- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Chương 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (943.82 KB, 14 trang )
CHƯƠNG 7. ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA
Bài 1. Cho 𝑈 = {(𝑢, 𝑣)|𝑣 > 1} và giả sử 𝜎: 𝑈 → 𝑅 3 là mặt tham số hóa
chính quy với 𝐸 = 𝐺 = 𝑣 −2 và 𝐹 = 0
a. Xác định độ cong Gauss
K , như là một hàm theo
(𝑢, 𝑣).
b. Tính các ký hiệu Christoffel của 𝜎
c. Kiểm chứng rằng đường cong 𝜎 ∘ 𝜇 trong đó
𝜇 (𝑠) = (𝑎, 𝑒 𝑠 ) hay 𝜇 (𝑠) = (𝑎 + 𝑟𝑡𝑎𝑛ℎ𝑠,
𝑟
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑠
)
có tốc độ đơn vị, và chứng minh rằng nó là một đường trắc địa. Ở đây 𝑎 𝜖 ℝ
và 𝑟 > 0 là các hằng số, và 𝑠được giả thiết là nằm trong một khoảng với
𝜇 (𝑠 ) ∈ 𝑈
Hãy phát thảo đường cong 𝜇 trong mặt phẳng tọa độ (𝑢, 𝑣) với
𝑎 = 𝑟 = 1.
1
Hướn dẫn: Sử dụng công thức:tanh2 𝑠 + (𝑐𝑜𝑠ℎ𝑠)2 = 1.
d. Giả sử thêm rằng mặt đã cho có các hệ số của dạng cơ bản thứ hai 𝑀 = 0
1
và 𝑁 = 𝑣 −2 (𝑣 2 − 1)2 . Xác định 𝐿 và các độ cong chính 𝑘1 , 𝑘2.
Giải
a) Tính độ cong Gauss
Công thức (11) trang 112
1|Page
𝐾=−
2√𝐸𝐺
=−
′
𝐺 ′𝑢
1
′
𝐸′𝑣
((
) +(
) )
√𝐸𝐺 𝑢
√𝐸𝐺 𝑣
′
(𝑣 −2 )′
1
(
)
2√𝑣 −2 . 𝑣 −2 √𝑣 −2 . 𝑣 −2 𝑣
′
=−
1
2.
1
𝑣2
(
−2(𝑣
−3 )
1
𝑣2
𝑣2
= − (−2𝑣 −1 )′𝑣 = −1.
2
)
𝑣
b) Tính các ký hiệu Christoffel
Áp dụng cho trường hợp đặc biệt, trong đó ta có tham số hóa trực giao, tức
là, trong đó 𝐹 = 0(giống thí dụ 6.3.2 trang 110).
𝒯 111 =
1
2𝐸
𝐸′𝑢 = 0 𝒯 112 = 𝒯 1 21 =
1
2𝐸
𝐸′𝑣 =
1
2𝑣 −2
𝒯 1 22 = −
1 ′
𝐺 =0
2𝐸 𝑢
𝒯 211 = −
1 ′
1
𝐸𝑣=
2𝐺
𝑣
𝒯 212 = 𝒯 2 21 =
𝒯 2 22 =
(𝑣 −2 )′ = −
1
𝑣
1
𝐺′ = 0
2𝐺 𝑢
1
1
𝐺′𝑣 = −
2𝐸
𝑣
c) Xét đường cong γ(s) = σ(μ(s)) = σ(a + rtanhs; r.
1
coshs
)
2|Page
𝑢 = 𝑎 + 𝑟𝑡𝑎𝑛ℎ𝑠
1
Khi đó: {
𝑣 = r.
coshs
𝑟
2𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ𝑠
′′
⟹
𝑢
=
−
𝑠𝑠
cosh2 𝑠
cosh3 𝑠
⟹{
−𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ𝑠
1
2. sinh2 𝑠
′′
𝑣′𝑠 =
⟹ 𝑣 𝑠𝑠 = −𝑟. (
−
)
cosh2 𝑠
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑠
cosh3 𝑠
𝑢′𝑠 =
* Mà theo công thức (1) trang 122
𝛾 ′ = 𝑢′ . 𝜎′𝑢 + 𝑣 ′ . 𝜎′𝑣 ⟹ ‖𝛾 ′ ‖2 = (𝑢′ )2 . ‖𝜎 ′ 𝑢 ‖2 + (𝑣 ′ )2 . ‖𝜎 ′ 𝑣 ‖2
1
𝑟2
𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑠
1
𝑟2
2
= 2(
+𝑟
) = 2.
𝑣 𝑐𝑜𝑠ℎ4 𝑠
𝑐𝑜𝑠ℎ4 𝑠
𝑣 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑠
=
𝑟2
𝑟2
1
𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑠
. 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑠
=1
⟹ ‖𝛾 ′ ‖ = 1 vậy đường cong 𝛾 = 𝜎 ∘ 𝜇 có tốc độ đơn vị.
* Theo định lý 7.1, ta có :
3|Page
kg
1
det( gij
1
) 2 ((u )'
'
(u)"(s)
1
11 (
1
(v)'
3
2)
Với
(s ))(u )'(s )(v )'(s ) 2 112 ( (s ))(u )'(s )(v )'(s )
1
22
( (s ))(v )'( s)( v)'( s)
(u )" 2 112 ( ( s))(u )'( s)(v)'( s)
2r sinh s
1 r
r sinh s
2
v cosh 2 s cosh 2 s
cosh 3 s
2r sinh s
1
r
r sinh s
2
r cosh 2 s cosh 2 s
cosh 3 s
cosh s
2r sinh s 2r sinh s
0
3
3
cosh s
cosh s
2
(v)"(s)
2
2
12 (
2
11(
(s))(u)'(s)(u)'(s)
(s))(u)'(s)(v)'(s)
2
22 (
(s))(v)'(s)(v)'( s)
4|Page
(v)"
2
11(
2
22 (
( s))(u )'( s)(u )'( s)
2
1
cosh s
r( 1
cosh s
2 sinh 3 s )
cosh s
2
2 sinh 3 s )
cosh s
r(
( s))(v)'( s)(v)'( s)
1
r
2
(
2 )
v cosh s
1
v
r sinh s
cosh 2 s
1
r
2
(
2 )
r
cosh s
cosh s
2
r
r sinh 2 s
r( 1
2 sinh 3 s )
cosh s
cosh 3 s
cosh 3 s
cosh s
r
r sinh 2 s
r
r sinh 2 s
2
cosh s
cosh 3 s
cosh 3 s
cosh 3 s
r
r sinh 2 s
r
3
cosh s
cosh s
cosh 3 s
r (1 sinh 2 s) r sinh 2 s r
cosh 3 s
0
Vậy đường cong
d) Xác định
L
1
r
cosh s
r sinh s
cosh 2 s
là đường trắc địa
và độ cong chính 1 , 2
Theo định nghĩa 6.1 ta có
LN M 2
K
EG F 2
v2 v2
EG
L K
N
v 2 v2 1
1
1
2
v2 v2 1
Theo công thức trang 106
det
E F
F G
1
L
M
M
N
1 0
0 1
0
5|Page
2
v
0
det
1
1
0
v2
0
v2 v2 1
v2 v2 1
0
1
1
v4 v2
4
v
0
det
1
1 0
0 1
0
1
v
4
v2
1
1
0
0
1
0
0
0
v2 1
0
v2 1
0
1
1
2
v2 1
v2 1
Bài 2. Cho
U
E 1, F
0 và G 1 u 2 (xem thí dụ ở Bài tập 3.10).
ℝ2 và
:U
ℝ3 là mặt tham số hóa chính quy với
a. Xác định các ký hiệu Christoffel.
b. Chứng minh rằng
t
(t , v) là đường trắc định với mọi v .
c. Tìm độ cong trắc địa của đường cong t (u, t ) với 𝑢 𝜖 ℝ
d. Kiểm chứng rằng là hệ tọa độ trắc địa, và xác định độ cong Gauss theo
phương trình (6).
Giải
a) Xác định các kí hiệu Christoffel
6|Page
1
11
1 '
Eu
2E
0
2
11
1 '
Ev
2G
0
1
12
1
22
2
22
2
12
1
21
1 '
Ev
2E
0
1 '
Gu
2E
u
1 '
Gv
2E
0
2
21
1 '
Gu
2G
u
1 u2
b) Chứng minh
t
Ta có:
(t , v)
E 1 và Ev' 2Ft ' 0
Theo bổ đề 7.4 (trang126) ta được đường cong tọa độ
t
(t , v)
là
đường cong trắc địa tốc độ đơn vị.
c) Tìm độ cong trắc địa
7|Page
Độ cong trắc địa của đường cong t
1
g
Với
det( gi j ) 2 ((u1 )'
(t )
'(t )
u1 u
u1' 0
u2 t
u2' 1
det gij
Khi đó:
g
2
3
(u, t )
(u2 )' 1 )
1/2
1
'
3
Ta có:
E u, v
E u, t
1
F u, v
F u, t
0
G u, v
G u, t
1 u2
1/2
det gij
' t
Mà:
EG F
't u, t
G u, t
'
1/2
1 u2
' t
't u, t
't u, t
1/2
't u, t
2
1 u2
1 u2
8|Page
2
*
1
t
u1 ''t
j ,k 1
u '' t
u
t
1
22
u1 '' t
1
1
jk
uj ' t
uk ' t , i 1,2
t . u2 ' t . u2 ' t
u . t' t . t' t
1 u2
1/2
u
.
g
1 u2
3
u
1 u2
d) Kiểm chứng hệ tọa độ trắc địa, xác định độ cong Gauss
Ta có: E (u, v)
1 , F (u, v) 0
G(u, v) 1 u 2
G '(uo , v)
G(uo , v) 1
0
Theo định lí 7.4 ta có là một hệ tọa độ trắc địa.
Độ cong Gauss
K
1
G
''
G
uu
1
u
1 u2
1 u2
'
u
9|Page
1 u
1
1 u2
1
1 u
không đổi,
:U
K
1 u2
1 u2
1 u2
Bài 3. Cho
u2
2
2
2
1
u2
2
1 u (1 u )
1 u
2
2
ℝ3 là hệ tọa độ trắc địa mà trong đó độ cong Gauss là
0.
Chứng minh rằng
G 1 và
đẳng cự với một
mảnh của mặt phẳng.
(au b)2 , trong đó a và b là các hàm của
Hướng dẫn: Từ (6) suy ra G
v . Xác định a và
b
từ Định lý 7.4.
Giải
* Chứng minh G
K
1
1
( G )u' ' u
G
Ta có:
1
( G )u'' u
G
0
(K
( G )u'' u
0
( G )u'
0du
0)
a
10 | P a g e
( G)
(
a du
au b
G)
G
au
b
b) 2
(au
Gu' (a 2u 2 2abu b2 ) ' 2a 2u 2ab
Sử dụng định lý 7.4 Ta có
Gu (uo , v)
Gu' (uo , v)
1
0
(auo
2a 2uo
b) 2 1
2ab 0
b
a
1
0
* Xét sự đẳng cự:
- Ta có:
E
1, F
0 và G
1 (1)
- Ta có phương trình mặt phẳng có dạng
(u, v)
p
uq1
vq2
(theo thí dụ 3.4.1).
- Theo thí dụ 3.4.1 (Trang 56).
'u
q1,
'v
q2
Ta có:
E
q1
2
F
q1 .q2
G
q2
(1)
2
Đặt biệt, nếu q1, q2 là 2 cặp vector trực chuẩn, ta có E
G 1, F 0 (2)
11 | P a g e
- Từ (1) và (2), ta có:
E
E
F
F
G
G
Suy ra, là đẳng cự với một mảnh trên mặt phẳng
:U
Bài 4. Cho
(t )
I
.
ℝ3 là hệ tọa độ trắc địa ngang với đường cong
J
(0, t ). Giả sử rằng độ cong Gauss là không đổi, K 1. Chứng
minh rằng
là đẳng cự với một mảnh trên mặt cầu đơn
suy ra G
(a cos u b sin u)2 trong đó a và b là các
G cos2 u
và
vị.
Hướng dẫn: Từ
(6)
hàm của v . Xác định
a
và b từ Định lý 7.4.
Giải
cos2 u
*Chứng Minh G
Thay K 1 vào (6) ta được:
1
1
G
''
G
uu
''
G
G
uu
''
G
uu
G 0
( )
Phương trình
( )
có phương trình đặc trưng là:
K2 1 0
K
K
0 i
0 i
12 | P a g e
G
a cos u b sin u
G (a cos u b sin u )2
Theo định lý 7.4, ta có
(a cos uo b sin uo )2 1
2(a cos u0 b sin u0 )( a sin u0 b cos u0 ) 0
Gu (uo , v) 1
Gu' (uo , v) 0
a2 1
ab 0
a 1
b 0
* Xét sự đẳng cự:
- Theo định lý 7.4 (trang 125) mặt là một hệ tọa độ trắc địa ngang với
ta có:
E
Và
1, F
0
cos2 u
G
(1)
Ta có phương trình mặt cầu đơn vị theo thí dụ 1.2.2(trang 17).
(u, v) (cos u cos v,cos u sin v,sin u)
sin u cos v
sin u sin v
cos u
'u
'v
cos u sin v
cos u cos v
0
Theo thí dụ 3.4.3 (trang 56)ta có:
E
'u
G
'v
F
'u
2
1
2
cos 2 u
'v
(2)
0
Từ (1) và (2), ta có:
13 | P a g e
E
E
F
F
G
G
Suy ra, là đẳng cự với một mảnh trên mặt cầu đơn vị .
14 | P a g e
