- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
De thi thu Quoc gia mon toan truong Tan phu trung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (324.17 KB, 5 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
ĐỒNG THÁP
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ ĐỀ XUẤT Đơn vị ra đề: THPT TÂN PHÚ TRUNG
(Đề gồm có 01 trang)
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = − x3 + 3x 2 − 1
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = x − ln x trên đoạn [ 1;e]
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của số phức: z =
(
)
2 + 3i
− 2i − 1
− 1 + 4i
b) Giải phương trình 52x - 5x+1 + 6 = 0
e
1
dx
Câu 4 (1,0 điểm) Tính các tích phân I = ∫
1 x. 1 + ln x
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho A(−1;2;4) và mặt phẳng (α ) : 2 x − y + z − 1 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (α ) và phương trình mặt cầu có tâm A
và tiếp xúc với (α ).
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Cho tan x = 3 . Tính giá trị của biểu thức A =
4sin 2 x + 5sin x cos x + cos2 x
sin2 x − 2
b) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt lên bảng. Tính xác suất để
trong số đó có mặt chữ số 1 và chữ số 3.
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC =
a 6
. Tính thể tích khối chóp
2
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a.
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Hai điểm B và
C thuộc trục tung. Phương trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = 0. Xác định tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật đã cho, biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng
1.
3
2
2
2
x − 3xy − x − 1 = y + 2 xy − x
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3
2
2
2
y − 3 yx + y + 1 = x + 2 xy − y
( x, y ∈ R )
Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z ∈ [ 1;3] . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
36 x 2 y z
+
+
.
yz xz xy
----Hết----
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
ĐỒNG THÁP
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT
(Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)
Đơn vị ra đề: THPT TÂN PHÚ TRUNG
Nội dung yêu cầu
Câu
1
y = − x3 + 3x 2 − 1 .
(1,0 đ) - TXĐ: D = ¡
- Sự biến thiên và cực trị của hàm số
0,25
x = 0 ⇒ y = −1
2
y ' = −3 x 2 + 6 x ; Cho y ' = 0 ⇔ −3 x + 6 x = 0 ⇔
x = 2 ⇒ y = 3
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; 0 ) , ( 2; +∞ ) , đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .
- Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ yCD = 3, Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ yCD = −1.
- Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = −∞
x →−∞
0,25
x→+∞
- Bảng biến thiên
−∞
x
0
+∞
y’
y
Điểm
+∞
+
0
2
–
0
3
+
0,25
−∞
-1
0,25
Đồ thị:
2
(1,0 đ)
1
x
Hàm số liên tục trên đoạn [ 1; e] có y ' = 1 − =
y ' = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1∈ [ 1; e ]
x −1
x
y (1) = 1 , y(e) = e − 1
Maxy = e − 1 , Miny = 1
[ 1;e]
[ 1;e]
3
( 2 + 3i )( −1 − 4i )
27 23
10 11
− ( − 2i − 1) = − i − ( − 2i − 1) =
+ i
(1,0 đ) a) z =
( −1 + 4i )
17 17
17 17
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
2
23
27
27 23
74
Phần thực: a =
, phần ảo: b =
và z =
+ =
17
17
17
17 17
é5x = 2
x 2
x
ê
Û
(5
)
5.5
+
6
=
0
Û
b) 5 - 5 + 6 = 0
ê5x = 3
ê
ë
éx = log 2
5
Û ê
êx = log 3 Vậy nghiệm phương trình: x = log5 2; x = log5 3
ê
5
ë
2x
x +1
4
Đặt u = 1 + ln x ⇒ du = 1 dx
(1,0 đ)
x
x =1⇒ u =1
x =e⇒u =2
e
2 1
1
I=∫
dx = ∫
du
x
.
1
+
ln
x
u
1
1
=2 u
2
1
0,25
0,25
2.(−1) − 2 + 4 − 1
2 +1 +1
2
2
2
=
1
6
1
6
Vậy (S): ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 4) 2 = .
6
4sin 2 x + 5sin x cos x + cos2 x 4 tan 2 x + 5 tan x + 1
A
=
=
a)
(1,0 đ)
2
2
2
sin x − 2
7
(1,0 đ)
4 tan 2 x + 5tan x + 1
2
0,25
0,25
5
Mặt phẳng ( β ) qua A(−1;2; 4) và song song với (α ).
(1,0 đ) Vtpt của ( β ) : nr = (2; − 1;1)
Phương trình ( β ) là: 2( x + 1) − 1( y − 2) + 1( z − 4) = 0 ⇔ 2 x − y + z = 0.
Gọi (S) là mặt cầu có tâm A bán kính R, (S) tiếp xúc với (α ).
=
0,25
0,25
= 2( 2 − 1)
Ta có R = d ( A,(α )) =
0,25
=
tan x − 2(1 + tan x )
4.9 + 5.3 + 1
52
=−
−9 − 2
11
− tan x − 2
n
(
X
)
=
C83 .5!− C72 !.4! = 6216; n(Ω) = A105 − A94 = 27216
b)
6216
37
=
≈ 0, 23.
Vậy P =
27216 162
a 3
SH =
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
S ABCD = 2 S ACD = AD.DC.sin 600 = a 2
1
a3
VS . ABCD = SH .S ABCD = . d ( AD, SB )
3
4
3
.
2
0,25
0,25
VS . ABCD = d ( AD, SB ) = d ( AD, ( SBC )) = d ( D, ( SBC )) = a 6 .
4
Ta có C là giao điểm của trục tung và đường thẳng AC nên C(0;4) .
8
Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1 nên bán kính đường tròn nội tiếp
(1,0 đ)
tam giác ABC cũng bằng 1 .
Vì B nằm trên trục tung nên B(0;b). Đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với BC
≡ Oy : x = 0 nên AB : y = b .
16 − 4b
;b .
Vì A là giao điểm của AB và AC nên A
3
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có
16 − 4b
4
2
b − 4.
b−4
2S ABC
3
3
r=
=
=
2
4
5
AB + BC + CA
16 − 4b
16 − 4b
b
−
4
+
b
−
4
+
b−4
2
b−4 +
+ (b − 4) +
3
3
3
3
1
= b−4
3
Theo giả thiết r = 1 nên ta có b = 1 hoặc b = 7 .
Với b = 1 ta có A(4;1), B(0;1). Suy ra D(4;4) .
Với b = 7 ta có A(-4;7), B(0;-7). Suy ra D(-4;4) .
Từ (1) và (2) ta có
9
x 3 − 3 xy 2 − x − 1 − ( y 3 − 3 yx 2 + y + 1)i = y 2 + 2 xy − x 2 − ( x 2 + 2 xy − y 2 )i
(1,0 đ)
10
(1,0 đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
⇔ x 3 + 3 x 2 yi + 3 xy 2 i 2 + y 3 i 3 − ( x + yi ) − 1 − i = (1 + i ) y 2 + 2 xy (1 − i ) − x 2 (1 + i )
⇔ ( x + yi ) 3 − ( x + yi ) − 1 − i = (1 + i )( y 2 − 2 xyi + i 2 x 2 )
0,25
⇔ ( x + yi ) 3 − ( x + yi ) − 1 − i = (1 + i )( y − ix ) 2 ⇔ z 3 + (1 + i ) z 2 − z − (1 + i ) = 0
0,25
⇔ z = 1; z = −1; z = −1 − i .
Do đó (x;y) = (1;0); (-1;0); (-1;-1)
36 x 2 y z
f ( x) =
+
+
, x ∈ [1;3] , y, z là tham số
yz
xz xy
36 2 y
z
36 x 2 − 2 y 2 − z 2 36 − 2.9 − 9
f ' ( x) =
− 2 − 2 =
≥
>0
yz x z x y
x 2 yz
x 2 yz
36 2 y z
+
+ = g ( y ), y ∈ [1;3] , z là tham
Suy ra f(x) đồng biến trên[1;3] nên f ( x) ≥ f (1) =
yz
z
y
số
36 2 z
− 36 + 2 y 2 − z 2 − 36 + 2.9 − 12
g ' ( y) = − 2 + − 2 =
≤
<0
y z z y
y2z
y2z
Suy ra g(y) nghịch biến trên [1;3]
12 6 z
18 1
18 1
⇒ g ( y ) ≥ g (3) =
+ + = h( z ), z ∈ [1;3]; h' ( z ) = − 2 + ≤ − + < 0 .
z z 3
3
9 3
z
18
⇒ h(z) nghịch biến trên [1;3] ⇒ h( z ) ≥ h(3) = + 1 = 7
3
Vậy P ≥ 7 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 1 và y = z = 3 . Do đó Min P = 7 .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Lưu ý: Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
