Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐỀ THI ĐẶC BIỆT – TẶNG HỌC SINH THẦY HÙNG 1/6
Môn Toán – Thời gian làm bài : 180 phút
Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN
Câu 1 (1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 1 .
Câu 2 (1 điểm) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

2x −1
với đường thẳng y = x + 7 và viết
x +1

phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm ấy.

Câu 3 (1 điểm)
a) Giải phương trình

1 − cos x(2 cos x + 1) − 2 sin x
= 1.
1 − cos x

b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + 2i ) z + (2 − 3i ) z = −2 − 2i . Tính mô đun của z.
Câu 4 (1 điểm)
a) Giải phương trình: x + log 2 (9 − 2 x ) = 3 .
b) Gieo đồng thời ba con xúc sắc đồng chất, cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con
là 10.
1

Câu 5 (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ (1 − x ) ( 2 + e 2 x ) dx .

0

Câu 6 (1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt
phẳng (P): x − y + z − 1 = 0 để ∆MAB là tam giác đều.

Câu 7 (1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo
với mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC
a
và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ = . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng
4
minh rằng ( MAC ) ⊥ ( NPQ) .
Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác vuông ABC , A = 900 , AC > AB . Gọi H là chân
đường cao hạ từ A lên BC . Trên tia BC lấy điểm D sao cho HA = HD . Kẻ đường thẳng qua D vuông
 5 3
góc với BC cắt AC tại E . Biết H (2;1) , trung điểm của BE là M  ;  , trung điểm của AB là
 2 2 
3 
N  ; 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
 2 


3
2 x + y −1 − 3 2 y = y − 2 x + 1
Câu 9 (1 điểm) Giải hệ phương trình: 
( x, y ∈ ℝ )
2 x + y + 5 + 3 x + 2 y + 11 = x 2 + 3 y + 16


Câu 10 (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3.
Chứng minh rằng


x( y + z)
4 − yz

+

y ( z + x)
4 − zx

+

z ( x + y)
4 − xy

≥ 2 xyz.


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

CÂU
1
(1,0
điểm)

Facebook: LyHung95

ĐÁP ÁN

- Tập xác định: D = ℝ .


0,25

- Chiều biến thiên: Ta có: y ' = 3 x 2 − 12 x + 9 ; y ' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3 .

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và ( 3;+∞ ) , nghịch biến trên khoảng (1;3) .

0,25

- Cực trị: Hàm đạt cực đại tại x = 1 , yCD = 3 . Hàm đạt cực tiểu tại x = 3 , yCT = −1 .
- Giới hạn: lim y = −∞ , lim y = +∞ .
x →−∞

x →+∞

- Bảng biến thiên:

x
y'

−∞

+

1
0
3

−

3

0

0,25

+∞

y

−∞

+

+∞

−1

- Đồ thị: Đồ thị (C) của hàm số đi qua điểm A ( 4;3) và cắt trục tung tại điểm B ( 0; −1) .

0,25

CÂU
2
(1,0
điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm :

 x = −2 ⇒ y = 5
⇔
. Các giao điểm là A ( −2;5 ) , B ( −4;3)

x
=
−
4
⇒
y
=
3

y ' ( −2 ) = 3 ⇒ tiếp tuyến tại A là y = 3 x + 11 .
y ' ( −4 ) =

CÂU
3
(1,0
điểm)

2x −1
= x + 7 ⇔ x 2 + 6 x + 8 = 0, x ≠ −1
x +1

1
1
13
⇒ tiếp tuyến tại B là y = x + .
3
3
3

a) (0,5 điểm)

Điều kiện: cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:
1 − cos x(2 cos x + 1) − 2 s inx = 1 − cos x ⇔ 2 sin 2 x − 2 sin x − 2 = 0
2
π
5π
⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ; x =
+ k 2π , k ∈ ℤ (thỏa điều kiện)
2
4
4
b) (0,5 điểm)
Gọi z=x+yi ( x, y ∈ R ) . Phương trình đã cho trở thành:
sin x = −

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

(1 + 2i )( x + yi ) + ( 2 − 3i )( x − yi ) = −2 − 2i
⇔ ( x − 2 y ) + ( 2 x + y ) i + ( 2 x − 3 y ) + ( −3x − 2 y ) i = −2 − 2i

0,25



Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

⇔ ( 3x − 5 y ) + ( − x − y ) i = −2 − 2i
3 x − 5 y = −2
x =1
⇔
⇔
 − x − y = −2
y =1

0,25

Do đó z = 1 + 1 = 2
2

CÂU
4
(1,0
điểm)

2

a) (0,5 điểm)
Điều kiện: 9 − 2 > 0 . Phương trình đã cho tương đương: log2 (9 − 2x ) = 3 − x ⇔ 9 − 2x = 23−x
x

2x = 1 x = 0
8

2x
x
⇔ 9 − 2 = x ⇔ 2 − 9.2 + 8 = 0 ⇔  x
⇔
(thỏa điều kiện)
2
2 = 8 x = 3
x

0,25
0,25

b) (0,5 điểm)
Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra.Ta có n( Ω ) = 6.6.6=216
Gọi A là biến cố:” tổng số chấm xuất hiện trên ba con là 10”.

0,25

Các khả năng thuận lợi của A chính là tổ hợp có tổng bằng 10 là: (1;3;6), (1;4;5), (2;2;6),
(2;3;5), (3;3;4), (2;4;4) và các hoán vị có thể của các tổ hợp này.
Ta có n(A) = 6+6+3+6+3+3 = 27 ( do (2;2;6), (3;3;4), (2;4;4) chỉ có 3 hoán vị)

CÂU
5
(1,0
điểm)

1

I = ∫ (1 − x ) ( 2 + e


1

2x

0,25

n( A) 27 1
=
=
n(Ω) 216 8

Vậy xác suất P(A) =

1

) dx =∫ 2 (1 − x ) dx + ∫ (1 − x ) e

0

0
1

dx .

0,25

= 1.

0,25


0

1

∫

∫ ( 2 − 2 x ) dx = ( 2 x − x )

0

0

Tính I1 = 2 (1 − x ) dx =

2x

2

1
0

 du = − dx
u = 1 − x

Tính I 2 = ∫ (1 − x ) e dx . Đặt 
⇒

e2 x
2x

=
dv
e
dx
=
v

0

2

1

2x

⇒ I2 =

(1 − x ) e
2

2x 1

1

e2 x
1 e

dx =  0 −  +
2
2 4


0

+∫

0

Vậy I = I1 + I 2 = 1 +

CÂU
6
(1,0
điểm)

2x 1

0

1 e2 1 e2 − 3
=− + − =
.
2 4 4
4

e − 3 e +1
=
.
4
4
2


0,25

2

0,25

Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB ⇒ (Q): x + y − z − 3 = 0

0,25

x = 2

Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ d:  y = t + 1
z = t


0,25

M ∈ d ⇒ M (2; t + 1; t ) ⇒ AM = 2t 2 − 8t + 11 , AB = 12
∆ MAB đều khi MA = MB = AB
 6 ± 18 4 ± 18 
4 ± 18
⇔ 2t 2 − 8t − 1 = 0 ⇔ t =
⇒ M  2;
;

2

2

2 

0,25
0,25


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

CÂU
7
(1,0
điểm)

Facebook: LyHung95

A'

C'
I

B'
N

M

0,25

C

A

K

P
Q
B

Gọi I là trung điểm A’B’ thì

C ' I ⊥ A ' B '
 ⇒ C ' I ⊥ ( ABA ' B ') , suy ra góc giữa BC’ và
C ' I ⊥ AA ' 

mp(ABB’A’) chính là góc C ' BI . Suy ra C ' BI = 600
a 15
C ' I = BI .tan C ' BI =
2
1.
a 3 . 15
.
VABC . A ' B 'C ' = AA '.S A ' B 'C ' = AA ' CI . A ' B ' =
2
4
NP / / BC '
Ta có
 ⇒ ( NPQ) / /(C ' BI ) (1)
PQ / / C ' I 

0,25
0,25


△ ABM =△ BB ' I (c − g − c) suy ra AMB = BIB '
suy ra AMB + B ' BI = 900 ⇒ AM ⊥ BI
Mặt khác theo chứng minh trên C’I ⊥ AM nên AM ⊥ (C ' BI )
Suy ra (AMC) ⊥ (C ' BI )
(2)
Từ (1) và (2) suy ra (MAC) ⊥ (NPQ)

CÂU
8
(1,0
điểm)

0,25

B

H

N
M
D

0,25
C

A
E

1
1

AE ; MD = AE ⇒ MA = MD
2
2
Từ đó suy ra: ∆AHM = ∆DHAM ⇒ AHM = DHM = 450 .
Ta có AM =

Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng HM là n1 (1; −1) . Gọi n ( a; b ) là véc tơ pháp tuyến


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

của đường thẳng AH với a 2 + b 2 ≠ 0 .

( )

Ta có cos n, n1 =

n.n1

=

n n1

a = 0
a −b
2
2
⇔

=
⇔
2
2
2 a2 + b2
 b = 0

0,25

+ Nếu a = 0 ⇒ n (0;1) ⇒ AH : y −1 = 0 ⇒ BC : x − 2 = 0 ⇒ B (2; b) . Vì N là trung điểm
của AB nên A(1; 4 − b) . Do A ∈ AH ⇒ 4 − b = 1 ⇒ b = 3 ⇒ A(1;1) , B (2;3) .

 1
Do M là trung điểm của BE ⇒ E (3;0) ⇒ AE : x + 2 y − 3 = 0 ⇒ C = AE ∩ BC = 2; 
 2 
Vì AB < AC nên trường hợp này không thỏa mãn.

0,25

+ Nếu b = 0 ⇒ n (1;0) ⇒ AH : x − 2 = 0 ⇒ BC : y −1 = 0 ⇒ B (b;1) . Vì N là trung điểm
của AB nên A(3 − b;3) . Do A ∈ AH ⇒ 3 − b = 2 ⇒ b = 1 ⇒ A(2;3) , B (1;1) .
Do M là trung điểm của BE ⇒ E (4; 2) ⇒ AE : x + 2 y − 8 = 0 ⇒ C = AE ∩ BC = (6;1)

0,25

Ta thấy AB > AC nên trường hợp này thỏa mãn.
Vậy A(2;3) , B (1;1) , C (6;1) .

CÂU
9

(1,0
điểm)

 3 2 x + y −1 − 3 2 y = y − 2 x + 1
(1)

Giải hệ phương trình: 
( x, y ∈ ℝ )
2
2 x + y + 5 + 3 x + 2 y + 11 = x + 3 y + 16 (2)
 x + 2 y + 4 ≥ 0
Điều kiện: 
3 x + 2 y + 9 ≥ 0

Ta có (1) ⇔ 3 2 x + y − 1 + 2 x + y − 1 = 3 2 y + 2 y

0,25

Xét hàm số: f (u ) = u + u , hàm số f (u ) đồng biến trên ℝ
3

Và f

(

3

)

2 x + y −1 = f


(

3

)

2 y ⇔ 3 2 x + y −1 = 3 2 y ⇔ y = 2 x −1

Thay y = 2 x −1 vào phương trình (2), ta được:
2 3 x + 4 + 3 5 x + 9 = x 2 + 6 x + 13
⇔ (2 3 x + 4 − 2( x + 2)) + (3 5 x + 9 − 3( x + 3)) = x 2 + x
−2 x ( x + 1)
−3 x ( x + 1)
⇔
+
= x ( x + 1)
3 x + 4 + ( x + 2)
5 x + 9 + ( x + 3)



2
3
⇔ x( x + 1) 
+
+ 1 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1
5 x + 9 + ( x + 3) 
 3x + 4 + ( x + 2)
2

3
(Vì
+
+1 > 1)
3 x + 4 + ( x + 2)
5 x + 9 + ( x + 3)
Với x = 0 thì y = -1
Với x = -1 thì y = -3
Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( x; y ) ∈ {(0; −1);(−1; −3)}
CÂU
10
(1,0
điểm)

Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng
x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y)
+
+
≥ 2 xyz
(1)
4 − yz
4 − zx
4 − xy
y+z
z+x
x+ y
(1) ⇔
+
+
≥2

(2)
yz (4 − yz ) zx (4 − zx ) xy (4 − xy )

2 yz
y+z
Ta có :
≥
=
yz (4 − yz ) yz (4 − yz )

2
yz (4 − yz )

0,25

0,25

0,25

0,25


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

3
2
1
−t + 4

Ta có :
≥
⇔ 9 ≥ −4t 2 + t 4 + 16t − 4t 3
3
4t − t
9
 3
⇔ (t − 1) 2 (t 2 − 2t − 9) ≤ 0 ∀t ∈  0; 
 2
−2 yz + 8
y+z
2
≥
≥
Suy ra :
yz (4 − yz )
9
yz (4 − yz )
Chứng minh tương tự ta có :
−2 xy + 8
z+x
−2 zx + 8
x+ y
≥
;
≥
zx(4 − zx)
9
xy (4 − xy )
9


Đặt t =

yz , 0 < t <

Từ đó suy ra : VT (2) ≥

−2( xy + yz + zx ) + 24 −2( x + y + z ) + 24
≥
= 2. (đpcm)
9
9

0,25

0,25

0,25