Công thức lượng giác tổng hợp toàn tập

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản
Kiến thức cơ bản


Hệ quả 1 :
Hệ quả 2 :
B. TOÁN
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 CUNG
1) a.Tính sina , tana, cota biết cosa =

và

2) b.Tính cosa, tana, cota biết

và

3) c.Tính cosa, sina, cota biết

và

4) d.Tính sina, cosa, tana biết

và

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN.

5) a.tính

biết

6) b.Tính

và

biết

7) c.Tính

biết

8) d.Tính

biết

9) e. Tính

biết

10) tính
11) a.Tính
b.Tính

,

,
,


biết
biết


ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

12) .
13) .
14)
15)
16)
17)
18)

19)

20)

CHỨNG MINH CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
21) .
22) .
23)
24)
25)
26)


27) .
28) .
29) .


CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO
X
30) a.
31) b.
32) c.
33) d.
34)
35)

VẤN ĐỀ 2 : CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung liên kết).
STT

Hai cung

Gọi là hai cung

Công thức

Cách nhớ

1

Đối nhau

Cos đối

2

Bù nhau


Sin bù

3

Phụ nhau

Phụ chéo


4

5

Sai kém

Sai

2 cung sai kém
thì sin ( cung lớn)
= cos ( cung nhỏ)

Sai kém

Hệ quả : A , B , C là 3 góc trong 1 tam giác
a.

Ta có : A + B + C =
(phụ)


Chứng minh rằng:
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)

tan, cot


Tính giá trị biểu thức :

43)
44)
45)
46)

47)
Đơn giản biểu thức sau :
48)
49)
50)


VẤN ĐỀ 3 : CÔNG THỨC CỘNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN

Hệ quả : Biến đổi biểu thức

i. Giả sử
Ta có :

( và a và b không đồng thời triệt tiêu)

Áp dụng kết quả trên ta có :

Rút gọn các biểu thức sau :
51)
52)
53)

về dạng tích số


54)
55)
56)

57)
58)
59)
Chứng minh rằng :

60)
61)
62)
63)
64) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
65)

66)
67)

Các bài toán liên quan đến tam giác :
68) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC (không vuông) ta đều có :
69)
70) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có :
71)


72) Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
73)

và xác định hình tính của tam giác ABC trong trường hợp này.

74)
75) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H chia đường cao
.Tính

theo tỉ số

theo m và chứng minh rằng :

76) Cho tam giác ABC thỏa mãn :

. CMR tam giác ABC cân.

Các bài toán liên quan khác
77) Cho x và y là hai số thay đổi và là nghiệm đúng của phương trình


. Tìm giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của phương trình
78) Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa mãn

và

79) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
80) Cho hai số x và y thay đổi sao cho

. CMR :
biết x và y là hai số thay đổi thỏa mãn :

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức :

VẤN ĐỀ 4 : CÔNG THỨC NHÂN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Công thức nhân đôi

Hệ quả


Đặt

, ta có :

Công thức nhân 3


81) Tính

biết

82) Tính
Tính giá trị biểu thức sau:
83)
84)
85)
86)

87)

88)
89)
Chứng minh rằng :


90)
91)
92)
93)
94)
95)
96)
97)
98)
99)
100)


Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng

, cạnh bên bằng b và cạnh đáy băng a.

CMR
Tính giá trị biểu thức sau :
101)
102)
103)

nếu
nếu
nếu

VẤN ĐỀ 5 : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG


Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :
104)
105)
106)
Chứng minh các đẳng thức sau:
107)
108)
109)
110)

Cho tam giác ABC có

VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Hệ quả :


Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
111)
112)
113)
114)
Đơn giản các biểu thức sau:

115)
116)
Chứng minh rằng :
117)
118)


VẤN ĐỀ 7 : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG TAM GIÁC
A, B , C là 3 góc trong 1 tam giác , ta có :

(bù)

vậy :

( phụ)

Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có

Tổng quát :

hay
ta luôn có

Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY
hay

Định lí hàm số sin
Định lí hàm số cosin

Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
119)
120)
121)


A , B , C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng :

122)
123)
124)
125)
126)
127)
128)
129)
130)

Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có


131)

Cho tam giác ABC , đặt

ABC nhọn

thì tam giác ABC là 1 tam giác cân.
. Chứng minh rằng tam giác

.

132)

Hãy nhận dạng tam giác ABC biết :

133)

Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn hệ thức :

.
Chứng minh

tam giác ABC cân.
134)

Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn

hệ thức :


. Tính các góc A, B , C.

135)

Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi và chỉ khi :

136)

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có :

.
(trong đó p là nửa chu

vi. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác đều.
137)

Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :

. Thì tam

giác ABC là tam giác đều.

VẤN ĐỀ 8 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
KIẾN THỨC CƠ BẢN


Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương trình

Giải các phương trình sau :


138)
139)
140)
141)
142)
143)
144)
145)
146)
147)
148)
149)
150)

Lời giải


151)
152)
153)
154)
155)
156)
157)
158)
159)
160)
161)
162)

163)
164)
165)
166)
167)
168)
169)
170)
171)
172)
173)
174)
175)
176)


177)

178)
179)
180)
181)
182)
183)
184)
185)
186)
187)
188)
189)

190)
191)
192)
193)
194)
195)
196)
197)
Tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình sau:

198)
199)
200)

trong khoảng
trong khoảng
trong khoảng


201)
202)

trong đoạn
trong khoảng

203)

trong khoảng

204)


trong khoảng
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH:

205)
206)
207)

Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 1 và chỉ 1 nghiệm

208)

Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

209)

Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

LOẠI 2
Loại 2 : PHƯƠNG TRÌNH
Cách giải :

(điều kiện để phương trình có nghiệm

)


Giải các phương trình sau :
210)
211)

212)
213)
214)
215)
216)
217)
218)
219)
220)
221)
222)
223)
224)
225)
226)
227)
228)
229)
230)


231)
232)
233)
234)

Tìm các giá trị của

để phương trình :
có nghiệm


235)

Tìm các giá trị của

để phương

trình :
236)

trong khoảng

Giải và biện luận phương trình theo tham số m :
237)

Cho phương trình :

238)

Cho phương trình :

.Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm.
.Giải và biện luận phương trình theo

tham số m.
239)

Tìm các giá trị của

240)


thỏa mãn phương trình sau với mọi m:

Tìm m để phương trình có nghiệm :

LOẠI 3
Phương trình chứa tổng và tích của sinx và cosx :A(sinx+cosx)
+Bsinxcosx+C=0 (1)
Đặt

Thay vào phương trình (1), ta có :
Giải các phương trình sau :


241)
242)
243)
244)
245)
246)
247)
248)
249)
250)
251)
252)
253)
254)
255)
256)

257)
258)

Cho phương trình :

a)Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng
b) Xác định a để phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng
c)Xác định a để phương trình có 2 nghiệm trong khoảng
259)

Cho phương trình :

nghiệm trong khoảng

. Xác định m để phương trình có


LOẠI 4 :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Cách 1 :
Bước 1 : kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm đúng của phương trình hay không ?
Bước 2 : chia hai vế của phương trình cho
có ẩn số phụ t = tanx.
Cách 2 :

ta được phương trình bậc hai

.

Dùng công thức :
Để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x (Acos2x + Bsin2x = C).

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU :
260)
261)
262)
263)
264)
265)
266)
267)
268)
269)
270)
271)
272)
273)


274)
275)
276)
277)

Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình :
. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

VẤN ĐỀ 9 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
278)

Cho phương trình lượng giác :


279)

Giải phương trình với

280)

Tìm m để phương trình có nghiệm

281)

Cho phương trình lượng giác :

282)

Cho phương trình :

. Xác định a để phương trình có nghiệm.
. Với giá trị nào của m thì phương

trình có nghiệm.
283)

Cho phương trình :

a)

Giải phương trình khi a = 1.

b)


Tìm a để phương trình có ít nhất 1 nghiệm

284)

.

Cho phương trình :

a) Giải phương trình với k = 2.
b) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát.
285)

Cho phương trình :

nghiệm trong khoảng
286)

. Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1
.

Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện :


VẤN ĐỀ 10 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG
MẪU MỰC
287)

Giải phương trình :


288)

Giải phương trình :

289)

Giải phương trình :

290)

Giải phương trình :

291)

Giải phương trình :

292)

Giải phương trình :

293)

Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm :

294)

Giải phương trình :

295)


Giải phương trình :

296)

Giải phương trình :

297)

Giải phương trình :

.

.
.
.
.

.

VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

298)

Giải hệ phương trình :

299)

Giải hệ phương trình :

300)


Giải hệ phương trình :