PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN
1/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

dx
dy
+
= 0.
cos y sin x

A. sin y − cos x = C .
B. cos x + sin y = C .
C. C1 cos x + C2 sin y = 0 .
D. − sin x + cos y = C .
dx

dy

= 0.
2/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 1 + x 2 +
1 − y2

A. arctan x + arcsin y = C .
B. arctan y + arcsin x = C .
C. arctan x − arcsin y = C .
2
D. arctan x + ln y + 1 − y = C .

3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ sin 2 x + y = 0.
A. y = Cecot x .
B. y = Ce − cot x .
C. y = C + e− cot x

D. y = C + ecot x .
x
x
4/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ ( 1 − e ) + e y = 0.
x
A. y = C ( 1 − e ) .


C

B. y = 1 − e x .
( )
x
C. y = C ln ( 1 − e ) .

1
2

D. y ( x − e x ) + x 2 y = C .
5/ Nghiệm x = -1 của phương trình vi phân xydx + (1 + x)dy = 0 được gọi là:
A. Nghiệm tổng quát.
B. Nghiệm riêng.
C. Nghiệm kì dị.
D. Nghiệm cơ bản.
6/ Nghiệm riêng của phương trình vi phân (1 + e x ) yy′ = e x thỏa điều kiện ban đầu
y(0) = -1 là:
A. e y

2


2

= e (1 + e x ) .

2

B. 2e y = e(1 + e x ) .
C. 2e y
D. e y

2

2

2

2

= e (1 + e x ) .

= e (2 − e x ) .

7/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = -y/x với điều kiện đầu y(1)=2 .
A. y=-2/x.
B. y= 2/x.
C. y= 1/x.
D. y=-1/x.


8/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân (1+x2)dy+ydx=0 với điều kiện đầu

y(1)=1 .
π

A. y= e 4 −arctan x .
π

B. y= xe 4 −arctan x .
π

C. y= e 4 − x arctan x .
D. y= e− arctan x .
9/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : 1 − y 2 dx + x ln xdy = 0.
A. x 1 + y 2 dx + xy ln x = C .
B. ln lnx + arc sin y = C .
C. ln lnx + 1 − y 2 = C .
D. ln lnx + arctgy = C .
dx

dy

10/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 1 + x 2 + 1 − y 2 = 0.
A. arcsin x + arctg y =C.
B. arcsin x - arctg y =C.
C. arctg x + arcsin y =C.
D. arctg x - arcsin y =C.
11/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
A. ln|lny|+arcsinx = C.

1 − x 2 dy + y ln ydx = 0.



B. ln|lnx|+arcsiny = C.
C. ln|lny|-arcsinx = C.
D. ln|lnx|+arctgy = C.
12/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
A. ln x + 1 + x 2 + 1 − y 2 = C.
2
2
B. ln y + 1 + y − 1 − x = C.

C. ln x + 1 + x 2 − 1 − y 2 = C.
2
2
D. ln y + 1 + y + 1 − x = C.

cos x

13/ Nghiệm của bài toán: y ' = sin y , y (0) = π , là:
A. sin x + cos y + 1 = 0.
B. sin x + cos y = 1.
C. sin x + cos y = 0.
D. sin x − cos y = 1.
14/ Nghiệm của bài toán: (1 + y 2 )dx + x ln xdy = 0, y (e) = 1 là:
π
4

A. ln ln x + arctan y = .
π
4


B. ln ln x = arctan y + .

1 − y2
dx + 1 + x 2 dy = 0.
y


C. ln ln x + arctan y = 1.
D. ln ln x = arctan y + 1.
15/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 1 + y 2 dx + xy ln xdy = 0.
A. ln ln x + 1 + y 2 = C.
2
B. ln y + 1 + y + ln ln x = C.

C. ln ln x + arcsin y = C.
D. ln ln x + arctan y = C.
PTVP đẳng cấp
1/ Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình đẳng cấp?
dy

A. dx =

2x + 3y + 5
.
x+ y

B.

dy x 2 + y 2
=

.
dx
xy

C.

dy x 2 + y 2
=
.
dx
x+ y

dy x 2 y + y 2 x
= 2
.
D.
dx
x + y2
dy x 2 + y 2
=
;
2/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:
dx
2 xy
y2
A. ( 2 − 1) x = 3 .
x

y (1) = 2 .



y
x
y
C. ( + 1) x = 3 .
x
y2
D. ( 2 + 1) x = 3 .
x

B. ( − 1) x = 3 .

y
x

3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y ' = −

y2
.
x2

x
.
C + ln | x |
−x
B. y = C + ln | x | .

A. y =

x

.
C − ln | x |
−x
D. y = C ln | x | .

C. y =

4/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: xy ' = y + x.
A. y = x(C + ln | x |).
B. y = x(C − ln | x |).
x
C. y =
.
C − ln | x |
x
D. y = C + ln | x | .

y
x

5/ Tìm nghiệm của phương trình vi phân y ' = + 1 , với điều kiện đầu y(1) = 1.
y
= ln x + 1 .
x
y
B. = ln x + C .
x
y
C. = x ln x + 1 .
x

y
D. = 2 y − x .
x

A.

PTVP toàn phần
1/ Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?


x
2
x
2
A. e ( y − x ) dx + ( e − y sin y ) dy = 0 .
x
2
x
2
B. e ( y + x ) dx + ( e + x sin y ) dy = 0 .
x
2
x
2
C. e ( y − x ) dx + ( e + x sin y ) dy = 0 .
x
2
x
2
D. e ( y + x ) dx + ( e − y sin y ) dy = 0 .


2/ Phương trình nào cho sau đây là phương trình vi phân toàn phần?
x
x
A. ( ye − x sin x ) dx + ( e − y cos y ) dy = 0 .
x
x
B. ( ye − x sin y ) dx + ( e − y cos y ) dy = 0 .
x
x
C. ( ye − x sin x ) dx + ( e − x cos y ) dy = 0 .
x
x
D. ( ye − x sin y ) dx + ( e − x cos y ) dy = 0 .

3/ Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?
A. ( ye x − xe x ) dx + (e x − y 2 sin y )dy = 0.
B. ( ye x + xe x )dx + (e x + x 2 sin y )dy = 0.
C. ( ye x + xe y ) dx + (e x + y 2 sin y )dy = 0.
D. ( ye x − xe y ) dx + (e x − y 2 sin y )dy = 0.
4/ Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?
A. ( y sin x − cos y ) dx − (cos x − x sin y) dy = 0.
B. ( y sin x − cos y ) dx + (cos x − x sin y) dy = 0.
C. ( y sin x + cos y) dx + (cos x + x sin y ) dy = 0.


D. ( y sin x + cos y) dx − (cos x − x sin y) dy = 0.

5/ Phương trình nào cho sau đây không phải là phương trình vi phân toàn phần?
x

x
A. ( ye − x sin x ) dx + ( e − x cos y ) dy = 0
x
2
x
B. ( ye + y sin x ) dx + ( e − 2 y cos x ) dy = 0
x
x
C. ( ye − x sin x ) dx + ( e − y cos y ) dy = 0
x
x
D. ( ye − sin y ) dx + ( e − x cos y ) dy = 0

PTVP tuyến tính cấp 1 và PTVP Bernoulli
1/ Hàm số y = 2 x + Ce x , với C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của phương
trình nào sau đây?
A. y '− y = 2 ( 1 − x ) .
B. y '+ y = 2 ( 1 − x ) .
2
C. y '− y = ( 1 − x ) .
2
D. y '+ y = ( 1 − x ) .

2/ Hàm số y = Ce 2 x + x 2 , với C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của phương
trình nào sau đây?
A. y '− 2 y = 2 x ( 1 − x ) .
B. y '+ 2 y = 2 x ( 1 − x ) .
2
C. y '− 2 y = ( 1 − x ) .



2
D. y '+ 2 y = ( 1 − x ) .

y
x

3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '− = 3x3.
A. y = Cx + x 4 .
B. y =

C
+ x4 .
x

C. y = Cx 2 + x3 .
D. y = Cx 2 + x .
4/ Tìm nghiệm của phương trình vi phân y 'cos 2 x + y = 0 , với điều kiện y(0)= 1.
A. y = e − tan x .
B. y = ecot x .
C. y = 0.
D. y = e − tan x − 1 .
y
x

5/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '+ 2 = 0 .
A. y =

C
.

x2

B. y =

C
.
x3

C. y =

C
.
x

D. y = Cx .


6/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy '− y = 3x 4 .
A. y = x 4 + Cx.
4
B. y = x +

C
.
x

C. y = x 4 + C.
D. y = x 3 + C.
7/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy '− 2 y = 2 x3.
A. y = 2 x3 + Cx 2 .

B. y =

2x + C
.
x2

3
C. y = 2 x + C .
5
x2

D. y = 2 x3 + C.
8/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '− 2 y = e2 x .
A. y = ( x + C )e 2 x .
B. y = (− x + C )e2 x .
C. y = xCe 2 x .
D. y = Ce 2 x .


9/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy '+ 2 y = 5 x3 .
A. y = x3 +
B. y = x +

C
.
x2

C
.
x2


C. y = Cx 2 + x3 .
D. y =

x3 1
+ +C .
3 x2
2x +1

10/ Chọn cách đổi biến thích hợp để biến phương trình Bernoulli 4 y '− 4 y = y 3
thành phương trình vi phân tuyến tính.
A. Đặt z = y 4 , phương trình đã cho trở thành z '− 4 z = 2 x + 1 .
B. Đặt z = y 4 , phương trình đã cho trở thành z '− z = 4 ( 2 x + 1) .
y
x

1
x

C. Đặt z = , phương trình đã cho trở thành 4 z '− 4 z = 2 + .
D. Đặt y = ux , phương trình đã cho trở thành y ' = x + xu ' .
PTVP.TT cấp 2 hệ số hằng – thuần nhất
1/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y ''− 3 y '+ 2 y = 0.
A. y = C1e x + C2e 2 x ; C1 , C2 ∈ R .
x
B. y = e ( C1 cos ( 2 x ) + C2 sin ( 2 x ) ) ; C1 , C2 ∈ R
x
C. y = e ( C1 cos ( 3x ) + C2 sin ( 3x ) ) ; C1 , C2 ∈ R

D. y = C1e − x + C2e −2 x ; C1 , C2 ∈ R



2/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y ''− 5 y '+ 6 y = 0.
A. y = C1e3 x + C2e 2 x ; C1 , C2 ∈ R .
2x
B. y = e ( C1 cos ( 3x ) + C2 sin ( 3x ) ) ; C1 , C2 ∈ R .

C. y = C1e3 x + C2e −2 x ; C1 , C2 ∈ R .
D. y = C1e x + C2e6 x ; C1 , C2 ∈ R .
3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y ''− 4 y '+ 4 y = 0.
A. y = C1e 2 x + C2 xe 2 x ; C1 , C2 ∈ R .
2x
B. y = e ( C1 cos ( 2 x ) + C2 sin ( 2 x ) ) ; C1 , C2 ∈ R .

C. y = C1e 2 x + C2e 2 x ; C1 , C2 ∈ R .
D. y = C1e −2 x + C2 xe−2 x ; C1 , C2 ∈ R .
4/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y ''− 6 y '+ 9 y = 0.
A. y = C1e3 x + C2 xe3 x ; C1 , C2 ∈ R .
3x
B. y = e ( C1 cos ( 3x ) + C2 sin ( 3x ) ) ; C1 , C2 ∈ R .

C. y = C1e3 x + C2e3 x ; C1 , C2 ∈ R .
D. y = C1e −3 x + C2 xe−3 x ; C1 , C2 ∈ R .
5/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′′ + 5 y′ + 6 y = 0 .
A. y= c1e2 x + c2e3 x .
B. y= c1e 2 x + c2e−3 x .
C. y= c1e −2 x + c2e −3 x .


D. y= c1e x + c2e 5 x .

6/ Nghiệm của bài toán y′′ − 5 y ′ + 6 y = 0, y (0) = 2, y '(0) = 3 là:
A. y = 3e2 x − e3 x .
B. y = e2 x − 3e3 x .
C. y = e2 x + e3 x .
D. y = 2e 2 x + 3e3 x .
7/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’’+y’-2y=0 thỏa: y(0)=0, y’(0)=1.
1
3

1
3

1
3

1
3

A. y = e x − e−2 x .
B. y = e x + e−2 x .
1
3

1
3

C. y = e−2 x − e x
1
2


1
2

D. y = e x − e−2 x .
8/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : y’’- 3y’=0.
A. y = C1 + C2e3 x .
B. y = C1 + C2e−3 x .
C. y = C1e x + C2e3 x .
D. y = C1e 2 x + C2e3 x .
9/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : y’’+ 4y’+4y=0.
A. y = C1e 2 x + C2 xe 2 x .


B. y = C1e −2 x + C2 xe −2 x .
C. y = C1e −2 x + C2e −2 x .
D. y = C1e 2 x + C2e 2 x .
10/ Nghiệm của phương trình vi phân y ''+ 6 y '+ 9 y = 0 , với điều kiện y(0)= 1 và
y’(0)=1 là:
A. y = e−3 x + 4 xe−3 x .
B. y = e−3 x + xe−3 x .
C. y = e−3 x + 2 xe−3 x .
D. y =

e −3 x
.
3

PTVP.TT cấp 2 hệ số hằng, không thuần nhất
1/ Một nghiệm riêng của phương trình y ''+ 4 y '− 5 y = xe x có dạng:
x

A. yr = x ( ax + b ) e
x
B. yr = ( ax + b ) e

C. yr = axe x
D. yr = C1e x + C2e −5 x ; C1 , C2 ∈ R
2/ Một nghiệm riêng của phương trình y ''+ y '− 6 y = x 2e −2 x có dạng:
2
−2 x
A. yr = ( ax + bx + c ) e
2
−2 x
B. yr = x ( ax + bx + c ) e

C. yr = ax 2e−2 x


D. yr = C1e2 x + C2e −3 x
x
3/ Một nghiệm riêng của phương trình y ''− 4 y '+ 3 y = ( 2 x + 1) e có dạng:
x
A. yr = ( ax + b ) xe
x
B. yr = ( ax + b ) e
x
C. yr = a ( 2 x + 1) xe

D. yr = ae x + be3 x
4/ Một nghiệm riêng của phương trình y ''− 3 y '+ 2 y = 2 x 2 − 3 có dạng:
A. yr = ax 2 + bx + c .

B. yr = ae x + be2 x
2
x
C. yr = ( ax + bx + c ) e .
2
2x
D. yr = ( ax + bx + c ) e
2x
5/ Một nghiệm riêng của phương trình y ''− 4 y '+ 4 y = ( −3x + 2 ) e có dạng:
2 2x
A. yr = ( ax + b ) x e .

B. yr = ae 2 x + bxe2 x
2x
C. yr = ( ax + b ) xe
2x
D. yr = ( ax + b ) e

6/ Nghiệm tổng quát của phương trình y”+3y’-4y=x là:
A. y=C1e x + C 2e −4x − x − 3

4 16


x 3
4 16

B. y=C1e x + C2e−4x + +

C. y=C1e x + C2 e−4x + x − 3


4 16
x 3
4 16

D. y=C1e x + C2e −4x − +

7/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : y’’- 4y’ + 3y = x
x 4
3 9
x
4
B. y=C1e x + C2e3x − +
3 9
x 4
C. y=C1e x + C2e3x − −
3 9
x 4
D. y=C1e x + C2 e3x + −
3 9

A. y=C1e x + C2e3x + + .

8/ Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ''+ y ' = e x là:
A. y = C1 + C2 e− x + e

x

2


B. y = C1 + C2e − x +

xe x
2

C. y = C1 + C2e− x + e x
D. y = C1 x + C2 e− x +

ex
2

9/ Một nghiệm riêng của phương trình vi phân y ''+ y '− 2 y = −4 x là:
A. y = 2 x + 1
B. y = x + 3


C. y = x( x + 2)
D. y = C1e x + C2e −2 x
10/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’’-2y’+y=xe x
A. y= (c1 + c2 x)e x + 1 x3e2x
6
1 3 x
B. y= (c1 + c2 x)e + x e
6
C. y= (c1 + c2 x)e x − 1 x 3e2x
6
5
D. y= (c1 + c2 x)e x + x3e x
6
x