

x = C , y = C , x = y.

ω = ρ.
b) Tạo ảnh của đường

e ±π 1 2 , e kπ i ( k = 0, ±1, ±2,...) .

Bài 6: Hãy tính
Bài 7: Tìm môđun và giá trị chính của argument của các số phức:

(

)

iϕ
e 2+i , e 2−3i , e3+ 4i , −aeiϕ a > 0, ϕ ≤ π , e ( ϕ ≤ π ) .

Bài 8: Tính:
a) 1 + cosx + cos2x + ... + cosnx.
b) sinx + sin2x + ... + sinnx.
c) cosx + cos3x + ... + cos(2n-1)x.
d) sinx + sin3xx + ... + sin(2n-1)x.
Bài 9: Chứng minh:
1) siniz = ishz.
2) cosiz = chz.
3) tgiz = ithz.
Bài 10: Biểu diễn qua các hàm lượng giác và hyperbolic biến số thực phần thực, phần ảo
cũng như môđun của các hàm:
1) sinz;
2) cosz;
3) shz;

4) chz.
Bài 11: Tìm phần thực, phần ảo của:
1) cos(2+i)
2) sin2i
3) tg(2-i)
20


Bài 12: Tìm cách bổ sung thêm giá trị của các hàm sau tại z = 0 để nó trở thành hàm liên
tục tại z = 0.

1)

Re( z 2 )

z
;
z

Re z
;
z

z

2)

Bài 15: Cho hàm số

4)

z ≤R

−1 z

Bài 13: Chứng minh rằng hàm
0.
f ( z) = e

z Re z
.
z

;

3)
f (z) = e

Bài 14: Hàm

2

liên tục đều trong hình tròn

−1 z 2

có liên tục đều trong miền

ω=e

1) Trong miền

2) Trong miền

−1 z

xác định với

z ≠ 0.

π
0 < z ≤ 1, arg z ≤ 2

π
0 < z ≤ R, arg z ≤ 6

bỏ đi z =

hay không?

Hãy chứng minh:

hàm bị chặn nhưng không liên tục.

π
0 < z ≤ 1, arg z ≤ α < 2

hàm liên tục và liên tục đều.

21

LỜI GIẢI
Bài 1: Đối với ánh xạ cho bởi
3) Ảnh của các đường

ω = z2

. Hãy tìm:

x = C , y = C , x = y, z = R, arg z = α

và giải thích xem đường

nào được ánh xạ 1-1 lên ảnh của nó.
4) Tạo ảnh của các đường

u = C , v = C.

Giải:
Ánh xạ cho bởi

w = z2

1. Tìm ảnh của các đường:
z = x + iy

w = z2

Mà
⇒ w = ( x + iy ) 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi
u = x 2 − y 2


⇒ v = 2 xy
a) x = C

TH1: c =0
u = − y 2
⇒
⇒ w = − y2 ≤ 0
v = 0

Ảnh là nửa trục thực nằm bên trái trục ảo.
TH2: c

≠

0

22


v

 y = 2c
u = c 2 − y 2
−1
⇒
⇔
⇒ u = 2 .v 2 + c 2
4c
v = 2cy

u = c 2 − ( v )2

2c
u=

Ảnh là parabol có phương trình:
b) y= C

−1 2 2
.v + c
4c 2

u = x 2
⇒
⇒ w = x2 ≥ 0
v = 0

TH1: c = 0
Ảnh là nửa trục thực nằm bên phải trục ảo.
TH2:

c≠0

v

x=

2c
u = x − c
1


⇒
⇔
⇒ u = 2 .v 2 − c 2
2
4c
v = 2cx
u =  v  − c 2

÷

 2c 
2

2

u=

Ảnh là parabol có phương trình:
c) x = y = c

1 2 2
.v − c
4c 2

u = 0
⇒
⇒w =0
v = 0

TH1: c =0
Ảnh là điểm 0(0,0)

u = 0
c ≠ 0⇒ 
⇒ w = i 2c 2
2
v
=
2
c


TH2:
Ảnh là nửa trục ảo nằm bên trên trục thực.
z =R

d)

⇒ x2 + y2 = R ⇔ x2 + y 2 = R2

23


u = x 2 − y 2

⇒ u 2 + v 2 = ( x 2 − y 2 ) 2 + (2 xy) 2
v = 2 xy

Ta có:

⇔ u 2 + v2 = x4 + y 4 + 2 x2 y 2
⇔ u 2 + v2 = ( x 2 + y 2 )2
⇒ u 2 + v 2 = ( R)2
⇔ u 2 + v2 = R4

R2

Ảnh là đường tròn tâm I(0;0) và bán kính
α
e) arg z =
x

cos α =

x +y
2

2

=

x
r

sin α =

y
x +y
2

2

=

y
r

;
x +y =r
2

2

Đặt
 x = r.cos α
⇒
 y = r.sin α

Ta có:
u = x 2 − y 2 = r 2 .cos 2 α − r 2 .sin 2 α = r 2 .cos 2α
v = 2 xy = 2r.cos α .r.sin α = r 2 .sin 2α
⇒ u 2 + v 2 = r 4 .cos 2 2α + r 4 .sin 2 2α = r 4
⇒ u 2 + v2 = r 4

r 2 = x2 + y 2

Với
Ảnh là đường tròn tâm I(0;0) và bán kính
2. Tìm tạo ảnh của các đường:
a) u = c

TH1: c = 0

r2

⇒ u = x2 + y 2 = 0 ⇔ x2 = y 2 ⇔ x = ± y

24


Tạo ảnh là đường thẳng
c ≠ 0 ⇒ x2 − y2 = c
TH2:
⇔

x = ±y

của góc phần tư

t1 , t2

x2 y 2
−
=1
c
c

Tạo ảnh là hyperbol có bán trục thực.
b) v = 0
TH1: c = 0 và v = 2xy
⇒ 2 xy = c ⇔ y =

c
2x
y=

Tạo ảnh là parabol

Bài 2:Cho hàm

1
ω= .
z

c
2x

(Trừ gốc tọa độ)

Hãy tìm:

3) Ảnh của các đường

x = C , y = C , z = R, arg z = α

4) Tạo ảnh của các đường

u = C , v = C.

z − 1 = 1.

,

Giải.
w=

1
z

Hàm
1. Tìm ảnh của các đường
1
1
x − iy
w= ; z = x + iy ⇒ w =
= 2
z
x + iy x + y 2
⇒w=

x
y
− i. 2
2
x +y
x + y2

⇒u=

x
x + y2

2

v=

2

và

−y
x + y2
2

a) x = C
25