LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :

∫ 0dx = C
n
∫ x dx =

x n +1
+C
n +1

∫ dx = x + C
1

∫ x dx = ln x + C

n ≠ −1

ax
C
ln a
∫ cos xdx = sin x + C

x
x
∫ e dx = e + C

x
∫ a dx =

∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos x dx = tan x + C

∫ sin

1

2

2

x

dx = − cot x + C

u′( x)
1
1
x−a
∫ u( x) dx = ln u ( x) + C
∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
x 2
a
2
2
∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C


Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b] có nguyên hàm là F (x) .
Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β ] và có miền giá trị là [ a; b]
thì ta có :

∫ f [ u( x)].u ' ( x)dx = F ( x)[ u( x)] + C
BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
1

a) I1 = ∫
0

xdx
x2 + 1

1

e

e x dx
ex − 1
0

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫
1


1 + ln x dx
x

Bài làm :
a) Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =

dt
2

x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 2

Đổi cận : 
2

2

xdx
1 2 dt 1
1
Vậy : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2
21 t 2
2
1 x +1
1

b) Đặt t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx
VIOLET.VN/VANLONGHANAM


Trang 1


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

x = 1 → t = e − 1

Đổi cận : 

2
x = 2 → t = e − 1
1

x

Vậy : I 2 = ∫ ex dx =
0

e −1

e2 −1

∫

e−1

e2 −1


dt
= ln t
= ln(e + 1)
t
e−1
1
x

c) Đặt t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx
x = 1 → t = 1
x = e → t = 2

Đổi cận : 
e

I3 = ∫
1

2

2

1 + ln x dx
2 3
2
= ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1)
x
3 1 3
1


Tích phân lượng giác :
β

Dạng 1 : I = ∫ sin mx. cos nxdx
α

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
β

m
n
Dạng 2 : I = ∫ sin x. cos x.dx

α

Cách làm :
Nếu m, n chẵn . Đặt t = tan x
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t = sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)
β

Dạng 3 : I = ∫
α

dx
a. sin x + b. cos x + c

Cách làm :
2t

sin x =


x

1+ t2
Đặt : t = tan ⇒ 
2
2
cos x = 1 − t

1+ t2
β
a. sin x + b. cos x
.dx
Dạng 4 : I = ∫
c. sin x + d . cos x
α

Cách làm :
Đặt :

a. sin x + b. cos x
B (c. cos x − d . sin x)
= A+
c. sin x + d . cos x
c. sin x + d . cos x

Sau đó dùng đồng nhất thức .
β

Dạng 5: I = ∫

α

a. sin x + b. cos x + m
.dx
c. sin x + d . cos x + n

Cách làm :
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 2


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

Đặt :

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

a. sin x + b. cos x + m
B (c. cos x − d . sin x )
C
= A+
+
c. sin x + d . cos x + n
c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n

Sau đó dùng đồng nhất thức.

BÀI TẬP
Tính tích phân :

π
2

π
2

a) I1 = ∫ cos xdx 4

π
4

b) I 2 = ∫ cos 5 xdx

(sin x + 1)
0

c) I 3 = ∫ tan 6 xdx

0

0

Bài làm :
a) Đặt : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 1

Đổi cận :  π
 x = 2 → t = 2
π
2


2

2
Vậy : I 1 = ∫ cos xdx 4 = ∫ dt4 = − 13 = 7

(sin x + 1)
3t
1 t
b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0

Đổi cận :  π
 x = 2 → t = 1
0

π
2

Vậy :

1

(

I 2 = ∫ cos xdx = ∫ 1 − t
5

0


)

2 2

0

24

1

1

(

)

dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt
0

1

 t5 2

8
= ∫  − t 3 + t  =
5 3
 0 15
0
1


c) Đặt : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx
x = 0 → t = 0

Đổi cận :  π
 x = 4 → t = 1
π
4

Vậy :

1

1

t 6 dt
1 

I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2
= ∫ t 4 − t 2 + 1 − 2
dt
t + 1
0
0 t +1
0
6

1

π


4
 t5 t3

13 π
=  − + t  − ∫ du = −
15 4
5 3
0 0

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 3


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Tính các tích phân sau :
π
2

a) I1 = ∫
0

π
3

sin x. cos x
a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x


cos x

b) I 2 = ∫

dx

2 + cos 2 x

0

dx

Bài làm :
a) Đặt : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x. cos xdx
x = 0 → t = a 2

Đổi cận :  π
2
x = → t = b

2
Nếu a ≠ b
π
2

Vậy :

sin x. cos x


1
dx =
2
2 b − a2
a 2 . sin x + b 2 . cos x

I1 = ∫
0

1
= 2
t
b − a2

b2

=
a2

(

a−b
b −a
2

2

=

b2


)∫

a2

dt
t

1
a+b

Nếu a = b
π
2

sin x. cos x

I1 = ∫

a . sin x + b . cos x
2

0

Vậy :
=

π
2


2

2

2

sin x. cos xdx
a
0

dx = ∫

π
2

π
2

1
1
1
sin 2 xdx = −
cos 2 x =
∫
2a 0
4a
2a
0

b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx

x = 0 → t = 0

Đổi cận :  π
3
x = → t =
3
2

π
3

cos x

Vậy : I 2 = ∫ 2 + cos 2 x dx =
0

3
2

∫
0

dt
3 − 2t

2

=

1

2

3
2

∫
0

dt
3 2
−t
2

3
3
cos u ⇒ dt = −
sin udu
2
2
π

t
=
0
→
u
=

2
Đổi cận : 

t = 3 → u = π

2
4

Đặt : t =

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 4


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

1

I2 =

2

Vậy :
=

3
2

∫
0

π

4

1

∫ du =
2π

dt
3 2
−t
2
1
2

4

1

=

2

π
2

∫

π
4


3
sin udu
2
3
1 − cos 2 u
2

(

)

π

=

u

π
2

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

4 2

π
4

Tính các tích phân sau :
π
2


π
2

b) I 2 = ∫ sin x + 7 cos x + 6 dx

1
a) I 1 = ∫
dx
4
sin
x
+
3
cos
x
+
5
0

0

4 sin x + 3 cos x + 5

Bài làm :
x 
2dt

⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2
2 

t +1

x = 0 → t = 0

Đổi cận :  π
 x = 2 → t = 1
2
1
1
2
dt
1
+
t
I1 = ∫
dt = ∫
2
2
2t
1− t
0
0 ( t + 1)
4
+
3
+
5
Vậy :
1+ t2
1+ t2


a) Đặt : t = tan

x
2

1

1
1
=−
=
t+2 0 6
sin x + 7 cos x + 6
4 cos x − 3 sin x
C
= A+ B
+
4 sin x + 3 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
Dùng đồng nhất thức ta được: A = 1 , B = 1 , C = 1

b)Đặt :

π
2

Vậy :

I2 = ∫

0

π
2

sin x + 7 cos x + 6
4 cos x − 3 sin x
1


dx = ∫ 1 +
+
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
4
sin
x
+
3
cos
x
+
5
4
sin
x
+
3
cos
x

+
5

0
π

= ( x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 =

π
9 1
+ ln +
2
8 6

Bạn đọc tự làm :
π
2

cos3 x
a) I1 = ∫ 2 dx
π sin x
6

π
2

b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx
0

VIOLET.VN/VANLONGHANAM


π
2

dx
0 sin x + 2

c) I 3 = ∫

Trang 5


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

π
2

π
2

π

2
1
sin x − cos x + 1
d) I 5 = ∫
dx d) I 6 = ∫
dx

0 sin x + 2 cos x + 3
0 sin x + 2 cos x + 3

3
c) I 3 = ∫ 4 sin x dx
0 cos x + 1

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
dx

1

1

=−
.
+ C với ( a, n ) ∈ C × ( N − { 0,1} ) ta có :
Dạng 1 : I = ∫ (
n
n − 1 ( x − a ) n−1
x − a)
dx
= ln x + C
Nếu n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫
x−a

α , β , a, b, c ∈ R
dx
trong
đó

:

2
ax 2 + bx + c
∆ = b − 4ac < 0
* Giai đoạn 1 : α ≠ 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2 + bx + c ,

Dạng 2 : I = ∫

αx + β

(

)

n

sai khác một số :
I=

α
2a ∫

2aβ
−b
α
2ax + b
α  2aβ
dx


α
dx =
dx + 
− b ∫ 2
n
n
∫
2
2
2a ax + bx + c
2a  α
 ax + bx + c
ax + bx + c

2ax + b +

(

)

* Giai đoạn 2 :
Tính I = ∫ (

(

)

(

n


n

dt
 4a  − ∆
dx = 
.
n
∫
2
 − ∆  2a 2 ax + b 1 + t 2
ax + bx + c
t=
dx

)

)

−∆

(

)

n

* Giai đoạn 3 :
Tính I = ∫


(t

1
2

P ( x)

)

+1

n

dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt t = tan φ

m
Dạng 3 : I = ∫ Q ( x ) dx
n

Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0
=
Ta có :
Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0

P ( x)

R ( x)

m
r

Nếu : deg( P ) ≥ deg( Q ) thì ta thực hiện phép chia Q ( x ) = A( m − n ) ( x ) + Q ( x ) trong đó
n
n

Rr ( x )

phân số Q ( x ) có deg( R ) < deg( Q )
n
Nếu : deg( P ) < deg( Q ) ta có các qui tắc sau :
Pm ( x )

A1
An −1
An
+ ...... +
+
n −1
( x − a) ( x − a)
( x − a)
( x − a) n
n
Pm ( x )
Ai
=
∑
n
i
Vdụ 1a :
( x − a ) i i=1 ( x − ai )


*Qt 1:

n

∏
i =1

=

i

P ( x)

A

B

C

D

m
Vdụ 1b : ( x − a)( x − b)( x − c)2 = x − a + x − b + x − c + ( x − c ) 2

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 6


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN


Pm ( x )

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

An−1 x + Bn−1
An x + Bn
A1 x + B1
+ ...... +
+
2
n −1
2
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
ax 2 + bx + c
m
n
Pt ( x )
Ai
Ai x + B1
=
+
∑
∑
*Qt 3:
n
i
m

( x − α ) ax 2 + bx + c i =1 ( x − α ) k =1 ax 2 + bx + c i
P ( x)
A
Bx + C
Vdụ 1 : ( x − α ) axt 2 + bx + c = x − α + ax 2 + bx + c
Pt ( x )
B1 x + C1
B2 x + C 2
A
=
+
+
2
2
Vdụ 2 :
( x − α ) ax 2 + bx + c ( x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c 2

*Qt 2':

(

2

)

n

=

(


)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

n

với ∆ < 0

)

(

)


(

)

(

) (

)

BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1

a) I 1 = ∫
0

1

dx
2
x + 3x + 2

b) I 2 = ∫

(x

0


dx
2

+ 3x + 2

)

2

Bài làm :
1

1

1

dx
dx
1 
 1
=∫
= ∫
−
dx
a) I 1 = ∫ 2
( x + 1)( x + 2) 0  x + 1 x + 2 
0 x + 3x + 2
0

= [ ln x + 1 − ln x + 2 ] 0 = ln


4
3
1
1
 1

dx
1
2
dx = ∫ 
+
−
dx
b) I 2 = ∫ 2
2
2
2
( x + 2) ( x + 1)( x + 2) 
0 ( x + 3x + 2)
0  ( x + 1)
1

1

1
 1

= −
−

− 2( ln x + 1 − ln x + 2 )  = OK
 x +1 x + 2
0

Tính các tích phân sau :
1

a) I1 = ∫
0

1

dx
4
x + 3x 2 + 3

b) I 2 = ∫

(

0

4x − 2
dx
x + 1 ( x + 2)
2

)

Bài làm :

dx
1
x
= arctan + C với a > 0
2
x +a
a
a
1
dx
1  1
1 
= ∫ 2
− 2
dx
2
2
x +1 x + 3 2 0  x +1 x + 3 

a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0 = ∫
1

1

dx
I1 = ∫ 4
=
x + 3 x 2 + 3 ∫0
0


(

)(

)

1

(

1
1
x 
π
=  arctan x −
arctan
 = 9−2 3
2
3
30 2
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

2

)
Trang 7


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN


VIOLET.VN/VANLONGHANAM

4x − 2
A
Bx + C x ( A + B ) + x( 2 B + C ) + 2C + A
=
+ 2
=
2
( x + 2) x + 1 x + 2 x + 1
( x + 2) x 2 + 1
A + B = 0
 A = −2


Do đó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔ B = 2
2C + A = 0
C = 0


2

b) Đặt :

(

1

Vậy : I 2 = ∫
0


[

)

(

)

1

(

4x − 2
2
2x 

dx
=
−
+

dx
2
∫
x
+
2
x
+

1
x 2 + 1 ( x + 2)


0

)

]

1

= − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln
0

4
9

Bạn đọc tự làm :
3

a) I1 = ∫
2

2

c) I 3 = ∫
1

5


x +1
dx
2
x ( x − 1)

b) I 2 = ∫

x −1
dx
4x3 − x

d) I 3 = ∫ x 4 − 3x 2 + 2 dx
3

2
2

3

dx
x + 2x − 3
2

x

HD:
x +1

A


B

C

1
A
B
=
+
x + 2x − 3 x − 1 x + 3
3
x
A
B
C
D

x −1 1 
x−4
=
+
+
+
 d) 4
= 1 +
c) 3
2
x − 3x + 2 x − 1 x + 1 x + 2 x − 2
4 x − x 4  x( 2 x + 1)( 2 x − 1) 


a) x 2 ( x − 1) = x + x 2 + x − 1

b)

2

Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
1

1

m
n
Chứng minh rằng : ∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x ) dx
0

n

m

0

Bài làm :
1


m
Xét I = ∫ x (1 − x ) dx
n

0

Đặt : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 8


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 0

Đổi cận : 
1

0

1

m n
Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t ) t dt (đpcm)
n


m

0

m n

1

0

Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì :
a

∫ f ( x ) dx = 0

I=

−a

Bài làm :
a

I=

0

a

−a


0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1)

−a

0

Xét

∫ f ( x ) dx

. Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt

−a

 x = −a → t = a
x = 0 → t = 0

Đổi cận : 
V ậy :

0

a

a

−a


0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − t ) dt = −∫ f ( t ) dt

Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm)
• Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
a

a

−a

0

[ − a, a ] thì I = ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x )dx
Cho a > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
f ( x)
Chứng minh rằng : ∫ x dx = ∫ f ( x )dx
a +1
−α
0
α

α

f ( x)
f ( x)

f ( x)
dx = ∫ x
dx + ∫ x
dx
x
+1
a +1
a +1
−α
0
α

0

∫α a

−

α

Bài làm :

(1)
0

Xét
t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt
 x = −α → t = α
Đổi cận : 
x = 0 → t = 0


f ( x)
dx . Đặt
x
+1

∫α a

−

f ( x)
f (− t)
at f ( t )
dx
=
dt
=
Vậy : ∫ x
∫0 a −t + 1 ∫0 at + 1
a +1
−α
0

α

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

α

Trang 9



LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

Thế vào (1) ta được :

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

f ( x)
a f ( x)
f ( x)
dx = ∫ x
dx + ∫ x
dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm)
x
+1
a +1
a +1
−α
0
0

α

0

∫α a

−


α

x

α

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0,1] . Chứng minh rằng :
π

ππ
∫0 x. f ( sin x ) dx = 2 ∫0 f ( sin x ) dx

Bài làm :
π

Xét ∫ x. f ( sin x ) dx . Đặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
0

x = 0 → t = π
x = π → t = 0

Đổi cận : 
π

π

π

Vậy : ∫ x. f ( sin x ) dx = ∫ ( π − t ). f [ sin ( π − t ) ] dt = ∫ ( π − t ). f ( sin t ) dt
0


0

0

π

π

0

0

= π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ t. f ( sin t ) dt
π

π

⇒ 2∫ x. f ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x )dx
0

⇒

0

π

π

π


∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x )dx
0

0

• Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b] và f ( a + b − x ) = f ( x ) . Thì ta luôn có :
π

b

a+b
∫a x. f ( x ) dx = 2 ∫0 f ( x ) dx

Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
Chứng minh rằng :

a +T

T

a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

Bài làm :
a +T


T

a +T

a

a

T

0

T

a +T

0

T

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Vậy ta cần chứng minh

a

a

a +T


0

T

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

a

Xét

∫ f ( x ) dx

. Đặt t = x + T ⇒ dt = dx

0

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 10


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

x = 0 → t = T
x = a → t = a + T

Đổi cận : 

a +T

a +T

∫ f ( t − T ) dt = ∫ f ( t )dt

Vậy :

T
a +T

T

T

a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

Hay :

(đpcm)

• Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
T
2


T

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

có :

0

−

T
2

Bạn đọc tự làm :
1

π

0

−1

e) I 5 =

∫π

−

π


x. sin x
dx
9 + 4 cos 2 x

π
2

x 2 sin x
1+ 2x

2
2π

x.sin x
dx
2
1
+
cos
x
0

d) I 4 = ∫

1

x 2 + sin x
dx
1+ x2
−1


f) I 6 = ∫

dx

(

)

g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx
∗

0

)

b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx

0

c) I 3 = ∫

(

1

6
a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx

2


∗

h) I 8 =

2009π

∫

1 − cos 2 x dx

0

Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b] , thì ta có :
b

b

∫ udv = [ uv] a − ∫ vdu
a

b

a

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln x hay u = log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP


Tính các tích phân sau :

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 11


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN
π
2

1

x
a) I1 = ∫ x.e dx

VIOLET.VN/VANLONGHANAM
e

c) I 3 = ∫ ln xdx

b) I 2 = ∫ x . cos xdx

0

2

1


0

Bài làm :
u = x ⇒ du = dx

a) Đặt : 

x
x
dv = e dx ⇒ v = e
1

1

x
x
x
x
Vậy : I1 = ∫ x.e dx = x.e 0 − ∫ e dx = e − e 0 = e − ( e − 1) = 1
1

0

1

0

u = x ⇒ du = 2 xdx
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
2


b) Đặt : 

π
2

π
2

Vậy : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x − 2 ∫ x. sin xdx = π −2 ∫ x. sin xdx (1)
1

π
2
0

0

2

4

0

0

π
2

Ta đi tính tích phân ∫ x. sin xdx

0

u = x ⇒ du = dx
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x

Đặt : 

π
2

Vậy :

π
2

π
2
0

π

π

∫ x. sin xdx = − x. cos x + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1
0

0

1


x
Thế vào (1) ta được : I1 = ∫ x.e dx =
0

π 2 −8
4

1

u = ln x ⇒ du = dx
x
c) Đặt : 
dv = dx ⇒ v = x
e

e

Vậy : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1
e

1

e

e

1

Tính các tích phân sau :
π


a) I1 = ∫ e . sin xdx
x

0

π
4

b) I 2 = ∫ x2 dx
cos x
0

eπ

c) I 3 = ∫ cos( ln x ) dx
1

Bài làm :
u = e x ⇒ du = e x dx
a) Đặt : 
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
π

π

π

x
x

x
π
Vậy : I1 = ∫ e . sin xdx = − e . cos x 0 + ∫ e . cos xdx = e + 1 + J
0

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

(1)

0

Trang 12


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

u = e ⇒ du = e dx
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
x

x

Đặt : 

π

π


π

x
x
x
Vậy : J = ∫ e . cos xdx = e . sin x 0 − ∫ e . sin xdx = − I
0

0

Thế vào (1) ta được : 2 I1 = eπ + 1 ⇒

I1 =

eπ + 1
2

u = x ⇒ du = dx

b) Đặt : 
1
dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x
π
4

Vậy : I 2 = ∫
0

π
4


π
x
π
π
2
4 =
(
)
dx
=
x
.
tan
x
−
tan
xdx
=
+
ln
cos
x
+ ln
2
∫
0
cos x
4
4

2
0
π
4
0

1

u = cos( ln x ) ⇒ du = − sin ( ln x ) dx
x
c) Đặt : 
dv = dx ⇒ v = x
eπ

eπ

Vậy : I 3 = ∫ cos( ln x ) dx = x. cos( ln x ) 1 + ∫ sin ( ln x ) dx = −( eπ + 1) + J
eπ

1

1

1

u = sin ( ln x ) ⇒ du = cos( ln x ) dx
x
Đặt : 
dv = dx ⇒ v = x
eπ


eπ

Vậy : I 3 = ∫ sin ( ln x ) dx = x. sin ( ln x ) 1 − ∫ cos( ln x ) dx = 0 − I 3
1

eπ

1

Thế vào (1) ta được : 2 I 3 = −( eπ + 1) ⇒ I 3 = −

eπ + 1
2

Bạn đọc tự làm :
ln 2

a) I1 =

−x
∫ x.e dx
0

2

1 
 1
−
dx

2
ln x ln x 
e

c) I 3 = ∫ 
π
3

e) I 5 = ∫ sin x. ln( tan x ) dx
π
4

π
4

g) I ∗7 = ∫ x 2 cos 2 x
0

e

b) I 2 = ∫ (1 − ln x ) dx
2

1

(

1

)


2
d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x dx
0

e

f) I 6 = ∫ cos 2 ( ln x ) dx
1

π
2

h) I ∗7 = ∫ 1 + sin x e x dx
0

1 + cos x

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 13


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

b


Muốn tính I = ∫ f ( x ) dx ta đi xét dấu f ( x ) trên đoạn [ a, b] , khử trị tuyệt đối
a

b

Muốn tính I = ∫ max[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b]
a

b

Muốn tính I = ∫ min[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b]
a

Tính các tích phân sau :
2

4

2
b) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx

a) I1 = ∫ x − 2 dx

0

1

Bài làm :
x 1

a)
x-2

2
-

4

0

+
2

4



x2   x2
Vậy : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ ( 2 − x )dx + ∫ ( x + 2)dx = 2 x −  +  − 2 x 
2 1  2

2
1
1
2

1 
5

= ( 4 − 2 ) −  2 −   + [ ( 8 − 8) − ( 2 − 4 ) ] =

2 
2


4

2

4

b) Lập bảng xét dấu x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [ 0,2] tương tự ta được
2

1

0

0

(

2

)

(

)

I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = − ∫ x 2 + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx

1

.
1

2


x3  
x3 
I1 = 3 x − x 2 −  + − 3 x + x 2 +  = 4
3 0 
3 1


1

Tính I a = ∫ x x − a dx với a là tham số :
0

Bài làm :
x
x-a

−∞

a
0

-


+∞

+

(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu a ≤ 0 .
1

1

I a = ∫ x x − a dx = ∫
0

0

(

1

 x 3 ax 2 
1 a
x − ax dx =  −
= −

2 0 3 2
3
2

VIOLET.VN/VANLONGHANAM


)

Trang 14


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Nếu 0 < a < 1 .
1

a

(

1

)

(

)

I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx
0

2


0

a

a

1

 ax 2 x 3   ax 2 x 3 
1 a2 a3
=
−  + −
+  = −
+
3 0  2
3 a 3 2
2
 2
Nếu a ≥ 1 .
1

 x 3 ax 2 
1 a
I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  −
=− +

2 0
3 2
3
0

0
1

1

(

)

2

2

3

Tính : a) I1 = ∫ min (1, x ) dx

(

)

I 2 = ∫ max x 2 , x dx

2

0

0

Bài làm :

a) Xét hiệu số : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [ 0,2]
2

(

)

1

2

2

x3
4
2
I
=
min
1
,
x
dx
=
x
dx
+
dx
=
+ x1 =

Vậy : 1 ∫
∫
∫
3 0
3
0
0
1
2

2

b) Xét hiệu số : x( x − 1) ∀x ∈ [ 0,3] tương tự như trên ta có .
3

(

1

)

1

3

3

x2
x3
55

I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx =
+
=
2 0 3 1 6
0
0
1
2

2

Bạn đọc tự làm :
π
2

3

3π
4

a) I1 = ∫ min ( x, x − 3) dx b) I 2 = ∫ max( sin x, cos x ) dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx
2

−2

0

3

0


5

d) I 4 = ∫ max( x 2 ,4 x − 3) dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx
−2
1
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

)

(

Dạng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
2
a > 0
− ∆   2ax + b  
2
→ ax + bx + c =
 
1 + 

4a   − ∆  
∆ < 0

∫ R ( x,

)

ax 2 + bx + c dx =


∫ S (t ,

2 ax +b
t=
−∆

)

1 + t 2 dt

Tới đây , đặt t = tan u .

2
a < 0
− ∆   2ax + b  
2
→
ax
+
bx
+
c
=
1
−





Dạng 2: 
4a   − ∆  
∆ < 0

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 15


∫ R ( x,

LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

)

ax 2 + bx + c dx =

∫ S (t ,

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

)

1 − t 2 dt

2 ax + b
t=
−∆

Tới đây , đặt t = sin u .


2

a > 0
∆  2ax + b 
2
→ ax + bx + c =
 − 1

Dạng 3: 
4a  − ∆ 
∆ > 0


)

∫ R ( x,

)

∫ S (t ,

ax 2 + bx + c dx =

t 2 − 1 dt

2 ax + b
t=
∆


Dạng 4 (dạng đặc biệt) :

∫ ( αx + β )

dx

Một số cách đặt thường gặp :
2
2
đặt x = a. cos t
∫ S x, a − x dx

(
∫ S ( x,
∫ S ( x,
∫ S ( x,


∫ S  x,

a2
x2

)
+ x )dx
− a )dx
2

đặt x = a. tan t


2

đặt x =

)

ax + b 

cx + d 

Tính : I = ∫

đặt t = m

(x

dx
2

ax 2 + bx + c

=
t=

∫

1
αx + β

1

.
sin u

dt

αt 2 + µt + ζ

0≤t ≤π

π
π
2
2
π
t ≠ + kπ
2
−

 ax 2 + bx + c = xt ± c ; c > 0

2
đặt  ax + bx + c = t ( x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0

 ax 2 + bx + c = ± a .x ± t
; a>0


ax 2 + bx + c dx

m

a
cos t

Tới đây, đặt t =

+ 4x + 7

)

ax + b
cx + d

; ad − cb ≠ 0

3

Bài làm :

∫

(x

dx
2

+ 4x + 7

)

3

=

∫

t = x+2

(t

dt
2

)

+3

3

Đặt : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 ( tan 2 u + 1) du
Ta có I =

∫

(

)

3 tan 2 u + 1 du

(

)

3

=

1
3

∫ cos udu

3 3. tan u + 1
1
1 t
1
x+2
= sin u + C =
+C =
+C
2
2
3
3 t +1
3 x + 4x + 7
3 tan u

2

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

3 tan u

Trang 16


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

Tính : a) I = ∫

xdx

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

b) I = ∫

x2 + x + 1

dx
x x2 − 2x − 1

Bài làm :
xdx

∫
a)
I=

x + x +1
2

1
2

=∫

3t − 1

∫

t2 +1

2 x +1
t=
3

xdx
2

1 3

x +  +
2 4

dt =

=

1
2

3t − 1

∫

2 x +1
t=
3

t2 +1

dt

)

(

3 2
1
t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C
2
2

1
1


+ ln x + + x 2 + x + 1  + C

2
2


1
dt
b)Đặt : x = ⇒ dx = − 2
t
t
dx
dt
t +1
I =∫
=− ∫
= − arcsin
+C
2
2
x x2 − 2x −1
1
2
−
(
t
+
1
)
x=
= x2 + x + 1 −

t

1
+1
x +1
= − arcsin x
+ C = − arcsin
+C
2
2

Tìm các nguyên hàm sau
dx
1+ x + 3 1+ x

a) I = ∫

b) I = ∫

dx
x +1+ x +1

Bài làm :
a)Đặt : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx
Vậy : I = ∫

dx
t 5 dt
1



=
6
= 6 ∫ t 2 − t +1−
dt 
3
2
∫
3
t +1 
t +t
1+ x + 1+ x
t = 6 1+ x
t = 6 1+ x 

= 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C
= 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C

b) I = ∫
=

Xét

∫

1

dx
1+ x − x +1
1  −2

1
x +1

=∫
dx = ∫  x + 1dx − ∫
dx
2 
2
x
x +1+ x +1
2 x


1
1
x +1
x+ x − ∫
dx
2
2
x

x +1
dx
x

Đặt : t =

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

x +1
x

(1)
⇒

x=

1
2t
⇒ dx = −
dt
2
t −1
t 2 −1
2

(

)

Trang 17


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

Vậy :

x +1
dx = −2

x

∫

2

t dt

∫ ( t − 1)

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

= OK

2

x +1
t=
x

Tìm các nguyên hàm sau :
2
2
a) I = ∫ x . x + 9dx

2
2
b) I = 16∫ x . x + 4dx

Bài làm :

x2 + 9 = x − t

a)Đặt :

⇒

 t2 + 9   − t2 − 9 
.
.
I1 = ∫ 
2 
 2t   2t


Vậy :

=−

(

)

(

)

1  3 162 6561 
1  t4
6561 
 − 162 ln t − 4  + C

t
−
+
dt
=
−


5
∫
16 
t
t 
16  4
4t 

(

1  x − x2 + 9
=− 
16 
4

x2 + 4 = x − t

b)Đặt :

t2 − 9
t2 + 9
⇒ dx =

dt
2t
2t 2
2
2
t2 − 9
1 t 4 − 81
dt = − ∫
dt
4t 2
16
t5

x=

)

4

− 162 ln x − x 2 + 9 −

⇒

x=

(

t2 − 4
2t

t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4
.
.
I = 16 ∫ 
2 
2
 2t   2t
 4t

)


+C
4 
2
4 x− x +9 

⇒ dx =

2

dt = − ∫

(t

4

6561

(

)

t2 + 4
dt
2t 2

)

2

− 16
dt
t5

t4
36 256 
64 

= −∫  t 3 −
+ 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C
t
t 
t 

4

(

 x − x2 + 4

= −

4


)

4

+ 36 ln x − x 2 + 4 −

(


+C
4 
x − x2 + 4 
64

)

Tính các tích phân sau :
1

a)

−8

I1 = ∫ x − x 2 dx

dx
dx
−3 x 1 − x

b) I 2 = ∫

1
2

Bài làm :
1

I1 = ∫
1
2

1

1
2
x − x dx = ∫ 1 − ( 2 x − 1) dx
21
2

2

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 18

LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

1
2

Đặt : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt
1

 x = 2 → t = 0
Đổi cận : 
x = 1 → t = π

2
π
2

π
2

π

2
Vậy : I1 = 1 ∫ cos 2 tdt = 1 ∫ (1 + cos 2t ) dt = 1 1 + 1 sin 2t 
40
80
8 2
0

 π
1  π

=  − 0  − ( 0 + 0)  =
8  2

 16

b) Đặt : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx
 x = −3 → t = 2
 x = −8 → t = 3

Đổi cận : 
−8

3

3

dx
tdt
dt
dx = 2 ∫
= 2∫
Vậy : I 2 = ∫
2
1− t t
1− t 2
−3 x 1 − x

2
2

(

)

3

t −1
 1

= − ln
= − ln − ln 1 = ln 2
t +1 2
 2


Bạn đọc tự làm :
a) I1 = ∫

dx
x x2 + 1

d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx

c) I 3 = ∫

b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx
d) I ∗5 = ∫

1 + x2 −1
1− x −1
2

dx

∗
d) I 6 =

(x

dx
2

+4

)

3

1
1 + x2 + 1

dx

Bất đẳng thức tích phân :
b

Nếu f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ 0

a

b

b

Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx
a

a

b

Nếu m ≤ f ( x ) ≤ ∀x ∈[ a, b] ⇒ m( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a )
a

Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 19


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1

2

1
4

a) ∫ x(1 − x ) dx ≤
0

2
x
1
b) ≤ ∫ 2 dx ≤
5 1 x +1
2

c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2
1

0

Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :

1
 x + (1 − x ) 
x (1 − x ) ≤ 
=
∀x ∈ [ 0,1]


2
4


1
1
1
1
(
)
x
1
−
x
dx
≤
dx =
Vậy : ∫
(đpcm)
∫
40
4
0
2

b) Xét hàm số : f ( x ) =
Đạo hàm :

x
∀x ∈ [1,2]

x +1
2

1 − x2

f ′( x ) =

(x

2

)

+1

2

x = 1
f ′( x ) = 0 ⇔ 
 x = −1
1

 f (1) = 2
Ta có : 
 f ( 2) = 2

5
2
x
1

≤ 2
≤
∀x ∈ [1,2]
5 x +1 2
2
2
2
2
x
1
⇒
dx
≤
dx
≤
∫1 x 2 + 1 2 ∫1 dx
Vậy : 5 ∫
1
2

2
x
1
⇒ ≤∫ 2
dx ≤
5 1 x +1
2

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [ 0,1]

∫(
1

Vậy :

)

1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 )

0

∫(

)

1

1 + x + 1 − x dx ≤ 2 (đpcm)

0

e − x . sin x
π
∫1 x 2 + 1 dx < 12e
3

Chứng minh rằng :

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 20


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

Bài làm :

[

∀x ∈ 1, 3

⇒

]

⇒ − x ≤ −1 ⇒ e − x ≤

e − x . sin x
1
<
2
2
x +1
e x +1

(

3

Xét

∫ e( x

1
2

1

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

1
e

e − x .sin x
⇒ ∫ 2
dx <
x +1
1
3

)

3

∫ e( x
1

1

2

) dx

+1

) dx

+1

Đặt : x = tan t ⇒ dx = ( tan 2 t + 1) dt
π

 x = 1 → t = 4
Đổi cận : 
x = 3 → t = π

3
π
3

Do đó :

( tan

2

)

π

3

t + 1 dt
dt π
=∫ =
2
t + 1 π e 12

∫
π e( tan

)

4

4

Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
π
2

a) π ≤ ∫
16

dx
π
≤
2

5 + 3 cos x 10
0

π
3

b)

*

d ) Cho 2 hàm số liên tục :

3
sin x
1
<∫
dx <
4 π x
2
6

π
6

π
3

c) ≤ ∫
π
6

dx
4 − x 2 − x3

≤

π 2
8

f : [ 0,1] → [ 0,1] ; g : [ 0,1] → [ 0,1]
2

1
1
1

Chứng minh rằng :  ∫ f ( x ).g ( x ) dx  ≤ ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx
0
0
0


Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số f ( x ) & f ( x ) liên tục trên đoạn [ a, b] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :
x = a
x = b
; 


 y = f ( x)
 y = g ( x)

Được tính như sau :
b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

2)Tính thể tích :
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 21


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

• Nếu diện tích S ( x ) của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là
hàm số liên tục trên đoạn [ a, b] thì thể tích vật thể được tính :
b

V = ∫ f ( x )dx
a

• Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b] và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x = a , x = b

 y = f ( x)

Ox


Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
b

V = π ∫ [ f ( x ) ] dx
2

a

Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
 xi −1 ≤ ξ i ≤ x
lim ∑ f ( ξ i ).∆xi = ∫ f ( x )dx trong đó 
n →∞
i =1
a
∆ x = xi − xi −1
b

n

Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
n

Viết dãy số thành dạng : S n = ∑
i =1

ξ i = xi =

1 i
f   sau đó lập phân hoạch đều trên [ 0,1] , chọn
n n

1

1 i
i
f   = ∫ f ( x ) dx
ta có lim
∑
n→∞
n
n 0
i =1 n
n

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh y = f ( x ) thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :
b

l = ∫ 1 + ( y ′) dx với a, b là hoành độ các điểm đầu cung .
2

a

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối

cùng là tính tích phân .

Hình1a
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

hình1b
Trang 22


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

hình1c

hình1d
BÀI TẬP

Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng :
x2 + y2 = R2 ⇔ y = ± R2 − x2
R

2
2
Do tính đối xứng của đồ thị nên : S = 4∫ R − x dx
0

Đặt : x = R sin t

⇒ dx = R cos tdt
x = 0 → t = 0 x = 0 → t = 0


Đổi cận : 
π 
π
 x = R → t = 2  x = R → t = 2
π
2

Vậy :

π
2

S = 4 ∫ R 2 − sin 2 t R cos tdt = 2 R 2 ∫ (1 + cos 2t ) dt
0

0

π
2

1


= 2 R 2  x + sin 2t  = πR 2
2


0

( dvdt )

Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol y = x 2 , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
y = k ( x − 1) + 4

Phương trình hoành độ giao điểm .
x 2 = k ( x − 1) + 4 ⇔

x 2 − kx + k − 4 = 0

Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử x1 < x2
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 23


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Vậy diện tích là :
S=

x2

∫[
x1

x2

]

 x3 k

k ( x − 1) + 4 − x dx = − + x 2 + ( 4 − k ) x 
 3 2
 x1
2

(

)

1
 1 2

= ( x2 − x1 ) − x2 + x1 x2 + x12 + k ( x2 + x1 ) + ( 4 − k ) 
2
 3

 x2 + x1 = k

Với :  x2 .x1 = k − 4


2
( x2 − x1 ) 2 = x 2 2 + x 21 − 4 x2 .x1 = k 2 − 4( k − 4 )
Thế vào ( *) ta được :
1
 1

S = k 2 − 4k + 16 − k 2 − 4k + 4 + k 2 + ( 4 − k ) 
2
 3

1 2
=
k − 4k + 16 k 2 − 4k + 16
6
3
3
1
1
( k − 2) 2 + 12 ≥ 4 3
=
k 2 − 4k + 16 =
6
6
Vậy : min S = 4 3 khi k = 2

(

)

(

)

(

(

( *)

)

)

[

]

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
ax = y 2

ay = x 2

Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét a > 0
ax = y 2
( x − y )( x + y + a ) = 0


2
2

Xét : ay = x ⇔ ay = x
a > 0
a > 0


Với x = y ta được :
x = y
x = a

2
ay = x ⇔ 
x = 0
a > 0


( n)
(l)

Với x + y + a = 0 ta được :
 x 2 + ax + a 2 = 0
x + y + a = 0

x = a

2
⇔ ay = x 2
⇔
ay = x
x = 0
a > 0

a > 0



( n)
(l)

Ta lại có :

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

Trang 24


LẠI VĂN LONG- THPT LÊ HOÀN

VIOLET.VN/VANLONGHANAM

 y = ± ax
ax = y 2


x2

2
ay = x ⇔  y =
a
a > 0



a > 0


Vậy diện tích cần tính là :
1
a
a


x2 
x2 
S = ∫  ax − dx = ∫  a x 2 − dx
a
a
0
0
a

3
3
x3 
1
=  ax 2 −  = a2
3a 
3
2
0

( dvtt )

Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
x − y 3 + 1 = 0

a)  x + y − 1 = 0
x = 2


 y = x2

b)  y = 4 x
y = 4


x = y

c)  x + y − 2 =0
y = 0


 x2 y2
=1
 +
d)  a 2 b 2
a , b ≠ 0


Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a

hình c
VIOLET.VN/VANLONGHANAM

hình b

hình d
Trang 25