Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

TÍNH TR C TI P TH TÍCH KH I A DI N
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Tính tr c ti p th tích kh i đa di n thu c khóa h c:
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a . G i đi m I thu c c nh AB sao cho IA = 2IB
và hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a CI. Góc gi a đ ng th ng SC và
m t ph ng (ABC) b ng 600 . Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC .
Gi i:
G i H là trung đi m c a CI  SH  ( ABC ) . Suy ra góc t o b i SC và m t ph ng ( ABC ) là
SCH  600

Ta có BI 

1
a
AB  . Xét tam giác BCI :
3
3

CI 2  BC 2  BI 2  2BC.BI .cos CBI
2

a
7a 2
a
 a 2     2.a . .cos 600 
3
9
3
 CI 

a 7
CI a 7
 CH 

3
2
6

Xét tam giác SHC ta có: SH  CH .tan SCH 

Do ABC là tam giác đ u c nh a nên SABC 

a 7
a 21
.tan 600 
6
6

1
1 a 21 a 2 3 a 3 7
a2 3

. V y VS. ABC  SH .SABC  .

.
3
3 6
4
24
4

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình ch nh t ABCD , có AD  2 AB ; SC  2a 5 và SA vuông
góc v i đáy. Bi t góc t o b i đ

ng th ng SC và m t ph ng ( ABCD) b ng 600 . Tính th tích c a kh i

chóp S. ABCD theo a .

S

Gi i:
Ta có SA  ( ABCD) , suy ra góc t o b i SC và m t đáy ( ABCD) là góc SCA 600 .
A

 SA  SC sin SCA  2a 5.sin 600  a 15
Khi đó 
0
 AC  SC cos SCA  2a 5.cos 60  a 5
B

D


C

Xét tam giác ABC , ta có: AB2  BC 2  AC 2  AB2  4 AB2  5a 2  AB2  a 2  AB  a  AD  2a
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

1
1
2a 3 15
Suy ra SABCD  AB. AD  a.2a  2a 2 . Khi đó VSABCD  SAS
.
. ABCD  .a 15.2a 2 
3
3
3

Bài 3. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy là tam giác đ u c nh a . i m A' cách đ u ba đi m A, B, C .
Góc gi a AA' và m t ph ng ( ABC ) b ng 600 . Tính theo a th tích kh i l ng tr ABC. A' B ' C ' .
Gi i:


A'

C'

B'
600

A

C

a

H
B

G i H là tr ng tâm tam giác ABC và M là trung đi m c a BC , khi đó A'. ABC là hình chóp đ u
Suy ra A' H  ( ABC ) , suy ra góc t o b i AA' và m t ph ng ( ABC ) là góc A' AH  600
Tam giác ABC đ u c nh a nên SABC

a2 3
a 3
2
a 3
và AM 
 AH  AM 

2
3

3
4

a2 3 a3 3
a 3
0
.

.tan 60  a . Khi đó VABC . A' B'C '  A' H .SABC  a .
 A' H  AH tan A' AH 
4
4
3

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, c nh SA vuông góc v i m t ph ng
( ABCD) , AB  a , AD  a 3 . G i M là trung đi m c a BC và góc t o b i SM và m t đáy b ng 300 .

Tính theo a th tích c a kh i chóp S. ABCD .
Gi i:
S

a 3

A

D

a
B


M

C

Ta có SABCD  AB. AD  a 2 3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Do SA  ( ABCD) nên góc t o b i SM và m t ph ng ( ABCD) là SMA 300 .
Ta có AC  AB2  AD 2  2a  AM 2 
Suy ra SA  AM .tan SMA 
V y VS. ABCD

AB2  AC 2 BC 2 a 2  4a 2 3a 2 7a 2
a 7





 AM 
2
4
2
4
4
2

a 7
a 21
.tan 600 
2
2

a3 7
1
1 a 21 2
.
 SAS
. ABCD  .
.a 3 
3
3 2
2

Bài 5. Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có A' ABD là hình chóp đ u, AB  AA'  a . Tính theo a th tích
kh i h p ABCD.A' B ' C ' D ' .
Gi i:

B'


C'

A'

D'

a

a
A

C

B
O

H

D

G i H là tr ng tâm tam giác ABD
Do A' ABD là hình chóp đ u, nên A' H  ( ABD) hay A' H  ( ABCD)
Tam giác ABD đ u c nh a nên AO 
Khi đó A' H  A' A2  AH 2  a 2 

2
2 a 3 a 3
a 3
 AH  AO  .


2
3
3 2
3

3a 2 a 6
a2 3 a2 3

và SABCD  2SABD  2.

9
3
4
2

a 6 a2 3 a3 2
.
.

3
2
2
Bài 6. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, g i M là trung đi m c a AB . Tam giác SAB cân

Suy ra VABCD. A' B'C ' D '  A' H .SABCD 

t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy ( ABCD) , bi t SD  2a 5 , SC t o v i đáy ( ABCD)
m t góc 600 . Tính theo a th tích kh i chóp S. ABCD .
Gi i:


S

Theo gi thi t SM  ( ABCD) , do đó góc t o b i SC

2a 5

và m t ph ng ( ABCD) là SCM  600 .

A

Ta có ABCD là hình vuông nên MC  MD ,
khi đó xét tam giác SMC và SMD ta có:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

M
B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

D
600
C

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

SM  MC tan 600  SC 2  MD2  3MC 2  SC 2  MC 2  MC 

Hình h c không gian

SC
a 5
2

 SM  MC tan 600  a 15
2

 BC 
2
2
2
Xét tam giác MCB , ta có: BM 2  BC 2  MC 2  
  BC  5a  BC  2a  SABCD  4a
 2 

V y VS. ABCD

1
1
4 a 3 15
2
.
 SM .SABCD  a 15.4a 
3

3
3

Bài 7. Cho hình l ng tr tam giác ABC. A' B ' C ' có đáy là tam giác đ u c nh a , c nh bên t o v i đáy m t
góc 600 . G i M là trung đi m c a BC và I là trung đi m c a AM . Bi t r ng hình chi u c a đi m I lên
m t đáy ( A' B ' C ') là tr ng tâm G c a tam giác A' B ' C ' . Tính theo a th tích c a kh i l ng tr

ABC. A' B ' C ' .
Gi i:
A

C

I
M
B

A'

H

C'
G

M'
B'

G i M ' là trung đi m c a B ' C ' .
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên A' M '  AH / / IG  AH  ( A' B ' C ') (do IG  ( A' B ' C ') )
Suy ra góc t o b i AA' và m t ph ng ( A' B ' C ') là góc AA' H  600

Ta có AIGH là hình ch nh t , suy ra :
AM A' M '
A' M '
A' M ' A' M '
A' M '
HG  AI 

 A' H  GM ' 
 A' H 

 A' H 
2
2
2
3
2
6
2

a 3
 SA' B'C ' 

4
Do A' B ' C ' là tam giác đ u c nh a , nên 
 A' M '  a 3  A' H  a 3

2
12
Xét tam giác AA' H , ta có AH  A' H .tan AA' H 


a 3
a
.tan 600 
12
4

a a2 3 a3 3
.
Khi đó VABC . A' B'C '  AH .SA' B'C '  .

4 4
16

Bài 8. Cho hình chóp S. ABCD có SA  SB  SC  a 2 và đáy ABC là tam giác cân. Bi t BAC  1200
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

và BC  2a . Tính theo a th tích kh i chóp S. ABC .
Gi i:


S

A

B
M
H

C
G i H là tâm đ

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC , suy ra SH  ( ABC ) (do SA  SB  SC )

Do BAC  1200 nên ABC là tam giác cân t i A , suy ra ABC  300 .
G i M là trung đi m c a BC  BM  a  AM  BM tan 300 
Suy ra SABC 

a 3
3

AM .BC a 3.2a a 2 3


2
3.2
3

Áp d ng đ nh lý sin trong tam giác ABC ta có: 2 HA  2 R 
Suy ra SH  SA2  HA2  2a 2 


BC
sin BAC



2a
4a
2a

 HA 
0
sin120
3
3

4a 2 a 6

3
3

1
1 a 6 a2 3 a3 2
Khi đó VS. ABC  SH .SABC  .
.

.
3
3 3
3

9

Bài 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O ; AC  2a 3 , BD  2a . Hai m t ph ng ( SAC )
và ( SBD) cùng vuông góc v i m t đáy ABCD . Bi t kho ng cách t tâm O đ n ( SAB) b ng

a 3
. Tính
4

th tích
c a kh i chóp S. ABCD theo a .
Gi i:
( SAC )  ( ABCD)



+) G i AC  BD  O . Ta có: ( SBD)  ( ABCD)   SO  ( ABCD)
( SAC )  ( SBD)  SO 
+) G i I là hình chi u vuông góc c a O trên AB và H là hình chi u vuông góc c a O trên SI , khi đó:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

AB  OI và AB  SO  AB  (SOI )  AB  OH
M t khác : OH  SI  OH  (SAB)  d (O, ( SAB))  OH 

a 3
4

Vì ABCD là hình thoi nên :
OA 

BD
AC
a
 a 3 và OB 
2
2

Xét tam giác vuông AOB :

OI 

OAOB
OAOB
a 3.a
a 3
.
.




AB
2
OA2  OB2
(a 3)2  a 2

1
1
1
16
4
4
a

 2  2  2  2  SO 
2
2
3a
3a
2
SO
OH
OI
a
1
1
ABCD là hình thoi nên : SABCD  AC.BD  .2a 3.2a  2 3a 2
2

2

Xét tam giác vuông SOI :

1
1 a
a3 3
.
 VS. ABCD  SO.SABCD  . .2 3a 2 
3
3 2
3

Bài 10. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đ u n i ti p đ ng tròn tâm O . Hình chi u
vuông góc c a A' trên mp ( ABC ) là O . Kho ng cách gi a AA' và BC là a và góc gi a hai m t ph ng
( ABB ' A') và ( ACC ' A') là  . Tính th tích c a kh i l ng tr

ABC. A' B ' C ' theo a .

Gi i:
+) G i I là hình chi u c a A trên BC
và H là hình chi u c a I trên AA' .
Khi đó ta có: CB  ( AIA')
( vì CB  AI và CI  A' O )
 CB  IH mà IH  AA'
 d ( AA', BC )  IH  a

 AA'  CB
 AA'  CH
 AA'  (CBH )  

(1) . M t khác ( ABB ' A')  ( ACC ' A')  AA' (2)
+) Ta có 
 AA'  IH
 AA'  BH
T (1) và (2) suy ra góc t o b i ( ABB ' A') và ( ACC ' A') là CHB   .
+) Trong tam giác HBC có HI v a là đ ng cao, v a là trung tuy n nên HBC cân t i H . Khi đó


. V y tam giác ABC đ u có m t c nh CB  2 IB  2a tan
IB  IH .tan IHB  a tan
2
2
2




 2a tan  3

2
 SABC  
 3a 2 tan 2

4
2




2a tan . 3

2 3a tan

AI
2

2
2
 3a tan  AO 

 AI 
2
2
3
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

t A' O  x . Khi đó xét A' AI ta có :


2SA' AI

A' O. AI
 A' O. AI  IH . AA'  AA' 

IH

x 3a tan
a



2  x 3 tan 
2

4

M t khác: AA'2  A' O2  AO2  3x2 tan
 x2  a 2 tan 2  A' O  x 
2
3
2

2 3a tan

2 

 VABC . A' B'C '  A' O.SABC 


2 3a tan



2a 3 tan 3

1



a2 3
a 3
và h 

4
2

c phép s d ng luôn k t qu này trong các bài thi).

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

2

2

2 . 3a 2 tan
2


2


3 3 tan 2  1
3 tan 2  1
2
2

Chú ý: Tam giác ABC đ u c nh a : SABC
(các b n đ

2 

3 3 tan

2 



ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -



Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH


NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.


-