MỞ ĐẦU
I.

Lí do chọn đề tài

Trong dạy học Toán việc vận dụng lí thuyết đã học để giải bài toán của học
sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm. Chính vì vậy giáo viên cần hướng
dẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không
mắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp.
Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình
thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm
vững lí thuyết vừa học. Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một
phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm
điều kiện nào. Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phương
trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn
hoặc bỏ mẫu được…
Vì những lí do trên tôi chọn đề tài : “NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP
VÀ CÁCH KHẮC PHỤC KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT ’’
II.

Mục đích nghiêm cứu

•

Nghiêm cứu những sai lầm mà học sinh có thể gặp trong quá trình giải
phương trình, bất phương trình.
•

nghiên cứu khả năng của giáo viên trong việc giải quyết những sai lầm
của học sinh trong quá trình giải phương trình, bất phương trình.

•

Thiết kế một số kiểu sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán.

III.

Các đối tượng nghiên cứu

•

Các tài liệu về những sai lầm của học sinh khi giải phương trình, bất
phương trình.
•

Các hoạt động thiết kế cho bài dạy nhằm giúp học sinh vượt qua sai lầm
khi giải phương trình, bất phương trình.
•

Học sinh trường Trung Học Phổ Thông.


IV.
⊕

Phương pháp nghiên cứu
phương pháp nghiên cứu lí luận:
•

•
⊕


Sử dụng phương pháp phân tích-tổng hợp tài liệu.
Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài.

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn :
•
•

Phương pháp quan sát sư phạm.
Phương pháp điều tra thực nghiệm sư phạm


CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong dạy học toán , mỗi bài tập toán được sử dụng với mỗi dụng ý
khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội
dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…
Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn
tàng những chức năng khác nhau( chức năng dạy học, chức năng giáo dục,
chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướng
tới việc thực hiện các mục đích dạy học.
a. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
+ Lời giải không có sai lầm.
+ Lập luận phải có căn cứ chính xác.
+ Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài ba yêu cầu nói trên, trong dạy học bài tập, cần yêu cầu lời giải
ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí.
Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những
đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh “ có thể biết được cái

quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Polya-1975)

b. Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán
- Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Giả thiết là gì? kết luận là gì ? sử dụng kí hiệu như thế nào?
+ Dạng toán nào ?( toán chứng minh hay toán tìm tòi…)
+ Kiến thức cơ bản cần có là gì ? ( các khái niệm, các định lí, các
điều kiện tương đương, các phương pháp chứng minh…)


- Xây dựng chương trình giải( tức là chỉ rõ các bước tiến hành):
Bước 1 là gì? Bước 2 giải quyết vấn đề gì ?...
- Thực hiện chương trình giải : trình bày bài làm theo các bước đã
chỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, trong biến đổi,…
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: xét xem có sai lầm không? Có biện
luận kết quả tìm được không? nếu bài toán có nội dung thực tiễn thì
kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn hay không? một điều
quan trọng là cần luyện tập cho học sinh đọc lại yêu cầu của bài
toán sau khi đã giải xong bài toán đó, để học sinh hiểu rõ hơn
chương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã
ngầm cho trong giả thiết.
c. Trình tự dạy học bài tập toán. Trình tự dạy học bài tập toán
thường bao gồm các bước sau :
Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Hoạt động 2:Xây dựng chương trình giải
Hoạt động 3:Thực hiện chương trình giải
Hoạt động 4:Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
d. Quan niệm về tiến trình giải toán
Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là
sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng

tạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là tìm kiếm một
cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đó
là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kĩ năng, thủ thuật và các
phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho.
Theo G. Polya , việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động:
hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo
sát lời giải đã tìm được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán
là qua đó học sinh nảy lòng say mê, khát vọng giải toán, thu thập và hình thành
tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận,phát hiện và sáng tạo.

1.1.

Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình quan sát, điều tra tôi thấy khi học sinh giải các bài toán về
phương trình hoặc bất phương trình thì học sinh thường vận dụng biến đổi
tương đương mà không chú ý đến điều kiện xác định. Từ thực trạng trên
nên tôi xây dựng kế hoạch hình thành phương pháp mới bằng cách trước
tiên học sinh cần nắm vững lí thuyết về phương trình tương đương và bất


phương trình tương đương từ đó áp dụng vào bài toán cơ bản đến bài toán ở
mức độ khó hơn. Trong giảng dạy cần trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông
và phương pháp giải toán đại số cho học sinh. Như vậy khi giải bài toán về
phương trình hay bất phương trình học sinh có thể tự tin lựa chọn một
phương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm.
1.2.
-

-


-

Giải pháp thực hiện
Nêu các định nghĩa về phương trình, bất phương trình; các định lí
về các phép biến đổi tương đương giữa hai phương trình; bất
phương trình.
Nêu những dạng phương trình, bất phương trình cơ bản mà học sinh
thường gặp trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc đề thi đại học.
Nêu những lời giải sai lầm thường gặp của học sinh và chỉ ra những
sai sót của học sinh. Từ đó đúc kết ra lời giải đúng cho dạng toán
đó.
Dạy thành các dạng nhỏ trong các tiết tự chọn toán để bổ sung kiến
thức cho các em.


CHƯƠNG II. NỘI DUNG

2.1.

Những kiến thức liên quan
2.1.1. Phương trình; cách giải phương trình

Khái niệm phương trình một ẩn:
Phương trình ẩn

x

là mệnh đề chứa biến có dạng :


f ( x) = g ( x)

Trong đó

trái,

g ( x)

f ( x)

và

g ( x)

(1)
x

là những biểu thức của . Ta gọi

f ( x)

là vế

là vế phải của phương trình (1).
x0

f ( x0 ) = g ( x0 )

Nếu có số thực sao cho
gọi là một nghiệm của phương trình (1).


là mệnh đề đúng thì

x0

được

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm
tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương
trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
CHÚ Ý
Nhiều khi giải một phương trình, ta chỉ cần, hoặc chỉ có thể tính giá trị
gần đúng của nghiệm (với độ chính xác nào đó). Giá trị đó gọi là
nghiệm gần đúng của phương trình.
Chẳng hạn, bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xác
đến hàng phần nghìn) của phương trình
là
Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để
và

g ( x)

f ( x)

có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói


đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của

phương trình)
Khi các phép toán ở hai vế của mộtphương trình đều thực hiện được với
mọi giá trị của x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.
Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều
ẩn số, chẳng hạn:
3x + 2 y = x 2 − 2 xy + 8

(2)

4 x 2 − xy + 2 z = 3z 2 + 2 xz + y 2

(3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y) , còn (3) là phương trình
ba ẩn (x, y và z)
Khi

x = 2, y = 1

cặp số

thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói

( x, y ) = ( 2;1)

Tương tự, bộ ba số

là nghiệm của phương trình (2)


( x, y, z ) = ( −1;1;2 )

là nghiệm của phương trình (3)

Phương trình tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò
ẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như nhữnghằng
số và được gọi là tham số. Tập nghiệm của phương trình có thể phụ thuộc
vào tham số.
Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị
nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các
nghiệm đó.
Chẳng hạn:
•

Phương trình

( m + 1) x − 3 = 0

chứa tham số

m

.

có thể được coi là một phương trình ẩn

x



•

Phương trình

y2 − 2 y + t = 0
t

có thể được coi là một phương trình ẩn

y

chứa tham số .
Phương trình tương đương
Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập nghiệm.
Nếu

f ( x) = g ( x)

tương đương với

f1 ( x ) = g1 ( x )

thì ta viết:

f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x )

CHÚ Ý
Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng điều kiện xác định
là D và tương đương với nhau, ta nói:

•

Hai phương trình tương đương trên D, hoặc

Với điều kiện D, hai phương trình là tương đương với nhau.
Phép biến đổi tương đương

•

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó
thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi
như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử
dụng:
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không
làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương
đương.
a) Cộng hay trừ từng vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một
biểu thức luôn có giá trị khác 0.
phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình
phương trình

f1 ( x ) = g1 ( x )

f ( x) = g ( x)
f ( x) = g ( x)

thì phương trình


trình hệ quả của phương trình

f ( x) = g ( x)

.

đều là nghiệm của
được gọi là phương


Ta viết :

f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x )

.

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của
phương trình ban đầu. Ta gọi là nghiệm ngoại lai.
Khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phép
biến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các
phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương
hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó, để
loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại các nghiệm tìm được.
Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự.
2.1.2. Bất phương trình; cách giải bất phương trình
Khái niệm bất phương trình một ẩn trên trường số thực
Bất phương tình một ẩn là một mệnh đề chứa biến
f ( x)


và

g ( x)

x

so sánh hai hàm số

trên trường số thực với một trong các dạng

f ( x) < g ( x) ; f ( x) > g ( x) ; f ( x) ≤ g ( x) ; f ( x) ≥ g ( x )

Giao của hai tập xác định của các hàm
định của bất phương trình.

f ( x)

và

g ( x)

được gọi là tập xác

Tuy nhiên các bất phương trình trên đều có thể chuyển về dạng tương
đương

f ( x) > 0

(hoặc


f ( x) ≥ 0

)

Cũng như trong phương trình biến
là ẩn, hàm ý là một đại lượng chưa biết.

x

trong bất phương trình cũng được gọi

Sau đây ta sẽ xét bất phương trình dạng tổng quát

f ( x) > 0


Nếu với giá trị

x = a, f ( a ) > 0

nghiệm đúng của bất phương trình
trình.

là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng
f ( x) > 0

,hay

a


a

là

là nghiệm của bất phương

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hay
lời giải của bất phương trình , đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất
phương trình
Giải một bất phương trình nghĩa là tìm tập nghiệm của nó.

Bất phương trình nhiều ẩn
Khái niệm bất phương trình có thể mở rộng thành bất phương trình n biến
x

Rn

trên hoặc trên tập bất kì của biến nhưng các hàm
giá trị trên các tập sắp thứ tự toàn phần.

f ( x)

và

g ( x)

phải nhận

Phân loại bất phương trình
Các bất phương trình một ẩn đều có thể chuyển về dạng

f ( x) ≥ 0

f ( x) > 0

hoặc

. khi đó phân loại của bất phương trình được quy về phân loại của hàm

f ( x)

1. Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó
f ( x)

là đa thức bậc k.
2. Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép
khai căn.
3. Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (
chứa bieenstreen lũy thừa).
4. Các bất phương trình lôgarit là các bất phương trình có chứa hàm
lôgarit ( chứa biến trong dấu lôgarit).
Cách giải một số bất phương trình đại số bậc thấp


Sau đây là cách giải các bất phương trình dạng
tương tự cho các bất phương trình
⊕

f ( x) ≥ 0

f ( x) > 0


. Các kết quả

.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình dạng :
ax + b > 0

Trong đó :
∗

∗

⊕

Nếu

Nếu

a≠0

a>0

a<0

, tập nghiệm của bất phương trình này là :

, tập nghiệm của bất phương trình này là :


 −b

 ; +∞ ÷
 a

−b 

 −∞; ÷
a 


Bất phương trình bậc hai một ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng :
ax 2 + bx + c > 0

Trong đó
Đặt
∗

a≠0

∆ = b 2 − 4ac

Nếu
•

∆<0

a<0


. Ta có các trường hợp sau :

và
thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi
x

Giá trị thực của . Tập nghiệm là

∅


a>0

•

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi
x

Giá trị thực của . Tập nghiệm là
∗

Nếu

∆=0
a<0

•

R


.

và
thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi

x
∅
Giá trị thực của . Tập nghiệm là
a>0

•

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi

x
Giá trị thực của . Tập nghiệm là
∗

Nếu

∆>0

gọi

x1 , x2 ( x1 < x2 )

ax 2 + bx + c > 0

hai


x1 =

 −b 
R\ 
 2a 

.

là hai nghiệm của phương trình bậc

với

−b − ∆
;
2a

x2 =

−b + ∆
2a

Khi đó :
•
•

Nếu
Nếu

a<0

a<0

thì tập nghiệm của bất phương trình là :
thì tập nghiệm của bất phương trình là :

( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ )

2.2.

Những khó khăn của học sinh và cách khắc phục khi giải
phương trình, bất phương trình.

( x1; x2 )


2.2.1. Những khó khăn khi giải phương trình.
2.2.1.1. sai lầm khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình dạng :
f ( x)
= 0 ⇔ f ( x) = 0
g ( x)

Ví dụ:

Giải phương trình:

x2 − x − 6
=0
2 x 2 + 3x − 2


?

(1)

Sai lầm thường gặp:
 x = −2
x2 − x − 6
= 0 ⇔ x2 − x − 6 = 0 ⇔ 
2
2 x + 3x − 2
 x=3

Nguyên nhân sai:

x = −2

thì

2 x 2 + 3x − 2 = 0

nên loại nghiệm

x = −2

Lời giải đúng:
 x = 3

 x − −x − 6 = 0
x −x−6
 x = −2(loai)

=0⇔ 2
⇔ 
⇔ x=3
2
2 x + 3x − 2
1
2 x + 3x − 2 ≠ 0

 x ≠ −2; x ≠ 2
2

KẾT LUẬN:

B

2

 f ( x) = 0
f ( x)
=0⇔
g ( x)
 g ( x) ≠ 0

ài tập tương tự: giải phương trình:

x2 − 7 x + 6
=5
x−6

2.2.1.2. Sai lầm khi giải phương trình tích.

Phương trình dạng:


 f ( x) = 0
f ( x ) .g ( x ) = 0 ⇔ 
 g ( x) = 0

?

x − 2 ( x2 − x − 6) = 0

Ví dụ: giải phương trình :

(2)

Sai lầm thường gặp:

Pt(2)

 x=2
 x−2 =0
⇔ 2
⇔  x = −2
x − x − 6 = 0
 x = 3

Nguyên nhân sai lầm: với

Lời giải đúng: Pt(2)


KẾT LUẬN:
phương trình

x = −2

thì

x−2

vô nghĩa.

 x=2

x−2 =0

  x = −2
 2
x = 2
⇔  x − x − 6 = 0 ⇔ 
⇔
 x = 3
x = 3
 x − 2 ≥ 0



  x ≥ 2

 f ( x) = 0
f ( x ) .g ( x ) = 0 ⇔ 

 g ( x) = 0

với

x

thuộc tập xác định của

f ( x ) .g ( x ) = 0

Bài tập tương tự: giải phương trình :

( x + 1)

x2 + x − 2 = 2 x + 2

2.2.1.3. Sai lầm khi không nắm vững phương pháp biến đổi tương đương.
Phương trình dạng:
f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) .h ( x ) = g ( x ) .h ( x )

Ví dụ: giải phương trình;

?


x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1 = 4 x − 3

(3)

Sai lầm thường gặp:

⇔

Pt(3)

(

x − 3x + 2
2

) +(
2

x − x +1
2

)

2

= ( 4 x − 3)

⇔ ( x 2 − 3 x + 2 ) − ( x 2 − x + 1) = ( 4 x − 3)

(

(

x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1

x2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1


)


 4x − 3 = 0
3

x=
 2


4
⇔
⇔
 x − 3x + 2 ≥ 0
2
 2
2
 2
 x − 3 x + 2 − x − x + 1 = 1  x − 3 x + 2 = x − x + 1 + 1(∗)
Pt(∗) ⇔ x 2 − 3 x + 2 =

(

)

x2 − x + 1 + 1

2


⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 2 x 2 − x + 1 + 1
−x ≥ 0

x ≤ 0
⇔ x2 − x + 1 = − x ⇔  2
(vn)
2 ⇔ 
x
=
1
x
−
x
+
1
=
−
x
(
)


x=

Vậy phương trình (3) có nghiệm :

3
4

.


Nguyên nhân sai lầm :
x=

Thử lại :
Lời giải đúng:

3
4

không thỏa mãn phương trình (3).

)


Pt (3) ⇔

(x
⇔
⇔

(

2

4x − 3
x − 3x + 2 + x 2 − x + 1
2

− 3x + 2 ) − ( x 2 − x + 1)


x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1
x 2 − 3x + 2

) (
2

−

=1

=1

x2 − x + 1

)

2

=1

x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1

⇔ x 2 − 3x + 2 − x 2 − x + 1 = 1
⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 1
⇔ x 2 − 3x + 2 =

(

)


x2 − x + 1 + 1

2

⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 2 x 2 − x + 1 + 1
−x ≥ 0

x ≤ 0
⇔ x2 − x + 1 = − x ⇔  2
(vn)
2 ⇔ 
x =1
 x − x + 1 = ( − x )

Vậy pt (3) vô nghiệm.

KẾT LUẬN :

 f ( x ) .h ( x ) = g ( x ) .h ( x )
f ( x) = g ( x) ⇔ 
h ( x) ≠ 0


Bài tập tương tự: Giải phương trình:

(

)(


x +1 +1

)

x + 10 − 4 = x

2.2.1.4. Sai lầm khi vận dụng một cách máy móc các phương pháp biến đổi
tương đương
⊕

Phương trình dạng:
AB = A. B ;

A
=
B

A
B

?

Ví dụ:

1. Giải phương trình

( x + 1) ( x 2 − x − 2 )

= x +1


(4)


Sai lầm thường gặp :
Pt (4) ⇔
⇔

( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 )  = x + 1

( x + 1) ( x − 2 )
2

⇔ x +1

( x − 2)

= x +1

= x +1

  x +1 = 0

x − 2 ≥ 0
⇔ 

  x − 2 = 1
  x + 1 > 0
 x − 2 = 1
⇔
⇔ x =3

 x > −1

Nguyên nhân sai lầm :

x = −1

là ngiệm của phương trình.

Lời giải đúng :
Pt (4) ⇔

⇔

( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 )  = x + 1

( x + 1) ( x − 2 )
2

= x +1

x +1 = 0


⇔   x + 1 x − 2 = x + 1
 
x +1 ≠ 0

 x = −1
 x = −1


⇔   x − 2 = 1 ⇔ 
 x=3
  x > −1


Vậy phương trình (4) có nghiệm là :

 x = −1
 x=3



2 x2 − 9 = ( x + 5)

2.Giải phương trình :

x+3
x−3

(5)

Sai lầm thường gặp :
Pt (5) ⇔ 2

( x + 3) ( x − 3) = ( x + 5 )

⇔ 2 x + 3 x − 3 = ( x + 5)

x+3
x−3


x+3
x−3

x+5 

⇔ x +32 x −3 −
÷= 0
x−3 

⇔

x+3
( 2 ( x − 3) − ( x + 5 ) ) = 0
x−3

x+3
( x − 11) = 0
x−3
 x−3> 0
 x>3


  x − 11 = 0 ⇔   x = 11 ⇔ x = 11
 x + 3 = 0
  x = −3


⇔


Nguyên nhân sai lầm :
nghiệm

x = −3

x = −3

là nghiệm của pt(5) cách giải trên đã làm mất

.

Lời giải đúng :
Pt (5) ⇔ 2

( x + 3) ( x − 3) = ( x + 5 )

x+3
x−3


⇔2

x+3
2
( x − 3) = ( x + 5 )
x−3

⇔2

x+3

x − 3 = ( x + 5)
x−3

⇔

x+3
x−3
x+3
x−3

x+3
( 2 x − 3 − ( x + 5) ) = 0
x−3

   2 ( x − 3 ) − ( x + 5 ) = 0; x − 3 ≥ 0
 2 x − 3 − ( x + 5) = 0


   2 ( 3 − x ) − ( x + 5 ) = 0; x − 3 ≤ 0

x+3


≥0
⇔  
⇔ 
 x>3
x−3



 x ≤ −3
 
x+3


=0

x−3

x+3=0

   x − 11 = 0; x ≥ 3

 1 − 3x = 0; x ≤ 3
 x = 11

⇔ 
⇔
 x>3

 x = −3
 x ≤ −3
 


x = −3


Vậy phương trình (5) có nghiệm :


KẾT LUẬN :

 A
: A ≥ 0, B > 0

 A. B : A, B ≥ 0
A  B
AB = 
;
=
 − A. − B : A, B ≤ 0 B  − A
: A ≤ 0, B < 0

 −B

Các bài tập tương tự:
3 x 2 − 25 = ( 2 x − 1)

a.

 x = 11
 x = −3


x −5
x+5


2 x2 − x − 6 = ( x + 5)


b.
c.
d.

x+2
x−3

( 3x − 1) ( 3x 2 − 4 x + 1)

= x −1

( 2 x − 3) ( 2 x 2 − x − 3 )

= x +1

2.2.1.5. Sai lầm khi giải phương trình tích đa thức dưới dấu căn
⊕

Phương trình dạng:
 A= C
A.B = A.C ⇔ 
 A=0

Ví dụ : giải phương trình sau :

?

2 x − 3x = x − 2 x
2


2

(6)

Sai lầm thường gặp :
Pt (6) ⇔ x ( 2 x 2 − 3) = x ( x − 2 ) ⇔ x 2 x 2 − 3 = x x − 2

⇔ x

(

)

2x2 − 3 − x − 2 = 0


x=0

x =0
⇔
⇔
2
 2 x 2 − 3 − x − 2 = 0
 2 x − 3 = x − 2
x=0
x=0





⇔ 
⇔ 
x≥2
x≥2


 2 x 2 − 3 = x − 2
 2 x 2 − x − 3 = 0
 x=0

 x ≥ 2
⇔    x = 1

 x = − 1
  
2
⇔ x=0


Nguyên nhân sai lầm : phép biến đổi phương trình sau không phải là phép
biến đổi tương đương :

x ( 2 x 2 − 3) = x ( x − 2 ) ⇔ x 2 x 2 − 3 = x x − 2

Lời giải đúng :

pt (6) ⇔ x ( 2 x 2 − 3) = x ( x − 2 )
x=0



⇔  2 x 2 − 3 = x − 2
  x ( x − 2 ) ≥ 0

x=0


2 x 2 − x − 1 = 0

⇔ 
x ≥ 2


x ≤ 0
 

 x=0
⇔
x = − 1

2

Vậy phương trình (6) có nghiệm :

 x=0

x = − 1

2

KẾT LUẬN :

A=0


A.B = A.C ⇔  
B=C

  A ≠ 0; A.B ≥ 0

2.2.2. Những khó khăn khi giải bất phương trình
2.2.2.1. Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bất phương trình dạng:



g ( x) ≠ 0
 f ( x ) ≠ 0; g ( x ) ≠ 0
f ( x) a
1
1
≥ ⇔
;
≥
⇔
g ( x) b
b. f ( x ) = a.g ( x ) f ( x ) g ( x )
 f ( x) ≤ g ( x)

?

Ví dụ :

x +1
1
≥−
x + x − 12
2
2

1. giải bất phương trình :

Sai lầm thường gặp :

(7)


x 2 + x − 12 ≠ 0

Bpt (7) ⇔ 
2

2 ( x + 1) ≥ ( x + x − 12 )

 x ≠ −4; x ≠ 3
 2
 x + 3 x − 10 ≥ 0
 x ≠ −4; x ≠ 3   x ≥ 2


  x ≤ −5 ⇔   x ≠ 3
  x≥2
 

 x ≤ −5

x ∈ ( −4;3)

x 2 + x − 12 < 0

Nguyên nhân sai lầm : với
thì
với biểu thức này thì bất phương trình đổi dấu.

nên khi nhân hai vế

Lời giải đúng :
2 ( x + 1) + ( x 2 + x − 12 )
x +1
1
x 2 + 3x − 10
Bpt (7) ⇔ 2
+ ≥0⇔
≥
0
⇔
≥0
x + x − 12 2
x 2 + x − 12
x 2 + x − 12

Lập bảng xét dấu :
x


−∞

x 2 + 3x − 10

+

x 2 + x − 12

+

-5
0

-4
+

0

-

2
0

+∞

3
+
-

VT

+
0 +
0
Dựa vào bảng xét dấu ta có nghiệm bất phương trình :

+
0

+
+


S = ( −∞; −5] ∪ ( −4;2 ] ∪ ( 3; +∞ )

2. giải bất phương trình :

1
1
≥
x + 3 4x − 6

(8)

Sai lầm thường gặp :

3
3


( x + 3) ( 4 x − 6 ) ≠ 0

 x ≠ −3; x ≠
 x ≠ −3; x ≠
Bpt (8) ⇔ 
⇔
2⇔
2 ⇔ x≥3
x
+
3
≤
4
x
−
6

 3 x ≥ 9
x≥3


3

x ∈  −3; ÷
2


x + 3 > 0 > 4x − 6

Nguyên nhân sai lầm : Với
thì
trình nghiệm đúng. Cách giải trên đã làm mất nghiệm.


và bất phương

Lời giải đúng :
Bpt (8) ⇔

4 x − 6 − ( x + 3)
3 ( x − 3)
1
1
−
≥0⇔
≥0
≥0
x + 3 4x − 6
( x + 3 ) ( 4 x − 6 ) ( x + 3) ( 4 x − 6 )

Lập bảng xét dấu :
x

−3

−∞

x−3

-

x+3


-

4x − 6

-

0

3/2

3
0

-

-

+

+

+

+

+

-

0


VT
+
0
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là :
S = ( −3;3 / 2 ) ∪ [ 3; +∞ )

KẾT LUẬN :

+∞

+

+


⊕

f ( x) a
f ( x) a
> ⇔
− > 0 ⇔ b.g ( x ) b. f ( x ) − a.g ( x )  > 0
g ( x) b
g ( x) b

⊕

1
1
>

⇔ f ( x ) .g ( x )  g ( x ) − f ( x )  > 0
f ( x) g ( x)

2.2.2.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích giữa biểu thức luôn dương và
biểu thức bất kì.
Bất phương trình dạng :
f 2 ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ⇔ g ( x ) ≥ 0; f 2 ( x ) .g ( x ) ≤ 0 ⇔ g ( x ) ≤ 0
x ( 2 x − 3x + 1) ≥ 0
2

Ví dụ : Giải bất phương trình :

?

2

(9)

 x ≥1
Bpt (9) ⇔ 2 x − 3x + 1 ≥ 0 ⇔ 
x ≤ 1

2
2

Sai lầm thường gặp :

x=0

x 2 ( 2 x 2 − 3x + 1) = 0


Nguyên nhân sai lầm :với
thì
mãn. Cách giải trên đã làm mất nghiệm.
Lời giải đúng :

nên bpt (9) thỏa

x=0

1

bpt (9) ⇔  2
⇔ x ∈  −∞;  ∪ ( 1; +∞ ) ∪ { 0}
2

 2 x − 3x + 1 ≥ 0

KẾT LUẬN :

 f ( x) = 0 2
 f ( x) = 0
f 2 ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ⇔ 
; f ( x ) .g ( x ) ≤ 0 ⇔ 
;
g
x
≥
0
g

x
≤
0
(
)
(
)



( 2 x − 1)
Bài tập tương tự : Giải bất phương trình :

2

( 3x

2

− 5x + 2) ≤ 0

2.2.2.3. Sai lầm khi giải bất phương trình tích giữa biểu thức chứa căn và
biểu thức không chứa căn.
Bất phương trình dạng :
 f ( x) ≥ 0
 f ( x) ≥ 0
f ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ⇔ 
; f ( x ) .g ( x ) ≤ 0 ⇔ 
 g ( x) ≥ 0
g ( x) ≤ 0


?


Ví dụ : giải bất phương trình :
Sai lầm thường gặp :

(x

2

− 3x ) 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0

(10)

 x ≥ 2

 x≥3
  x ≤ − 1
⇔ 
2⇔
x ≤ − 1
2

2 x − 3 x − 2 ≥ 0
x ≥ 3

2
 
Bpt (10) ⇔ 

2
  x ≤ 0
 x −3≥ 0

Nguyên nhân sai lầm :

Lời giải đúng :

x=2

cũng là nghiệm của bất phương trình (10)

( x 2 − 3 x ) 2 x 2 − 3 x − 2 = 0
Bpt (10) ⇔ 
 x 2 − 3x 2 x 2 − 3x − 2 > 0
)
(


 2
 2 x − 3x − 2 = 0

x 2 − 3x = 0
⇔  2
  2 x − 3x − 2 > 0

 2 x 2 − 3x − 2 > 0

2
  x − 3x > 0

 x = 2


 x = − 1
 x=2

2

⇔  x = 3 ⇔  x ≥ −3


1
 x>3
x
≤
−

 
2

 x < 1
2
 

Vậy bất phương trình (10) có nghiệm là :
1

S =  −3; −  ∪ { 2}
2
