- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH SƠN LA 20112012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (109.91 KB, 5 trang )
UBND TỈNH SƠN LA
SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
–––––––––
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
–––––––––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn : Toán
Ngày thi : 10.04.2012
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm)
Tính tổng
a) A = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2010 + 2012.
b) B = 1 + 20121 + 2012 2 + 20123 + ... + 2012 2010 + 20122011
Câu 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng:
2012
2010
∀a ∈ Z .
a) a − a M6
4
3
2
b) n − 4n − 4n + 16n M384 với n chẵn lớn hơn 4.
Câu 3: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức
1
1
1
N=
+
+ ... +
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
2012 2011 + 2011 2012
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC . Dựng ra phía ngoài tam giác đó các tam giác đều ABE,
ACG và BCD.
a) Chứng minh AD = BG = CE.
b) Chứng minh AD, BG, CE đồng quy.
Câu 5: (6 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x − 2010 + 2012 − x
b) Giải phương trình:
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
=
2
x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 8
UBND TỈNH SƠN LA
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
–––––––––
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
–––––––––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn : Toán
Câu
Phần
a)
2đ
1
4đ
b)
2đ
a)
2đ
Đáp án
Số số hạng của tổng là: (2012 – 2): 2 + 1 =1006
Ta có
A = (2 + 2012) + (4 + 2010) + (6 + 2008) + ... + (1006 + 1008)
= 2014 + 2014 + 2014 + ... + 2014 (có 503 số)
= 2014.503 = 1013042 = 1006.1007
Ta xét
2012.B = 20121 + 2012 2 + 20123 + ... + 2012 2011 + 20122012
Mà B = 1 + 20121 + 2012 2 + 20123 + ... + 2012 2010 + 20122011
Nên
2012.B − B = 20122012 − 1
20122012 − 1
⇒B=
2011
3
2
Ta có a − a = a (a − 1) = (a − 1).a (a + 1) .
∀a ∈ Z thì (a − 1).a (a + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp.
Trong 3 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chẵn.
Mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau: (2,3) = 1.
Do đó (a − 1).a (a + 1) M2.3
6
Vậy (a − 1).a (a + 1) M
Suy ra
a 2012 − a 2010 = a 2009 .a 3 − a 2009 .a1
=a
2
2009
.(a − a ) M6.
3
Với n chẵn: n = 2k với k ∈ Z thì
n 4 − 4n3 − 4n 2 + 16n = (2k ) 4 − 4(2k )3 − 4(2k ) 2 + 16.(2k )
4đ
b)
2đ
= 16k .( k 3 − 2k 2 − k + 2)
= 16.(k − 2).(k − 1).k .( k + 1)
Do n > 4 ⇒ k > 2 ; (k − 2).(k − 1).k .(k + 1) là tích của 4 số tự nhiên
liên tiếp nên chia hết cho 3 và chia hết cho 8; (3,8) = 1 do đó
(k − 2).(k − 1).k .(k + 1) chia hết cho 3.8 = 24.
Vậy 16.(k − 2).(k − 1).k .( k + 1) M16.24 = 384 .
Điểm
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
∀n ∈ N * , ta có
( n + 1)
0.25
1
( n + 1) n − n n + 1
=
2
n + n n + 1 ( n + 1) n − n 2 ( n + 1)
=
=
3
0.5
( n + 1)
n − n n +1
n ( n + 1)
0.25
1
1
−
n
n +1
0.5
Áp dụng tính
1
1
1
N=
+
+ ... +
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
2012 2011 + 2011 2012
2đ
0.25
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+ ... +
−
1
2
2
3
3
4
2011
2012
1
=1−
2012
Ta có
AB = AE
·
0
·
·
⇒ ∆ABG = ∆EAC
BAG = EAC = 60 + BAC
AG = AC
BG = EC (1)
⇒
·AEC = ·ABG (2)
Tương tự ∆ACD = ∆GCB ⇒ AD = BG (3)
Từ (1) và (3) suy ra BG = EC = AD.
=
a)
2,0 đ
E
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
A
G
4
4đ
B
0.5
O
C
D
b)
Gọi giao điểm của EC và BG là O. Nối O với A.
·
·
Ta có ·AEC = ·ABG (Theo (2)) Suy ra EOA
= EBA
= 600 và
·
·
BOE
= EAB
= 600 ⇒ ·AOB = 120
⇒ ·AOB + ·AEB = 600 + 120 = 1800
Nên tứ giác AOBE là tứ giác nội tiếp
0.25
·
Tương tự ·AOC = 1200 . Dễ dàng suy ra BOC
= 1200 nên tứ giác
BOCD nội tiếp.
0.25
·
·
Nối D với O thì DBC
= DOC
= 600 , do đó
·
·
·
DOC
+ COA
= DOA
= 1800
0.25
0
2đ
0
Vậy D, O, A thẳng hàng
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Nghĩa là EC, BG, AD đồng quy.
a)
5
3đ
6đ
Với điều kiện 2010 ≤ x ≤ 2012 thì A ≥ 0 .
Bình phương 2 vế ta được:
A2 = x − 2010 + 2012 − x + 2 ( x − 2010).(2012 − x)
0.25
A2 = 2 + 2 ( x − 2010).(2012 − x)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm (x - 2010) và ( 2012 - x)
ta có:
2 ( x − 2010).(2012 − x) ≤ ( x − 2010) + (2012 − x)
0.25
2 ( x − 2010).(2012 − x) ≤ 2
Dấu “=” xảy ra khi x – 2010 = 2012 – x hay x = 2011
Như vậy A2 ≤ 4 , do A2 ≥ 0 nên MaxA = 2 khi x = 2011.
b)
3đ
Điều kiện x ≠ −2; x ≠ −3; x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6 thì
1
1
1
1
1
+
+
+
=
x 2 + 5 x + 6 x 2 + 7 x + 12 x 2 + 9 x + 20 x 2 + 11x + 30 8
1
1
1
1
1
⇔
+
+
+
=
( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⇔
−
+
−
+
−
+
−
=
x+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x+5 x+5 x+6 8
1
1
1
⇔
−
=
x+2 x+6 8
0.5
0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
4
1
=
x 2 + 8 x + 12 8
⇔ x 2 + 8 x + 12 = 32
⇔
⇔ x + 8 x − 20 = 0
2
x = 2
⇔
x = −10
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2; x = -10
0.25
0.25
0.25
0.25
