Luận văn tối ưu hóa danh mục đầu tư và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (762.56 KB, 42 trang )
B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
s ư PHẠM
HÀ NỘI
n HỘC
*
«
* 2
NGUYỄN THỊ NGỌC
TỐI ƯU HÓA DANH MỤC ĐẰU TƯ
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC
•
*
•
Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ BÌNH MINH
HÀ NỘI, 2015
Lời cảm ơn
Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Tối xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới các thầy cô giáo đã tận
tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong
suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS. Hà Bình Minh, thầy đã tận
tình giúp đỡ, trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm
luận văn.
Sau cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
động viên, góp .ỷ kiến và giúp đỡ trơng quá trình học tâp, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, ngày 09 tháng 07 năm 2015
Tác giả
N guyên Thị N gọc
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Bình Minh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và dồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 09 tháng 07 năm 2015
Tác giả
N guyễn Thị N gọc
1
M ục lục
Mở đầu
1 Tối
3
ưu hóa danh mục đầu tư
6
1.1
Các kiến thức chuẩn bị về xác s u ấ t ..............................
6
1.2
Các khái niệm về danh mục đầu t ư ..............................
9
1.2.1
Tỷ suất lợi nhuận của danh m ụ c.........................
1.2.2
Kỳ vọng và phương sai tỷ suất lợi nhuận của danh
m ụ c .........................................................................
10
Ảnh hưởng của sự đa dạng hóa danh mụcđầu tư
12
Tối ưu hóa danh mục đầu t ư ...........................................
14
1.3.1
Hình dạng của đường biên hiệu q u ả ...................
15
1.3.2
Phương phấp nhân tử Lagrange để tìm danh mục
1.2.3
1.3
đầu tư tối ư u .........................................................
1.4
10
16
Đường biên hiệu quả trong trường hợp có thêm tài sản
phi rủi ro
1.4.1
1.4.2
............................................................................
20
Phát biểu bài t o á n ...............................................
20
Phương pháp nhân tử Lagrange
2 M õ hình thị trường cân bằng
......................
21
24
2.1
2.2
Các hạn chế của bài toán tìm trọng số tối ưu cho đường
biên hiệu q u ả ...................................... ..................................
24
Mô hình đơn chỉ số . . . .................................................. ...
26
2.2.1
2.3
Ước lượng Beta: phương pháp bình phương tối thiểu 27
Mô hình đa chỉ s ố ..................................................................
29
3 ứ n g dụng khảo sát thị trường chứng khoán V iệt N am
30
3.1
Giới thiệu thị trường chứng khoán Việt N a m ..................
30
3.2
Lựa chọn cổ phiếu trong danh mục đầu t ư .....................
33
3.3
Tính toán đường biên MV hiệu quả .... .............................
36
K ết luận
39
Tài liệu tham khảo
39
3
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết về tối ưu hóa danh mục đầu tư được kliởi nguồn từ những
nghiên cứu đầu tiên của Harry Markowitz, John Lintner, Jan Mossin,
William Sharpe, và là một trong những thành tựu quan trọng trong tài
chính. Ngày nay, các mô hình tối Tíu hóa danh mục đầu tư được ứng
dụng rộng khắp trong rất nhiều lĩnh vực từ tài chính, bảo hiểm, đến
công nghiệp, y tế... Phương pháp của Markowitz giúp cực đại hóa lợi
nhuận của một danh mục với độ rủi ro cho trước, hoặc cực tiểu hóa rủi
ro của danh mục với lợi nhuận cho trước. Những ý tưởng này rắt hữu
ích đối với nhà đầu tư, những người luôn muốn tìm kiếm lợi nhuận và
giảm thiểu rủi ro.
Lý thuyết tối ưu hóa danh mục đầu tư có rất nhiều phát triển theo
nhiều hướng khác nhau (xem [1] để biết thêm chi tiết). Tuy nhiên những
ý tưởng sơ khai về lý thuyết này vẫn còn có giá trị về cả ứng dụng lẫn
lý thuyết. Đối với những người muốn nắm bắt và ứng dụng lý thuyết
này, việc tìm một cách tiếp cận đơn giản trở nên rất cần thiết. Chính
vì vậy mà tôi chọn để tài “Tối ưu hóa danh mục đầu tư và ứng dụng”.
Trong luận văn này, chúng tôi mong muốn sẽ trình bày lý thuyết của
Markowitz theo cách đơn giản nhất có thể, sao cho nêu bật lên được
những ỷ tưởng cốt yếu ban đầu của Markowitz.
Luận văn sẽ được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết
luận và Tài liệu tham khảo
Chương 1 của luận văn sẽ dành để nói về Lý thuyết cơ bản về tối ưu
hóa danh mục đầu tư.
Mục 1.1 Trình bày các kiến thức chuẩn bị về xác suất như: biến ngẫu
nhiên, các đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Mục 1.2 Trình bày các khái niệm về danh, mục đầu tư: gồm tỷ suất
lợi nhuận của danh mục, kỳ vọng và phương sai tỷ suất lợi nhuận của
danh, mục, ảnh hưởng của sự đa dạng hóa danh mục đàu tư.
Mục 1.3 Trình bày về sự tối ưu hóa danh mục đầu tư: hình dạng của
đường biên trung bình - phương sai MV của tài sản rủi ro và phương
pháp nhân tử Lagrange để tìm trọng số tối ưu.
Mục 1.4 Đường biên trung bình-phương sai MV của các tài sản rủi
ro và tài sản phi rủi ro.
Chương 2 sẽ nói về các mô hình liên quan đến chỉ số.
Mục 2.1 Trình bày các hạn chế của bài toán tìm trọng số tối ưu cho
đường biên trung bình - phương sai.
Mục 2.2 Trình bày mô hình đơn chỉ số.
Mục 2.3 Trình bày mô hình đa chỉ số: tổng quan về mô hình đa chỉ
số, phép "quay" các chỉ số, mô hình đa chỉ số khi thực hiện phép "quay"
các chỉ số.
Chương 3 sẽ ứng dụng để khảo sát vào thị trường chứng khoán Việt
5
Nam.
Mục 3.1 Giới thiệu thị trường chứng khoán Việt Nam.
Mục 3.2 Trình bày về lựa chọn cổ phiếu trong danh mục đầu tư.
Mục 3.3 Trình bày về tính toán đường biên MV hiệu quả.
2. M ục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Khảo cứu về lý thuyết về tối ưu hóa danh mục đầu tư của Harrv
Markowitz.
3. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Danh mục đầu tư, tối ưu hóa.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng một số công cụ trong lý thuyết tối ưu. hồi quy tuyến tính,
MATLAB, EXCEL...
5. Đ óng góp mới của đề tài
Luận văn trình bày lý thuyết của Markowitz theo cách đơn giản nhất
có thể, sao cho nẽu bật lên được những ý tưởng cốt yếu ban đầu của
Markowitz. Ngoài ra luận văn còn có đóng góp về mặt lập trình, thực
hiện thuật toán.
6
Chương 1
Tối ưu hóa danh mục đầu tư
Chương 1 của luận văn sẽ dành để nói về Lý thuyết cơ bản về tối ưu
hóa danh mục đầu tư.
Mục 1.1 Các kiến thức chuẩn bị về xác suất như: biến ngẫu nhiên,
quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Mục 1.2 Trình bày các khái niệm về danh mục đầu tư: gồm tỷ suất
lợi nhuận của danh mục, kỳ vọng và phương sai tỷ suất lợi nhuận của
danh mục, ảnh hưởng của sự đa dạng hóa danh mục đàu tư.
Mục 1.3 Trình bày về sự tối ưu hóa danh mục đầu tư: hình dạng của
đường biên trung bình - phương sai MV của tài sản rủi ro và phương
pháp nhân tử Lagrange để tìm trọng số tối ưu.
Mục 1.4 Đường biên trung bình-phương sai MV của cấc tài sản rủi
ro và tài sản phi rủi ro.
1.1
Các kiến thức chuẩn bị về xác suất
• ơ - đại số: Một ơ - đại số (hay còn gọi là ơ - trường) T trên
một họ các tập con của Í2 thỏa mãn các điều kiện sau:
là
7
— 0 E ĩ và n 6 T \
—
Nếu Ầ
£
T thì
à E
— Nếu Aị £ T7, i — 1 ,2 ,... thì u ịAị E T và r\ịAi 6 Jr.
Cặp (fĩ, F ) như trên được gọi là một không gian đo được.
• ơ - đại số Borel trên M: là ơ - đại số với Q, = M và
T
= {tập hợp các khoảng đóng, khoảng mở
và phần bù, giao, hợp (vô hạn) của các khoảng đó}.
• Biến ngẫu nhiên: là một ánh xạ X : Q —>
sao cho với tập thuộc
ơ - đại số Borel trên K thì nghịch ảnh của nó sẽ thuộc vào ơ - đại
số T trên íì. Một ánh xạ có tính chất như trên còn được gọi là ánh
xạ đo được.
• Hai biến ngẫu nhiên thường gặp là biến ngẫu nhiên ròi rạc và biến
ngẫu nhiên liên tục.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: Nếu tập các giá trị mà biến ngẫu nhiên
nhận là một tập gồm một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn nhưng đếm
được, khi đó biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Ví dụ
như số chấm xuất hiện trên một con xúc xắc, chỉ có thể nhận các
giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Biến ngẫu nhiên liên tục: Nếu tập các giá trị biến ngẫu nhiên nhận
lấp đầy một khoảng nào đó, khi đó biến ngẫu nhiên được gọi là biến
ngẫu nhiên liên tục. Ví dụ như chiều cao hoặc cân nặng của một
người nào đó.
8
• Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là F(x),
được xác định như sau: F(x) — p ( x < x), X G K.
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu f( x), là đạo
hàm của hàm phân phối (trong trường hợp hàm phân phối là khả
vi, trừ ở một số hữu hạn điểm gián đoạn bị chặn), được xác định
bằng f ( x ) = F'(x).
• Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên:
- Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là một con số được kí hiệu là
E ( x ) và được xác định như sau E ( x ) —
XiPi} nếu X là
biến ngẫu nhiên rời rạc với phân bố xác suất là p ( x = Xi) = Pi]
và E { X ) = /^°° x f ( x ) d x nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với
hàm m ật độ là f(x).
- Tính chất của kỳ vọng:
Cho X ị(i = 1 , 2 ,n) là các biến ngẫu nhiên, ữj(ị = 1 , . . . , n)
là các hằng số.
Khi đó E ịa iX i -\-a2X 2 + ... -\-anX n) = ữịE(Xị) 4-.. .-\-anE (X n).
Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, khi đó E ( X Y ) =
E(X)E(Y).
- Pliương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm, ký hiệu
var(X) được xác định bởi v a r ( x ) = E ( X — E ( x ) ) 2
Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, a và 6 là 2 hằng số
thì ta có
var(aX'+ bY) — o2v a r (X ) + b2var(Y).
9
— Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là ơ ( x ) , được
định nghĩa như sau:
ơ ( x ) = y/ var(D£) .
— Hiệp phương sai: khi xét đồng thời 2 biến ngẫu nhiên X và Y ,
ta có hiệp phương sai
cov(X, Y ) = E [ { X - E { X ) ( Y - E{Y)}.
1.2
Các khái niệm về danh mục đầu tư
Nhà đầu tư thực hiện đầu tư bằng cách chọn vị thế đối với các tài
sản. Khi liệt kê các vị thế của nhà đầu tư đối với tài sản ta được một
danh sách gọi là danh mục đầu tư của nhà đầu tư. Gọi X là khoản tiền
ban đầu của nhà đầu tư, giả sử trong danh mục có N loại tài sản (được
đánh số từ 1 đến N). Ký hiệu Xị là khoản tiền đầu tư vào tài sản i, ki là
số lượng tài sản và Sị là giá của tài sản i tại thời điểm nhà đầu tư bắt
đầu thực hiện đầu tư. Ta có Xị = Sịkị suy ra
N
N
x = j 2 Xi = Y , Sikii=1
1=1
Đặt Wị = ỵ , ( i = 0 ,1 ,2 ,... ) khi này Wị sẽ là tĩ trọng giá trị tài sản i
trong danh mục đầu tư và gọi là tỷ trọng đầu tư tài sản i của nhà đầu
tư, ta có
U!ị = 1. Khi nói đến danh mục đầu tư người ta chỉ quan
tâm đến Wi do đó danh mục đầu tư gồm N tài sản có thể xem là vectơ
N chiều (wi,iU2 ,
w m )
với điều kiện YliLi wi =
1.2.1
Tỷ suất lợi nhuận của danh mục
Giả sử i?i và R-2 là tỷ suất lợi nhuận của hai tài sản, tài sản 1 và tài
sản 2, trên thị trường chứng khoán. Do biến động của thị trường chứng
khoán nên giá trị của R ị và R-2 thay đổi hàng ngày. Do vậy, ta có thể
coi R ị và B.2 là hai biến ngẫu nhiên.
T rư ờ n g hợp 1: (Danh mục đầu tư có hai tài sản).
Xét danh mục đầu tư gồm hai tài sản: tăi sân 1 với trọng số là W\ và
tài sản 2 với trọng số là W2 i với Wị + u >2 = ĩ- Khi đó tỷ suất lợi nhuận
của danh mục đầu tư được tính theo công thức:
Rp = W\R\ + W2 R 2 -
(1-1)
T rư ờ ng hợp 2: (Danh mục đầu tư có nhiều tài sản).
Xét trường hợp tổng quát cho danh mục đầu tư gồm n tài sản với các
trọng số tương ứng
Wị , W 2 , . ■
w n,
với
Wị
=
1.
Khi đó tỷ suất lợi
nhuận của danh mục đầu tư được tính theo công thức:
n
Rp = ^ ^ iVịRị.
Ĩ= 1
1.2.2
K ỳ vọng và phương sai tỷ suất lợi nhuận của danh mục
T rư ờ ng hỢp 1: (Danh mục đầu tư có hai tài sản).
Kỳ vọng và phương sai của Rp được tính theo công thức sau.
E(Rp) = E ( w i R i + W2R2) — w iE ( ñ i) + IÜ2E(#2),
Var(iỉp) = Var (tux Äi + W2R 2 ) = w Ịơu + w lơ 22 + 2 w iw 2ơi 2 ,
11
trong đó
ơ ij
= CovỊ fí.ị.
R.j)
là hiệp phương sai giữa Rị và R j; ơii =
Cav(Ri, Rị) — Var(Rị) là phương sai của Rị. Ngoài ra, ta sẽ dùng hai ký
hiệu là ịiị = E(-Rị) là trung bình của Rị và ơị — ựỡĩi là độ lệch chuẩn
của Rị.
T rường hợp 2: (Danh mục đầu tư có nhiều tài sản).
Xét trường hợp tổng quát cho danh mục đầu tư gồm n tài sản với các
trọng số tương ứng U>1 , W2 , ■■ wn, với
của danh mục là Rp =
wỉ — 1- Tỷ suất lợi nhuận
1 WịRi, với kỳ vọng là
n
/ip = E(Rp) =
( 1 .2 )
WiẼ{Ri) ,
i=l
và phương sai được tính theo công thức
ĨI
ơp
Va,r(i?p)
'y ^Wịơịị
i —1
n
n
'y ^ ^ ^ 'WịWjơịịì
i=l j=ljỹéị
(1.3)
trong đó ơịj = Cov( R,. Rj), và ơịi = Cov(Rị, Rị) — VaiRị.
N hận xét 1.2.1. Các công thức tính k ỳ vọng vầ phương sai của danh
mục đầu tư có thể viết dưới dạng ma trận như sau: X ét trường hợp
danh mục đầu tư cố hai tằi sản. Qọi w
W1
ỉầ vector trọng số,
w2
rq!
1t—
b
ỉầ vector k ỳ vọng, vầ £ :=
—11
I1—
E (R2)
b
E ịỉh )
[
1
E (R ) :=
Ỡ12 ơ22
ỉầ ma trận
12
hiệp phương sai. Khi đó ịip vầ ơị có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
Hp =
w i E ( R ị ) + W2E(R2)
E {R i)
Wị
W2
E ( R 2)
Ờị
=
w 'E {R ) ,
=
tvỊơií
+
W2WIƠ 12
+
WịW2ơ i 2
+
w ị ơ 22
1
r
Wỵơ ii
VƯ2Ơ12 Wịơị2
+
+
Wị
WỵƠ22
W2
r
1
IƯ1 W2
=
1.2.3
ơn Ơ12
W\
W2
w 'E w .
Ả nh hưởng của sự đa dạng hóa danh mục đầu tư
Việc đa dạng hóa danh mục đầu tư (tức là có nhiều tài sản trong
danh mục) sẽ làm giảm phương sai của danh mục so với từng tài sản
riêng lẻ. .Để minh họa chõ ảnh hưởng của đa dạng, hóa, chúng ta xét một
số các trường hợp sau đây.
Trường hợp 1:
(trường hợp lý tưởng khi các tài sản không tương
quan với nhau, tức là (cTịj = 0 nếu i ^ j)).
Giả sử ta sẽ xét danh mục đầu tư với các trọng số của các tài sản như
nhau, tức là với n tài sản thì (wị = 1/n, i = 1, 2 , . . . , n).
13
Khi đó, phương sai của danh mục đầu tư là
n
2
®p
y
1 n
^
1
-*■
/ ,YÍ*2^*
i=1
ơ ii
n / , n
i=1
= -ỡiin
(1.4)
Trong công thức trên, ỡịị = y ' -ỉ' , — là phương sai trung bình của các
n
tài sản riêng lẻ, có thề coi là hằng số (tức là không phụ thuộc vào n)
nếu các tài sản trong danh mục được chọn một cách ngẫu nhiên. Công
thức (1.4) cho ta thấy rằng phương sai đaiih mục đầu tư ơp tiến đến 0
khi số lượng của tài sản (trong danh mục đầu tư) tiến đến vô cùng, có
nghĩa là phương sai của danh mục ngày càng giảm khi ta tăng số lượng
tại sản trong danh mục.
Trường hỢp 2:
(là trường hợp thực tế khi giữa các tài sản có sự
tương quan lẫn nhau, tức là
ơịj 7 ^ 0).
Khi đó, phương sai của phương sai của danh mục đầu tư được tính
như sau
n
^
n
n
1
¿¿=1|p * +Ẻ
Ẽ
i—1 j=l ,j^i
ơl
_
1
y -r ơjj
TI
'n
1=1
1
1
n
- 1
n
A
(L5)
y>
ơij
4-^
^
J^
n
(
n
— 1)
i¿=1
= 1 Í=1
j= ijj
( 1.6)
n —1
zn ơii H
n---------ơij
1
(ơii ơij) 4~ @iji
Tt
í1-7)
(1-^)
trong đó ỡịj =
Sj=i.j=Ểj 7 ~ TT là hiệp phương sai trung bình
Tỉ1ĩĩ
X]
của các tài sản, và có thể coi là hằng số nếu các tài sản trong danh mục
được chọn một cách ngẫu nhiên. Trong thực tế, ỡij > 0. Khi đó, nếu số
14
lượng của tài sản trong danh mục đầu tư lớn (tức là n tiến đến vô cùng)
thì phương sai của danh mục ơp sẽ tiến đến ỡjj2, và đây là giá trị nhỏ
nhất mà phương sai của danh mục có thể đạt được.
1.3
Tối Ưu hóa danh mục đầu tư
Danh mục đầu tư tối ưu là danh mục có phương sai nhỏ nhất. Để tìm
danh mục đầu tư tối líu, chúng ta phải giải bài toán tối ưu hóa danh
mục đầu tư sau đây:
min Ớị
Wi
(1.9)
y
với điều kiện
n
E (Rp) =
WiịH = ịi*
và
(1.10)
ỉ=\
n
J 2 wi = ii=1
(1.11)
Điều kiện (1.10) được đặt ra để cho danh mục đạt được một tỷ suất
lợi nhuận cho trước là ịi*. Điều kiện (1.11) là điều kiện để chõ tổng các
trọng số trong danh mục đạt 100%.
Bài toán tối ưu hóa danh mục đầu tư thuộc dạng bài toán tối ưu bậc
hai do hàm mục tiêu, ơp. là hàm bậc hai theo
Wị .
T hật vậy, ơp được tính
toán như sau:
Ớị — Var Ç ÿ ^ ^ jR j) — w'Eiu,
(1-12)
trong đó £ là ma trận hiệp phương sai của các tỷ suất lợi nhuận ứng với
các tài sản trong danh mục.
15
Với mỗi lợi nhuận kỳ vọng
ỊJL *
trong điều kiện (1.10), ta sẽ tìm được
danh mục đầu tư tối ưu ứng với mỗi ị f . Tập hợp tất cả điểm (fjL*,ơp),
nếu vẽ trên mặt phẳng gồm 2 trục tọa độ ứng với trung bình và phương
sai, ta sẽ thu được một đường cong được gọi là đường biên hiệu quả.
Đường biên hiệu quả có thể coi như là đường biên chứa các danh mục
tối ưu.
1.3.1
Hình dạng của đường biên hiệu quả
Chẳng hạn, đường biên hiệu quả đối với danh mục đầu tư có 3 tài
sản được cho bỏi hình vẽ sau.
.15r
g
I
Ä
10 Ị-
j
s
ữ
H ình 1.1: Ví dụ về đường biên hiệu quả đối với danh m ục đầu tư có 3 tà i sản
Khi ta thêm tài sản vào danh mục đầu tư, chẳng hạn từ 3 tài sản lên
4 tài sản thì đường biên hiệu quả sẽ dịch chuyển sang bên trái một chút,
tức là tố t hơn đường biên hiệu quả cũ vì đường biên mới có phương sai
thấp hơn trên cùng một giá trị trung bình. Hình vẽ sau đây sẽ minh họa
điều trên .
16
M ean-variance frontiers
Hình 1.2: So sánh đtcờng biên hiệu quả của 2 danh m ục dầu tư
1.3.2
Phương pháp nhân tử Lagrange để tìm danh mục đầu
tư tối ưu
Đ e đơn giản và dễ th eo dõi, ta x é t trường hợp danh mục
gồm h ai tài sản. Bài toán tìm danh mục đầu tư tối ưu được phát biểu
như sau:
m m WuW2(w ịơn + wịơ22 + 2w!W2ơi2)/2
(1.13)
với điều kiện
Wißi + W2H2 = ụ?, và
Wị + u>2 = 1■
Ta sẽ dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán. Trước hết
ta lập hàm Lagrange như sau:
L
(wỊơịị
+
w ị ơ 22
+
2 w i W 2 ơ 12) / 2
+
\ ( ụ * — W i ß i — W 2 H2 )
+
5 (1
— Wị — w 2).
(1.14)
17
Điều kiện đạo hàm bậc nhất ứng với
Wị
là dLỊdvỏi - 0, được cho như
sau:
= 0,
( 1. 15)
2 —<5 = 0.
(1.16)
với W\ : Vửiơn + W 2 Ơ \2 — ẰỊẤị ~
với W2 : Wiơị 2 + W2 Ơ22 —
ỗ
Khi biểu diễn dưới dạng ma trận, các điều kiện bậc một (1-15) và (1.16)
được viết lại như sau:
•711 Ơ12
Wl
ụ-Ị
-X
Phương trình (1.17) với hai ẩn là
-1
=
w2
1 -1
|-
Wị
ơu
Ơ12
Ơ12
Ơ22
W\
/
ÍA
V
(722
1
Ỡnơ22 - °12
và
1-
W2
0
1
0
được giải như sau:
1
Ml
1
(1.17)
w2
Ơ12 &22
ị-
-ỏ
r
-|
1
(1.18)
+ ỗ
1
M2
—&12
—
í*
V
Vi
+5
ụ-2
1
( 1. 19)
1
Viết dưới dạng vector, ta có công thức nghiệm như sau
( 1 .20 )
trong đó 1 là một vector cột mà các phần tử đều bằng 1.
Tiếp theo, ta sẽ biểu diễn A và ẵ trong công thức (1.20) dựa vào những
tham số đã biết như
Ị1 *.
Ta xuất phát từ hai điều kiện ràng buộc như
sau:
ịi*
w2ụ,2 = 0,
1 —u;i —u>2 = 0.
( 1.21)
( 1 .22 )
18
Biểu diễn hai điều kiện ràng buộc này dưới dạng ma trận, ta có
ỊẲ* — ụ!w và 1 = l'w .
(1-23)
Sắp xếp chúng thành một vector 2 X 1 và sử dụng (1.20) ta có
ự
w
V
ụ!
E - \X f i + ỗl)
V
ụỉY,-1^ ụ!Y,~l l
A
v ỵ r lỊi n r 1!
ổ
A
B
A
B
c
ổ
(1.24)
Phương trình (1.24) giúp ta tính được A và ỗ theo công thức sau:
,
C f ? - B
^
s
A — B ịx*
A = ——---- — và ò
AC — B2
AC -
(1.25)
B 2'
Do đó ta tính được dại lượng ịiX + lỗ như sau:
\ụ*(C ụ'-B ) + -L (A -B ụ ')
tl X + U
-
[ ---------------------- Ã C = W ----------------------
-
(1.26)
D.
Thay giá trị ịi\ 4- lố trong (1.26) vào (1.20) ta thu được công thức các
trọng số của danh mục mục đầu tư tối ưu như sau:
w = Ẹ - 1p \ .
(1.27)
Ta cũng thu được phương sai danh mục đầu tư tối ưu như sau:
a ị - ti/Em = (V
'D = Ị ự x r 1!)
( 1.28)
N hận xét 1.3.1. Trong trường hợp danh mục gồm nhiều tài sản, các
công thức (1.27) và (1,28) vẫn có thể áp dụng. Khi đó ma trận hiệp
phương sau £ sẽ ỉà ma trận n X n và vector n* sẽ là vector n X 1.
Tóm lại, để xác định đường biên hiệu quả, ta thực hiện các bước sau
đây.
Các bước xác định đường biên hiệu quả
1. Xác định các ma trận A, B, v ầ C trong (1.24):
2. Chọn một giá trị cụ thể cho tỷ suất lợi nhuận Ị1 *:
(a) xác định vector cột D như trong (1.26);
(b) tính toán các trọng số tối ưu của danh mục đầu tư trong
(1.27);
(c) tính toán phương sai ơp của danh mục đầu tư tối ưu như
trong (1.28);
(d) xác định cặp điểm ( //, ơp).
3. Lặp lại Bước 2 với các giá trị khấc nhau của ụ,*. Sau mỗi bước
lặp ta xác định được những cặp điểm mới (ịi*, ơp).
4. Nối các cặp điểm (¿í*,
20
1.4
Đường biên hiệu quả trong trường hỢp có thêm
tài sản phi rủi ro
1.4.1
P hát biểu bài toán
Tài sản phi rủi ro, chẳng hạn như tiền gửi ngân hàng, trái phiếu, ...
sẽ cho tỷ suất lợi nhuận với phương sai là 0 và trung bình là Rf. Thông
thường R f sẽ thấp hơn so với cổ phiếu (do cổ phiếu có tỷ suất lợi nhuận
với phương sai dương nên phải có giá trị trung bình cao hơn t t ì mới hấp
dẫn được nhà đầu tư). Ta xét danh mục đầu tư gồm 2 tài sản rủi ro và
1 tài sản phi rủi ro. Khi đó, tỷ suất lợi nhuận của danh mục đầu tư là
Rp
=
W ị R i + W2R
2
+
— W2)Rf
= Wi(Ri — Rf) + W2(ỈỈ2 — R ị) + Rf
— w \R ị + W2R 2 + R f ,
(1.29)
trong đó R*ị — Rị — R f được gọi là ỉà lợi nhuận vượt ngưỡng của tài sản
thứ i .
B ài toán tố i ưu hóa danh mục đầu tư trở thành:
m i n d e r n + w ị ơ 22 + 2ií7iU)2ỡ ì2) / 2
Wi,u>2
(1.30)
với điều kiện
Wlßt+U>2ß% + R f = A¿v
trong đó Ịiị =
ỉ = 1,2. Chú ý rằng trong bài toán trên không có
rằng buộc về tổng trọng số, vì ta đã đưa ràng buộc đó vào trong hàm
mục tiêu.
21
1.4.2
Phương pháp nhân tử Lagrange
Trước tiên ta lạp hàm Lagrange như sau:
L=
{wỊơn + ióịơ22 + Í1W\W‘IƠ\2)ỊC
Ằ + \{ịi* - Vũiịiị - W2fjị - Rf)(1.31)
Điều kiện đạo hàm bậc một tương ứng với Vũi là dL/dwị = 0, tức là
với (wì) : Wịơịi +
—ằịxỊ = 0,
(1.32)
với (1 Ư2 ) : w \ơi 2 JrW 2ơ 2 2 ~ ^ 2 = ^-
(1.33)
W 2 Ơ \2
Các biểu thức này tương tự (1.15)-(1.16). Ta có thể viết chúng dưới dạng
m a trận như sau:
Ị-
1
1 -1
Wị
—
w2
ơ 11
C 12
Ơ12
Ơ22
1
1-
A
i4
vị
hay viết dưới dạng ma trận như sau:
(1.34)
Để tính A, ta dựa vào điều kiện ràng buộc
0 = ịi* - lUiụị - w2ụị ~ Rf,
(1.35)
hoặc viết dưới dạng ma trận như sau
ịi* — W f i e — R f —
0.
Từ đó suy ra thay (1-34) trong (1.35) ta được
ị f = w' ịxe + R f
= A(fi')'£ “ V + R f ■
(1.36)
(1.37)
22
Do đó
A
fl* — R ị
(/xe)'E lịiỀ
Thay À trở lại (1.34) ta thu được công thức tính trọng số tối ưu cho
danh mục đầu tư là:
w =
-¿u ịi
.
(1.38)
Từ công thức tính trọng số tối ưu (1.38), ta se tính được phương sai như
sau:
Ớị = u/Eiu.
(1.39)
