ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------ oOo ------------------

TRỊNH THANH ĐÈO

VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA
HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------ oOo ------------------

TRỊNH THANH ĐÈO

VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA
HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành:

Đại số và lý thuyết số

Mã số chuyên ngành: 62 46 05 01
Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Văn Sanh
Phản biện 2: PGS.TS. Mỵ Vinh Quang

Phản biện 3: TS. Nguyễn Viết Đông
Phản biện độc lập 1: GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường
Phản biện độc lập 2: TS. Phó Đức Tài

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI

TP. HỒ CHÍ MINH - 2012


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào
luận án. Các kết quả trong luận án của tôi là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

TÁC GIẢ LUẬN ÁN

TRỊNH THANH ĐÈO

1


Lời cảm ơn
Trước tiên, tác giả luận án xin gởi lời cảm ơn trân trọng đến người thầy
đáng kính, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ
tác giả trong suốt quá trình học tập từ đại học, đến cao học và nghiên cứu
sinh.
Xin cám ơn anh Mai Hoàng Biên đã cùng tham gia nhóm nghiên cứu của
tác giả và có những đóng góp quan trọng cho các kết quả của luận án.

Xin cám ơn TS. Nguyễn Viết Đông và TS. Trần Ngọc Hội đã nhiệt tình
giúp đỡ tác giả trong việc thực hiện các chuyên đề nghiên cứu sinh.
Xin cám ơn GS.TS. Đặng Đức Trọng (trưởng khoa Toán - Tin học) đã tạo
điều kiện tốt để tác giả hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh.
Xin cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giả
hoàn thành luận án của mình.
Xin cám ơn các anh chò thuộc Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp.HCM đã nhiệt tình giúp đỡ và chỉ dẫn các thủ
tục liên quan đến công việc học tập của nghiên cứu sinh và các thủ tục bảo
vệ luận án.
Xin được gởi lời cảm ơn trân trọng đến thầy Võ Văn Phú (giáo viên trường
THPT Hồ Thò Kỷ, Tp. Cà Mau, tỉnh Cà Mau) đã giúp cho tác giả có niềm
đam mê học toán và hình thành nhân cách học toán của tác giả.
Cuối cùng, xin gửi lời tri ân đến gia đình, bè bạn, người thân và đồng
nghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác.
TÁC GIẢ LUẬN ÁN
2


Mục lục

Lời cam đoan

1

Lời cảm ơn

2

Bảng ký hiệu


4

Phần giới thiệu

5

Chương
1.1
1.2
1.3

1. Các kiến thức mở đầu
8
Các khái niệm và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Về các lớp vành chia không giao hoán . . . . . . . . . . . . . . 9
Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án . . . . . . . . . 11

Chương
2.1
2.2
2.3

2. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia
14
Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2 . . . . . . . . . . 14
Vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia hữu hạn đòa phương yếu 29

Chương 3. Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia

32
3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận của luận án

48

Đề xuất của luận án

50

Danh mục các công trình của tác giả

51

Các báo cáo tại các Hội nghò, Hội thảo

51

Tài liệu tham khảo

52

3


Bảng ký hiệu
Ký hiệu D là vành chia và F là tâm của D.
D ∗ - nhóm nhân của vành chia D.
D := [D ∗ , D ∗ ] - đạo nhóm của nhóm nhân D ∗ .

F [S] - vành con sinh bởi tập hợp S trên trường F .
F (S) - vành chia con sinh bởi tập hợp S trên trường F .
S - nhóm con sinh bởi tập hợp S.
[K : F ] - chiều của không gian vectơ K trên trường F .
[D : K]r - chiều của D như là không gian vectơ (phải) trên trường K.
ND/F và RND/F - chuẩn và chuẩn rút gọn của D trên F .
CG (X) và NG (X)-tâm hóa tử và chuẩn hóa tử của tập X trong nhóm G.
H ≤ G - H là nhóm con của nhóm G.
H

G - H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G.

Z(G), Z(R) - tâm của nhóm G, vành R.
R∗ - tập hợp tất cả các phần tử khả nghòch của vành R.
Mn (D) - vành các ma trận vuông cấp n trên vành chia D.
GLn (D) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành chia D.
SLn (D) - nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên vành chia D.
CharD - đặc trưng của vành chia D.
K/F - K là mở rộng trường của trường F .
Fp - trường nguyên tố với đặc trưng p.
Q - trường các số hữu tỷ.

4


Phần giới thiệu
Trong lý thuyết vành chia, một trong những bài toán được nhiều nhà toán
học quan tâm là khảo sát các nhóm con trong vành chia không giao hoán, và
rộng hơn nữa là khảo sát các tính chất liên quan đến nhóm tuyến tính trên
vành chia. Có nhiều kết quả thú vò liên quan đến bài toán này, một trong số

đó phải kể đến là một khám phá nổi tiếng của Wedderburn vào năm 1905, đó
là “nếu nhóm nhân D∗ của vành chia D là hữu hạn thì D giao hoán”. Sau đó,
L. K. Hua đã chứng minh rằng (xem [22], p.223) nhóm nhân của một vành
chia không giao hoán thì không giải được. Năm 2009, B. X. Hải và N. V.
Thìn (xem [16]) đã chứng minh D ∗ cũng không lũy linh đòa phương. Một vài
kết quả mới nhất có thể được tìm thấy trong các công trình của các nhóm tác
giả S. Akbari, M. Mahdavi-Hezavehi, R. Ebrahimian, B. X. Hải (xem [2]-[5],
[10], [13]-[16], [23]-[27]), . . .
Một trong các nghiên cứu của luận án là khảo sát bài toán trên cho các
lớp vành chia mở rộng của lớp vành chia hữu hạn đòa phương, đó là lớp vành
chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu (xem Đònh nghóa 1.1
và 1.2). Đối với lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu, chúng tôi xây dựng
được ví dụ chứng tỏ lớp này là mở rộng thực sự của lớp vành chia hữu hạn
đòa phương, và thậm chí lớp này không chứa trong lớp các vành chia đại số
trên tâm. Đối với lớp vành chia kiểu 2, việc chứng tỏ lớp vành chia này thực
sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương là một bài toán khó. Sự khó khăn
này liên quan đến một giả thuyết chưa có câu trả lời do A. Kurosh đặt ra năm
1941 (được hiểu như là Bài toán Kurosh về vành chia (xem [20], [21])), đó
là: “Mọi vành chia đại số đều hữu hạn đòa phương”. Trong luận án, những
kết quả chúng tôi đạt được đối với những lớp vành chia kiểu 2 đều chưa từng
được chứng minh cho những vành chia hữu hạn đòa phương. Do đó, mặc dù
chưa có ví dụ chứng tỏ lớp vành chia kiểu 2 thực sự khác với lớp vành chia
hữu hạn đòa phương, nhưng những kết quả chúng tôi đạt được ít nhất là có
5


giá trò đối với lớp vành chia hữu hạn đòa phương.
Trong Chương 2, chúng tôi đưa ra các kết quả liên quan đến nhóm con
của nhóm nhân D ∗ của vành chia D (gọi là nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành
chia), với D là vành chia kiểu 2 hoặc vành chia hữu hạn đòa phương yếu. Các

kết quả thu được đều là các kết quả mở rộng của các kết quả đã có trên lớp
vành chia hữu hạn tâm. Cụ thể hơn, Mahdavi-Hezavehi (xem [25]) đã chứng
minh rằng, nếu D là vành chia hữu hạn tâm thì Z(D ) là hữu hạn. Từ kết
quả này, Mahdavi-Hezavehi cũng đưa ra một câu hỏi là: “nếu D đại số trên
tâm thì Z(D ) có là nhóm xoắn hay không”? Câu hỏi này đến nay vẫn chưa
có câu trả lời. Bằng cách khảo sát lớp vành chia kiểu 2, chúng tôi chứng
minh được rằng, nếu D là vành chia kiểu 2 thì Z(D ) là nhóm xoắn (Đònh lý
2.3). Hơn nữa, sử dụng kết quả này, chúng tôi chứng minh được rằng trong
vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F , không có nhóm con hữu hạn
sinh chứa F ∗ (Đònh lý 2.5). Dựa vào kết quả trên ta có thể suy ra rằng, nếu
D là vành chia kiểu 2 sao cho D ∗ hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn. Do
đó kết quả của chúng tôi được xem như là một mở rộng mạnh của Đònh lý 1
trong [4] (nếu D hữu hạn tâm và D ∗ hữu hạn sinh thì D giao hoán). Liên hệ
đến một giả thuyết của Herstein trong [17]: “Cho D là vành chia với tâm F .
Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc (subnormal) của D∗ sao cho N căn trên F
thì N ⊆ F ”. B. X. Hải và L. K. Huỳnh (xem [14]) đã chứng minh giả thuyết
trên đúng cho trường hợp vành chia hữu hạn tâm. Ở Đònh lý 2.16, chúng tôi
chứng minh được rằng giả thuyết trên cũng đúng cho trường hợp D là vành
chia hữu hạn đòa phương yếu. Ngoài ra, bằng cách xét trường hợp D là vành
chia kiểu 2, chúng tôi chứng minh rằng kết luận trên cũng đúng cho trường
hợp N là nhóm con chuẩn tắc căn trên một vành chia con thực sự K của D,
không nhất thiết là tâm F (xem Đònh lý 2.11). Bằng cách thực hiện tương
tự chứng minh Đònh lý 2.11, chúng tôi cũng chứng tỏ rằng kết quả trên cũng
đúng khi thay lớp vành chia kiểu 2 bởi lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu
(Đònh lý 2.18).
Trong Chương 3, chúng tôi xét các bài toán liên quan đến nhóm tuyến
tính tổng quát trên vành chia D hữu hạn đòa phương yếu và thu được các kết
quả sau: Nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu và N là nhóm con á
6



chuẩn tắc hữu hạn sinh của GL n (D) thì trong trường hợp n = 1 (Đònh lý 3.1)
hoặc n ≥ 2 và N vô hạn (Đònh lý 3.2) ta có N nằm trong tâm của D. Kết
quả này được xem như là kết quả mở rộng của ([23], Đònh lý 1) và ([4], Đònh
lý 5). Sau đó, chúng tôi nghiên cứu sự mở rộng của Đònh lý 1 trong [23]
và chứng minh được rằng, nếu D là vành chia không giao hoán, đại số và
hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , và N là nhóm con của GL n (D), n ≥ 1,
sao cho N chứa F ∗ thì N không hữu hạn sinh (Đònh lý 3.4). Phần cuối của
Chương 3 sẽ khảo sát các tính chất liên quan đến nhóm con tối đại căn trên
tâm của nhóm tuyến tính tổng quát GL n (D), và chúng tôi thu được kết quả
quan trọng sau: “Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương
yếu với tâm F , và n ≥ 1. Khi đó, nếu tồn tại nhóm con tối đại M của GLn (D)
sao cho M căn trên F thì n = 1,CharD = p > 0, [D : F ] = p2 , F ∗ ⊆ M ,
K := M ∪ {0} là trường con tối đại của D, K/F là mở rộng thuần túy không
tách được” (Đònh lý 3.15). Kết quả này là một mở rộng mạnh của Đònh lý 5
trong [26] và Đònh lý 6 trong [27]. Áp dụng kết quả trên, chúng tôi đã đưa
ra một kết quả mở rộng của Đònh lý 11 trong [3] từ lớp vành chia hữu hạn
tâm sang lớp vành chia tổng quát, và thậm chí giảm bớt điều kiện M ∪ {0}
chứa tâm của vành chia. Có thể nói đây là kết quả thật sự mạnh so với các
kết quả đã có. Cụ thể, ta được kết quả sau: “Cho D là vành chia không giao
hoán với tâm F và giả sử M là nhóm con tối đại của GLn (D), n ≥ 1. Khi
đó, nếu M/M ∩ F ∗ là nhóm hữu hạn đòa phương thì n = 1, CharD = p > 0,
[D : F ] = p2 , F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} là trường con tối đại của D, K/F là
mở rộng thuần túy không tách được” (Đònh lý 3.17).
Các phương pháp được chúng tôi sử dụng trong luận án cũng chính là
các phương pháp đang được nhiều nhà toán học sử dụng trong hướng nghiên
cứu về nhóm tuyến tính trên vành chia. Đó chính là các phương pháp của lý
thuyết nhóm kết hợp với lý thuyết vành, như: dùng các điều kiện hữu hạn
để khảo sát trong những trường hợp cần thiết, sử dụng các phương pháp của
lý thuyết nhóm tuyến tính trên trường trong một số trường hợp cụ thể . . .

Các kết quả thu được của chúng tôi là mới và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
TÁC GIẢ LUẬN ÁN
7


Chương 1.

Các kiến thức mở đầu

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra một số khái niệm và ký hiệu liên
quan đến luận án. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng phát biểu lại một số đònh lý
cổ điển của lý thuyết vành chia được áp dụng nhiều trong luận án như Đònh
lý Wedderburn-Artin, Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer-Hua, Đònh lý tâm
hóa tử kép, . . .

1.1

Các khái niệm và ký hiệu

Trong toàn bộ luận án, chúng tôi ký hiệu D là vành chia và F là tâm của D,
[D : F ] là chiều của D (như là không gian vectơ) trên F . Ký hiệu D

∗

và

D := [D ∗ , D ∗ ] tương ứng là nhóm nhân của D và đạo nhóm của nhóm nhân.
Nếu S là tập con khác rỗng của D thì ta ký hiệu F [S] và F (S) tương ứng là
vành con và vành chia con của D sinh bởi S trên F . Nếu S là tập con khác

rỗng của M n (D) thì F [S] là vành con của M n (D) sinh bởi S trên F .
Ta nói rằng vành chia D là hữu hạn tâm nếu D là không gian vectơ hữu
hạn chiều trên tâm của nó; D hữu hạn đòa phương nếu với mọi tập con hữu
hạn S của D, vành chia con F (S) của D là không gian vectơ hữu hạn chiều
trên F . Nếu a là một phần tử thuộc D thì ta có mở rộng trường F ⊆ F (a).

Ta nói a đại số trên F nếu mở rộng trường này là mở rộng hữu hạn. Một tập

con S = Ø của D được gọi là đại số trên F nếu mọi phần tử thuộc S đều
đại số trên F . Vành chia D được gọi là đại số trên tâm (nói ngắn gọn là đại
số) nếu mọi phần tử thuộc D đều đại số trên tâm F . Ta cũng ký hiệu N D/F
8


và RND/F lần lượt là chuẩn và chuẩn rút gọn của D trên F . Một phần tử
x ∈ Mn (D) được gọi là căn trên một vành con K của M n (D) nếu tồn tại

n(x) nguyên dương sao cho x n(x) ∈ K. Một tập con S khác rỗng của M n (D)
được gọi là căn trên K nếu mọi phần tử thuộc S đều căn trên K. Do tâm
của vành M n (D) là tập hợp F I = {xI : x ∈ F } ∼
= F , với I là ma trận đơn
vò, nên trong luận án này chúng tôi đồng nhất F I với F .

Cho G là một nhóm và X là một tập con của G, ký hiệu C G (X) và
NG (X) lần lượt là tâm hóa tử và chuẩn hóa tử của X trong G. Ta luôn dùng
ký hiệu Z(G) để chỉ tâm của G. Với R là một vành, ký hiệu R ∗ là tập hợp
tất cả các phần tử khả nghòch của R và Z(R) là tâm của R.
Các ký hiệu và khái niệm được dùng trong tài liệu này là chuẩn và được
sử dụng nhiều trong các tài liệu về lý thuyết nhóm, vành, trường, nhóm con
trong vành chia và nhóm tuyến tính trên vành chia, chẳng hạn như trong [6],

[8], [18], [22], [32], . . .

1.2

Về các lớp vành chia không giao hoán

Theo đònh nghóa, rõ ràng lớp các vành chia hữu hạn tâm chứa trong các lớp
vành chia hữu hạn đòa phương; lớp các vành chia hữu hạn đòa phương chứa
trong lớp các vành chia đại số. Trong ([22], p.220-221) có một ví dụ chứng
tỏ tồn tại một vành chia hữu hạn đòa phương nhưng không hữu hạn tâm. Liệu
lớp vành chia đại số có thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương hay
không? Năm 1941, A. Kurosh (xem [21]) đã đưa ra giả thuyết rằng “mọi vành
chia đại số đều hữu hạn đòa phương”. Giả thuyết này còn được biết với tên
“Bài toán Kurosh về vành chia”. Bài toán Kurosh về vành chia đến nay vẫn
chưa có câu trả lời, nhưng đã có một số kết quả chứng minh rằng bài toán
này đúng trong một số trường hợp đặc biệt như: F không đếm được (xem
[30]); F hữu hạn (xem [22]); F có hữu hạn trường mở rộng đại số, nói riêng
cho trường hợp F đóng đại số (xem [9], [20]).
9


Trong tài liệu này, chúng tôi xét hai lớp vành chia mới là lớp vành chia
kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu như sau:
Đònh nghóa 1.1. Cho D là vành chia tâm F . Ta nói D là vành chia kiểu 2
nếu với mọi x, y thuộc D, vành chia con F (x, y) của D là không gian vectơ
hữu hạn chiều trên F .
Đònh nghóa 1.2. Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi
tập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu
hạn tâm.
Lớp vành chia kiểu 2 đã được S. Akbari và M. Mahdavi-Hezavehi đònh

nghóa năm 2002 trong [5]. Rõ ràng, lớp vành chia này chứa lớp vành chia
hữu hạn đòa phương, và là lớp vành chia con của lớp vành chia đại số. Việc
chứng tỏ lớp vành chia kiểu 2 có phải là lớp vành chia trung gian thực sự của
các lớp vành chia hữu hạn đòa phương và đại số hay không là một vấn đề
khó, điều này liên quan đến Bài toán Kurosh đã trình bày ở trên. Lớp vành
chia hữu hạn đòa phương yếu là lớp vành chia do chúng tôi đònh nghóa trong
quá trình nghiên cứu. Sở dó có tên gọi như vậy vì lớp vành này là mở rộng
của lớp vành hữu hạn đòa phương thông qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. Mọi vành chia con của vành chia hữu hạn tâm đều hữu hạn tâm.
Chứng minh. Giả sử D là vành chia hữu hạn tâm, với tâm F . Khi đó ta có
thể xem D như là vành chia con của vành ma trận M n (F ). Theo Đònh lý
Amitsur-Levitzki ([1], Theorem 1), M n (F ) thỏa mãn đồng nhất thức đa thức
chuẩn S(x 1 , . . . , x2n ), trong đó
sgn(σ)xσ(1) . . . xσ(n)

S(x1 , . . . , xn ) =
σ∈Sn

là đa thức chuẩn theo n biến x 1 , . . . , xn . Do đó mọi vành chia con của D
cũng thỏa S(x 1 , . . . , x2n ). Bây giờ, áp dụng ([18], Theorem 6.3.1, p.157) ta
được điều phải chứng minh.
10


Dựa vào đònh lý trên ta thấy rằng, nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương
thì với mọi tập con hữu hạn S của D, ta có vành chia con F (S) của D là hữu
hạn tâm, nên vành chia con sinh bởi S cũng hữu hạn tâm. Do đó mọi vành
chia hữu hạn đòa phương đều là hữu hạn đòa phương yếu. Trong Chương 2,
chúng tôi xây dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu
thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương (Mệnh đề 2.13).

Hầu hết các kết quả đạt được của luận án đều là mở rộng của các kết
quả đã có đối với lớp vành chia hữu hạn tâm lên lớp vành chia kiểu 2 và
lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu, và thậm chí có một số kết quả được
mở rộng lên lớp vành chia tổng quát. Như đã thảo luận ở trên, các mở rộng
này là thực sự mạnh và có nhiều ý nghóa trong việc khảo sát lý thuyết nhóm
tuyến tính trên vành chia nói chung, và nhóm con của nhóm nhân trên vành
chia nói riêng.

1.3

Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án

Để tiện cho việc theo dõi luận án, trong mục này chúng tôi phát biểu lại một
số kết quả cổ điển của lý thuyết vành và lý thuyết vành chia được sử dụng
nhiều trong luận án, như các đònh lý: Jacobson, Kaplansky, Cartan-BrauerHua, Poincaré, . . .
Đònh lý 1.4 (Đònh lý tâm hóa tử kép-Centralizer Theorem). Cho B là vành
con của vành đơn A sao cho K := Z(A) ⊆ Z(B) và n := [B : K] hữu hạn.

Khi đó:

i) CA (B) ⊗K Mn (K) ∼
= A ⊗K B op , trong đó B op là đối vành của vành B;
ii) CA (B) là vành đơn;
iii) Z(CA (B)) = Z(B);
iv) C A (CA (B)) = B;
11


v) Nếu L := Z(B) và r := [L : K] thì A ⊗K L ∼
= Mr (B ⊗L CA (B)).

Tài liệu dẫn: Xem ([8], p.42).
Đònh lý 1.5 (Công thức tháp -Tower Formulae). Cho L là một trường mở
rộng hữu hạn trên trường F và A là một L-đại số hữu hạn chiều. Khi đó, nếu
α ∈ A thì NA/K (α) = NL/K (NA/L (α)).
Tài liệu dẫn: Xem ([8], p.144).

Để tiện theo dõi đònh lý tiếp theo, chúng tôi phát biểu lại đònh nghóa vành
Artin nửa đơn như sau:
Đònh nghóa 1.6. Cho R là vành và M là một R-môđun (trái). Khi đó:
i) M được gọi là R-môđun đơn nếu M = 0 và M chỉ có hai R-môđun con
là (0) và M ;
ii) M được gọi là R-môđun nửa đơn nếu M là tổng trực tiếp của các Rmôđun con đơn của nó;
iii) R được gọi là vành nửa đơn Artin nếu R là R-môđun nửa đơn.
Tài liệu dẫn: Xem ([22], p.26-28).
Đònh lý 1.7 (Đònh lý Wedderburn-Artin). Cho R là một vành nửa đơn Artin.
Khi đó, tồn tại các số nguyên dương n1 , . . . , nr và các vành chia D1 , . . . , Dr
sao cho
R∼
= Mn1 (D1 ) × · · · × Mnr (Dr ).
Số r xác đònh duy nhất, các cặp (n1 , D1 ), . . . , (nr , Dr ) cũng xác đònh duy nhất
(sai khác một hoán vò).
Tài liệu dẫn: Xem ([22], (3.5), p.35).
Đònh lý 1.8 (Đònh lý Burnside thứ nhất). Cho K là một trường đặc trưng p ≥ 0

và G là một nhóm con của GLn (K). Nếu G có số mũ N < ∞ và p N thì
3

|G| < N n < ∞.

Tài liệu dẫn: Xem ([22], (9.4), p.151).

12


Đònh lý 1.9 (Đònh lý Jacobson). Cho D là một vành chia đại số trên trường
hữu hạn F . Khi đó D giao hoán (và do đó D là một trường mở rộng đại số
của F ).
Tài liệu dẫn: Xem ([22], (13.11), p.219).
Đònh lý 1.10 (Đònh lý Cartan-Brauer-Hua). Cho D là một vành chia và K
là vành chia con của D. Khi đó, nếu nhóm nhân K∗ chuẩn tắc trong D∗ thì
K = D hoặc K ⊂ Z(D).

Tài liệu dẫn: Xem ([22], (13.17), p.222).

Đònh lý 1.11 (Bổ đề Kaplansky). Giả sử F

K là một mở rộng trường và

P là trường con nguyên tố của F . Khi đó, nếu mỗi a ∈ K đều căn trên F thì

CharF = p > 0. Đồng thời, hoặc K là mở rộng thuần túy không tách được
trên F hoặc K đại số trên P .
Tài liệu dẫn: Xem ([22], (15.13), p.258).
Đònh lý 1.12 (Đònh lý Kaplansky). Nếu D là vành chia căn trên tâm của nó
thì D giao hoán.
Tài liệu dẫn: Xem ([22], (15.15), p.259).
Đònh lý 1.13 (Đònh lý Poincaré). Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m của

nhóm G đều chứa một nhóm con chuẩn tắc của G với chỉ số hữu hạn là bội
số của m và là ước số của m!.
Tài liệu dẫn: Xem ([19], (13.2.2), p.83).

Nhận xét 1.14. Ta dễ thấy rằng, mọi vành chia đều là một đại số trên tâm
của nó. Do đó, trong luận án này (cũng như trong các tài liệu về vành chia),
ta có thể đồng nhất hai khái niệm vành chia và đại số chia.

13


Chương 2.

Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia

Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia D là nhóm con của nhóm nhân
D ∗ = GL1 (D) nên các kết quả liên quan đến nhóm tuyến tính bậc 1 trên
vành chia D chính là các kết quả liên quan đến nhóm con của D ∗ . Các đònh
lý được phát biểu và chứng minh trong chương này đều là các kết quả mới,
đã được chúng tôi trình bày trong các bài báo [11] và [12].

2.1

Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2

Mục đích chính của mục này là chứng minh rằng trong một vành chia kiểu
2 không giao hoán, không tồn tại nhóm con hữu hạn sinh chứa tâm. Và tiếp
theo là khảo sát các nhóm con của D ∗ thỏa mãn điều kiện căn trên một vành
chia con thực sự của D. Các kết quả chúng tôi thu được trên lớp vành chia
kiểu 2 là mở rộng của các kết quả trên vành chia hữu hạn tâm, nhưng chúng
chưa từng được mở rộng lên cho lớp vành chia hữu hạn đòa phương. Do đó,
mặc dù chưa chứng minh được sự khác nhau giữa lớp vành chia kiểu 2 và
lớp vành chia hữu hạn đòa phương nhưng những kết quả mới nhận được trong
mục này cũng thực sự có ý nghóa, vì ít nhất là nó mang lại những sự hiểu

biết mới về lớp vành chia hữu hạn đòa phương.
Bổ đề 2.1. Cho D là vành chia tâm F , L là vành chia con của D và chứa
F . Giả sử L là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F và a ∈ L. Khi đó,
NL/F (a) xoắn khi và chỉ khi NF (a)/F (a) xoắn.
14


Chứng minh. Đặt K = Z(L) ⊇ F , m2 = [L : K] và n = [K(a) : K]. Do

([8], Bổ đề 3, tr.145 và Hệ quả 4, tr.150), ta có

NL/K (a) = [RNL/K (a)]m = [NK(a)/K (a)]m

2

/n

.

Bằng cách áp dụng Công thức tháp cho chuẩn (xem [8]), đẳng thức trên suy
ra
NL/F (a) = [NK(a)/F (a)]m

2

/n

.

Do a ∈ F (a) nên N K(a)/F (a)(a) = ak , với k = [K(a) : F (a)]. Do đó

NF (a)/F (ak ) = NF (a)/F (NK(a)/F (a)(a)) = NK(a)/F (a).
Từ đó nhận được
NL/F (a) = [NF (a)/F (a)]km

2

/n

,

và như vậy bổ đề đã được chứng minh.
Mệnh đề 2.2. Nếu D là vành chia tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của
D ∗ thì Z(N ) = N ∩ F ∗ .
Chứng minh. Nếu N chứa trong F ∗ thì rõ ràng Z(N ) = N ∩F ∗ . Như vậy, ta
có thể giả sử N không chứa trong F . Dễ dàng chứng minh N ∩ F

∗

⊆ Z(N ).

Do ([31], 14.4.2, tr. 439) ta được C D (N ) = F . Do đó Z(N ) ⊆ N ∩ F ∗ . Như
vậy, Z(N ) = N ∩ F ∗ .

Trong [25], Mahdavi-Hezavehi đã chứng minh rằng, nếu D là vành chia
hữu hạn tâm thì Z(D ) là hữu hạn. Từ kết quả này, Mahdavi-Hezavehi cũng
đưa ra một câu hỏi là “nếu D đại số trên tâm thì Z(D ) có là nhóm xoắn hay
không?” Câu hỏi này đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Bằng cách khảo sát
lớp vành chia kiểu 2, ta nhận được kết quả sau:
Đònh lý 2.3. Nếu D là vành chia kiểu 2 thì Z(D ) là nhóm xoắn.
15



Chứng minh. Do Mệnh đề 2.2, Z(D ) = D ∩ F ∗ . Do đó, mọi phần tử
a ∈ Z(D ) đều biểu diễn được dưới dạng
a = c1 c2 . . . cr ,

với ci = [xi , yi ], xi , yi ∈ D ∗ , i ∈ {1, . . . , r}.

Đặt D1 = D2 := F (c1, c2 ), D3 := F (c1 c2 , c3 ), . . ., Dr := F (c1 . . . cr−1 , cr )
và Fi = Z(Di ) với i ∈ {1, . . . , r}. Do D kiểu 2 nên [D i : F ] < ∞.

Do NF (xi,yi )/F (ci ) = 1 nên từ Bổ đề 2.1 suy ra N F (ci )/F (ci ) là phần tử

xoắn. Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.1, ta được N Di/F (ci) xoắn. Do đó tồn tại
số ni nguyên dương sao cho N Di /F (cni i ) = 1. Chú ý rằng, do D 2 = D1 nên
ND2/F (c1 c2 )m = ND2/F (c1 )m ND2 /F (c2 )m = 1,
với m = n1 n2 . Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.1 ta có N F (c1 c2 )/F (c1 c2 ) xoắn, từ đó
ND3 /F (c1 c2 ) cũng xoắn. Bằng quy nạp toán học, suy ra N Dr /F (c1 . . . cr−1 )
xoắn.
Giả sử N Dr /F (c1 . . . cr−1 )n = 1. Khi đó
NDr /F (an ) = NDr /F (c1 . . . cr−1 )n NDr /F (cr )n = 1.
Do đó an[Dr :F ] = 1, hay a là phần tử xoắn. Như vậy Z(D ) là nhóm xoắn.
Hệ quả 2.4. Cho D là vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F . Khi đó
D \ Z(D ) không chứa phần tử thuần túy không tách được trên F .
Chứng minh. Giả sử a ∈ D \ Z(D ) là phần tử thuần túy không tách được
trên F . Khi đó, CharF = p > 0 và tồn tại số nguyên dương m sao cho
m

ap


m

∈ F . Từ Z(D ) = D ∩ F (do Mệnh đề 2.2) ta suy ra a p
m

Do Đònh lý 2.3, tồn tại số nguyên dương r sao cho a rp

∈ Z(D ).

= 1. Ký hiệu k là

cấp của phần tử a trong nhóm D ∗ . Nếu k chia hết cho p thì tồn tại t nguyên
dương sao cho k = pt. Khi đó
1 = ak = apt = (at )p .
16


Do đó at = 1, điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn của k. Như vậy ta có thể
giả sử k không chia hết cho p. Khi đó, k và p m nguyên tố cùng nhau, nên
tồn tại các số nguyên α và β sao cho αk + βp m = 1. Do đó
m

m

m

a = aαk+βp = (ak )α (ap )β = (ap )β ∈ F.
Như vậy a ∈ F ∩ D = Z(D ), là điều mâu thuẫn. Do đó ta được điều phải

chứng minh.


Đònh lý 1 trong [4] đã khẳng đònh rằng, nếu vành chia D hữu hạn tâm và
D ∗ hữu hạn sinh thì D giao hoán. Bằng cách áp dụng Đònh lý 2.3, chúng tôi
mở rộng kết quả trên bằng cách khảo sát vành chia D kiểu 2 và nhận được
kết quả sau:
Đònh lý 2.5. Cho D là vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F và N là
nhóm con của D∗ chứa F ∗ . Khi đó N không hữu hạn sinh.
Chứng minh. Giả sử N = x1 , . . . , xn là nhóm con hữu hạn sinh của D ∗ và
chứa F ∗ . Khi đó, do ([31], 5.5.8, p. 113), F ∗ N /N là nhóm abel hữu hạn
sinh, với N là đạo nhóm của N .
Trường hợp 1. Nếu Char(D) = 0 thì F chứa trường Q các số hữu tỷ,
do đó Q∗ /(Q∗ ∩ N ) ∼
= Q∗ N /N được xem như là nhóm con của nhóm abel
F ∗ N /N hữu hạn sinh nên nó cũng hữu hạn sinh. Xét một phần tử bất kỳ

a ∈ Q∗ ∩ N . Khi đó a ∈ F ∗ ∩ D = Z(D ). Do Đònh lý 2.3, a là phần

tử xoắn. Do a ∈ Q nên a = ±1. Như vậy Q ∗ ∩ N là nhóm hữu hạn. Do
Q∗ /(Q∗ ∩ N ) hữu hạn sinh, nên Q ∗ là hữu hạn sinh. Đây là điều mâu thuẫn.

Trường hợp 2. Nếu Char(F ) = p > 0 thì ta ký hiệu Fp là trường con

nguyên tố của F . Ta sẽ chứng minh rằng trường F đại số trên F p . Thật vậy,
giả sử u ∈ F là phần tử siêu việt trên F p . Khi đó, nhóm F p (u)∗ /(Fp (u)∗ ∩N )
được xem như là nhóm con của nhóm abel hữu hạn sinh F ∗ N /N nên nó cũng

hữu hạn sinh. Xét phần tử bất kỳ f (u)/g(u) ∈ F p (u)∗ ∩N , với f (X), g(X) ∈

Fp [X], ((f (X), g(X)) = 1 và g(u) = 0. Tương tự như trong chứng minh trên,
17



tồn tại s nguyên dương sao cho f (u) s /g(u)s = 1. Do u là phần tử siêu việt
nên f (u)/g(u) ∈ Fp . Do đó Fp (u)∗ ∩ N hữu hạn, kéo theo F p (u)∗ hữu hạn

sinh. Từ đây suy ra F p (u) là trường hữu hạn, là điều mâu thuẫn. Như vậy

trường F đại số trên F p , và do đó D đại số trên F p . Do Đònh lý Jacobson
([22], (13.11), p. 219) ta được D giao hoán, là điều mâu thuẫn.
Vậy đònh lý đã được chứng minh.
Từ Đònh lý 2.5 (với chú ý rằng, nếu nhóm nhân của một trường là hữu
hạn sinh thì trường đó hữu hạn) ta được kết quả sau, được xem như là trường
hợp tổng quát của Đònh lý 1 trong [25]:
Hệ quả 2.6. Cho D là vành chia kiểu 2. Nếu nhóm nhân D∗ là hữu hạn sinh
thì D là trường hữu hạn.
Nếu nhóm nhân D ∗ có một nhóm con tối đại hữu hạn sinh thì D ∗ là nhóm
hữu hạn sinh, nên từ Hệ quả 2.6 ta được kết quả sau:
Hệ quả 2.7. Cho D là vành chia kiểu 2. Nếu nhóm nhân D∗ có một nhóm
con tối đại hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn.
Hệ quả 2.8. Cho D là vành chia kiểu 2 không giao hoán với tâm F và S là
nhóm con của D∗ . Đặt N = SF ∗ . Khi đó nhóm thương N/N không hữu hạn
sinh.
Chứng minh. Giả sử N/N hữu hạn sinh. Từ N = S và F ∗ /(F ∗ ∩ S ) ∼
=
S F ∗ /S suy ra F ∗ /(F ∗ ∩ S ) là nhóm abel hữu hạn sinh. Tương tự chứng

minh của Đònh lý 2.5 ta được D giao hoán. Đây là điều mâu thuẫn.
Từ Hệ quả 2.8 ta có ngay kết quả sau:

Hệ quả 2.9. Nếu D là vành chia kiểu 2 không giao hoán thì D∗ /D không

hữu hạn sinh.
Để chứng minh đònh lý tiếp theo, ta cần tính chất hữu ích sau đây của
vành chia kiểu 2.
18


Bổ đề 2.10. Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F và N là nhóm con á chuẩn
tắc của D∗ . Nếu với mọi x, y thuộc N , tồn tại số nguyên dương nxy (phụ
thuộc x và y) sao cho xnxy y = yxnxy thì N ⊆ F .
Chứng minh. Do N là nhóm con á chuẩn tắc của D ∗ nên tồn tại một dãy
các nhóm con
N = N1

N2

...

Nr = D ∗ .

Giả sử x, y ∈ N và K := F (x, y). Bằng cách đặt M i = K∩Ni , ∀i ∈ {1, . . . , r}

ta được dãy các nhóm con

M1

M2

...

Mr = K ∗ .


Với mọi a ∈ M1 ≤ N1 = N , tồn tại các số nguyên dương n ax và nay sao cho
anax x = xanax và anay y = yanay .
Khi đó, với n := n ax nay ta có
an = (anax )nay = (xanax x−1 )nay = xanax nay x−1 = xan x−1 ,
và
an = (anay )nax = (yanay y −1 )nax = yanay nay y −1 = yan y −1 .
Do đó an ∈ Z(K). Như vậy M 1 căn trên Z(K). Do D là vành chia kiểu 2
nên K hữu hạn tâm. Do đó, từ Đònh lý 1 trong [14] ta được M

1

⊆ Z(K). Nói

riêng, x và y giao hoán nhau. Như vậy N là nhóm abel. Do ([31], 14.4.4, tr.
440), N ⊆ F .

Sau đây ta xem xét một giả thuyết của Herstein trong [17] : “Cho D là
vành chia với tâm F . Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ sao cho N
căn trên F thì N ⊆ F ”. Trong đònh lý sau, bằng cách xét trường hợp D là

vành chia kiểu 2 và N chuẩn tắc trong D ∗ , chúng tôi chứng minh kết luận
trên cũng đúng thậm chí cho trường hợp N căn trên một vành chia con thực
sự K của D, không nhất thiết là tâm F .
19


Đònh lý 2.11. Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F , K là vành chia con thực
sự của D và N là nhóm con chuẩn tắc của D∗ . Khi đó, nếu N căn trên K
thì N ⊆ F .

Chứng minh. Giả sử N không chứa trong tâm F . Nếu N \K = Ø thì N ⊆ K.

Do ([31], p. 433), hoặc K ⊆ F hoặc K = D. Do giả thiết, K = D, suy ra

K ⊆ F . Từ đó N ⊆ F , là điều mâu thuẫn. Vậy N \ K = Ø.

Tiếp theo, ta chỉ cần chứng minh rằng các phần tử của N thỏa mãn điều

kiện của Bổ đề 2.10 là đủ. Thậy vậy, giả sử a, b ∈ N . Ta xét các trường hợp

sau:

Trường hợp 1: a ∈ K.

a) b ∈ K. Giả sử a n b = ban với mọi n ∈ N. Khi đó a + b = 0, a = ±1 và

b = ±1. Như vậy

x = (a + b)a(a + b)−1 , y = (b + 1)a(b + 1)−1 ∈ N.
Do N căn trên K nên tồn tại các số nguyên dương m x và my sao cho
xmx = (a + b)amx (a + b)−1 , y my = (b + 1)amy (b + 1)−1 ∈ K.
Đặt m = mx my , ta có
xm = (a + b)am (a + b)−1 , y m = (b + 1)am (b + 1)−1 ∈ K.
Tính toán trực tiếp từ các đẳng thức trên, ta được
xm b−y m b+xm a−y m = xm (a+b)−y m (b+1) = (a+b)am −(b+1)am = am (a−1).
Suy ra
(xm − y m )b = am (a − 1) + y m − xm a.
Nếu xm − y m = 0 thì b = (xm − y m)−1 [a(am − 1) + y m − xm a] ∈ K, điều

này mâu thuẫn với sự lựa chọn của b. Do đó x m − y m = 0, và như vậy


am (a − 1) = y m (a − 1). Do a = 1 nên a m = y m = (b + 1)am (b + 1)−1 , và do
20


đó am b = bam . Điều này mâu thuẫn với điều giả sử. Vậy tồn tại n nguyên
dương sao cho a n b = ban .
b) b ∈ K. Xét x ∈ N \ K. Ta có xb ∈ K nên từ trường hợp a), tồn tại

các số nguyên dương r, s sao cho

ar xb = xbar và as x = xas .
Từ các đẳng thức trên ta được
ars = (xb)−1 ars (xb) = b−1 (x−1 ars x)b = b−1 ars b,
và như vậy a rs b = bars .
Trường hợp 2: a ∈ K.

Do N căn trên K nên tồn tại m nguyên dương sao cho a m ∈ K. Do

Trường hợp 1, tồn tại n nguyên dương sao cho a nm b = banm .

Bằng cách xét câu hỏi về sự tồn tại của nhóm con tối đại căn trên tâm
của vành chia D, trong ([2], Theorem 5) các tác giả đã chứng minh rằng nếu
D là vành chia hữu hạn tâm với tâm F sao cho đặc trưng của D khác với chỉ
số của D trên F thì D ∗ không chứa nhóm con tối đại căn trên tâm F . Bây
giờ, trong trường hợp vành chia kiểu 2 vô hạn tâm, ta được kết quả sau:
Đònh lý 2.12. Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F sao cho [D : F ] = ∞

và charF = p > 0. Khi đó nhóm nhân D∗ không chứa nhóm con tối đại căn
trên F .

Chứng minh. Giả sử M là nhóm con tối đại của D ∗ và M căn trên F . Đặt
G = D ∩ M . Với mỗi x ∈ G, tồn tại n(x) nguyên dương sao cho x n(x) ∈ F .

Như vậy x n(x) ∈ D ∩ F = Z(D ). Do Đònh lý 2.3 ta được Z(D ) xoắn,

do đó x xoắn. Như vậy G là nhóm xoắn. Do M

≤ G nên M cũng là

nhóm xoắn. Với mọi x, y ∈ M , đặt H = x, y và D 1 = F (x, y). Khi đó

n := [D1 : F ] < ∞ và H là nhóm con xoắn của D 1∗ ≤ GLn (F ). Do ([22],
(9.9), p. 154), H là nhóm hữu hạn. Do charF = p > 0 nên từ ([22], (13.3),
21


p.215) ta được H là nhóm cyclic. Nói riêng, ta được x và y giao hoán với
nhau, và như vậy M là nhóm abel. Từ đó suy ra M là nhóm giải được. Như
vậy M là nhóm con tối đại giải được của D ∗ . Do đó, từ Hệ quả 2 trong [2]
và Đònh lý 6 trong [3] ta được [D : F ] < ∞, là điều mâu thuẫn. Vậy đònh lý

đã được chứng minh.

2.2

Vành chia hữu hạn đòa phương yếu

Nhắc lại rằng, vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi tập con
hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm
(Đònh nghóa 1.2). Ta đã chứng minh rằng mọi vành chia hữu hạn đòa phương

đều hữu hạn đòa phương yếu. Trong phần này, chúng tôi sẽ xây dựng một ví
dụ chứng tỏ lớp vành hữu hạn đòa phương và lớp vành hữu hạn đòa phương
yếu là khác nhau. Để thực hiện điều này, dựa vào việc xây dựng vành chia
chuỗi Laurent tổng quát của Malcev-Neumann, chúng tôi xây dựng một vành
chia chuỗi Laurent với vành cơ sở là một mở rộng của trường các số hữu
tỷ Q. Vành chia mà chúng tôi xây dựng trong mệnh đề sau là vành chia hữu
hạn đòa phương yếu nhưng thậm chí không đại số trên tâm.
Mệnh đề 2.13. Tồn tại một vành chia hữu hạn đòa phương yếu nhưng không
đại số trên tâm.
Chứng minh. Ký hiệu G =

+∞

Z là tổng trực tiếp vô hạn của nhóm cộng Z.

i=1

Với mỗi chỉ số nguyên dương i, ta ký hiệu x i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) là phần tử
thuộc G với giá trò 1 ở vò trí thứ i và giá trò 0 ở tất cả các vò trí còn lại. Khi
đó G là một nhóm abel tự do sinh bởi tất cả các x i . Hơn nữa, mọi phần tử
x ∈ G đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng
x=

ni xi ,
i∈I

với ni ∈ Z và I là một tập hợp con hữu hạn của N.
22



Tiếp theo ta trang bò một thứ tự trên G như sau: với mọi x = (n 1 , n2 , . . .)
và y = (m1 , m2 , . . .) trong G, ta đònh nghóa x < y nếu n 1 < m1 hoặc tồn tại
k ∈ N sao cho n 1 = m1 , . . . , nk = mk và nk+1 < mk+1 . Rõ ràng G với thứ

tự như trên là một tập thứ tự toàn phần.

Giả sử p1 < p2 < . . . < pn < . . . là một dãy vô hạn các số nguyên tố và
√ √
K = Q( p1 , p2 , . . .) là trường con của trường số thực R sinh bởi trường số
√ √
hữu tỷ Q và các phần tử p1 , p2 , . . . Với mọi i ∈ N, giả sử f i : K → K là

một Q-đẳng cấu thỏa mãn điều kiện
√
√
fi( pi ) = − pi ,

√
√
và fi ( pj ) = pj với mọi j = i.

Dễ dàng chứng minh rằng f i fj = fj fi với mọi i, j ∈ N.
• Bước 1. Chứng minh rằng, với mọi x ∈ K ta có fi (x) = x với mọi i ∈ N
khi và chỉ khi x ∈ Q:

Chiều đảo là hiển nhiên. Giả sử x ∈ K sao cho f i(x) = x với mọi i ∈ N.
√
√
Bằng cách đặt K 0 = Q và Ki = Q( p1 , . . . , pi ) với i ≥ 1, ta được dãy mở
rộng trường


K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Ki ⊂ . . .
Nếu x ∈ Q thì tồn tại i ≥ 1 sao cho x ∈ K i \ Ki−1 . Do đó ta có thể biểu
√
diễn x = a + b pi , với a, b ∈ Ki−1 và b = 0. Do f i(x) = x, ta suy ra
√
0 = x − fi(x) = 2b pi , là điều mâu thuẫn.
• Bước 2. Xây dựng vành chia chuỗi Laurent D:
Với mỗi x = (n 1 , n2 , . . .) =

i∈I

ni xi ∈ G, đònh nghóa Φ x :=

i∈I

fini . Rõ

ràng Φ x ∈ Gal(K/Q) và ánh xạ Φ : G → Gal(K/Q) xác đònh bởi Φ(x) = Φ x
là một đồng cấu nhóm.

Dễ dàng chứng minh các điều sau:
i) Φ(xi ) = fi, ∀i ∈ N.
√
√
ii) Nếu x = (n 1 , n2 , . . .) ∈ G thì Φx ( pi ) = (−1)ni pi .
23