FREE BẢNG TRA CỨU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (100.47 KB, 3 trang )
Nhưng bây giờ còn có ba điều này: Đức tin, sự trông
cậy và tình yêu thương. Nhưng điều trọng hơn trong
ba điều đó là tình yêu thương.
BẢNG TRA CỨU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
I. Các bất đẳng thức đáng nhớ
1. Với mọi x, y ∈ R ta có:
x2 + y 2 ⩾ 2xy ⇐⇒ xy ⩽
2. Vì (x + y)2 = x2 + y 2 + 2xy ⩾ 4xy
1 2
(x + y 2 )
2
1
nên xy ⩽ (x + y)2
4
1
3. Áp dụng 1: x2 + y 2 ⩾ (x + y)2
2
1
4. Áp dụng 2: x2 + y 2 + z 2 + t2 ⩾ (x + y + z + t)2
4
1
5. Vì x3 + y 3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) ⩾ (x + y)3 nên:
4
1
x3 + y 3 ⩾ (x + y)3
4
3
6. Vì x2 + y 2 + xy = (x + y)2 − xy ⩾ (x + y)2 nên ghi nhớ:
4
3
x2 + y 2 + xy ⩾ (x + y)2
4
7. Tương tự:
1
x2 + y 2 − xy ⩾ (x + y)2
4
1
1
1
8. Ta có: xy ⩽ (x2 + y 2 ); yz ⩽ (y 2 + z 2 ); zx ⩽ (z 2 + x2 ) nên:
2
2
2
xy + yz + zx ⩽ x2 + y 2 + z 2
9. Ta có:
(x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) ⩾ 3(xy + yz + zx)
(x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) ⩽ 3(x2 + y 2 + z 2 )
nên:
3(xy + yz + zx) ⩽ (x + y + z)2 ⩽ 3(x2 + y 2 + z 2 )
10. Cho a, b > 0 và x, y ∈ R. Ta có:
x2 + y 2
x2 y 2
+
⩾
a
b
a+b
1
2
11. Cho a.b ⩾ 1, ta có:
1
1
2
+
⩾
1 + a 2 1 + b2
1 + ab
1
1
1
3
+
+
⩾
3
3
3
1+a
1+b
1+c
1 + abc
(
)
1
1 1 1
13. Cho a, b > 0 ta có:
⩾
+
.
a+b
4 a b
12. Cho a, b, c ⩾ 1 , ta có:
14. Cho a, b > 0, chứng minh: (a + b)3 ⩾
27 2
ab
4
II. Bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm
1. Cho hai số không âm a, b ta có:
a+b √
⩾ ab
2
Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi a = b.
2. Cho ba số không âm a, b, c ta có:
a+b+c √
3
⩾ abc
3
Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c.
LUYỆN TẬP
1. Cho a, b, c > 0 chứng minh:
a
b
c
3
+
+
⩾
b+c c+a a+b
2
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
⩾
.
b+c c+a a+b
2
a2
b+c
HD. Áp dụng BĐT Cauchy
+
⩾a
b+c
4
2. Cho a, b, c > 0 chứng minh:
b3
c3
a2 + b2 + c2
a3
+
+
⩾
b+c c+a a+b
2
3
a
b+c
HD. Áp dụng BĐT Cauchy
+a
⩾ a2
b+c
4
3. Cho a, b, c > 0 chứng minh:
4. Cho a, b, c > 0 sao cho a + b + c = 1. Chứng minh
a + b ⩾ 16abc
III. Bất đẳng thức Schwartz (S-vac)
“Tích vô hướng nhỏ hơn tích độ dài ”
III. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARTZ (S-VAC)
3
1. Cho hai bộ số a, b và x, y. Ta có:
|ax + by| ⩽
Xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi
√
√
a2 + b2 . x2 + y 2
x
y
= hay ay = bx
a
b
2. Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z. Ta có:
|ax + by + cz| ⩽
Xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi
√
√
a2 + b2 + c2 . x2 + y 2 + z 2
x
y
z
= =
a
b
c
