Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

TÍNH GIÁN TI P TH TÍCH KH I A DI N
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Tính gián ti p th tích kh i đa di n thu c khóa h c:
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, AB  a , AD  a 3, SA  2a và SA
vuông góc v i m t đáy ABCD . M t m t ph ng đi qua A và vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l
t i H , I , K . Tính th tích c a kh i chóp đ

t

c t o b i 5 đi m S, A, H , K, I theo a .
Gi i:

+) Ta có AC  AB2  BC 2  a 2  3a 2  2a  SA

S

Suy ra tam giác SAC vuông cân t i A  SI  IC 

SI 1

SC 2

 BC  AB
+) Ta có 
 BC  ( SAB)  BC  AH
 BC  SA
Mà SC  AH  AH  (SBC )  AH  SB , khi đó :

I

SH SA2
SA2
4a 2
4
 2 2
 2

SH .SB  SA 
2
2
SB SB
SA  AB
4a  a
5
T ng t ta có AK  SD , khi đó:

H

2

SK.SD  SA2 


4a 2
4
SK SA2
SA2




2
2
2
2
2
4a  3a
7
SD SD
SA  AD

K

D

A

B

C

V

2
2 1
 VS. AHI SH SI 4 1 2

 .   VS. AHI  VS. ABC  . VS. ABCD  S. ABCD
.
V
5
5 2
5
 S. ABC SB SC 5 2 5
+) Khi đó 
V
2
2 1
 VS. AKI  SK . SI  4 . 1  2  V
VS. ADC  . VS. ABCD  S. ABCD
S . AKI 
VS. ADC SD SC 7 2 7
7
7 2
7
V
V
12
Suy ra: VS. AHKI  VS. AHI  VS. AKI  S. ABCD  S. ABCD  VS. ABCD (*)
5
7
35
a3 3

1
1
1
Ta có VS. AHKI  SAS
(2*).
. ABCD  SA. AB. AD 
3
3
2
3

Thay (2*) vào (*) ta đ

c: VS. AHKI

4a 3 3
.

35

CHÚ Ý :




bài toán này ta có th ti p c n theo ph

ng pháp tr c ti p.

Trong quá trình d y h c c a mình, đã có h c sinh v hình và gi i bài này nh sau


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

+) Ta có AC  AB2  BC 2  a 2  3a 2  2a  SA

S

Suy ra tam giác SAC vuông cân t i A  SI  IC 

SI 1

SC 2

 BC  AB
+) Ta có 
 BC  ( SAB)  BC  AH
 BC  SA
Mà SC  AH  AH  (SBC )  AH  SB , khi đó :


K
H

SH SA2
SA2
4a 2
4
 2 2


SH .SB  SA2 
2
2
2
SB SB
SA  AB
4a  a
5
T ng t ta có AK  SD , khi đó:
SK.SD  SA2 
+) Ta có

VS. AHK
VS. ABD

I
A

D


4a 2
4
SK SA2
SA2




B
2
2
2
2
2
4a  3a
7
SD SD
SA  AD
SH SK 4 4 16
16
16 1
8

 . 
 VS. AHK  VS. ABD  . VS. ABCD  VS. ABCD (1)
.
SB SD 5 7 35
35
35 2

35

VS. AIK
2
2 1
1
SI SK 1 4 2
.

 .   VS. AIK  VS. ACD  . VS. ABCD  VS. ABCD
7
7 2
7
VS. ACD SC SD 2 7 7

T (1) và (2), suy ra: VS. AHKI  VS. AHK  VS. AIK 

C

(2)

8
1
13
VS. ABCD  VS. ABCD  VS. ABCD (*)
35
7
35

a3 3

1
1
1
(2*). Thay (2*) vào (*) ta đ
Ta có VS. AHKI  SAS
. ABCD  SA. AB. AD 
3
3
2
3

c: VS. AHKI 

13a 3 3
105

L i gi i này là chính xác ng v i hình v trên, song ta đã làm trên m t hình v không chính xác . B i
trong bài toán này, 3 đ ng AI , HK, SO ph i đ ng quy ( O là giao đi m c a AC và BD ), trong khi đó
hình v trên không đ m b o đ c đi u này. Do đó ta đã đi đ n đáp s sai cho bài toán. Vì v y trong nhi u
bài vi c v hình đúng m i giúp chúng ta đi đ n đ c đáp s đúng.
Bài 2. Cho hình chóp đ u S. ABCD có c nh đáy b ng a . M t bên t o v i đáy góc 600 . M t ph ng ( P )
ch a AB và t o v i đáy góc 300 và c t SC, SD l n l

t t i M và N . Tính th tích c a kh i chóp

S. ABCD theo a
Gi i:
G i AC  BD  O  SO  ( ABCD)
(vì S. ABCD là chóp đ u).
G i I , J l n l t là hình chi u vuông góc c a O trên


DC, AB và g i SO  ( P )  E
Suy ra góc t o b i (SDC ) và ( ABCD) là SOI  600 ;
góc t o b i ( P ) và ( ABCD) là EJO  300
Khi đó tam giác SIJ đ u .
1
Mà EJO  300  SJI  JE là phân giác c a góc SJI
2
 F là trung đi m c a SI (1) (v i JE  SI  F  ) . M t khác BC // AD  BC // ( P )  BC // MN (2)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

ng trung bình trong tam giác SBC 

T (1) và (2) suy ra MN là đ

Hình h c không gian

SM SN 1



SC SD 2

1
1
VS. ABM SM 1
V
V
VS. ABCD





S
.
ABM
S
.
ABC
V
SC 2
2
4
 S. ABC
Khi đó ta có 
1
1
VS. AMN  SM . SN  1 . 1  1  V
VS. ACD  VS. ABCD

S . AMN 
 VS. ACD SC SD 2 2 4
4
8

1
1
3
 VS. ABMN  VS. ABM  VS. AMN  VS. ABCD  VS. ABCD  VS. ABCD (*)
4
8
8
a 3
1
1 a 3 2 a3 3
Tam giác SIJ đ u c nh a ( vì IJ  BC  a )  SO 
 VS. ABCD  SO.SABCD  .
.a 
3
3 2
6
2
(2*)

Thay (2*) vào (*) ta đ

3 a3 3 a3 3
c:  VS. ABMN  .
.


8 6
16

Bài 3. Cho hình h p ch nh t ABCD. A' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông c nh a , chi u cao AA'  b . G i
M là trung đi m c a CC ' . Tính th tích kh i t di n BDA' M theo a , b .
Gi i:

D'

C'

B'

A'

M
E

C

D
O
A

B

Trong m t ph ng ( AA' C ' C ) g i A' M
Ta có MC 

A' A

, suy ra MC là đ
2

Khi đó: CE  AC  a 2  OE 

AC  E . G i AC

ng trung bình trong tam giác A' AE

3a 2
.
2

M t khác ABCD là hình vuông nên OE  BD  SBDE 
Ta có VA' BMD  VA' BDE  VMBDE
V y VA' BMD 

BD  O .

1
1
3a 2 3a 2

BD.OE  a 2.
2
2
2
2

1

1
1
1
b  3a 2 a 2b
 AA'.SBDE  MC '.SBDE  ( AA' MC ').SBDE   b   .

.
3
3
3
3
2 2
4

a 2b
.
4

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)


Hình h c không gian

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , c nh b ng a và BAD  600 . C nh SC
vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) và SC 

a 6
. G i K là hình chi u vuông góc c a O lên SA. Tính
2

th tích kh i đa di n SCBDK theo a .
Gi i:
Do ABCD là hình thoi tâm c nh a và BAD  600
a 3
a2 3
 BAD đ u c nh a  OA 
và SBAD 
2
4

 SABCD  2SBAD 

S

1
a3 2
a2 3
, khi đó: VS. ABCD  SC.SABCD 
.
2
3

4

K

 BD  AC
Do 
 BD  ( SAC )  BD  SA
 BD  SC
Mà OK  SA nên SA  ( BKD) hay AK  ( BKD)

A

B

M t khác SCA ~ OKA (g.g)
SC SA AC
OASC
.
OASC
.
a



 OK 


OK OA AK
SA
SC 2  AC 2 2


O
C

D

OK. AC a 2
(vì AC  2OA  a 3 )

SC
2
 BD  ( SAC )
1
a2
1
a3 2
 OK  BD  SBDK  OK.BD  . Suy ra VABKD  AK.SBKD 
L i có 
2
4
3
24
OK  ( SAC )

và AK 

Khi đó VSCBKD  VS. ABCD  VABKD

a 3 2 a 3 2 5a 3 2
.




4
24
24

Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a , SA  SB  a , SD  a 2 và m t
ph ng ( SBD) vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) . Tính theo a th tích kh i chóp S. ABCD .
Gi i:

G i AC

S

( SBD)  ( ABCD)

BD  O , khi đó: ( SBD) ( ABCD)  BD  AO  ( SBD) (1)
 AO  BD


Ta có AS  AB  AD  a (2)
T (1) và (2), suy ra AO là tr c c a tam giác SBD
Suy ra OB  OD  OS  SBD vuông t i S

D

Khi đó BD  SB2  SD2  a 3

 AO  AB2  OB2  AB2 

Ta có VS. ABD  VA.SBD 

O
2

2

BD
3a
a
 a2 
 .
4
4
2

A

B

a3 2
1
1
1 a
.
AO.SSBD  AO.SB.SD  . .a.a 2 
3
6
6 2
12


Suy ra VS. ABCD  2VS. ABD 
Hocmai.vn – Ngôi tr

C

a3 2
.
6

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Chú ý:

bài toán này ta v n có th tính theo cách tr c ti p b ng cách d ng H là hình chi u vuông góc
SB.SD
c a S trên BD , khi đó SH  ( ABCD) và tính SH 
.
BD
Bài 6. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình ch nh t, AB  a , AD  a 2 SA  a và SA vuông góc v i

m t ph ng ( ABCD) . G i M và N l n l t là trung đi m c a AD và SC ; I là giao đi m c a BM và

AC . Tính th tích kh i t di n ANIM .

G i AC

Gi i:
BD  {H } . Ta có I là tr ng tâm tam giác ABD , suy ra:

AI 1
2
2 1
1
AH  . AC  AC 

AC 3
3
3 2
3
V
AI AM 1 1 1
Khi đó: A. NIM 
 .  (1)
.
VA. NCD AC AD 3 2 6
AI 

M t khác:

VA. NCD VC . ADN CN 1

(2)



VS. ACD VC . ADS CS 2

T (1) và (2), suy ra:
VA. NIM VA. NIM VA. NCD 1 1 1
1
.

 .   VA. NIM  VS. ACD (*)
12
VS. ACD VA. NCD VS. ACD 6 2 12
Ta có SACD 

a2 2
1
1
1
1 a2 2 a3 2
(2*)
AD.DC  .a 2.a 
 VS. ACD  SAS

. ACD  a .
2
2
2
3

3
2
6

a3 2
72
Nh n xét: Ngoài cách gi i trên các b n có th làm theo cách tính tr c ti p b ng cách xác đ nh chi u cao
1
1
NH c a hình chóp ANIM v i H là trung đi m c a AC và di n tích đáy SAIM  SABD  SABCD .
6
12

Thay (*) vào (2*) ta đ

c: VA. NIM 

2a
. Hình chi u c a
3
A' trên đáy ABCD trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC . L y đi m I trên đo n B ' D và đi m J là
tr ng tâm tam giác ABD sao cho IJ song song v i BC ' . Tính theo a th tích kh i t di n IBB ' C ' .
Gi i:

Bài 7. Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi c nh a , AC  a và AA' 

A'

D'


B'

C'
I
A

D
J

E

Hocmai.vn – Ngôi tr

G
B

ng chung c a h c trò Vi t

M

C

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)


Hình h c không gian

G i M là trung đi m c a BC .
Do ABC là tam giác đ u c nh a nên

4a 2 a 2
2
2 a 3
a
2
2
 A' G  AA'  AG 

a
AG  AM  .

3
3
3
3 2
3
a2 3
a3 3
.
.a 
4
2
Kéo dài DJ (đi qua trung đi m c a AB ) c t BC t i E , suy ra suy ra B là trung đi m c a EC
Khi đó B ' C ' BE là hình bình hành, suy ra IJ // BC ' // EB ' hay IJ // EB '
V

V
B' I
EJ CJ 2
B' I 2
Theo đ nh lí Ta – lét ta có:


  IBB'C '  B'.IBC ' 

B ' D ED CA 3 VDBB'C ' VB'.DBC ' B ' D 3

Khi đó VABCD. A' B'C ' D '  A' G.SABCD  2SABC . A' G  2.

2
2 1
a3 3
Suy ra VIBB'C '  VDBB'C '  . .VABCD. A' B'C ' D ' 
.
18
3
3 6

Bài 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB  a , AD  b và BAD  600 . C nh

SA  4a và SA  ( ABCD) . Trên SA l y đi m M sao cho AM  x ( 0  x  4a ). M t ph ng ( MBC ) c t
c nh SD t i N . Tìm x đ m t ph ng ( MBC ) chia kh i chóp S. ABCD thành hai ph n sao cho th tích
kh i SBCNM b ng

5
th tích c a kh i BCNMAD .

4
Gi i:

S

N

M

D

A

B

C

Ta có (MBC ) (SAD)  MN (do AD // BC )

đó N  SD

1
1
2
2 3a 2b
Ta có VS. ABCD  SAS
;
. ABCD  SA.2SABD  SA. AB. AD sin 600 
3
3

3
3
1
3a 2b
VS. ABC  VS. ACD  VS. ABCD 
2
3

M t khác

VS.MBC SM 4a  x
4a  x
3ab(4a  x)


 VS.MBC 
VS. ABC 
VS. ABC
SA
4a
4a
12

VS.MNC SM SN  SM   4a  x 
3b(4a  x) 2
 4a  x 
V
V







.
S .MNC
 


 S. ADC
VS. ADC
SA SD  SA   4a 
48
 4a 
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

2

2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Khi đó VS.BCNM  VSMBC  VSMNC 

Hình h c không gian

3ab(4a  x)
3b(4a  x) 2
3b(4a  x)(8a  x)


12
48
48

Suy ra VBCNMAD  VS. ABCD  VS.BCNM 

3b(4a  x)(8a  x) 2 3a 2b
3bx(12a  x)


48
3
48

5
3b(4a  x)(8a  x) 5 3bx(12a  x)
Theo gi thi t VS.BCNM  VBCNMAD 
 .
4

48
4
48
4a
32a
ho c x 
 9 x2  108ax  128a 2  0  x 
 4a (lo i)
3
3
4a
V y x
là giá tr c n tìm.
3

Giáo viên
Ngu n

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn


: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch


ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng

th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-