UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

_________________

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
_________________________________________

ĐỀ SỐ 1
Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P=

x5 +x 4 +1 1
+
3
2
x +x +x x

a) Rút gọn P;
b) Tìm x nguyên để P nguyên;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x dương.
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho đa thức f(x) khác đa thức không thoả mãn (x+2)f(x) = xf(x+1)
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm;
b) Tìm đa thức f(x) biết f(1) = 2 và f(x) có bậc hữu hạn.
Bài 3: (2,5 điểm)
a) Hai người đi xe máy cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A đến B
và người thứ hai đi từ B đến A, với vận tốc gấp hai lần người thứ nhất.

Sau bốn giờ hai người gặp nhau. Tính thời gian của mỗi người khi đi hết
quãng đường AB.
1
1
b) Chứng minh rằng 2 + 2 =1 khi và chỉ khi xy = 1
x +1 y +1
Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD; trên tia đối của tia BA lấy E,
trên tia đối CB lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân;
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung
điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a+b+c ≤ 1 , Chứng minh
1
≤ (a-1)2 +(b-1)2 -c ≤ 2
2
---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có … trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh..............
rằng:


UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
________________________

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 8

Bài 1: (2,0 điểm)

Ý/Phần
a)

Đáp án
P=

(x3 -x+1)(x 2 +x+1) 1
+
x
x(x 2 +x+1)

x3 -x+1 1
+
x
x
x3 -x+2
P=
x
x3 -x+2 2 2
P=
= x + -1; P nguyên x ∈ U(2)
x
x
⇒ x ∈{-1; 1; -2; 2}
x3 -x+2 2 2
2
1
P=
= x + -1=x 2 + 1+ -2 ≥ 2(x+ )-2
x

x
x
x
1
P ≥ 2(x+ ) - 2 ≥ 2 ( do x dương)
x
P=

b)

c)

Điểm
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 2: (1,5 điểm)
Ý/Phần
a)

b)

Đáp án
Cho x= 0 thì f(0) = 0 vậy x=0 là nghiệm của pt f(x) = 0
Cho x = -2 thì f(-1) = 0 vậy x = -1 là nghiệm của pt

f(x)=0
Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm x=0; x=-1
Vì pt có hai nghiệm x=0, x=1 nên f(x) = x(x+1)p(x),
f(x+1) = (x+1)(x+2)p(x+1)
Suy ra p(x) = p(x+1), bậc f(x) hữu hạn nên p(x) hữu hạn,
Suy ra p(x) = a (hằng số)
Vậy f(x) =ax(x+1), f (1)=2 nên a=1 suy ra f(x)=x(x+1)

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 3: (2,5 điểm)
Ý/Phần
a)

Đáp án
Gọi x là vận tốc người thứ nhất x > 0, x(km/h)
Vận tốc người hai là 2x(km/h)
Quãng đường AB =4x+8x=12x(km)

Điểm
0,25
0,25



Thời gian người thứ nhất 12(h)
Thời gian người thứ hai 4(h)
Điều kiện đủ
1
1
y2
xy =1 ⇔ x = ⇒
=
y
x 2 +1 y2 +1
b)

0,25
0,25
0,25

1
1
y2
1
Nên 2 + 2 = 2 + 2 = 1
x +1 y +1 y +1 y +1

0,25

Điều kiện cần
1
1
1
1

y2
t=
+
=1⇒
=
do
y≠
0
Đặt
y
x 2 +1 y2 +1
x 2 +1 y2 +1

0,25

 x=t
1
t2
=
⇒
x 2 +1 t 2 +1  x=-t

0,25

1

 x= y


1

 x=y


0,25

xy =1 (đpcm)

0,25

Bài 4: (3,0 điểm)
Ý/Phần
a)

Đáp án
E
1

0,5

I

2

B

C
O

A


Điểm

D

1

2

F


GT

KL

Cho hình vuông ABCD; trên tia
đối của tia BA lấy E, trên tia đối
CB lấy F sao cho AE = CF, O là
giao điểm hai đường chéo, I trung
điểm EF.
a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân;
b) Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Chứng minh ∆ EDF vuông cân
Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c)

0,5

∆ EDF cân tại D
Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ Eˆ

⇒

1

= Fˆ2

= 900 ⇒ Fˆ2 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 900
⇒ EDF = 900. Vậy ∆ EDF vuông cân
Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung
trực BD
Mà

b)

0,25

Eˆ 1 + Eˆ 2 + Fˆ1

1
Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF
2
1
Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI
2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5


⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường

thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng

0,25

Bài 5: (1,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
Do a, b, c không âm và a+b +c ≤ 1 suy ra

Điểm
0,25


0 ≤ a+b ≤ 1;0≤ c ≤ 1-a-b
Suy ra (a-1)2 + (b-1)2 – c ≤ (1-a-b)2 + 1- c ≤ 2
Ta cũng có
(a-1)2 + (b-1)2 – c ≤ (1-a-b)2 + 1- c ≥ a2 –a + b2 –b + 1
a2 –a + b2 –b + 1=(a-1/2)2 + (b-1/2)2 +1/2≥1/2
suy ra( ĐPCM)

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0,25
0,25

0,25

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề

ĐỀ SỐ 2
Bài 1: (2điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x 4 +1
b) x4 + 4
c) x3 – 5x2 + 8x – 4
Bài 2 (2 điểm)
 1 − x3

1 − x2


−
x
:
Cho biểu thức A = 
 1 − x − x 2 + x 3 với x ≠ -1 và x ≠ 1
1
−
x


a) Rút gọn biểu thức A.
2

3

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .
c) Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 3: (1,5điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 − 2a 3 + 3a 2 − 4a + 5 .
a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+
+
=
0
+
+
=
1
b) Cho
và x y z
. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c
a
b
c

Bài 4 (1,5 điểm): Giải phương trình
a) x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+

+
= 10 .
b)
17
19
21
23
Bài 5 (3điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường
thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M
và N.
a) Chứng minh rằng OM = ON.
b) Chứng minh rằng

1
1
2
+
=
.
AB CD MN


c) Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính
SABCD
---------- Hết ---------(Đề thi gồm có 1 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................;Số báo danh..............

UBND HUYỆN ...............

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán Lớp 8

Bài 1: (2điểm)
Ý/Phần

đáp án
x5 +x4 + 1

a)

= x 5 + x 4 + x 3 − ( x 3 − 1)

0,25

= x 3 ( x 2 + x + 1) − ( x − 1)( x 2 + x + 1)

0,25

= ( x + x + 1)( x − x + 1)
2

b)

c)

Điểm


3

0,25

x 4 + 4 = ( x 4 + 4 x 2 + 4) − 4 x 2 = ( x 2 + 2) 2 − (2 x) 2
= ( x 2 − 2 x + 2)( x 2 + 2 x + 2)

0,25
0,25

x3– 5x2 + 8x – 4 = x3 – 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4
= x(x2 – 4x + 4) – (x2 – 4x + 4)

0,25
0,25
0,25

= (x – 1)(x – 2)2
Bài 2: (2điểm)
Ý/ Phần

đáp án

Điểm


a)

Với x ≠ -1 và x ≠ 1thì :
1 − x3 − x + x 2

(1 − x)(1 + x)
:
A=
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x(1 + x)
(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x)(1 + x )
:
=
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1

= (1 + x 2 )(1 − x) với x ≠ -1 và x ≠ 1

Tại x = − 1

2
5
= − (TMĐK) thì A =
3
3

5 2 
5 

1 + (− 3 )  − 1 − ( − 3 ) 

25
5

34 8 272
2
)(1 + ) = . =
= 10
9
3
9 3 27
27
2
Với x khác -1 và 1 thì A < 0 khi và chỉ khi (1 + x )(1 − x) < 0 (1)

= (1 +

c)

0,25

1

2
2
= (1 + x ) : (1 − x) = (1 + x ) : (1 − x)

b)

0,25

Vì 1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1
KL


0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 3: (1,5 điểm)
đáp án

Ý/ Phần
a)

Điểm

Biến đổi để có A = a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3

0,25

Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a − 1) 2 ≥ 0∀a nên (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a do đó

0,25

(a + 2)(a − 1) + 3 ≥ 3∀a
2

2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1

KL
Từ :

Ta có :
b)

0,25

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0 ⇔
= 0 ⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
xyz
0,25
x y z
x y z
x2 y 2 z 2
xy xz yz
+ + = 1 ⇔ ( + + ) 2 = 1 ⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a b c
a b c
a
b
c
ab ac bc

0,25



⇔

x2 y2 z 2
cxy + bxz + ayz
+ 2 + 2 +2
=1
2
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b
c

0,25

Bài 4: (1,5 điểm) Giải phương trình
Ý/ Phần
a)

đáp án
2
x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0 <=> ( x − x + 1) ( x − 5 ) ( x + 6 ) = 0

1 2 3
) + >0
2

4
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10
17
19
21
23
x − 241
x − 220
x − 195
x − 166
⇔
−1+
−2+
− 3+
−4=0
17
19
21
23

Vì

b)

Điểm


x2 - x + 1 = (x -

x − 258 x − 258 x − 258 x − 258
+
+
+
=0
17
19
21
23
1 
1 1 1
⇔ ( x − 258 )  + + + ÷ = 0 ⇔ x = 258
 17 19 21 23 
⇔

Bài 5: (3điểm)
Ý/
Phần
O

0,25

Điểm

N

C


D

OM OD
ON OC
=
=
,
AB BD
AB AC
OD OC
=
Lập luận để có
DB AC
OM ON
⇒
⇒ OM = ON
=
AB
AB

Lập luận để có

b)

Xét ∆ABD để có

0,5

B


A

a)

0,25

0,25

đáp án

M

0,25

OM DM
=
AB
AD

(1), xét ∆ADC để có

0, 5
0,25
0,25
OM AM
=
(2)
DC
AD


0,25


1
1
AM + DM AD
+
=
=1
)=
AB CD
AD
AD
1
1
) =1
Chứng minh tương tự: ON ( +
AB CD
1
1
1
1
2
)=2 ⇒
+
=
từ đó có (OM + ON) ( +
AB CD
AB CD MN
S AOB OB S BOC OB

S
S
=
=
⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
,
S AOD OD S DOC OD
S AOD S DOC

Từ (1) và (2) ⇒ OM(

Chứng minh được S AOD = S BOC
c)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

0,25

Do đó SABCD = 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172
(đơn vị DT)

0,25


---------------------------------


UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giaođề)

ĐỀ SỐ 3

Bài 1: (2,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;
b) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3
c) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2,5 điểm). Cho biểu thức :

2 +x
4x2
2 −x
x 2 −3 x
A =(
− 2
−
):(
)
2 −x

x −4 2 + x
2 x 2 −x 3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c

Bài 4: (3,0 điểm)


Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi
E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần
lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
Bài 5:(0,5 điểm)

Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................
UBND HUYỆN ...............
HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn thi: Toán - Lớp 8

Bài 1: (2,0 điểm).
Ý/Phần
Đáp án
2
2
3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2
a
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
3
3
3
3
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z 

Điểm
0,25
0,25

2

2
2
2
= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )
2
= ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx )

b

0,5

= 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y ) 
= 3 ( x + y) ( y + z) ( z + x ) .

x4+2010x2+2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 )
4

c

2
2
= x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1)
2
2
= ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) .

Bài 2: (2,5 điểm).

0,25


2

0,5
0,25


Ý/Phầ
n

Đáp án
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0


ĐKXĐ : 2 + x ≠ 0 ⇔  x ≠ ±2
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2
3
2 x − x ≠ 0
2 + x 4x2
2− x
x 2 − 3x
(2 + x ) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
A=(
− 2

−
):( 2 3) =
.
=
2 − x x − 4 2 + x 2x − x
(2 − x)(2 + x)
x( x − 3)

a

Điểm
0,25

0,25

4 x2 + 8x
x (2 − x)
.
=
(2 − x)(2 + x) x − 3
=

4 x( x + 2) x (2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

4x 2
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =
.

x −3

4 x2
>0
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔
x−3
⇔ x−3> 0
⇔ x > 3(TMDKXD ) Vậy với x > 3 thì A > 0.

b

x − 7 = 4
x−7 = 4 ⇔ 
 x − 7 = −4
 x = 11(TMDKXD )
121
⇔
Với x = 11 thì A =
2
 x = 3( KTMDKXD )

c

0,25
0,25

0,5
0,25
0,5
0,25


Bài 3: (2,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
9x + y + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
2
2
2
Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0; ( z + 1) ≥ 0
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
2

a

Từ :
b

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0 ⇔
=0
x y z
xyz
⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1

a b c
a b c
Ta có :
⇔

Điểm

2

x2 y 2 z 2
xy xz yz
+ 2 + 2 + 2( + + ) = 1
2
a
b
c
ab ac bc

0,5
0,5

0,5


⇔

x2 y 2 z 2
cxy + bxz + ayz
+ 2 + 2 +2
=1

2
a
b
c
abc
x2 y2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1 (Đpcm)
a
b
c

0,5

Bài 4: (3,0 điểm)
Ý/Phầ
n

Đáp án

Điểm

H

C

B

0,25

F

O

A

E
D

a

b

c

Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
ˆ = ADC
ˆ ⇒ HBC
ˆ = KDC
ˆ
Ta có: ABC
Chứng minh : ∆CBH ~ ∆CDK ( g − g )
CH CK
⇒
=
⇒ CH .CD = CK .CB
CB CD
Chứng minh : ∆AFD ~ ∆AKC ( g − g )
AF AK

⇒
=
⇒ AD. AK = AF . AC
AD AC
Chứng minh : ∆CFD ~ ∆AHC ( g − g )
CF AH
⇒
=
CD AC
CF AH
=
⇒ AB. AH = CF . AC
Mà : CD = AB ⇒
AB AC

K

0,5
0,5
0,5
0,25

0,5

0,25

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC =
0,25
AC2 (đpcm).
Bài 5:(0,5 điểm)

Ý/Phần

Đáp án

Điểm


Có: (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
⇔ (a+ b) – ab = 1(Vì a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 =
a2002 + b2002)
⇔ (a – 1).(b – 1) = 0
⇔ a = 1 hoặc b = 1
0,25
2000
2001
Với a = 1 => b = b => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
0,25


ĐỀ SỐ 4
UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1: ( 1.5 điểm )
Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b) ( x+ 2)(x + 4)2(x+8) - 63x2
Bài 2: ( 2.0 điểm )
1)Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz
2) Tìm x biết
a) ( 3x2 - 12 )3 - (2x2 + 13 )3 - ( x2 - 25)3 = 0
b) (x+1)4 + (x+3)4 = 16
Bài 3: ( 1.0 điểm )
Tìm dư của phép chia đa thức
x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
Bài 4: ( 2 điểm )
1 2 3 .+ 44.....4
14 2 43 + 1 là số chính phương
a) Chứng minh rằng C = 11.....1
2n
n

b) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng :
( a + b − c ) ( a − b + c ) ( b + c − a ) ≤ abc
Khi dấu " = " xảy ra thì tam giác đó là tam giác gì ?
Bài 5: ( 3.5 điểm )
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường
thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M
và N.
AM ON
+
=1

a)
AD AB
b) Chứng minh rằng OM = ON.
c) Chứng minh rằng

1
1
2
+
=
.
AB CD MN

d, Biết SAOB= a2; SCOD= b2 . Tính SABCD theo a và b .


---------- Hết ---------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................;Số báo danh..............

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 8

Nội dung đáp án
Bài 1
a
x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 = (x+y)2 + 7(x + y) +10 = 0

= (x+y)2 + 2(x + y) + 5(x+y) +10 = 0
= (x+y+2)(x+y+5)
b
( x+ 2)(x + 4)2(x+8) - 63x2 = (x2 + 10x + 16)( x2 + 8x + 16) - 63x2
=( x2 + 9x + 16 + x )( x2 + 9x + 16 - x ) - 63x2
= ( x2 + 9x + 16)2- 64x2 = ( x2 + 9x + 16 - 8x)( x2 + 9x + 16 +8x)
= ( x2 + x + 16) (x2 + 17x + 16)
= ( x2 + x + 16) (x + 1 )( x + 16)
Bài 2:
1
x + y + z = 0 => x + y = -z => (x+y)3 = - z3 => x3 +y3 + 3xy(x+y) = -z3
=> x3+y3 + z3 = -3xy(x+y) => x3+y3 + z3 = -3xy(-z) => x3+y3 + z3 = 3xyz
2
a
( 3x2 - 12 )3 - (2x2 + 13 )3 - ( x2 - 25)3 = 0
<=> ( 3x2 - 12 )3 +(-2x2 -13 )3 + ( -x2 + 25)3 = 0
Vì ( 3x2 - 12 )+(-2x2 -13 ) + ( -x2 + 25) = 0
Nên theo ý 1 ta có
2
3
( 3x - 12 ) +(-2x2 -13 )3 + ( -x2 + 25)3 =0
<=>3( 3x2 - 12 )(-2x2 -13 )( -x2 + 25) = 0
Giải ra ta được tập nghiệm của phương trình là
S={ -5;-2;2;5}
b
4

4

(x+1) + (x+3) = 16

Đặt y= x+2 ta có (y-1)4 + (y+1)4 = 16
<=> 2(y4+6y2 +1) = 16 <=> y4+6y2 - 7 =0 <=> (y2 + 7)(y2-1) = 0

Điểm
1.5
0.75
0.25
0.25
0.25
0.75
0.25
0.25
0.25
2,0
0.5
0.25
0.25
1.5
0.75
0.25
0.25
0.25
0.75
0.25
0.25


<=> y = 1 hoặc y = -1 => x = -1 hoặc x = -3
Vậy phương trình có tập nghiệm là S ={ -1;-3}


0.25
1.0

Bài 3
Giả sử x99+ x55+x11+x+ 7 = ( x2-1) Q(X) + ax + b
=> khi x=1 ta có a + b = 11
khi x = -1 ta có -a + b = 3
=> 2b = 14 => b = 7
=> a =11- 7 =4
Vậy dư của phép chia trên là 4x + 7
Bài 4
a
123
Đặt a = 11.....1
n

0.5
0,25
0.25
2.0
1.0
0.5

1 2 3 11.....1
1 2 3 + 4. 11.....1
1 2 3 + 1 = a. 10n + a + 4 a + 1
Thì C = 11.....1
n
n
n


= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2

0,25

1 2 3 là số tự nhiên nên C là số chính phương
Vì a = 11.....1
n

b

0,25
1.0

Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên
a + b - c ; a - b +c ; b + c - a đều > 0
=> 0< ( a + b - c )( a - b +c) = a2 - ( b - c )2 ≤ a2 (1)
Tương tự có
0< ( a + b - c )( b + c - a ) = b2 - (a - c)2 ≤ b2 (2)
0< ( a - b + c )( b + c - a ) = c2 - (a - b)2 ≤ c2 (3)
Từ (1) ; (2) và (3) => 0 < ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( b + c − a ) ≤ a 2b 2c 2
=> ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( b + c − a ) ≤ abc
Dấu "=" xảy ra khi đẳng thức ở (1); (2) và (3) xảy ra
=> a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều .
2

2

2


Bài 4

0.5

0.25
0.25
3,5

Hình vẽ và GT KL
B

A
M

O

N

0,25
D

C

a

0.75
Xét ∆ADC có OM//DC theo Hệ quả của định lý Ta -Lét ta có :

AM OA
=

,
AD AC

0.25


ON OC
=
AB AC
AM ON OA OC
+
=1
+
=
=>
AD AB AC AC
tương tự ta có

b

0.25
0,25
0.75

Lập luận để có

OM OD
=
,
AB BD


Lập luận để có

OD OC
=
DB AC

⇒

ON OC
=
AB AC

OM ON
⇒ OM = ON
=
AB
AB

c

0.25
0.25
0.25
0.75

OM DM
OM AM
=
=

(1), xét ∆ADC để có
(2)
AB
AD
DC
AD
1
1
AM + DM AD
+
=
=1
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(
)=
AB CD
AD
AD
1
1
) =1
Chứng minh tương tự ON. ( +
AB CD
1
1
1
1
2
)=2 ⇒
+
=

từ đó có (OM + ON). ( +
AB CD
AB CD MN

Xét ∆ABD để có

0.25
0.25
0.25
1,0

d
S AOB OB S BOC OB
S
S
=
=
⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
,
S AOD OD S DOC OD
S AOD S DOC

Chứng minh được S AOD = S BOC

0.25

0.25

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2


Thay số để có a2.b2 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = ab

0.25

Do đó SABCD= a2 + 2.ab + b2 = (a + b)2

0.25

(Làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa )


UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN
ĐỢT 2
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian
giaođề)

DỀ SỐ 5
Bài 1: (2,0 điểm)
2
2
x+2
 2 − 4 x 3x + 1 − x
+
− 3 :

−
x +1  x +1
3x
 3x

Cho biểu thức : A = 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên .
c) Tính giá trị của biểu thức A tại x − 2 = 3
Bài 2: (2 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24
b) x3 – 5x2 + 8x – 4
c) x 4 + 2016 x 2 + 2015 x + 2016
Bài 3: (2 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)

315 − x 313 − x 311 − x 309 − x
+
+
+
+4=0
101
103
105
107

b) ( x 2 − 4 x ) + 2.( x − 2 ) 2 = 43 .\

Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (ABH. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt
AB, AC lần lượt tại I và K.
a. Chứng minh ∆ ABC đồng dạng ∆ EFC.
b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB
theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK.
2

c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:
Bài 5: (1 điểm)
Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

1 1 1
+ + = 4.
x y z

AH BH CH
+
+
>6
HE HF HG


Chứng minh rằng:

1
1
1
+

+
≤1
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z

---------- Hết ---------(Đề thi gồm có … trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................;Số báo danh..............
UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
Bài 1: (2 điểm)
Ý/Phần

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 8

Đáp án
1
2
2
2
1 + 2 x 3x + 1 − x
x − x x −1
−
=
=
A=
.
3x
3x

3x
3

a)

ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ −1 ; x ≠

A nhận giá trị nguyên khi x nguyên và x- 1 chia hết cho
3.
Ta có :x - 1 = 3k ⇒ x = 3k + 1 ( với k nguyên ).
Vậy với x = 3k + 1 ( k nguyên ) thì A nhận giá trị
nguyên
c)
x − 2 = 3 ⇒ x = 5 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Hoặc x = −1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)
5 −1 4
=
Thay x=5 vào biểu thức A ta có A =
3
3
…………………

Điểm
0,25đ
0,75đ

b)

0,5đ

0,5đ

Bài 2: (2 điểm)
Ý/Phần
a)

Đáp án

( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24

= ( x 2 + 5 x + 4)( x 2 + 5 x + 6) − 24
= ( x + 5 x + 5) − 5
2

2

2

Điểm
0,25đ
0,25đ

= ( x 2 + 5 x)( x 2 + 5 x + 10)
= x ( x + 5)( x 2 + 5 x + 10)
3

b)

0,25đ

2

x - 5x + 8x - 4
= x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)

0,25đ


=(x–1)(x–2)2

0,25đ

x 4 + 2016 x 2 + 2015 x + 2016 = x 4 + 2016 x 2 + 2016 x − x + 2016

= ( x − x ) + ( 2016 x + 2016 x + 2016 )
4

c)

0,25đ

2

= x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2016 ( x 2 + x + 1)

0,25đ

= ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 2016 )

0,25đ

……………………….
Bài 3 : (2điểm)
Ý/Phần

a)

Đáp án

315 − x 313 − x 311 − x 309 − x
+
+
+
+4=0
101
103
105
107
315 − x
313 − x
311 − x
309 − x
⇔
+1+
+1+
+1+
+1 = 0
101
103

105
107
416 − x 416 − x 416 − x 416 − x
⇔
+
+
+
=0
101
103
105
107
1
1
1 
 1
⇔ (416 − x) 
+
+
+
÷= 0
 101 103 105 107 

b)

Điểm
0,25đ
0,25đ
0,25đ

⇔ x = 416
Vậy phương trình có nghiệm x = 416

0,25đ

(x
(x

0,5đ

2

2

)
− 4x)

− 4x

2

+ 2.( x − 2) = 43

2

+ 2 x 2 − 4 x + 4 = 43;

2

(

)

Đặt x2-4x=t ta được: t2+2t-35=0; t=-7, t=5
Ta có: x2-4x+7=0 vô nghiệm;
x2-4x-5=0 ⇒ x=5, x=-1
KL: Vậy tập nghiệm của phương trình S= { −1;5}

0,5đ

Bài 4 : (3 điểm)
Ý/Phần

Đáp án

Điểm

A

Ta có ∆ AEC đồng dạng ∆ BFC (g-g) nên suy ra
F

a)

K

G

H

I

B

E

M

C

CE CA
=
CF CB

0,5đ


Xét ∆ ABC và ∆ EFC có

CE CA
=
và góc C chung nên suy ra
CF CB

∆ ABC đồng dạng ∆ EFC ( c-g-c)

b)

Vì CN //IK nên HM ⊥ CN ⇒ M là trực tâm ∆ HNC

0,25đ

⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD (H là trực tâm tam giác ABC)

0,25đ

nên MN // AD
Do M là trung điểm BC nên ⇒ NC = ND

0,25đ

⇒ IH = IK ( theo Ta let)

0,25đ

AH

S

S

S

+S

S AHC + S ABH
S BHC
CH S BHC + S AHC
và HG =
S BHA

AHC
AHC
ABH
ABH
Ta có: HE = S = S = S + S =
CHE
BHE
CHE
BHE

BH S BHC + S BHA
Tương tự ta có HF = S
AHC

c)

0,5đ

AH BH CH S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC
+
+
+
+
=
S BHC
S AHC
S BHA
HE HF HG
S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC

= S + S + S + S + S + S ≥ 6 . Dấu ‘=’ khi tam
BHC
BHC
AHC
AHC
BHA
BHA

giác ABC đều, mà theo gt thì AB < AC nên không xảy ra dấu
bằng.
Bài 5: (1điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Chứng minh được với x,y > 0 thì:
1 1
4
+ ≥
x y x+y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
1
1 1
1
1
1
1
≤ ( +
);
≤
+
2x+y+z 4 2x y + z y + z 4y 4z

1
1 1
1
1
≤ ( +
+ )
(1)
Suy ra:
2x+y+z 4 2x 4y 4z
Tương tự:
1
1 1
1
1
≤ ( +
+ )
( 2)
x+2y+z 4 4x 2y 4z
1
1 1
1
1
≤ ( +
+ )
x+y+2z 4 4x 4y 2z
Từ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

Điểm

0,25đ

0,25đ

( 3)
(1),(2),(3)


⇒

1
1
1
1 1 1 1
+
+
≤ ( + + )
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z

1
1
1
+
+
≤1
2x+y+z x+2y+z x+y+2z

3
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =
4

0,25đ

⇒

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0.25đ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giaođề)


ĐỀ SỐ 6
 2+ x
x2
2 − x  x2 + 8x
− 2
−
Bài 1: (2 điểm): Cho biểu thức: A = 
÷: 3
2
2
−

x
x
−
4
2
+
x

 x − 2x
1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị của x để A > 0.
3) Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình : x 4 − 30 x 2 + 31x − 30 = 0
2) Tìm x, y thỏa mãn : 2x2 + 4xy – 10x + 4y2 – 8y + 13 = 0
3) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz
+ xz
Bài 3: (2 điểm)
1) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác .
a
b
c
+
+
≥3
Chứng minh rằng : A =
b+c−a a +c−b a +b−c
2) Tìm các số nguyên n để biểu thức A = n4 + 2n3 + 2n2 + n + 3 là một số
chính phương.
Bài 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy
điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC
và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2) Chứng minh rằng:

1
1
1
=
+
.
2
2
AD
AM
AN 2

3) Xác định vị trí của E và F lần lượt trên AB và AD để diện tích tam giác
BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.
Bài 5: (1 điểm)
µ = 2B,
µ B
µ = 2C
µ . Gọi AB = c, AC = b, BC = a.
Cho tam giác ABC có A
Chứng minh rằng:

1 1 1
= +

c a b

---------- Hết ---------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................; Số báo
danh...............................

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM


Môn thi: Toán - Lớp 8
Bài 1: (2 điểm):
Ý/Phần

Đáp án
 2+ x
x
2 − x  x + 8x
A=
− 2
−
÷: 3
2
 2 − x x − 4 2 + x  x − 2x
2 − x ≠ 0
x ≠ 2
 2

 x ≠ ±2
 x ≠ ±2
x − 4 ≠ 0



⇔ x ≠ 0
Biểu thức A xác định khi 2 + x ≠ 0 ⇔  x ≠ −2
 x3 − 2 x 2 ≠ 0
 x ≠ 0, x ≠ 2

 x ≠ −8


 x 2 + 8 x ≠ 0
 x ≠ 0, x ≠ −8
2

1)
(1điểm)

Điểm

2

0,25

Vậy ĐKXĐ của A là: x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −8
A=

(2 + x) 2 + x 2 − (2 − x) 2 x 2 ( x − 2)
.
(với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −8 )
(2 − x)(2 + x)
x( x + 8)

x2 + 8x
x 2 ( x − 2)
− x2
. 2
=
.
(2 − x)(2 + x) x + 8 x
x+2
− x2
Vậy A =
với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −8
x+2
− x2
Để A =
> 0 với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −8
x+2

A=

2)
(0,5 điểm)

3)
(0,5 điểm)

thì -x và x + 2 cùng dấu mà –x < 0 với mọi x ≠ 0 => x+2 < 0
=> x < -2 đối chiếu với ĐKXĐ ta được x < -2 và x ≠ -8
Vậy với x < -2 và x ≠ -8 thì A > 0
2

0,25

0,25

0,25

0,25

2

− x2
4
= −x + 2 −
Để A =
có giá trị nguyên với
x+2
x+2
4
x ∈ Z ; x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −8 thì
∈ Z => 4Mx + 2
x+2
=> x+2∈ {-4;-2;-1;1;2;4}
=> x ∈ {-6;-4;-3;-1;0;2}, đối chiếu với ĐKXĐ ta được
x∈ {-6;-4;-3;-1}

Vậy với x ∈ {-6;-4;-3;-1} thì A có giá trị nguyên

0,25

0,25

0,25

Bài 2: (2 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = 0
<=> (x 4 + x) − (30x 2 − 30x + 30) = 0
1)
<=> x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = 0
(0,75điểm) <=> x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = 0
<=> (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = 0
2
<=> ( x − x + 1) ( x − 5 ) ( x + 6 ) = 0
4

Điểm

2

0,25

0,25