Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

HÌNH KHÔNG GIAN XU HƯỚNG ĐỀ THI NĂM 2016 – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

TỰ LỰC LÀM BÀI TRƯỚC KHI XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT NHÉ CÁC EM !
Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' với AB = a và BAC = 600. Cạnh A ' C = 2a 3 và tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng 300. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM = 2 MB. Tính theo a thể tích của

lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( A ' BC ) .

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' với AB = a và BAC = 600. Cạnh A ' C = 2a 3 và tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng 300. Gọi M là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC. A ' B ' C '
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và CM.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là chữ nhật AB=2a, AD=3a. Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABCD) một
góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,SD theo a.

Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = 2CD = 4a ;
SA = a 3 ; SD = a . Tam giác ABC vuông tại C , mặt bên ( SAD ) vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) . Tính
thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC .

Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 1200 . Hình chiếu vuông góc
của điểm S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm H của tam giác ABC . Gọi E , F lần lượt là trung

điểm của SA , BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp
S . AFCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AF và DE theo a.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu H của S lên (ABCD) nằm trên AB
(H nằm giữa A và B) sao cho AH =

1
AB . Biết SB = a 13 , góc giữa SC và mặt đáy là 300. Tính thể tích
4

của hình chóp S.AHCD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HBCE với E ∈ CD và
HE / / AD .

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' với AB = a và BAC = 600. Cạnh A ' C = 2a 3 và tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng 300. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM = 2 MB. Tính theo a thể tích của

lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( A ' BC ) .

Lời giải:
 A ' A = a 3
Ta có: A ' CA = 300 ⇒ 
 AC = 3a
Khi đó VABC . A ' B 'C '


1
9a 3
0
= AA '. AB ' AC.sin 60 =
.
2
4

1
Do AB = 3MB ⇒ d ( M ; ( A ' BC ) ) = d ( A; ( A ' CD ) )
3
Dựng AE ⊥ BC ; AF ⊥ A ' E , ta có: BC ⊥ ( A ' AE )
Do đó AF ⊥ ( A ' BC ) ⇒ d ( A; ( A ' CD ) ) = AF .
Lại có AE.BC = AB. AC.sin BAC =

3a 2 3
;
2

BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC cos BAC = 3a
Do vậy AE =

Vậy V =

a 3
⇒ AF =
2

AE. A ' A
AE 2 + A ' A2


=a

3
a 15
⇒ d ( M ; ( A ' BC ) ) =
.
5
15

9a 3
a 15
;d =
.
4
15

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' với AB = a và BAC = 600. Cạnh A ' C = 2a 3 và tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng 300. Gọi M là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC. A ' B ' C '
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và CM.

Lời giải:

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


 A ' A = a 3
Ta có: A ' CA = 300 ⇒ 
 AC = 3a
1
9a 3
Khi đó VABC . A ' B 'C ' = AA '. AB. AC.sin 600 =
.
2
4
Dựng AH ⊥ CM , khi đó AH là đường vuông góc
chung của A’A và CM.
Mặt khác: AH .CM = AM . AC.sin MAC = 2 S MAC .
MC = AM 2 + AC 2 − 2 AM . AC cos 600 =
Do vậy AH =

a 31
.
2

3a 3
= d ( CM ; A ' A ) .
124

9a 3
3a 3
Đáp số: V =
;d =
.
4
124


Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là chữ nhật AB=2a, AD=3a. Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABCD) một
góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,SD theo a.
Lời giải:

+) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Từ H kẻ EK song song với AD ( E ∈ AB; K ∈ CD ) ⇒ HE ⊥ AB , mà SH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SHE ) ⇒ AB ⊥ SE
Suy ra

( ( SAB ) ; ( ABCD ) ) = SEH = 60

o

Do H là trọng tâm tam giác ABD, dễ dàng suy ra EH =

1
AD = a ⇒ SH = EH .cot 60o = a 3
3

1
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: VS . ABCD = .SH . AB. AD = 2a 3 3
3
+) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD.
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


Facebook: LyHung95

Nhận xét: SD ∈ ( SCD ) //AB ⇒ d ( AB; SD ) = d ( AB; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) =
Từ H dựng HI ⊥ SK ( I ∈ SK ) (1)

3
d ( H ; ( SCD ) )
2

 SH ⊥ CD
⇒ CD ⊥ ( SHK ) ⇒ CD ⊥ HI
Ta có: 
CD ⊥ HK
Mà lại có (1) ⇒ HI ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = HI
1
1
1
1
1
2a 21
3a 21
=
+
= 2 + 2 ⇔ HI =
⇒ d ( AB; SD ) =
2
2
2
HI

SH
HK
3a 4a
7
7
3a 21
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng
7
Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = 2CD = 4a ;
SA = a 3 ; SD = a . Tam giác ABC vuông tại C , mặt bên ( SAD ) vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) . Tính
Xét ∆ v SHK :

thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC .
Lời giải:
Gọi E là trung điểm của AB khi đó AECD là hình
S
1
vuông. Vì vậy AD = EC = AB = 2a .
2
( AB + CD ) . AD = 6a 2
Ta có S ABCD =
2
Tam giác SAD có các cạnh SA = a 3; SD = a; AD = 2a
nên nó vuông tại S. Do đó nếu gọi SH là đường cao
1
1
1
4
a 3
của ∆SAD thì

= 2+
= 2 ⇒ SH =
2
2
SH
SA SD
3a
2
H
Mặt khác ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) hay
D
SH là đường cao của khối chóp.
1
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V = SH .S ABCD = a 3 3 (đvtt)
3
Do AD / / ( SCE ) ⇒ d ( AD; SC ) = d ( H ; SCE )

I

A

E

B

K
C

Kẻ HK ⊥ CE và HI ⊥ SK (với K ∈ CE ; I ∈ SK ). Khi đó HI ⊥ ( SCE ) ⇒ d ( AD; SC ) = HI
Xét ∆HSK ta có :


1
1
1
1
1
57
6a
=
+
=
+
=
⇒ HI =
2
2
2
2
2
2
HI
SH
HK
SH
CD
36a
57

Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC = 1200 . Hình chiếu vuông góc
của điểm S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm H của tam giác ABC . Gọi E , F lần lượt là trung

điểm của SA , BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp
S . AFCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AF và DE theo a.
Lời giải:

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

+) Tính thể tích khối chóp S.AFCD
1
1
3
3
3a 2 3
Nhận xét: S ACF = S ABC = S ABCD ⇒ S AFCD = S ABCD = . AB.BC.sin ABC =
2
4
4
4
8
a 3
Kẻ HK ⊥ BC ( K ∈ BC ) . Do ∆BCD đều nên DF =
; DF ⊥ BC ⇒ DF //HK
2
HK BH 1
a 3
Do DF //HK ⇒

=
= ⇒ HK =
DF BD 3
6
 HK ⊥ BC
Nhận xét 
⇒ BC ⊥ ( SHK ) ⇒ BC ⊥ SK
 SH ⊥ BC

( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC

a
Ta có:  BC ⊥ HK ∈ ( ABCD ) ⇒ ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = ( HK ; SK ) = SKH = 60o → SH =
2

 BC ⊥ SK ∈ ( SBC )
1
a3 3
⇒ VS . AFCD = .SH .S AFCD =
3
16
+) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AF và DE
Dựng hệ tọa độ Oxyz với H ≡ O, Ox //AC ; D ∈ tia Oy; S ∈ tia Oz

a 
a a 3 a   a 3 a 

 2a  
→ H ( 0; 0; 0 ) , B  0; − ;0  , D  0; ;0  , S  0;0;  , C 
; ;0  , A  −

; ;0
3 
2   2 6  
2 6 

 3  
 a 3 a a
a 3
a 
⇒ E  −
; ;  ; F 
; − ; 0 
4 12 4 
12 

 4
 3a 3 a 
 a 3 7a a 
a 3 a 
⇒ AF = 
; − ;0  ; DE =  −
; − ;  ; AD = 
; ;0 
4 
8
12 4 
 4

 4 2 
 a

3a 3 3a 3
a 
− 
0 0
 −
2
2
2
4
4
4   a 3a 3 15a 3 
4
Suy ra ta có:  AF , DE  = 
;
;
=  − ;
;−

 7a a a
  16 16
32 
a
3
a
3
7
a
−
−
−

−

8
8
12 
 12 4 4
⇒ d ( AF ; DE ) =

 AF , DE  . AD 80a 3


=
787
 AF , DE 



Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu H của S lên (ABCD) nằm trên AB
1
(H nằm giữa A và B) sao cho AH = AB . Biết SB = a 13 , góc giữa SC và mặt đáy là 300. Tính thể tích
4
của hình chóp S.AHCD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HBCE với E ∈ CD và
HE / / AD .

Lời giải:
Gọi cạnh của hình vuông là x

S

Ta có BH =

3x
9x2 5x
⇒ HC = x 2 +
=
4
16
4

⇒ SH = HC. tan 300 =

5x 3
.
(1)
4 3

9 x2
Mặt khác: SH = SB − HB = 13a −
(2)
16
Từ (1) và (2) suy ra:
25 x 2
9x2
= 13a 2 −

⇔ x 2 = 12a 2 ⇒ x = 2 3a
48
16
5a
1
1
AH + CD
⇒ SH =
⇒ VSAHCD = SH .S AHDC = SH .
AD
2
3
3
2
3
a + 2 3a
1 5a 2
25a 3
= . .
.2 3a =
3 2
2
4
2

I

H

A


B

J
D

E

C

2

2

Gọi I là trung điểm của SC, dễ chứng minh: IS = IA = IC = IE = IH = IB
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HBCE
5a
25a 3
5a
Bán kính R = SH =
. Vậy VSAHCD =
;R =
2
4
2

Thầy Đặng Việt Hùng ĐZ
CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG HÌNH KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI 2016

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!