BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ VÂN ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VỚI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Khuất Văn Ninh

HÀ NÔI - 2015


2
LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của
thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp em rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Em xin bày tỏ lịng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cơ giáo dạy cao
học chun ngành Tốn Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt
q trình học tập nghiên cứu và hồn thành luận văn.

H à N ộ i , t h á n g 11 n ă m 2 0 1 5

Học viên

Lê Thi Vân Anh
LỜI CAM ĐOAN


3
Tơi xin cam đoan luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của thầy PGS.TS. Khuất Văn Ninh.
Trong q trình nghiên cứu và hồn thành luận văn, tôi đã kế thừa
thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

H à N ộ i , t h á n g 11 n ă m 2 0 1 5
Học viên

Lê Thị Vân Anh


Mục lục


5
MỞ ĐẦU

1.

Lý do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình với toán tử đơn điệu đã được các nhà toán học quan
tâm nghiên cứu từ những năm sáu mươi của thế kỷ 20. Có thể kể đến các cơng trình
của


các

nhà

tốn

học

như

P.I.Kachurovski,

M.M.Vainberg,

M.I.Visik,

M.A.Crasnoselski, F.E.Browder, G.J.Minty, J.L.Lions, R.T.Rockafellar,.... Phương
pháp toán tử đơn điệu đã được áp dụng phổ biến trong lí thuyết phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến. Những vấn đề được quan tâm là sự tồn tại nghiệm của phương trình,
các phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào những lớp phương trình cụ
thể. Cho đến nay lí thuyết phương trình với toán tử đơn điệu đã thu được những kết
quả rất phong phú.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương trình với tốn tử đơn điệu nên tơi
đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn
điệu” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2.

Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình tốn tử đơn điệu, ứng
dụng giải một số phương trình tốn tử đơn điệu cụ thể.

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình tốn tử đơn điệu.


6

4.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

-

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình với tốn tử đơn điệu.

-

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, các phương
pháp giải xấp xỉ phương trình, ứng dụng giải một số phương trình tốn tử đơn điệu cụ
thể.

5.

Phương pháp nghiên cứu

-


Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi
phân.

-

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.

-

Phân tích tổng hợp và hệ thống hóa.

6.

Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. Áp dụng giải một số phương trình toán tử
đơn điệu cụ thể.


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tác giả trình bày một số khái niệm và định lý Giải tích hàm như khơng gian metric, khơng gian
Banach, phép tính vi phân trong khơng gian Banach, khơng gian Hilbert. Trong chương này trình bày một số khái niệm đơn
điệu, một số khái niệm liên tục và một số tính chất của tốn tử.

1.

Khơng gian metric, ngun lý ánh xạ co


.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X Ỷ cùng với một ánh xạ d : X X X —> M thỏa mãn các tiên đề
sau đây:

1) (Va;, y € X)d (X , y) > 0, d (x, y) = 0 <í=> X = y, (tiên đề đồng nhất);
2) (Va;, y € X)d (X , y) = d (y, X ), (tiên đề đối xứng);
3) (Va;, y,z e X) d (X , y) < d (x, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác).

Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử X , y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Các
tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là X = (x,d ).

Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric X = (X,d). Một tập con bất kỳ XQ Ỷ $ của tập X cùng với metric d trên X lập
thành một không gian metric. Không gian metric .Xo = (X0,d) gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho.

Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric X = (X, d), dãy điểm (x n) c X, điểm x 0 G X. Dãy điểm (x n) gọi là hội tụ tới
điểm X o trong không gian X khi n —> 00, nếu Ve > 0, 3n0 G N *, Vn > n 0 , thì d (x n , £0) < e, kí hiệu là


lim x n = X Q hay x n —> X o (n —> oo).
n—>oo
Điểm X Q còn gọi là giới hạn của dãy ( x n ) trong không gian X.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric X = (x,d ). Dãy (x n ) c X được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu Ve >

0,3n e G N* : d (x n , x m) < e, Vn, m > n e . Nếu mọi dãy Cauchy trong không gian metric X đều hội tụ thì X được gọi là
khơng gian metric đầy.


.2

Ngun lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian metric. Ánh xạ A : X —> X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số a, 0 < a < 1 sao
cho
d ( A x , Ay ) < a d ( x , y ) y x , y G X .

Định lý 1.1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ khơng gian metric đầy đủ (x,d ) vào chính nó đều
có một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm X * G X thỏa mãn Ax* = X * , X * là giới hạn của dãy
(x n), x n = A (æn_i), n = 1, 2,..., x 0 G X tùy ý và
<ỵn
d ( x n , x * ) < ------ d ( x u x 0 )
1— a
d { x n , x * ) < — ^ — d (x n , x n - i ) , n = 1,2,...
1 — 0;
trong đó 01 là hệ số co của ánh xạ co Ẩ.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ Xo € X và lập dãy x n = A (x n -i), n = 1,2,... ta được:
d { x 2 , X ị ) = d ( A x i , A X Q ) < a d ( x i , £o) = o i d (A X Q , a:o), d { x z , x 2 ) = d { A x 2, A x \ ) <
a d ( x 2 , X i ) < a 2 d (A X Q , a:o),

d ( x n + 1 , x n) = d ( A x n , A x n - ị ) < a d ( x n , x n - 1) < a n d ( A x 0 , x 0 ) , n = l , 2 , . . .
Từ đó suy ra Vn,p = 1, 2,... ta có
p
p
an+fc 1
d (íCn+p, x n ) ^ đ { A x n + k , A X n + k ^ ) < d { A x 0, X o )
“
fc=l

fc=l


an _ an+p
an
= —-----------d ( A x 0 , x 0 ) < - -----d ( A x 0 , X O ) .
1 — 0!
1 — dí
Vì 0 < dí < 1 nên lim d (x n + p , x n ) = 0,Vp £ N* nghĩa là (x n ) là day cơ
n—¥ữo
bản trong khơng gian metric đầy (V, d), từ đó tồn tại lim x n = X* e X.
n—¥ữo
Ta có
d ( A x * , X *) < d ( A x * , x n ) + d (x n , X *) = d ( A x * , A x n - i ) + d (x n , X *)
< a d ( x n - i , X * ) + d (x n , X * ) , Vn = 1 , 2 , . . . .
Cho n —>• oo ta được d (Ax*, X*) = 0 hay Ax* = X*, nghĩa là X* là điểm bất động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y * € X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì
d ( x * , y * ) = d (A x * , Ay * ) < a d (X * , y * )
=>■ (1 — a) d ( x * , y * ) < 0 = > d ( x * , y * ) = 0, (0 < a < 1)
=> X* = y*.
Vậy X * là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A . Từ bất đẳng thức đã chứng minh ở trên ta có
d { x n + p , x n) < j ^ - ^ d ( A x 0 , x 0 )
^(^n+pJ^n) — 2
Cho p —> 00 ta được d ( x n , X *) <

(ỵ d (*^1) Xo) ■

—d i x iì £<])• Ta lại có

d { x n , x * ) = d (Axn_i, Ax*) < d (Axn_i, Axn) + d (Axn, Ax*)

< Oid (xn, xn-i) + ad {xn,x*)
=> (1 - a ) d { x n , X * ) < a d ( x n , x n - i )
= > d (x n , X *) < T- ^ — d ( x n , xn_i).
1—a

(Định lý được chứng minh)

□


2.

Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1. ( Không gian định chuẩn) Một khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) là khơng
gian tuyến tính X trên trường p ( p = M hoặc p = c ) cùng với một ánh xạ X —> M, được gọi là chuẩn và ký hiệu là ||.||
thỏa mãn các tiên đề sau:

1 ) (Va; € A) ||a;|| > 0, ||a;|| = 0 X = ớ;
2 ) ( \ / x € A) (Va € p ) ||aa;|| = |a| ||a:||;
3 ) { V x , y e X ) \ \ x + y II < ||z|| + ||yII■


SỐ II2; II gọi là chuẩn của vectơ X. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề
chuẩn.
Định lý 1.2.1. Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt
d ( x , y ) = ||x - y II , V x , y G X, khi đó d là một metric trên X.

Định nghĩa 1.2.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
tới điểm X £ X nếu lim \\x n — rc11 = 0, ký hiệu là lim x n = X hay x n —> X (n —> 00).

X-¥00

X-¥00

Định nghĩa 1.2.3. (Sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh) Cho X là không gian định chuẩn, X* là không gian liên hợp của X , (x n)
G X, X G X .
- Dãy (x n) được gọi là hội tụ theo chuẩn hay hội tụ mạnh đến X khi và chỉ khi
lim \\x n — re11 =0 , ký hiệu: x n —> X .
7 1 —y 00
- Dãy (x n) hội tụ yếu đến X khi và chỉ khi V/ G X* thì lim / (x n) = / (z), ký hiệu: x n X .
n—ì 00
Định nghĩa 1.2.4. (Dãy cơ bản) Dãy điểm (x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu
lim \\x n — x m || = 0

m,n
Định nghĩa 1.2.5. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản
trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Xét khơng gian vectơ k - chiều, với mỗi X G Mfc,
l~k
X = (xi,X 2, ■■■,XỊ í ) đặt II2;II = \ Ỵ2\xị\ , khi đó Mfc là khơng gian Banach.


Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được Mfc là không gian định chuẩn. Lấy (x n ) là dãy cơ bản
trong Mfc, x n = (x^, x^\ ...,
0, nghĩa là

k ,N

. Ta có lim \\x n — x m II =
1 771,71^-00

/

V

(Ve > 0) (3M eN*) (Vm, n > M) : \\x n — x m II < e
N2
3=1 (n)
< e2.

Suy ra (với mỗi j cố định, 1 < j < k ), (Ve > 0) {3Mj G N*) (Vm, n > Mj)
cơ bản hội tụ. Ký hiệu X j = lim x[ n \j = 1, k nghĩa là
e. Vậy với
j cốJ định thì dãy ^"^là một dãy
n mỗi
—V ÍYI
(n)
ta có
<
(Ve > 0) (Vj = 1, 2,..., fc) (3M5- G W) (Vn > Mj),
ta có
Đặt X = ( X j ) . = Y ^ , ta sẽ chứng minh (£„}) hội tụ đến X. Đặt
(n)
<
rư* ' _'
MQ = max {Mi, M2,...,
thì
y /Mfc}
k
(n ) _
X- Xj


• vA- '
k
3 =
1

(n)

; 2 .......*
2 / k <Í 2 ^\£
V3 = 1

(n)
rư* '_
_'
•Lj
rư*
(n)
X- Xj

< e.

Vậy (x n) hội tụ đến X.
Định nghĩa 1.2.6. (Đạo hàm Fréchet) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn,
u là tập mở trong X , X o G u , toán tử / : u —> Y. Nếu tồn tại tốn tử tuyến tính
bị chặn A (s0) : X —> Y sao cho

lim
MI


\\f(xo + h)-f(xo)-

=


thì tốn tử A (ỉo) h được gọi là vi phân mạnh hay vi phân Fréchet tại X o ký hiệu là
D Ị (ỉo, h ) và tốn tử tuyến tính A (ỉo) được gọi là đạo hàm mạnh hay đạo hàm
Fréchet của / tại x 0 kí hiệu là /' (æ0).
Định nghĩa 1.2.7. (Đạo hàm Gâteaux) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, ư là
tập mở trong X, x 0 G ư , toán tử / : ư —> Y . Nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn A
(ỉ0) : X —> Y sao cho
lim A x o + t h ) - f ( x 0 ) = A / ) h y h e x
thì tốn tử A (ỉo) h được gọi là vi phân yếu hay vi phân Gâteaux tại X o ký hiệu là
D w f (æ0, h ) và tốn tử tuyến tính A (ỉ0) được gọi là đạo hàm yếu hay đạo hàm
Gâteaux của / tại X o với số gia h, kí hiệu là f' w (ỉo) h
Định nghĩa 1.2.8. Cho X là không gian định chuẩn, X* là không gian liên hợp của X,
X ** = (X*)*. Không gian X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X**.
Định lý 1.2.2. Giả sử X là không gian Banach, X* là không gian liên hợp của X. Khi
đó X* là khơng gian phản xạ khi và chỉ chi X phản xạ.
Định nghĩa 1.2.9. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu từ các
điều kiện ||a:|| < 1, ||y|| < 1 và X Ỷ y 'thì suy ra ||ỉ + y II < 2.
Định nghĩa 1.2.10. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi đều nếu Ve > 0,
3Ố (e) > 0 sao cho Vx,y mà ||a:|| < 1, ||y|| < 1; ||rr + y II > £ thì suy ra ||æ — y II < 2 (1
— ố (s:)).
Định lý 1.2.3. Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản xạ.
Định lý 1.2.4. Nếu X là không gian Banach lồi đều thì từ hai điều kiện x n —' X trong
X và llalli —>• ||a:|| thì x n —> X .
Định lý 1.2.5. (Định lí Banach-Steinhaus) Giả sử X là không gian Banach, Y là không
gian định chuẩn. (A n) là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục A n e L (X, Y).
Nếu với mỗi X G X dãy (||Ẩn (ỉ)||) bị chặn thì các chuẩn (||Ẩn||) bị chặn. (Dãy (||Ẩn



(æ)||) bị chặn nghĩa là 3c (æ) > 0 sao cho \\A n (æ)|| < c (æ), Vn). Chú ý: Khi dãy (||
Ẩn||) bị chặn thì suy ra dãy (||Ẩn (æ)||) cũng bị chặn.
Định lý 1.2.6. Dãy (x n ) trong không gian định chuẩn X hội tụ yếu đến X khi và chỉ
khi dãy (||æn||) bị chặn và lim / (x n ) = / (æ), V/ G X*.
n—► 00
Chứng minh. Theo giả thiết x n — k X khi n —> 00 nghĩa là V/ G X* thì
lim / (x n ) = f (x)
=> lim (/ {x n ) - f (x)) = 0 hay là lim / (x n - x) = 0.
n-¥ 00
n-¥ 00
Suy ra dãy số (/ (x n — æ)) bị chặn nên tồn tại c > 0 sao cho
I/ {x n - z)| < c.
Ta có X c X ** nên coi (x n — x) G x**, khi đó I/ ( x n — æ)| < c. Dãy phiếm hàm
( x n — x ) bị chặn tại từng điểm / G X*. Theo nguyên lý bị chặn đều thì
11 xn — X 11 < C \ , Vn
=>• ||a:„|| < \ \ x n — æ|| + ||a:|| < C ị + ||a:|| = C2, Vn.
(Định lý được chứng minh)

□

Định lý 1.2.7. Giả sử M là tập con lồi đóng của khơng gian Banach X khi đó mỗi X Ệ
M tồn tại một phiếm hàm / G X* sao cho
ự , x ) > Sup ( f , y ) .
yeM
Định lý 1.2.8. Giả sử M là tập con lồi đóng của khơng gian Banach X và ( x n ) là một
dãy con trong M hội tụ yếu khi đó giới hạn X của dãy đó cũng thuộc M.
Bổ đề 1.2.1. Nếu dãy ( x n ) hội tụ yếu đến X trong không gian định chuẩn X và (/„)
hội tụ mạnh đến / trong không gian liên hợp X * thì

lim ( f n , x n ) = ( f , x ) (/ e X * , x e X ) .
n—¥ 00


Định lý 1.2.9. Nếu X là không gian Banach phản xạ thì mọi hình cầu đóng đều là tập
compăc yếu. Suy ra V (x n ) bị chặn thì
3 (x n J c { x n ) , x n X.
Bổ đề 1.2.2. Nếu tất cả các dãy con hội tụ yếu của một dãy bị chặn (x n ) trong không
gian Banach phản xạ X hội tụ đến cùng một điểm X thì x U k X .
Định nghĩa 1.2.11. Cho X là không gian Banach và X * là không gian lồi chặt. Ảnh xạ
J : X —> X* thoả mãn điều kiện
(Jx,x) = ||æ||^- = ||Jæ||^.
được gọi là tốn tử đối ngẫu trong khơng gian X.
Bố đề 1.2.3. Nếu không gian liên hợp X* của không gian Banach X là khơng gian lồi
chặt thì với mỗi X G X tồn tại duy nhất một phần tử Jx G X* sao cho (Jx,x ) = ||a:||^.
= ||«/a:||^.„.
Bố đề 1.2.4. Giả sử X là không gian Banach phản xạ, X* lồi ngặt, khi đó tốn tử đối
ngẫu J là toán tử demi liên tục.
Bố đề 1.2.5. Giả sử 11 Ễ CKSjX) khi đó Ví, s G S,s < t ta có Sup \\u' (T)|| < +00 và
||ư (t ) — U (s)II < (t — s) Sup \\u' (r)||.
S1.3.
Không gian Hilbert

S
Định nghĩa 1.3.1. (Tích vơ hướng) Cho X là một khơng gian tuyến tính. Ánh xạ iị> :
X X X —> K thỏa mãn các điều kiện:

1) > 0 , V x G X ;

2) 4 > ( x , x ) = Q < = ? X = 8 :
3) T p { x , y ) = i ị ) { y, x ) y x , y G X ]
4) - ộ { a x ỵ + ¡ 5 x 2 , y ) = a i Ị ) { x ỵ , y ) + P ỷ ( x 2 , y ) , Vxi, x 2 , y K,


được gọi là một tích vơ hướng trên X, cịn iị){x,y) được gọi là tích vơ hướng của hai
phần tử X , y và thường được ký hiệu là (x, y).
Nhận xét 1.3.1. Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó có xác định một tích vơ
hướng ( . ), khi đó ánh xạ ||.|| : X —> K xác định bởi ||a;|| = \/(X , x) là một chuẩn trên
không gian X.
Định nghĩa 1.3.2. (Không gian Hilbert) Ta gọi một tập H Ỷ ệ gồm những phần tử
x,y, z,... nào đấy là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P]
2) H được trang bị một tích vơ hướng (., .);
3) H là khơng gian Banach với chuẩn ||a;|| = yj(x, x), X G H.
Ví dụ 1.2. Xét X = Mfc là không gian vectơ thực k chiều. Với Vz =
{xi,x 2 , ...,x k ) eR k ,Vy= {yi,y 2 , ■■■,y k) e Mfc ta đặt
k
{ x , y ) = Y ^ X i Vi .
i= 1
Dễ dàng thấy Mfc cùng với hệ thức trên thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng. Chuẩn
sinh ra bởi tích vơ hướng ở trên là
\\x\\ = y / ( x , x ) = 4 / x ị , x = ( x u x 2 , . . . , x k ) £ M f c
V 71=1
trùng với chuẩn đã biết trong không gian Mfc (ví dụ 1.1), nên khơng gian véc tơ thực
Mfc cùng với tích vơ hướng trên là một khơng gian Hilbert.

1.4.

Toán tử đơn điệu

1.4.1

Một số khái niệm đơn điệu

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là không gian định chuẩn thực, X * là khơng gian liên hợp
của X, tốn tử A: X —> X*.

-

Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu nếu


( A u — Av, u — v ) > 0, Vu , v £ X .

-

Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt (hay đơn điệu thực sự) nếu
( A u — Av, u — v ) > 0, Vư Ỷ v ì Vu ì V £ X .

-

Toán tử A được gọi là d-đơn điệu nếu
(Au — Av, u — v) > (a (||ri||) — a; (liu II)) (11^11 — ||'U||),V'U,'UGX,

trong đó a là hàm số tăng nghiêm ngặt trên [0; +00).

-

Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu
( A u — Av, u — v ) > p ( \ \ u — v \ \ ) , Vu , V £ X ,

trong đó p là hàm số tăng nghiêm ngặt trên [0; +00) và p (0) = 0.

-

Toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số m > 0 sao cho (Au — Av,
u — v) > m\\u — v\\ 2 ,Mu,v £ X.
Nhận xét 1.4.1. - Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì đơn điệu đều với p (s) = ras2.
- Nếu tốn tử A đơn điệu mạnh thì d-ảơn điệu với a (s) = ras.
-Nếu toán tử A đơn điệu đều thì đơn điệu nghiêm ngặt.
-Nếu tốn tử A là (¿-đơn điệu và X là khơng gian lồi ngặt thì A là toán tử đơn điệu
nghiêm ngặt.

1.4.2

Một số khái niệm liên tục

Định nghĩa 1.4.2. Cho X là không gian định chuẩn thực, X * là khơng gian liên hợp
của X, tốn tử A: X —> X*.

-

Toán tử A được gọi là radian liên tục nếu Vit, V € X, t € [0; 1] hàm ip(t ) = (A(u +
tv),v) là hàm số liên tục trên [0,1].

-

Toán tử A được gọi là hêmi liên tục nếu \/u,v, h € X , Ví € [0; 1], hàm ip(t) = (A(u
+ tv), h) liên tục trên [0,1].


-

Toán tử A được gọi là đêmi liên tục nếu u n -7 u thì Au n —" Au.

Tốn tử A được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho II.Alt —
Aitll^-, < M||it — v\\ x ,Vu,v € X.

-

Toán tử A được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm số Ị 1 xác định trên [0,
oo) sao cho Vií, V e X thì
IIAlt — Ai; II < ỊJL{R) ||IÍ — u||, trong đó R = max (||ií|| , ||u||).

1.4.3

Một số tính chất của tốn tử

Định nghĩa 1.4.3. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không gian liên hợp
của X. Toán tử A: X —> X* được gọi là toán tử coercive (toán tử bức) nếu tồn tại
hàm số 7 xác định trên [0; +oo), lim 7 (s) =

s —» + oo

Too sao cho (Alt,lí) > 7(||ií||) ||ií|| , Vií e X.
Nhận xét 1.4.2. - Nếu Ả là tốn tử đơn điệu đều thì Ả là toán tử bức với hàm số 7
được xác định: 7(s) = (s — l)p(l) — ||ẨỚ||.

-

Nếu Ả là toán tử (¿-đơn điệu với hàm a và lim a(t ) = +00 thì A là
t—^ -ị- 00
tốn tử bức với hàm 7(i) = a(t ) — a(0).

-

Nếu J : X X* ìầ toán tử đối ngẫu thì J là toán tử (¿-đơn điệu với a (í) = t, suy ra J là
tốn tử bức.
Định nghĩa 1.4.4. (Tốn tử có tính chất (S')) Cho X là không gian định chuẩn thực,
X * là khơng gian liên hợp của X. Tốn tử A: X —> X * được gọi là tốn tử có tính
chất (s ) nếu từ các điều kiện u n —^ u trong X khi n —> 00 và (Au n — Au, u n —
u) —> 0 thì suy ra u n —> u trong X, tức là ||itn — It|| —> 0 (n —> +oo).
Nhận xét 1.4.3. - Ta thấy rằng nếu A là toán tử đơn điệu thì A có tính chất (s ).

-

Trong khơng gian Banach lồi đều nếu A là tốn tử (¿-đơn điệu thì A có tính chất (S').
Định nghĩa 1.4.5. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không gian liên hợp
của X. Toán tử A: X —> X* được gọi là toán tử khả vi Gâteaux nếu tồn tại toán tử


A' € (X —> L (X, X*)) với Vr(,u, h € X sao cho
lim J ( A ( u + t h ) — A u , V ) = ( A ' (ri) h , v ) .
í—>0 1
(Đây là trường hợp đặc biệt của định lý 1.2.7 trong trường hợp Y = X*).
Định nghĩa 1.4.6. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không gian liên hợp
của X, toán tử A: X —> X*.

- Toán tử A được gọi là toán tử bị chặn nếu mọi tập K bị chặn trong X thì A(K)
bị chặn trong X*.
- Toán tử A được gọi là toán tử bị chặn địa phương nếu Vu tùy ý cố định U G
X, > 0 sao cho mọi V thuộc hình cầu s (u,s) tâm u bán kính £ thì tập A(v) bị chặn.
Nghĩa là 3c > 0, c = const sao cho Vv G (s (ư,e)) thì ịịAvịị^ < c.
Nhận xét 1.4.4. - Nếu A là toán tử liên tục Lipschitz bị chặn thì A bị chặn địa

-

phương.
Nếu A là tốn tử đêmi liên tục thì A bị chặn địa phương.

-

Nếu A là tốn tử bị chặn thì A bị chặn địa phương.
Định nghĩa 1.4.7. Tốn tử A có dạng A = ưA QL được gọi là toán tử mở rộng năng
lượng của toán tử E (với tập xác định tự nhiên là M {E)), với tập xác định là D (E )
và với miền giá trị là R (E). Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

a ) A 0 là tốn tử đêmi liên tục của một khơng gian Banach Y nào đó vào khơng gian liên
hợp của nó là Y*]

b ) L là tốn tử tuyến tính từ một khơng gian Banach phản xạ V nào đó vào Y sao cho ||
Z/it||0 = ||it|| , Vu G V ;

c ) V trù mật và được nhúng liên tục vào khơng gian Hilbert H nào đó sao cho D (E ) c V,
R (E ) c H và có đẳng thức Au = Eu, Vu G D (E ) (đẳng thức này được hiểu trong
không gian V*);

d ) Tập hợp {u\u G (M (E ) n V ), Au G H} = D (E ).

Các nhận xét dưới đây giải thích thêm cho định nghĩa này.
Nhận xét 1.4.5. Từ mở rộng "năng lượng" được sử dụng vì lí do biểu thức (A 0 Lh,
Lh) 0 thường được mô tả như là năng lượng.
Nhận xét 1.4.6. Có thể đưa vào những định nghĩa khác về mở rộng toán tử chẳng
hạn yêu cầu A : V —> V* là toán tử demi liên tục là mở rộng của toán tử E nếu chỉ
cần thực hiện điều kiện (c), (d ) trong định nghĩa 1.4.7 nhưng ta khơng sử dụng định
nghĩa này bởi vì biểu diễn A = ư AQL là điển hình cho các mở rộng.
Nhận xét 1.4.7. Nếu Y là không gian Hilbert và Y = Y* thì từ điều kiện (ờ) suy ra
ƯL e (V —> V*) và nó là tốn tử đối ngẫu J của không gian V.


Chương 2

Một số phương pháp giải phương
trình với tốn tử đơn điệu

Trong chương này tác giả trình bày một số định lý về toán tử đơn điệu, định lý Browder - Minty về sự tồn tại

nghiệm của phương trình. Trong chương này trình bày phương pháp Galerkin, phương pháp lặp và phương pháp chiếu lặp
giải xấp xỉ phương trình với toán tử đơn điệu, mối liên hệ giữa toán tử đơn điệu và toán tử thế.

1.

Một số định lý về toán tử đơn điệu

Bố đề 2.1.1. ữ) Toán tử A £ (X —> X*) là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi mọi U, V £ X cố định hàm số biến số thực
t -> ự>u,v (t ) = ( A ( u + t v ), v )
là một hàm đơn điệu tăng trên [0,1].

ồ) Giả sử toán tử A £ (X —> X*) khả vi Gâteaux và mọi u,v G X cố định hàm t —>• (A' (u + tv) V, v) liên tục
trên [0,1]. Với những điều kiện đó A đơn điệu khi và chỉ khi với U, V G X ta có
{ A ' (ri) V, V ) > 0.
Chứng minh, a) Điều kiện cần: Với ti, t 2 £ [0,1] và giả sử ti < t 2 ta có
< P u , v { h ) - Vu , v (tl) = { A ( u + t 2 v ) , v ) - ( A ( u + t ỵ v ) , v ) =
=

{ A ( u + t 2 v ) - A ( u + t i v ), ( u + t 2 v ) - ( u + t i v ) ) > 0

Điều kiện đủ: Với V = cư — u thì


{ A u - A u , u - u ) = í p u ¡ v (1) - ( p U t V (0) > 0
Điều kiện cần: Với 0 < s < t theo định lý về giá trị trung bình của tích phân thì tồn tại một điểm s0 € [o, s] sao cho

0 < { A ( u + s v ) — A u , s v ) = J ( A ' ( u + t v ) V, s v ) d t =
0
= s2 {A' (-U + So'*-’) v ì v )

chia cho s2 và chuyển qua giới hạn khi s —> 0 ta được {A' [ù)v,v) > 0.
Điều kiện đủ được suy ra từ bất đẳng thức
1
{ A u — Av, u — v ) = f { A ' ( v + t ( u — v ) ) ( u — v ) , u — v ) d t > 0
0
(Bổ đề được chứng minh)

□

Bổ đề 2.1.2. Nếu A : X —> X* là toán tử đơn điệu thì A bị chặn địa phương.

Chứng minh. Giả sử A là tốn tử đơn điệu nhưng khơng bị chặn địa phương, khi đó tồn tại dãy {u n } c x,u n —> u trong
X và IIArinin —>• oo với n = 1,2,.... đặt a n = 1 + IIAíXnll^ ||r¿„ — r¿||. Do A đơn điệu nên Vu G X ta có

1 1
— (A u n , v ) < — ((A u n , u n - u ) + { A ( u + v ) , v + u - u n)) <
Oín
OLn
< 1 + — Il A (u + u) 11Ỷ (||u|| + II« - «n||) < Mi,


trong đó M\ phụ thuộc vào u và V khơng phụ thuộc vào n. Bất đẳng thức trên đúng với (—v) do đó
Từ đó theo định lý Banach-Steinhaus ta có
lim Cin^ ( A u n , v )
n-

— ||ẨitJ| < M = const,
< 00, Vu G X.

nghĩa là
ll^tinll* < Ma n = M (1 + ||i4un||, I\u - u n II).

Chọn 1ĨQ G N* sao cho Vn > n 0 thì ta có M ||it — Itn|| < \ (điều này thực hiện được vì u n —>■ u nên tồn tại n 0 G N* sao

cho với Vn > n 0 thì ||ư — Itn|| < ¿r, khi đó Vn > no thì IIA-Unll^ < 2M. Điều này mẫu thuẫn với giả thiết A không bị chặn
địa phương.
Vậy nếu tốn tử A đơn điệu thì bị chặn địa phương.
(Bổ đề được chứng minh)

□

Hệ quả 2.1.1. Nếu A : X —> X* là tốn tử tuyến tính, đơn điệu thì A liên tục.

Hệ quả 2.1.2. Giả sử A : X —> X* là toán tử đơn điệu và K c X sao cho ||n|| < Mị và (Au,u) < M2,Vn G K. Khi đó tồn tại
hằng số M sao cho ||An||x. < M, Vn G K.
Bố đề 2.1.3. Cho X là không gian định chuẩn, X* là không gian liên hợp của X. Giả sử A : X —> X* là tốn tử đơn điệu.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương với nhau.
ữ) Toán tử A là toán tử radian liên tục;
ồ) Từ điều kiện (/ — Av, u — v) > 0, Vu G X, suy ra Au = /;

c) Từ các điều kiện u n —^ u trong X , Au n —“■ / trong X*


và lim (Au n ,u n ) < (Ị, U ) suy ra Au = /;
n—>oo
d) Toán tử A là toán tử đêmi liên tục;
Nếu K là tập trù mật trong X, thì từ biểu thức (/ — Av, u — v) > 0, Vu G K suy ra Au = /.

Chứng minh, a ) => b): Giả sử toán tử A đơn điệu thỏa mãn điều kiện (a). Giả sử V tùy ỷ, V G X, đặt v t = u — tv,t >
0. Theo giả thiết (/ — Av, u — v) > 0, Vu G X ta có
(/ - Av t ,u - V ị ) > 0, Ví > 0,
hay là
(/ - Av t , tv) > 0,Ví > 0,
khi đó ta có
t (f — Av t ,v) > 0, Ví > 0. Chia cả hai vế cho t ta được
(/ - Av t ,v) > 0, Ví > 0. Do tốn tử A là tốn tử radian liên tục cho
nên
Do V là phần tử tùy ý, V G X cho nên ta có (/ — Au, — V ) > 0 hay
lim (/ — A ( u — t v ) , V ) (/ - Au,v) > 0.
=

( f - A u , v ) < 0.
Từ (2.1) và (2.2) suy ra (/ — Au,v) = 0,Vu G X nên Au = f.

b) => c)'. Giả sử A thỏa mãn (ồ), giả sử u n —‘ u trong X, Au n —“■ /

(2.
(2.2)


trong X * và lim ( A u n , u n ) < ( f , u ), khi đó với Vu G X ta có
n—>oo
ự - Av, u - v ) = ự , u ) - ( f , V ) - ( Av, u - v ) >
> lim { ( A u n , u n ) - ( f , V ) - ( Av, u - v ) ) =
n—¥ 00
= lim ((A u n , u n ) - ( A u n , v ) - ( Av, u n - u)) =
n—>oo
= lim ((Au n — Av, u n — u)) > 0.
n-¥ 00
Do đó (/ — Av, u — v) > 0, Vv G X, nhưng toán tử A thỏa mãn (ò) nên suy ra Au = /.

c) => d): Giả sử toán tử

A đơn

sử u n —> u trong X. Do A đơn điệu

điệu và thỏa mãn điều kiện (c), giả
nên từ bổ đề 2.1.2 suy ra A bị chặn

địa phương cho nên (||Ẩitn||) bị chặn.

Giả sử (x n ) là dãy con của dãy (u n ) sao cho Ax n —" / trong X*. Khi đó lim (Ax n ,x n ) = ( f , u ). Từ (c) suy ra Au = / và
Ax n —" Au. Sử dụng
n — ¥ 00
bổ đề 1.2.2 suy ra dãy Au n —- Au. Như vậy A biến một dãy hội tụ mạnh thành dãy hội tụ yếu theo nghĩa u n —»■ u =>
Au n —" Au. Do đó A là tốn tử đêmi liên tục.

d) => e): Giả sử toán tử
A đơn

điệu và demi liên tục

A đơn

điệu và thỏa mãn điều kiện (d ). Do

suy ra

A radian liên tục. Do A thỏa mãn

mệnh đề (ữ) nhưng (ữ) => (ồ) cho nên ta chỉ cần chứng minh từ giả thiết
(/ — Av, u — v ) > 0, Vu G K => (/ — Av, u — v ) > 0, Vu G X .

Thật vậy do K trù mật trong X nên Vu G X tồn tại dãy (x n) G K sao cho x n —> V trong X . Sử dụng điều kiện demi liên
tục ta có
(/ - Av, u - v ) = lim (/ - A x n ) u - x n ) > 0
= > ( f — Av, u — v ) > 0, Vu G X .
Theo lập luận ở trên suy ra Au = f.