VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Sở GD & ĐT Quảng Nam
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Trường THPT Núi Thành
MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút
=======
Câu 1: 2 điểm
y = x 3 − 3x 2 + 2
Cho hàm số (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó có hệ số góc
bằng 9.
Câu 2: 1 điểm
Giải phương trình: (x ( R) sin 3x − sin 2 x + sin x = 0
Câu 3: 1 điểm
1) Giải phương trình: (x ( R) 3x − 31− x = 3
2) Tìm môđun của số phức z, z = (2 − i )(1 + 2i )
(1 + i ) 2
biết
Câu 4: 1 điểm
e
Tính tích phân:
( x 3 − 1) ln x
I =∫
dx
Câu 5: 1 điểm
x
1

Trong không gian Oxyz cho
điểm A(1; 0; - 2), B(3; 2; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình x + y – z – 1 = 0.
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
2) Chứng minh mặt cầu có đường kính AB tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu 6: 1 điểm
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng SA
vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a.
Câu 7: 1 điểm
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M
là trung điểm của đoạn BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(7; - 2) là điểm nằm trên
đoạn MC sao cho GA = GD. Viết phương trình đường thẳng AB, biết đỉnh A có hoành
độ nhỏ hơn 4 và phương trình đường thẳng AG là 3x – y – 13 = 0.
Câu 8: 1 điểm
Giải hệ phương
 x 2 + y + 3 = y 2 − 3x + 7

trình: (x, y (R)
2
2
 y − 1 + 2 y + 1 = x + x + xy + 3 y
Câu 9: 1 điểm
Cho x, y, z là các số thực x 2 + y 2 + z 2 = 9 và xyz ≤ 0
thỏa mãn . Chứng minh rằng
2(x + y + z) – xyz ≤ 10.
= Hết =
ĐÁP ÁN



VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Câu 1

y = x 3 − 3x 2 + 2
Cho hàm số (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
+ Txđ: D = R
+ Sự biến thiên
lim y = −∞; lim y = +∞

x →−∞

2

y’ = 3x – 6x
BBT
x

-∞

x →+∞

x = 0
y' = 0 ⇔ 
x = 2
0
2

y’


0

y

2

0,25
+∞

0
+∞

-∞

-2

0,25

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (- ∞ ; 0) và (2 ; + ∞);
nghịch biến trên khoảng (0 ; 2)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là A(0 ; 2) và điểm cực tiểu là
B(2 ; -2)
0,25

+ Đồ thị: (vẽ đúng)

0,25


Câu 2

Câu 3

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó có hệ
số góc bằng 9.
+ Gọi M(x0 ; y0) thuộc (C), d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M
Phương trình đt d là : y – y0 = y’(x0)(x – x0)
+ Tt d có hệ số góc bằng 9 nên y’(x0) = 9 (3x02 – 6x0 = 9
+ Với x0 = - 1 thì y0 = -2. Pttt:
 x0 = −1
⇔
y = 9x + 7
 x0 = 3
+ Với x0 = 3 thì y0 = 2. Pttt : y
= 9x - 25
sin 3x − sin 2 x + sin x = 0
(2)
+ Pt (2) ( 2sin2xcosx – sin2x = 0
( sin2x(2cosx – 1) = 0
π
+ sin2x = 0
⇔ x = k (k ∈ ¢ )
+
 2π
 x = 3 + k 2π
1
cos x = ⇔ 
(k ∈ ¢ )
2

 x = π + k 2π

3
x
1− x
1) Giải phương trình: (x (R) 3 − 3 = 3

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

+ Giải được 3x = - 1(loại) hoặc 3x = 3
+ Tìm được x = 1

0,25
0,25

2) Tìm môđun của số phức z = (2 − i )(1 + 2i )
(1 + i ) 2
z, biết
3
+ Tìm được z =
− 2i

0,25


2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

z =

Câu 4 Tính tích phân:
+I=
+
=
+
và kết quả đúng I =

e

+ Tính

5
2

0,25

( x − 1) ln x
I =∫
dx
e
x ln x
2 1

e
∫ x ln xdxx 3+ ∫1 ex dxe x 2
2 1
= e ln x −
dx
3
∫1 x lnexdx
x 3 3 2e31 + 1∫1 3
e
=
e
e−
2
ln x
1
3 9 1
9 ln x
x) =
=
∫1 x dx = ∫1 ln4xde3 (ln
+ 11
2 1 2
18
3

e

0,25
0,25
0,25

0,25

Câu 5 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 0; - 2), B(3; 2; 0) và mặt phẳng
(P) có phương trình x + y – z – 1 = 0.
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
r
+ Đường thẳng AB có vtcp là 1 uuu
AB = (1;1;1)
x 2− 1 y z + 2
+ Pt của đt AB:
= =
1

1

1

0,25
0,25

2) Chứng minh mặt cầu có đường kính AB tiếp xúc với mặt phẳng (P).
+ Mặt cầu (S) có đường kính AB 3 có tâm I(2; 1; - 1) và bán kính R = 0,25
IA =
+ Tính d(I, (P)) = . Vì d(I, (P)) = 3 R nên mặt cầu có đường kính AB 0,25
tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu 6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đường
thẳng SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng (ABC) bằng 600.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
+ Nêu được góc

Tính SA =

·
SBA
= 600
a 3

0,25

1
a3
V = dt ( ABC ).SA =
3
4

0,25

+ Thể tích khối S.ABC là
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a.
+ Gọi d là đt qua B và song song với AC. I là hình chiếu vuông góc của
A trên d, H là hình chiếu vuông góc của A trên SI
+ Chứng minh được AI (SB, d) ⊥
+ Tính đúng AI = và kết luận a 15 d(AC, SB) =
Câu 7

5

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông
cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn BC, G là trọng tâm tam giác
ABM, D(7; - 2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD. Viết


0,25
0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

phương trình đường
thẳng AB, biết đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phương trình đường
+ Gọi N là trung điểm của AB.
Ta có MN là đường trung trực của đoạn AB nên GA = GB
Lại có GA = GD, nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
·
·
Vì góc , do đó tam giác ABD
= 450 nên AGD
= 900
AGD vuông cân tại G
GD = d(D, AG) = , suy ra AD = 10 2
NA
3
Tìm được A(3; -4) 1 NM = 1rNA ⇒ cos BAG
·
=
=
2
2
3
3n( a; b) ( a + b ≠ 0)NG
10

NG =
Gọi vtpt của đt
uur
AB là
n '(3; −1)
Đt AG có vtpt
Góc BAG là góc giữa 2 đt AB và AG nên :
3a − b
3
=
2
2 b = 0
10
b . 10
⇔a...+⇔
3a + 4b = 0


0,25
0,25

0,25

+ b = 0, chọn a = 1, pt đt
AB : x – 3 = 0 (thỏa mãn)
+ 3a = - 4b, chọn a = 4, b = - 3, pt đt AB: 4x – 3y – 24 = 0 (loại)
0,25
Câu 8 Giải hệ phương
trình: (x, y (R)
+ Đk

+ (2) ⇔

 x + y + 3 = y − 3x + 7
(1)

2
2
 y − 1 + 2 y + 1 = x +2 x + xy + 3 y (2)
y ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 3x
2

2

y − 1 − x + ( y − 1) 2 − x 2 + y 2 − xy − y = 0


1
⇔ ( y − x − 1) 
+ 2 y − 1 + x ÷= 0


y1 − 1 + x
⇔ y − x − 1 = 0  do 
+ 2 y − 1 + x > 0∀y ≥ 1, x ≥ 0 ÷
y −1 + x



+ Thế y = x + 1 vào pt(1):
(3)

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = 7 − 3
Xét hàm số
f ( x) = x2 + x + 1 − x2 − x + 1
f '( x ) =

2x + 1

2 x2 + x + 1

−

2x −1

2 x2 − x + 1

=

2x + 1

(2 x + 1) 2 + 3

−

2x −1

0,25

0,25

(2 x − 1) 2 + 3


3
t
Xét hàm số g(t) = , g’(t) =
> 0∀t ∈ R
32
nên hs g(t) đồng biến trên t 2 + 3 t + 3
R
Do 2x + 1 > 2x – 1 nên g(2x + 1) > g(2x – 1), suy ra:
F’(x) = g(2x + 1) - g(2x – 1) > 0 (x (R
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R, nên (3) (f(x) = f(2) (x = 2
Vậy hệ có 1 nghiệm (x; y) = (2; 3)

)

(

0,25

0,25
x + y + z = 9 và xyz ≤ 0
Câu 9 Cho x, y, z là các số
thực thỏa . Chứng minh
2

2

2



VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

rằng
2(x + y + z) – xyz ≤ 10.

+ Giả sử
+ . Ta có , do đó

x ≤ y ≤ z, do xyz ≤ 0 nên x ≤ 0

x + y + z = y9 +⇒z x ≤ 9y ⇒+ xz ∈ [ −3;0]
yz ≤ 
2
2
÷ ≤
2

 2( y32 2+ z 2 ) − x. y + z
2(
x
+
y
+
z
)
−
xyz
≤
2
x

+
2
2
=
x (9 − x ) x 5 x
2 x + 2 2(9 − x 23) −
= −
+ 2 2(92− x 2 )
Xét hàm số ,
x 5x 2
2
2
f ( x) = −
+ 2 2(9 − x 2 ) x ∈ [ −3;0]
2
23
5 2 2x
f '( x ) = 2 x 2 −2 − 2
− 3x29 −≥ x0 (5
2 − 3x9 −) =x 2−4 2 x
f '( x ) = 05⇔
⇔
2
2
2 2
2
(x = 1 (x = -1.
(9 − x )(5 − 3x ) = 32 x
max
f

(
x
)
=
f
(
−
1)
=
10
f(-3) = - 6 ; f(-1) = 10 ; [ −3;0]
6 2
2

2

2

2

2

0,25

2

f(0) = nên
Suy ra 2(x + y + z) – xyz ≤ f(x) ≤10. Đẳng thức xảy ra khi
Vậy 2(x + y + z) –  x = −1


 x = −1
xyz ≤ 10. Đẳng
⇔
y = z
thức xảy ra khi
y = z = 2

2
2
y
+
z
=
2(
y
+
z
)
=
4

(x ; y ; z) là 1 hoán 
vị của (-1 ; 2 ; 2)

0,25

0,25

0,25