BÀI TẬP ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI.
Bài tập 1. Cho đại số đa thức Đ trên trường số thực

. Chứng minh

C   f  x   [x] / f  x   ao  a2 x 2  ....  a2 k x 2 k  là đại số con của Đ với phép toán
trên Đ.
Kiến thức:
Đại số con: Cho đại số X trên vành R , A là tập con của X . Khi đó

A  
a  b  A a  A
D

A X  
ab  A a  A
ra  A, r  R a  A
Giải.
+ 1  1x 0  0x1  0x 2  ...  0x 2k  G  C  
+ f  x   a0 x0  a2 x 2  .....  a2 k x 2 k ; g  x   b0 x 0  b2 x 2  .....  b2 k x 2 k

f  x   g  x    a0  b0  x 0   a2  b2  x 2  .....   a2 k  b2 k  x 2 k  C
f  x  .g  x    ct xt , trong đó ct 

a

2i  2 j

b  t chẳn.

2i 2 j

Tích f  x  .g  x  chỉ có hệ số mũ chẳn (hệ số mũ lẻ bằng 0)

 f  x  .g  x    ct xt  C
+ Tác động:

x  , f  x   C lấy f  x   a0 x0  a2 x 2  .....  a2 k x 2 k
 rf  x   r.a0 x 0  r.a2 x 2  .....  r.a2 k x 2 k  C
Bài tập 2. Chứng minh một nhóm hữu hạn cấp n đều nhúng đơn cấu vào một nhóm
phép thế bậc n .
Giải.
Cho X là một nhóm bất kỳ, P( X ) là nhóm tất cả các song ánh từ X  X . Khi đó phép


J : X  P( X )
a ha

trong đó ha : X  X khi đó phép J là một đơn cấu nhóm.”
x

ha ( x)  ax

Chứng minh:
(1) ha là một song ánh X  X
+ ánh xạ: ax là duy nhất (trong nhóm X )
+ đơn ánh: Nếu có ax  ay , do trong nhóm có luật giản ước  x  y .
+ Toàn ánh: Lấy bất kỳ y  X  ax  y  x  a1 y
Lấy x  a1 y  X thì ha ( x)  h a (a 1 y)  a(a 1 y)  y
(2) J là đơn cấu.
+ J là ánh xạ: mỗi a có duy nhất ha

+ Đồng cấu: J (ab)  ha hb . Thật vậy:

hab ( x)  abx  h a (bx)  ha (hb ( x))
 ha hb ( x)x  X
 hab  ha hb
+ J đơn cấu: Nếu có ha  hb  ha (e)  ha (e)  hb (e)  ae  be  a  b
Vậy J là một đơn cấu nhóm.
Bài tập 3. Định nghĩa nhóm tự do. Chứng minh với tập S bất kì luôn tồn tại nhóm tự
do sinh bởi S .
Giải.
Định nghĩa.
Nhóm tự do: Cho tập S ta gọi nhóm tự do sinh bởi S (nhóm
tự do trên S ) là nhóm F và 1 ánh xạ f: S  F thỏa mãn:
+  nhóm G

f

S

F

!h

g
G


+  ánh xạ g: S  G
Luôn  duy nhất đồng cấu nhóm h : F  G để biểu đồ trên giao hoán.
Tức là hf  g .

Định lý  của nhóm tự do.
Định lý :  tập hợp S luôn tồn tại nhóm tự do sinh bởi S .
Chứng minh: Xét tập T  S X 1; 1 (tích Đề -các).
Ký hiệu phần tử  x,1  T là x1 (hay  x,1  x1 )

 x, 1  T

là x1 (hay  x, 1  x1 )

Gọi e là tập hợp các bộ hữu hạn phần tử của T.
Hay E 

 x





x2 ...xn n | xii T   i  1

1  2

1



Ta gọi:   x1 1 ...xn n là một từ của E

Định nghĩa “từ” rút gọn: Trong các từ của E nếu xuất hiện 2 phần tử đứng cạnh nhau
giống nhau về cơ số và khác nhau mũ thì bỏ đi(dạng x1x 1 hay y1 y 1 ta bỏ đi.

Từ  : là từ không có phần tử nào(độ dài=0)
Xác định tập F  {từ ,  từ rút gọn của E }
Mục đích xây dựng F là nhóm tự do sinh bởi S .
Phép toán trên F : lấy u, v  F thì tính uv:
Nếu u là từ rỗng thì u.v  v
Nếu v là từ rỗng thì u.v  u

u.v  

thì u.v

là viết tiếp liên tục nhưng nếu xuất hiện các phần tử dạng

x1x 1 , y 1 y1 thì bỏ đi.
1 1 1
1 1
VD: u  x y z , v  t y

 u.v  x1 y 1.z1t1 y1


u  x1 y 1.z1 , v  z 1t1x 1
 uv  x1 y 1t1x 1
Dễ kiểm tra F với phép toán trên là nhóm:
Kết hợp.
Đơn vị là từ rỗng.
Kiểm tra F thỏa mãn nhóm tự do sinh bởi S (theo định nghĩa)

f :S F


Xác định ánh xạ

x1

x

Kiểm tra F và f thỏa mãn định nghĩa nhóm tự do.
Bài tập 4. Chứng minh chỉ có hai loại nhóm Xyclic hoặc là 

 

hoặc là 

Giải.
Nhóm xyclic G hoặc có cấp hữu hạn n hoặc có cấp vô hạn. Nếu:

i G có cấp hữu hạn n thì G

.

n

ii G có cấp vô hạn thì G
Thậy vậy,

i Cho G

xk / k

Do G có cấp n


Lập:

f :G
x

k

.

G

x 0; x 1;..., x n

e

n

k,

k

0

Khi đó f là đẳng cấu. Do đó G

ii Do G có cấp vô hạn x n
Khi đó: G

1


..., x t ; x

t 1

n

1
n

e, n

,..., x 1; x 0

.

1 nên x n

x m, n

e; x 1;..., x t ;... t

m.
.

n

.



Lập:

f :G
xk

k

Khi đó f là đẳng cấu. Do đó G

.

Vậy chỉ có hai loại nhóm xyclic (hoặc

hoặc

n

)

Bài tập 5. Định nghĩa trường nguyên tố. Cho ví dụ. Chứng minh chỉ có hai loại
trường nguyên tố.
Định nghĩa trường nguyên tố.
ĐN(1). Cho trường E, tập con K của E được gọi là trường con của E nếu:

K 


a  b  K ; a, b  K
ab1  K ; a, b  K
ĐN(2). Một trường P gọi là nguyên tố nếu P không có trường con thực sự.

Ví dụ trường nguyên tố.
VD(1). Trường
VD(2). Trường

là trường nguyên tố.
p

là trường nguyên tố ( p là số nguyên tố).

Định lý.
Cho P là trường nguyên tố thì P thuộc một trong hai loại:
+ Loại 1. P có đặc số 0 thì P 

.

+ Loại 2. P có đặc số khác 0 thì P 

p

(p nguyên tố).

Chứng minh định lý ( chỉ có hai loại trường nguyên tố).
Gọi E là đơn vị của P; ký hiệu E  ne / n 

 ; kiểm tra được E là vành giao hoán có

đơn vị là 1e  e và không có ước của 0  E là miền nguyên  E  K ( trường K
trường các thương của E).
Trường hợp 1.



Nếu P có đặc số 0  ne  0, n 
Mà

*

E

có trường các thương là trường hữu tỉ

;
; E có trường các thương là trường K.

K 
K là trường con của P, p nguyên tố  K  P
Vậy P 

hay P là trường loại 1.

Trường hợp 2.
P có đặc số p (p nguyên tố)

 pe  0 và p bé nhất  E  0;1e;2e;...;  p  1 e  E 
Mà

p

p

là trường


 E là trường và E  P, p nguyên tố  E  P
Vậy P 

p

hay P là trường loại 2.

Bài tập 6. Định nghĩa phần tử đại số, phần tử siêu việt. Ví dụ. Chứng minh nếu mở
rộng K của E hữu hạn

 K : E  n thì mọi phần tử thuộc K là đại số trên E.

Giải.
Định nghĩa phần tử đại số, phần tử siêu việt? Cho ví dụ.
Cho trường E và E

K, phần tử a

Được gọi là đại số trên E nếu a là nghiệm của đa thức hệ số thuộc E tức là a là nghiệm
của phương trình:

Được gọi là siêu việt trên E nếu a không phải là đại số trên E ( không phải là nghiệm
của một đa thức thuộc E[x] ).
Ví dụ: Xét trường Q ( E= Q) và R mở rộng của Q thì:
Các số √ , √ ,….là đại số trên Q
Các số

là siêu việt trên Q


Chứng minh rằng nếu mở rộng K của E là hữu hạn ( [ K : E ] = n ) thì với mọi
phần tử thuộc K là đại số trên E
Trong không gian vector K xét hệ vector:

,a,

,…,

,

(*) là hệ có


n+1 vector trong không gian n chiều. Suy ra hệ (*) là phụ thuộc tuyến
tính ( trong không gian vector n chiều
Suy ra bộ hệ số

hệ

n+1 vector luôn phụ thuộc tuyến tính).

để

,

Suy ra a là nghiệm của phương trình

phương

trình có hệ số thuộc E


 a đại số trên E.
Bài tập 7. Định nghĩa mô-đun Noether, mô-đun Artin cho
có Noether không?

là



mô-đun. Hỏi

có Artin không?

Định nghĩa mô-đun Noether, mô-đun Artin.
Cho mô-đun R M
+ M được gọi là Noether nếu với mọi chuỗi tăng các mô-đun con của M đều dừng.
m

Tức là với mọi chuỗi tăng A1  A2  ...  An  ... trong đó Ai  M thì tồn tại k để

Ak  Ak t , t  .
+ M được gọi là Artin nếu với mọi chuỗi giảm các mô-đun con của M đều dừng. Tức



m

là B1  B2  ....  Bn ... trong đó Bi  M đều tồn tại l l 
có Noether không?
Chứng minh


có Artin không?.

là Noether.

Mô-đun con của

có dạng m , m 

.

m k m k
Nếu có dãy tăng bất kì các mô-đun con của

n1  n2  n3  ....  nt  ...*

 n2 ; n3 ;...; nt ;... là ước của n1
mà n1 là số tự nhiên nên có hữu hạn các ước

 dãy * phải dừng
Vậy

là Noether.

là

*

 để A  A
l


l t

, t  .


Chứng minh

không là Artin.

Chọn dãy giảm bất kì các mô-đun con của

là 2  22

 23  ....  2n  ...

Thấy 2;22 ;23 ;...;2n ;... là dãy giảm không bị chặn
Suy ra dãy 2  22
Vậy

 23  ....  2n  ... là dãy giảm không dừng.

không là Artin.

Bài tập 8. Định nghĩa đại số, đại số con, iđêan của đại số. Cho ví dụ.
Giải.
Định nghĩa (đại số)
Cho vành R giao hoán đơn vị ký hiệu 1 , tập X được gọi là đại số trên vành R nếu X
có ba phép toán:
(i) Cộng trong X : x  y  X

(ii) Nhân trong X : xy  X
(iii) Tác động: R  X  X

 r, x 

rx

Thỏa mãn:
ĐK1: X đối với phép cộng và phép nhân là vành

X và (i) + (ii) = vành
ĐK2: X là R _ môđun với cộng và tác động

X và (i) + (ii) = môđun
ĐK3: r  xy    rx  y ;  rs  x  r  sx 
Ví dụ (đại số)
v

(a) Cho X vành bất kì đơn vị 1 và R  X , 1 R sao cho   R, x  X có

 x  x  R là vành giao hoán có đợn vị là 1.


X

R
1

Khi đó X là đại số trên R
Với cộng: là phép cộng của vành X

Nhận: là phép nhân của vành X
Tác động: R  X  X

 r, x 

rx

thì rx chính là : Phép nhân trong vành X
Kiểm tra được
+ X là vành (giả thiết)
+ Cộng và tác động biến X là R _ môđun
+ Thỏa r  xy    rx  y là tính chất kết hợp của vành X
Định nghĩa (Đại số con).
Cho đại số X trên vành R , A tập con của X khi đó:

A  
a  b  A, a, b  A
D

A X  
ab  A, a, b  A
ra  A, a  A, r  R
Định nghĩa (Iđêan).
Cho đại số X , I tập con của X , I được gọi là Iđêan của X nếu:
m

+ I  môđun X
+ I vành X
Kí hiệu: I X



I  
a  b  I ,

I X  
ra  I ,
 xay  I ,

a, b  I
r  R, a  I
x, y  I , a  I

VD: Cho X là vành giao hoán có đơn vị là 1, I X ( I là Iđêan của X ) thế thì
(i) X là đại số trên chính nó
(ii) I là đại số con của X
Chứng minh: X là đại số trên X .

x, y  X  x  y  X ; xy  X  X là vành.
Tác động X  X  X

 r, x 

rx : Nhân trên X

Suy ra: Phép cộng và tác động biến X thành X _môđun X và thỏa điều kiện tính chất
kết hợp của phép nhân: r  xy    rx  y .
Chứng minh: I là đại số con của X .

0 I  I  


I là Iđêan của vành X  a  b  I , a, b  I
I là iđêan của vành X  r  X , a  I có ra  I mà I  X 
…
Bài tập 9. Mô tả đại số ma trận M n  R  và đại số đa thức Đ  R  x  với R là vành
giao hoán có đơn vị là 1.
Giải.
Mô tả đại số ma trận M n  R 



M n  R    aij n ; aij 

 tập các ma trận cấp n phần tử thực.

Bài tập 10. Với một phần tử tùy ý a của một vành đã cho X . idean I  a  của

X


sinh ra bởi đơn tập a gọi là gọi là idean chính của

X . Thử nghiệm rằng I  0   0

, và I 1  X , trong đó 0 là phần tử không, 1là phần tử đơn vị (nếu có của vành X
). Nếu mọi idean của X đều là idean chính thì ta nói rằng X là một vành chính
(vành idean chính). Chứng minh rằng vành
Ta chứng minh vành số nguyên
Giả sử I là một idean của

với tất cả các số nguyên là chính.


là vành chính.

.

Nếu I  {0} thì I là idean sinh bởi {0}.
Nếu I  {0} . Giả sử a là một số nguyên dương bé nhất của I và b  I .
Ta giả sử b  0 ( nếu b  0 thì b  0 và b  I ta lấy b ).
Ta lấy b chia cho a , ta được: b  aq  r với r là số dư và 0  r  a .
Mà r  b  aq  I . Nếu r  0 thì a không phải là số nguyên dương bé nhất của I
(mâu thuẩn). Dó đó r  0 và b  aq tức là I  a là idean sinh ra bởi a .
Vậy

là vành chính, mọi idean của nó đều có dạng n .

Bài tập 11. Giả sử K là một iđêan của một vành R với đơn vị là 1 và x là một phần
tử đã cho của một mô-đun X trên R. Chứng minh: A  Kx   x /   K của X là
một mô-đun con của X.
Kiến thức.
Cho R là vành tùy ý, M là mô-đun trên R, N  M . N là mô-đun con của M khi:
+ N 

+   R; x, y  N ta có x  y  N ;  x  N
Giải.
+ K là một iđêan của một vành R  K là vành con của R; K vừa là iđêan trái vừa là
iđêan phải của R.
+ x  R , ta có x  1x  A  A  




a  1 x
+ 1,2  K  1,2  R ; a, b  A  
b   2 y

x  R 

Ta có: a  b  1x  2 x  1  2  x  A

  K ;  a    x      x  A
Kết luận: A  Kx   x /   K của X là một mô-đun con của X.
Bài tập 12. Chứng minh rằng giao của một họ bất kì những đại số con của một họ
đại số X trên R là một đại số con của X. Do đó, với một tập con bất kì S của X, tồn
tại một đại số con nhỏ nhất của X chứa S, đại số con này gọi là đại số con của X
sinh ra bởi S. Chứng minh đại số đa thức R t  được sinh ra bởi 1 và t
+ Gs A1 , A2 ,..., An ,... là họ các Đại số con của đại số X
Đặt G  A1

A2

...

An

...

Ta có: Ai là đại số i  N * .  1 Ai , i  N *  1 G  G   .

a, b G, r  R . Ta có: a, b  Ai , i  N * mà Ai là đại số con của X nên

a  b; a.b; ra đều thuộc Ai , i  N * . Suy ra : a  b; a.b; ra G . Vậy G là đại số

con của X .
Đặt S  1 ; t . Ta có : S  R t  .
Gs A là đại số con của đại số R t  sinh bở S .
Với mọi f  t   R t  . Ta có : f  t   a0  a1t  a2t 2  ..  ant n , ai  R, i  1..n .
Ta có: A là đại số sinh bởi 1 và t trên vành R
Suy ra : ai  a1.1 A , i  0..n và t i  t.t...t  A , i  1..n ( i thừa số t ).

 ait i  A , i  1..n
Suy ra: f  t   a0  a1t  a2t 2  ..  ant n  A (Vì A là đại số )
Vậy R t   A

(đpcm)