BỘ ĐỀ THI THỬ

MÔN TOÁN 9


ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút.
Đề 1.
Bài 1. (2đ) Cho biểu thức

1 
3
 1
A=
−
÷:
x +3 x −3
 x −3

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A >

1
3

c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2. (2đ) cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện
x1 x2 5
+ =

x2 x1 2
Bài 3. (1.5đ) Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn
một ôtô chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của
ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.
Bài 4. (4đ)

Bài 5. (0.5đ) Cho

a ≥ c ≥ 0 ; b ≥ c CMR:

c(a − c) + c(b − c) ≤ ab

----------------------------------------------------------------------------------------------

Đề 2.


1 
1
 3
+
:
Bài 1. Cho biểu thức P = 
÷
x +1 x +1
1− x
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =

5

4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =

x + 12 1
.
x −1 P

Bài 2.Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để A = x12 + x22 − 6 x1 x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 3.Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2
giờ. Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho
vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao
lâu?
Bài 4.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) .M là điểm di động trên cung
lớn BC , từ M dựng đường vuông góc với AB ,BC và AC lần lược tại H, K ,P
.Chứng minh :
a) BKMH nội tiếp
b) Tam giác MHK đồng dạng tam giác MAC
c) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK đạt giá trị lớn nhất
Bài 5.Cho a2+b2 ≤ 2 . CMR : -2 ≤ a + b ≤ 2

Đề 3.
 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷

Bài 1. Cho biểu thức: D = 
÷: 
x
−
9
x
+
3
x
−
3
x
−
3

 

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D < -

1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 2.Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x12 +x 22 = 8



Bài 3.Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai

chữ số bằng 18. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban
đầu là 54. Tìm số ban đầu.
Bài 4.Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B .Người ta kẻ trên nữa
mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc AB ,trên tia Ax lấy một điểm I .Tia
vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K .Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P
.Chứng minh :
a) Tứ giác CPKB nội tiếp
b) AI.BK = AC .CB
c) Tam giác APB vuông
d) Giả sử A,B I cố định .Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho S ABKI lớn
nhất
Bài 5.Cho x , y , z > 0 vµ x+y+z=1 CMR: x+y ≥ 16 xyz

Đề 4.
Bài 1.

a+2 a
 a− a

− 1÷: 
+ 1÷
Cho biểu thức: P = 
 a +2
  a −1 

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a ∈ Z để P nhận giá trị nguyên.
2

Bài 2. Cho phương trình: x + ( m − 2 ) x + m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m = -1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10
Bài 3.Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều
rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225 m2. Tính kích thước của hình chữ nhật đó
Bài 4. Cho ( O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn .Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AB và AC và cát tuyến AMN tới đường tròn ( B,C,M,N nằm trên đường tròn và
AM < AN ) .Gọi D là trung điểm của MN , E là giao điểm thứ hai của đường thẳng
CD với đường tròn
a) CM: 5 điểm A,B,O,D,C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO
b) CM: BE // MN
c) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AEN lớn nhất

Bài 5.Cho a,b,c>0 . CMR:

Đề 5.

a
b
c
+
+
kh«ng
a+b b+c c+a

lµ sè tù nhiªn


Bài 1. Cho biểu thức B =


2

(

1

−

) 2(

x + 3 −1

1

)

x + 3 +1

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài 2. Cho phương trình: x 2 − mx + (m − 1) = 0
a) Giải phương trình với m = -1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn
x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) − 19 = 0
Bài 3.Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc

ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ
nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ
sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 4.Cho tam giác đều ABC cạnh a .Từ một điểm M trên đoạn BC vẽ đường

thẳng song song AB cắt AC tại F , cũng từ M vẽ đường thẳng song song AC cắt
AB tại E
a) chứng minh : tứ giác A F M B nội tiếp
b) Chứng minh : BF = CE
c) Xác định vị trí của M trên đoạn BC để diện tích tam giác MEF bằng
vị diện tích)
Bài 5.Cho a,b,c>0 ; a ≠ b

1

. CMR : a + b(a − b) ≥ 3

Đề 6.
x2 − x
2x + x 2 ( x − 1)
−
+
Bài 1. Cho biểu thức P =
x + x +1
x
x −1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức Q =

2 x
nhận giá trị nguyên.
P

Bài 2.Cho phương trình: mx2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0

a) Giải phương trình với m = 1

a2 3
(đơn
16


b) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
Bài 3.Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi

ngày phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình
thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Bài 4.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong ( O;R ) .Gọi AI là đường kính cố định
và D là điểm di động trên cung nhỏ AC ( D khác A và C )
a) Tính cạnh của tam giác ABC theo R và chứng tỏ AI là phân giác góc
BAC
b) Trên tia DB lấy đoạn DE = DC ,chứng minh tam giác CDE đều và DI
vuông góc CE
c) Tìm Tập hợp các điểm E khi D di động trên cungnhỏ AC của đường tròn
(O)
d) Tính theo R diện tích tam giác ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ
AC
Bài 5.Cho a 2 + b 2 + c 2 = 1 . CMR: a + 2b + 3c ≤ 14

Đề 7.
1 
x +1
 1
P
=

+
:
2

÷
Bài 1. Cho biểu thức:
 x − x 1− x  1− x

(

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

)

b) Tìm x để P > 0

Bài 2.Cho phương trình: (1 + 4m)x2 − 4mx + m − 3 = 0
a) Giải phương trình với m = 0
b) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
Bài 3.: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano
chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km.
Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
Bài 4.Cho tam giác ABC ( AC = BC ) nội tiếp trong đường tròn (0) có đường kính CD =

2R , lấy một điểm M trên cung nhỏ BC ( M ≠ B ,M ≠ C ) ,trên tia AM lấy điểm E sao
cho ME = MB ( M nằm giữa A và E )
a) Chứng minh MD // BE
b) Kéo dài CM cắt BE tại I .Chứng minh BI = IE suy ra CA = CB = CE
c) CMR : MA + MB ≤ CA + CB
d) Giả sử cung AB = 1200 ,Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho CA = CN. Tìm

điểm K trên ND ( theo R ) để tam giác NEK vuông tại E



1

1

1

Bài 5.Cho a,b,c>0 vµ a+b+c =1. CMR : 1 + a (1 + b )(1 + c ) ≥ 64



Đề 8.
1   a +1
a +2
 1
−
−
Bài 1. Cho biểu thức P = 
÷
÷: 
a   a −2
a −1 
 a −1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 2.Cho phương trình: (m − 2)x2 − mx + 2m − 3 = 0
a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
Bài 3.Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi
từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường
cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian
về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi
Bài 4.Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường cao AH .Đường tròn tâm 0 đường
kính AH cắt AB và AC lần lược tại E và F ( E ≠ A, F ≠ A) .Gọi M,N,P lần lược là
trung điểm các đoạn thẳng OH ,BH và CH
Chứng minh: a) AHF = ACB
b) Tứ giác BE FC nội tiếp
c) Điểm M là trực tâm tam giác ANP
d) Chứng minh rằng nếu S ABC = 2 S AEHF thì tam giác ABC vuông cân
Bài 5.Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm ,hình nào có
diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó.

Đề 9.
Bài 1. Cho biểu thức: P =

x
3
6 x −4
+
−
x −1
x −1
x +1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
1
b) Tìm x để P < .

2
Bài 2.Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0
a ) Tìm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phân biệt


1 1
+ =5
x1 x2
c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m
b) Tìm m để

Bài 3.Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã

định. Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên mỗi ngày xí nghiệp sản xuất nhiều hơn mức
dự kiến 1 tấn; chẳng những rút ngắn thời gian dự định 1 ngày mà còn sản xuất
thêm 10 tấn ngoài kế hoạch. Hỏi thời gian dự kiến bao nhiêu ngày ? Mỗi ngày dự
kiến làm ra bao nhiêu tấn dụng cụ ?
Bài 4.Cho đường tròn (0;R) đường kính AB .Gọi Clà một điểm bất kì thuộc đường
tròn đó ( C khác A và B ) , M và N lần lược là các điểm chính giữa của các cung
nhỏ AC và BC ,các đường thẳng BN , AC cắt nhau tại I , các dây cung AN và BC
cắt nhau ở P
a) chứng minh ICPN nội tiếp , xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp đó
b) chứng minh KN là tiếp tuyến ( 0;R)
c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (0;R) thì đường thẳng MN luôn
tiếp xúc với một đường tròn cố định
Bài 5.Tính tích số với a ≠ b
P = ( a + b )( a2 + b2 ) )( a4 + b4) ................ a 2 + b 2

(


2005

2005

)

Đề 10.
 x −2
x + 2  (1− x)
−
Bài 1. Cho biểu thức P = 
÷.
2
x
−
1
x
+
2
x
+
1



2

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <


1
2

Bài 2.Giải và biện luận phương trình (m − 2)x2 − 2(m + 1)x + m − 5 = 0 theo tham số m
Bài 3.Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân đều các phòng. Nếu xếp mỗi phòng thi

thêm 4 thí sinh thì số phòng thi sẽ giảm đi 2 phòng. Hỏi lúc đầu mỗi phòng thi dự
định xếp bao nhiêu thí sinh ?
Bài 4.Từ điểm S ở ngoài đường tròn (0) .Kẻ hai tiếp tuyến SA,SB tới đường tròn ( A,B
là tiếp điểm ) .Đường thẳng qua S cắt đường tròn (0) tại D và E ( D nằm giữa S và E )
dây DE không qua tâm (0) .Gọi H là trung điểm của DE ; SE cắt AB tại K
a) chứng minh: SA0B nội tiếp
b) chứng minh : HS là tia phân giác của góc AHB


c) chứng minh :

2
1
1
=
+
SK SD SE
a

b

c

Bài 5.Cho a+b+c = 0 , x+y + z = 0 và x + y + z = 0 .Chứng minh : a x2+by2 + cz2 = 0


Đề 11.
Bài 1. Cho biểu thức : Q = (

1
1
a +1
a +2
−
):(
−
)
a −1
a
a −2
a −1

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q.
b) Tìm a để Q dương.
c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5
Bài 2.Cho phương trình bậc hai (m2 – 4)x2 – 2( m – 2)x + 1 = 0
a ) Giải phương trình với m = 3
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
1 1
mãn + = 5
x1 x2
Bài 3.Cho hai số, số này gấp ba lần số kia. Nếu ta thêm 1 vào mỗi số thì tổng

nghịch đảo của chúng bằng ¾ . Tìm hai số đó?
Bài 4.Cho tam giác ADC vuông tại D có đường cao DH .Đường tròn tâm O đường

kính AH cắt cạnh AD tại điểm M (M#A); Đường tròn tâm O/đường kính CH cắt
cạnh DC tại điểm N ( N#C ) . Chứng minh :
1, Tứ giác DMHN là hình chữ nhật .
2,Tứ giác AMNC nội tiếp tronh một đường tròn
3 , MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn
đường kính OO/ .
Bài 5.Cho hai số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện : a+b=2016 Tìm giá trị lớn nhất
của tích ab .

Đề 12.
 a
1  a − a a + a 


−
−
Bài 1. Cho biểu thức : M = 


 2

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M

2 a  a + 1

a −1 


b) Tìm giá trị của a để M = - 4.
Bài 2. 1, Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 21cm , AC = 2cm. Quay

tam giác ABC một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố định , ta được một hình nón
. Tính thể tích hình nón đó .
Bài 3.Tìm 5 số nguyên dương liên tiếp biết rằng tổng bình phương của hai số lớn

nhất bằng tổng bình phương của 3 số còn lại.
Bài 4.Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và
cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AMđiểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O).
a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC
c. Chứng minh BI//MN.
d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
4x2 + 1
Bài 5.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= x 2 1 − x .
(
)

Đề 13.

x
1 
1
−
Bài 1. Cho biểu thức A = 
÷:
 x −1 x − x  x −1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
Bài 2.Cho phương trình : x 2 − (m + 1) x + 2m − 3 = o
1 , Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ thức
đó không phụ thuộc vào m
Bài 3.Khi nhân hai số tự nhiên hơn kém 10 đơn vị, một học sinh đã làm sai, nên
trong kết quả số hàng chục thiếu đi 3. Biết rằng nếu đem kết quả sai đó chia cho số
nhỏ hơn trong hai số ban đầu sẽ được thương là 25 và số dư là 4. Tìm hai số đó.
Bài 4.Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác
trong của góc BAC cắt đoạn BC tại D, cắt đường tròn tại M, đường phân giác
ngoài của góc BAC cắt đường thẳng BC tại E, cắt đường tròn tại N. Gọi K là trung
điểm của DE.
Chứng minh rằng:
a, MN vuông góc với BC tại trung điểm I của BC.
b, Góc ABN = góc EAK
c, KA là tiếp tuyến của đường tròn(O)
Bài 5.Cho đoạn thẳng AB cố định có độ dài bằng a trong mặt phẳng chứa đoạn AB
lấy điểm M thay đổi , đặt MA = b, MB = c. CMR:
a 4 + b 4 + c 4 ≤ 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2


Đẳng thức xảy ra khi nào?

Đề 14.
1  1
 1

−
+ 1÷ với a > 0 và a ≠ 1.
Bài 1. Cho biểu thức: P = 
÷
 1 − a 1 + a  a


a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P >

1
.
2

Bài 2.Cho phương trình:
2x 2 + (2m − 1)x + m − 1 = 0

a, Giải phương trình với m = 2
b, Cmr: phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị cuả m
c, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 3x1- 4x2= 1
Bài 3.Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1cm. Nếu tăng thêm

chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3cm 2. Tính diện tích
hình chữ nhật ban đầu?
Bài 4.Cho hệ phương trình
mx + ny = 3

2mx − 3ny = −4

1. Giải hệ phương trình với n = m = 1
2. Tìm giá trị của n và m để x = 2; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình
Bài 5.Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m

Đề 15.
Bài 1. Cho biểu thức : A =

x
2x − x
−
với ( x > 0 và x ≠ 1)
x −1 x − x

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức khi x = 3 + 2 2
Bài 2.Cho hệ phương trình
mx + ny = 3

2mx − 3ny = −4

1. Giải hệ phương trình với n = m = 1
2. Tìm giá trị của n và m để x = 2; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình


Bài 3.Một hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu bớt mỗi chiều đi 5 mét thì diện
tích chỉ còn 1276m2. Tìm độ dài mỗi chiều?
Bài 4.Cho đường tròn tâm O, đường kính EF; BC là một dây cung cố định vuông
góc với EF; A là điềm bất kỳ trên cung BFC ( A ≠ B, A ≠ C)
1/ CM: AE là phân giác của góc BAC.
2/ Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB
CM: BD// AE
3/ Gọi I là trung điểm của BD. CM: I, A, F thẳng hàng.
4/ M là điểm bất kỳ trên dây cung AB sao cho

AM
= k (k không đổi), qua M
MB

kẻ đường thẳng d vuông góc với AC. Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC
thì đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5.Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn: abc = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = a + b + c + ab + ac + bc
Đề 16.
Bài 1. Cho biểu thức : P =

a+4 a +4
a +2

+

4−a
2− a

( Với a ≥ 0 ; a ≠ 4 )

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 2.Cho phương trình : x2 - ax + a +b = 0 ( a; b là tham số)
1/ Giải phương trình với a = 7; b = 3.
2/ Tìm giá trị của a và b để x1 = 2 và x2 = 5 là 2 nghiệm của phương trình
Bài 3.Một người đi theo chiều dài của một công viên hình chữ nhật thì mất hết 1

phút 5 giây và nếu đi theo chiều rộng công viên thì mất hết 39 giây. Người ta làm
một lối đi xung quanh công viên rộng 1,5m, như thế bồn cỏ còn lại là 5529m 2.
Tính các chiều của công viên?
Bài 4.Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R . Gọi C là trung điểm của đoạn
OA, D là điểm nằm trên đường tròn sao cho BD = R. Đường trung trực của đoạn

OA cắt AD tại E và BD tại F:
1/ Tính góc ∠BOD vµ ∠BAD
2/ Tính độ dài các đoạn: AE; EC và theo R
ΔADB ΔFCB
3/ CM:
BE ⊥ AF
4/ CM:
5/ Một điểm M nằm trên đường tròn. CMR: Khi M thay đổi trên đường tròn
thì trung điểm I của đoạn MD chạy trên một đường tròn cố định , sác định tâm và
bán kính đường tròn đó.
Bài 5.Chứng minh bất đẳng thức:
1 
1 
1  
1  1

 1 − 2  1 − 2  1 − 2 ...... 1 − 2  ≥
2 
3 
4  
n  2


( víi n ∈ N , n > 2)


Đề 17.
Bài 1. Cho biểu thức : A =

x +1− 2 x x + x

+
x −1
x +1

1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
2) Với giá trị nào của x thì A < -1
Bài 2.Giải phương trình
x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x +

3
=0
4

Bài 3.Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ

hơn là 0,2g/cm3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 0,7g/cm 3. Tìm khối
lượng riêng của mỗi chất lỏng?
Bài 4.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và một điểm M bất
kỳ trên nửa đường tròn ( M ≠ A; M ≠ B ) , đường thẳng d tiếp súc vời nửa đường
tròntại M và cắt đường trung trựccủa AB tại I. Đường tròntâm I tiếp súc với AB và
cắt đường thẳngd tại E và F (F nằm trong góc ∠BOM ).
a/Chứng minh OE và OF theo thứ tự là phân giác của ∠AOM vµ ∠BOM
b/ Chứng minh: EA. EB= R2
3/ Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để diịen tích tứ giác AEFB nhỏ
nhất
Bài 5.Cho a , b , c > 0 CMR :

a
b
c

≥
+
+
bc ca ab

1

1 1

2( a + b - c )

Đề 18.
Bài 1. Cho biểu thức : A = (1 +

x+ x
x− x
)(1 −
)
x +1
x −1

(Với x ≥ 0; x ≠ 1 )

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
Bài 2.Cho phương trình x 2 + 4 x + 1 = 0 ( 1)
a) Giải phương trình ( 1)
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ( 1) . Hãy tính giá trị của biểu thức
B = x13 + x23
Bài 3.Một miếng kim loại nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích

miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là 10cm3, nhưng khối lượng riêng của
miếng thứ nhất lớn hơn là 1g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi khối kim loại?


Bài 4.Cho hai đường tròn (O) và (O’), tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung

ngoài DE, D Î (O), E Î (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE tại I. Gọi M là
giao điểm của OI và AD, M là giao điểm của O’I và AE.
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’
c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE
d) Tính DE biết OA = 5cm; O’A = 3,2cm
Bài 5.Tìm giá trị của x để biểu thức: M = ( 2 x − 1) − 3 2 x − 1 + 2 đạt giá trị nhỏ
2

nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

Đề 19.
Bài 1. Cho biểu thức : B =

1
2 x −2

−

1
2 x +2

+

x
1− x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B với x = 3
c) Tính giá trị của x để A =

1
2

Bài 2.Cho phương trình 2 x 2 − 7 x + 4 = 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình
1) Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2
b) x13 + x23
2) Xác định phương trình bậc hai nhận x12 − x2 và x22 − x1 là nghiệm
Bài 3.Hai người đi xe đạp cùng khởi hành tại một địa điểm về hai hướng vuông
góc với nhau. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Tìm vận tốc của
mỗi người. Biết rằng vận tốc của người này hơn vận tốc người kia là 6km/h.
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ
bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận
tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
Bài 4.Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai

đoạn: BH = 4cm; CH = 9cm. Gọi D, E theo thứ tự đó là chân đường vuông góc hạ
từ H xuống AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE?
b) Chứng minh đẳng thức AE.AC = AD.AB?
c) Gọi các đường tròn (O), (M), (N) theo thứ tự ngoại tiếp các tam giác ABC,

DHB, EHC. Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn: (M) và (N); (M) và
(O); (N) và (O)?
d) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M) và (N) và là tiếp
tuyến của đường tròn đường kính MN?
Bài 5.Cho b, c là hai số thoả mãn hệ thức:

1 1 1
+ =
b c 2

Chứng minh rằng trong hai phương trình dưới đây có ít nhất một phương
trình có nghiệm: ax2 + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0
Đề 20.
Bài 1. Cho biểu thức :

P=

x +1
x −2

+

2 x
x +2

+

2+5 x
4− x

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P
b) Tìm x để P = 2
Bài 2.Cho phương trình 2 x 2 − 9 x + 6 = 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình
1) Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2
b) x13 + x23
2) Xác định phương trình bậc hai nhận 2 x1 − 3x2 và 2 x2 − 3x1 là nghiệm
Bài 3.Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ

B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ
6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về
ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 4.Cho tam giac ABC có góc A tù, đường tròn (O) đường kính AB cắt
đường tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng d
quay quanh A cắt (O) và (O’) thứ tự tại M và N sao cho A nằm giữa M và N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
b) Chứng minh tỉ số HM: HN không đổi.
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh A, H, K,
I cùng thuộc một đường tròn và I chạy trên một cung tròn cố định.
d) Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BMNC lớn nhất.
Bài 5.Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. CMR :
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2( + + )
p−a p −b p −c

a b c

víi p =

a+b+c
2


Gi ý gii
Hỡnh cú din tớch ln nhỏt:

B
H O

A

B

C
A

OH

C

D
D

h.6
h.7

Xột hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
Gi O l giao im hai ng chộo . K BH AC .
Ta cú : SABCD = 2SABC = AC.BH
Ta cú AC = 8cm, BH BO = 3cm. Do ú :
SABCD 8.3 = 24 (cm2)
SABCD = 24 cm2 BH BO H O BD AC
Vy max SABCD = 24 cm2 . Khi ú hỡnh bỡnh hnh ABCD l hỡnh thoi (h.7) cú
din tớch 24cm2.

Ví dụ 1: CMR với mọi x , y ta có :
a)

x2 +

y2

4

xy

Giải: a) Ta có
Vậy

b) x2+y2+1 xy + x + y
x

2

+

y 2 xy

4

x2 +

y2
4

-

2
2
xy = 4 x 4 xy + y
4

dấu bằng xẩy ra khi

=

c) x4+y4
( 2x + y) 2
4





xy3+x3y

0

y = 2x

1
(2x2+2y2+2-2xy-2x-2y)
2
1
= 2 ( x y ) 2 + ( x 1) 2 + ( y 1) 2 0
Vậy x2+y2+1 xy +x +y

b) Ta có : x2+y2+1 -(xy + x + y) =

[

Dấu bằng xẩy ra khi x=y=1
c) Ta có: x +y - ( xy +x y)
4

4

3

3

Dấu bằng xẩy ra khi x=y

]

2

y
3y 2
= (x-y) x + 2 + 4 0



4
4
3
Vậy x +y
xy +x3y

2

Ví dụ 2: Cho a< b < c < d hãy xếp x,y,z theo thứ tự tăng dần nếu:
x=(a+b)(c+d) ; y=(a+c)(b+d) ; z=(a+c)(b+d)
HD : Xét y -x > 0 y > x và z - y > 0 z > y
Vậy x< y < z
2) Phơng pháp 2: Sử dụng tính chất bắc cầu


A B và B C thì A C
Lu ý : 0 x 1 thì x2
Ví dụ 1: Cho 0 x , y ,z 1 CMR:
a) 0

x

x+ y + z - xy - yz - xz 1 ; b) x2+y2+z2 1+x2y+y2z+z2x

Giải: a) Ta có x+y+z -xy -yz -xz = x(1-y) +y(1-z) + z(1-x)
Mà (1-x)(1-y)(1-z) = 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz

0 (1)

0



x+y+z-xy-xz-yz 1-xyz



1( vì x,y,z 0) (2)

Từ (1) và (2) ta có: ĐPCM
b) Ta có x2+y2+z2-x2y-y2z-z2x
= x2(1-y) +y2(1-z) +z2(1-x)


x(1-y) + y(1-z) +z(1-x) ( vì x 2 x ; y 2 y ; z 2 z )

= x+y+z-xy-yz-xz 1 (từ câu a) Vậy x2+y2+z2 1+x2y+y2z+z2x
Ví dụ 2: CMR với mọi x >

2

Giải: ta có : x -x y+x y -xy +y
4

3

2 2

3

4

;y>

2

ta có : x4-x3y+x2y2-xy3+y4> x2+y2

x5 + y 5
= x+ y

Vì x ; y >

2 nên x2>2 ; y2 > 2 do đó x5+y5=x2x3+y2y3 > 2(x3+y3)
x5 + y 5
2( x 3 + y 3 )
Suy ra : x + y > x + y =2(x2-xy+y2) (1)
Mà : 2(x2-xy+y2)-(x2+y2) =(x-y)2 0 nên 2(x2-xy+y2) x2+y2 (2)

Từ (1) và (2) ta có : ĐPCM
3) Phơng pháp 3: Dùng phép biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1: Cho a , b , c > 0 CMR :
Giải:

a
b
c

+
+
bc ca ab

a
b
c
1 1 1
2( + )
+
+
bc ca ab
a b c
2
2
2
a +b +c 2(bc+ac-ab) (vì a , b , c
(a+b-c)2 0 đúng vậy (1) đúng

Ví dụ 2: Cho
Giải: Ta có :

a c 0 ; b c CMR:
c (a c) + c(b c) ab

( c(a c ) + c(b c) )2
c(a-c)

+c(b-c) + 2

1

1 1

2( a + b - c ) (1)

>0)

c(a c ) + c (b c) ab

ab

c 2 ( a c)(b c )

ab

(1)


c2-2c ( a c)(b c )

+ (a-c)(b-c)



0

(

c- (a c)(b c) )2 0 đúng vậy (1) đúng
4) Phơng pháp 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ
Các bất đẳng thức thờng dùng:
x 2 + y 2 2 xy ; x 2 +y 2 2xy ; (x+y)2 4xy
Ví dụ 1: Cho a2+b2 2 . CMR : -2 a + b 2
Giải: Ta có a2+b2



2ab

mà a2+b2

Do đó: (a+b)2=a2+b2+2ab



4



a+b 2

2 nên 2ab

Ta cần chứng minh 4z(x+y)2
Thật vậy: 4z(x+y)2
Ví dụ3: CMR:

x2 + 2
x2 +1

Giải: áp dụng BĐT
x2 +1 +

1
x2 +1

x+y



2





2 hay ab 1

vậy : -2 a + b 2

Ví dụ 2: Cho x , y , z > 0 và x+y+z=1 CMR: x+y
Giải:Từ 4xy (x+y)2 ta có : 16xyz



16 xyz

4z(x+y)2 (1)

x+y

4z(x+y) 1 4x(1-z) 1 (2z-1)2 0

đúng

với mọi x

1
x+ x 2

ta có:

x2 + 2
x2 +1

=

x2 +1+1
x2 +1

=

2

Ví dụ 4: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. CMR :
1
1
1
1 1 1
a+b+c
+
+
2( + + ) với p =
pa p b p c
a b c
2
1 1
4
Giải: áp dụng BĐT : x + y x + y với x>0,y>0 ta có:
1
1
4
4
+

=
pa p b pa+ pb c
1
1
4

4
+

=
pb pc pb+ pc a
1
1
4
4
1
1
1
1 1 1
+

=
+
+
2( + + )
cộng
vế
với
vế
ta
có:
pc pa pc+ pa b
pa p b p c
a b c

5) Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng

Ví dụ: Cho 6 số tự nhiên nhỏ hơn 108 . CMR có thể chọn ra đợc 3 số trong 6 số
đó chẳng hạn a,b,c sao cho a

Giải: Giả sử 6 số đó thoả mãn 1 a1 a 2 ...... a6 108 nên a 2 2; a3 3....
Với 3 số bất kì x , y , z thoả mãn 1 x y z ta luôn có xNếu trong 6 số a1 ;......; a6 không có 3 số a , b , c nào thoả mãn acó:
a a 2 .a 3 6 ; a 5 a 4 .a 3 6.3 = 18 . Khi đó a 6 a5 .a 4 18.6 = 108 , trái với giả thiết a 6
<108
Vậy phải có 3 số a,b,c thoả mãn a6) Phơng pháp 6: Phơng pháp dùng tính chất tỉ số
* với a,b,c>0 thì :
1

a a+c
a
a a+c
<
> 1 thì >
b)
nếu
b b+c
b
b b+c
a c
a a+c c
* nếu b,d>0 thì : b d b b + d d
a
b

c
Ví dụ 1: Cho a,b,c>0 . CMR: a + b + b + c + c + a không là số
a
b
c
Giải: Ta cần chứng minh 1 a + b + b + c + c + a 2
a
a
a+c
a
Ta có: a + b + c < a + b < a + b + c
( vì c>0 và a + b < 1 )
a
b
a+c
<
<
a+b+c b+c a+b+c
a
c
c+b
<
<
a+b+c c+a a+b+c
a
b
c
1<
+
+

<2
a+b b+c c+a
a

a) nếu b <1 thì

tự nhiên

Ví dụ 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác . CMR:
a2+b2+c2 <2(ab+bc+ca)
Giải: Ta có: 0 a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc)
7) Phơng pháp7: Phơng pháp dùng BĐT CauChy , Bunhiacopxki
* a1 + a 2 + ...... + a n n n a1 .a 2 ....a n (với a k 0 ) dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a 1 ==a
n

* ( a1b1 + ..... + a n bn ) 2 ( a1 2 + .....a n 2 )(b1 2 + .....bn 2 ) dấu '=' xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1: Cho a,b,c>0 ; a b
1

1

. CMR : a + b(a b) 3
1

Giải: Ta có : a+ b(a b) = b + (a b) + b(a b) 33
Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 và a+b+c =1. CMR :
Giải: Từ a+b+c=1 1 +

b( a b)

=3
b( a b)
1
1
1
1 + (1 + )(1 + ) 64
b
c
a

1
a+b+c
b a
bc
=1+
= 1 + 1 + + 44 2
a
a
a b
a

a
a1
= .... = n
b1
bn


T¬ng tù

1+

1
ac
≥ 44 2
b
b

; 1+

1
ab
≥ 44 2
c
c

1
1
1
⇒ (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 64
a
b
c

VÝ dô 3: Cho a 2 + b 2 + c 2 = 1 . CMR: a + 2b + 3c ≤ 14
Gi¶i: ¸p dông B§T bunhiacopxki cho 6 sè lµ: 1;2;3;a,b,c ta cã:
(1.a + 2.b + 3.c ) 2 ≤ (12 + 2 2 + 3 2 )( a 2 + b 2 + c 2 ) = 14 ⇒

a + 2b + 3c ≤ 14