LỜI CẢM ƠN


Hơn hai tháng, thời gian không quá dài để tôi vừa đi thực tập vừa thực
hiện tiểu luận của mình. Tuy gặp nhiều khó khăn về thời gian và phương tiện
nghiên cứu, nhưng tôi đã cố gắng để hoàn thành đề tài này, và tôi đã nhận được
nhiều sự giúp đỡ từ phía thầy cô, bạn bè.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm hướng dẫn tận tình của thầy Đặng
Văn Thuận – người trực tiếp góp ý và chỉnh sửa cho đề tài của tôi. Xin cảm ơn
Ban chủ nhiệm Bộ Môn Toán đã quan tâm và phân công giáo viên hướng dẫn
giúp sinh viên năm cuối nói chung và bản thân tôi nói riêng hoàn thành tiểu luận
tốt nghiệp tốt hơn. Ngoài ra, tôi còn nhận được sự hỗ trợ nhiệt tình của các bạn
lớp Sư Phạm Toán K31.
Dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn không thiếu những sai sót trong
quá trình trình bày đề tài, rất mong được thầy cô và các bạn góp ý để tôi hoàn
thành tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện

Trang1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................1
A.PHẦN MỞ ĐẦU...........................................................................................................3
I. Lý do chọn đề tài:.......................................................................................................3
II. Mục đích nghiên cứu:...............................................................................................3
III. Phạm vi nghiên cứu:................................................................................................3
IV. Phương pháp nghiên cứu:........................................................................................3
V. Nội dung nghiên cứu:...............................................................................................4
B. PHẦN NỘI DUNG.......................................................................................................5
Chương 1: MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN...................................5

1.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng................................................................5
1.1.1. Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng.........................................................5
1.1.2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.................................................................5
1.1.3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng........................................................6
1.1.4. Một số trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng.....6
1.2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.....................................................................7
1.3. Chùm mặt phẳng.................................................................................................7
1.3.1. Định nghĩa...................................................................................................7
1.3.2. Định lí..........................................................................................................7
1.4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng...................................................7
1.5. Một số bài toán liên quan...................................................................................8
Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng...............................................................8
Bài toán 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng..................................................11
Bài toán 3: Chùm mặt phẳng và ứng dụng..........................................................12
1.6. Bài tập tổng hợp................................................................................................16
1.7 Bài tập đề nghị...................................................................................................21
Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN....................23
2.1. Phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng.................23
2.11. Phương trình tham số của đường thẳng......................................................23
2.1.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng..................................................23
2.2. Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng.........................................23
2.2.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.......................................................23
2.2.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng......................................24
2.3. Khoảng cách.....................................................................................................24
2.3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.......................................24
2.3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau..........................................25
2.4. Một số bài toán liên quan.................................................................................25
Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng.........................................................25
Bài toán 2: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng và 32
Bài toán 3: Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm M lên mặt phẳng....................33

Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d.....................35
Bài toán 5: Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng......36
Bài toán 6: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng............................................37
Bài toán 7: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.................................37
2.5. Bài tập tổng hợp:..............................................................................................39
2.6. Bài tập đề nghị:.................................................................................................45
C. KẾT LUẬN.................................................................................................................47
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................48

Trang2


A.PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Kết thúc khoá học tất cả các sinh viên đều phải hoàn tất mười tín chỉ tốt
nghiệp, có thể làm luận văn hoặc học môn thay thế. Tiểu luận tốt nghiệp là một
trong những học phần đó. Vừa để hoàn thành nhiệm vụ của mình cũng vừa để
củng cố và hệ thống kiến thức, tích lũy kinh nghiệm cho việc giảng dạy sau này
tôi đã chọn làm tiểu luận tốt nghiệp về hình học sơ cấp.
Hầu hết học sinh đều hứng thú khi học đến hình học không gian, nhất là
phương pháp tọa độ vectơ trong không gian. Những dạng toán này có thể nói là
đơn giản nhưng để giải những bài toán này đòi hỏi người học phải nắm rõ hệ
thống kiến thức có liên quan và thêm lòng say mê hứng thú với môn học. Với
khuôn khổ của một đề tài tiểu luận tôi đã chọn nghiên cứu về “Mặt phẳng và
đường thẳng trong không gian”. Đó cũng là lý do tôi chọn đề tài tiểu luận này.
II. Mục đích nghiên cứu:
Như đã nói nói trên, đề tài nghiên cứu này giúp tôi hệ thống lại kiến thức
một cách logic. Qua đó giúp tôi phân loại các dạng bài tập liên quan đến mặt
phẳng và đường thẳng trong không gian, tìm hiểu được nhiều phương pháp giải
một bài toán về hình học giải tích, cũng là điều kiện để tôi có dịp nghiên cứu sâu

hơn về hình học giải tích nói chung cũng như ứng dụng của phương pháp tọa độ
để giải các bài toán hình học không gian cổ điển nói riêng. Qua đó thấy được mặt
mạnh của phương pháp tọa độ, là công cụ để giải quyết một số bài toán hình
không gian cổ điển rất hay.
III. Phạm vi nghiên cứu:
Do chỉ dừng lại ở mức độ của một đề tài tiểu luận nên tôi chỉ nghiên cứu
trong phạm vi sách giáo khoa và sách tham khảo hình học lớp 12.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
- Phân tích nội dung có liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong

không gian qua sách giáo khoa, sách tham khảo hình học giải tích lớp 12.

Trang3


- Chọn lọc lại những nội dung cơ bản và cần thiết nhất để củng cố kiến
thức, sau đó đưa ra các dạng toán điển hình thường gặp trong “Đường thẳng và
mặt phẳng trong không gian” cùng các bài tập minh họa.
V. Nội dung nghiên cứu:
Nội dung nghiên cứu bao gồm các vấn đề sau:
Chương 1: Mặt phẳng và các bài toán liên quan
+ Tóm tắt lý thuyết cần nhớ về mặt phẳng.
+ Một số bài toán liên quan (phương pháp giải và các ví dụ)
+ Bài tập tổng hợp
+ Bài tập đề nghị
Chương 2: Đường thẳng và các bài toán liên quan
+ Tóm tắt lý thuyết cần nhớ về đường thẳng.
+ Một số bài toán liên quan ( phương pháp giải và các ví dụ minh họa)
+ Bài tập tổng hợp ( đường thẳng; đường thẳng và mặt phẳng)
+ Bài tập đề nghị


Trang4


B. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1.1.1. Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng
Cho ( α ) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi
ur r
a; b lần lượt là các vec tơ chỉ phương của đường thẳng a và b . Khi đó cặp
r r

( )

vectơ a; b được gọi là cặp vec tơ chỉ phương của mp ( α ) .
Chú ý:
- Mỗi một phẳng có nhiều cặp vectơ chỉ phương (VTCP).
- Hai mặt phẳng phân biệt có cùng cặp VTCP thì song song với nhau.
- Một mặt phẳng ( α ) hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm M và cặp
r r

( )

VTCP a; b của nó.
- Nếu đường thẳng d có VTCP cùng phương với một trong hai VTCP nào đó
của mặt phẳng ( α ) thì d song song hoặc chứa trong ( α ) .
1.1.2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r


r

r

Vectơ n ≠ 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá của n
vuông góc với mặt phẳng ( α ) .
Nhận xét:

r

r

 Nếu vectơ n là vectơ pháp tuyến của mp ( α ) thì k n ( k ≠ 0 ) cũng là vectơ pháp
tuyến của mp ( α ) .
r r
r r
r
r r
 n ⊥ a
r
 Nếu n là VTPT và a; b là cặp VTCP của ( α ) thì:  r r ⇔ n = k  a, b  ; k ≠ 0
 n ⊥ b

( )

Trang5


1.1.3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có

r

VTPT n = ( A; B; C ) có dạng: ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Định lí: Trong không gian Oxyz phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
r
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0 nhận n = ( A; B; C ) làm VTPT.

1.1.4. Một số trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng
a. Nếu D = 0 , mặt phẳng ( α ) đi qua gốc tọa độ.
b. Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0 , mặt phẳng ( α ) có dạng :
By + Cz + D = 0 sẽ chứa hoặc song song với trục x ' Ox .

Tương tự:
 ( α ) có dạng Ax + Cz + D = 0 sẽ chứa hoặc song song với trục y ' Oy
 ( α ) có dạng Ax + By + D = 0 sẽ chứa hoặc song song với trục z ' Oz
c. Nếu A = 0; B = 0; C ≠ 0; D ≠ 0 , mặt phẳng ( α ) sẽ có dạng
Cz + D = 0 khi đó ( α ) song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy

Tương tự:
 ( α ) có dạng Ax + D = 0 sẽ song song hoặc trùng với mặt phẳng Oyz
 ( α ) có dạng By + D = 0 sẽ song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxz
d. Nếu mp ( α )

đi qua ba điểm

a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 thì pt ( α ) có dạng:

A ( a, 0, 0 ) ; B ( 0, b, 0 ) ; C ( 0, 0, c )

x y z

+ + = 1 (1)
a b c

Phương trình (1) gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
2
2
2
e. Nếu mp ( α ) có dạng A0 x + B0 y + C0 z = 0 (2) với A0 + B0 + C0 = 1

Phương trình (2) gọi là phương trình pháp dạng của mặt phẳng ( α )
Đặc biệt: phương trình các mặt phẳng tọa độ là:
 mp Oxy có phương trình : z = 0
 mp Oyz có phương trình : x = 0
 mp Oxz có phương trình : y = 0
Trang6

với


1.2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian cho hai mặt phẳng

ur

( α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 có VTPT là: n1 ( A1 , B1 , C1 )
( α 2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 có VTPT là
ur

uu
r

n2 ( A2 , B2 , C2 ) . Khi đó:

uu
r

1. ( α1 ) cắt ( α 2 ) ⇔ n1 và n2 không cùng phương. ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
ur

uu
r

2. ( α1 ) // ( α 2 ) ⇔ n1 và n2 cùng phương ⇔
3. ( α1 ) ≡ ( α 2 ) ⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A2 B2 C2 D2

A1 B1 C1 D1
=
=
=
A2 B2 C2 D2

1.3. Chùm mặt phẳng
1.3.1. Định nghĩa
Chùm mặt phẳng là tập hợp tất cả các mặt
phẳng cùng đi qua một đường thẳng.

1.3.2. Định lí
Cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cắt nhau.

( P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ; ( Q ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Khi đó phương trình của mọi mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

( P ) , ( Q ) đều có dạng: m1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + m2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 (1)
2
2
Trong đó m và n không đồng thời bằng 0 ( m + n ≠ 0 )

Phương trình (1) được gọi là phương trình của chùm mặt phẳng.
1.4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong mặt phẳng Oxyz cho điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) và mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Gọi d ( M 0 , ( α ) ) là khoảng cách từ điểm M 0 đến mp ( α ) . Ta có:
d ( M 0 , (α ) ) =

A x0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

Chú ý:
 Nếu mp ( α ) song song với mp ( β ) thì: d ( (α ), ( β ) ) = d ( M 0 , (α ) ) với M 0 ∈ ( β )
 Nếu a song song với mp ( α ) thì:

d ( a, (α ) ) = d ( M 0 , (α ) ) với M 0 ∈ ( α )
Trang7


1.5. Một số bài toán liên quan
Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng

 Phương pháp: lập phương trình mặt phẳng ( α ) ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Xác định một điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( α )
r

Xác định VTPT n ( A, B, C ) của ( α )
 Bước 2: Khi đó: ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Chú ý:
r r

 Nếu ( α ) có cặp VTCP là ( a, b ) thì VTPT của ( α ) được xác định

r
r r
n =  a, b 

 Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) luôn có phương trình dạng:

( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Để xác định phương trình mặt phẳng ( α ) ta cần xác định A, B, C .
r

 Mặt phẳng ( α ) có VTPT n ( A, B, C ) luôn có phương trình dạng:

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Để xác định phương trình mặt phẳng ( α ) ta cần xác định D .
Mặt phẳng ( α ) song song mp ( β ) : A x + By + Cz + D = 0 có phương trình dạng:

( α ) : A x + By + Cz + D ' = 0
Để xác định phương trình mặt phẳng ( α ) ta xác định D ' .
 Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:
Lập phương trình mặt phẳng ( α ) biết
r

a. ( α ) đi qua điểm A ( 1, 2,3) và có VTPT n ( 2, −1,3)
r

r

b. ( α ) đi qua điểm B ( 2, −1,1) và có cặp VTCP a ( 2, −1, 2 ) ; b ( 3, −2,1) .
Giải

r

a. Mặt phẳng ( α ) đi qua A ( 1, 2,3) có VTCP n ( 2, −1,3)

( α ) : 2 ( x − 1) − 1( y − 2 ) + 3 ( z − 3) = 0 ⇔ ( α ) : 2 x − y + 3z − 9 = 0
r

b. Gọi n là VTPT của mặt phẳng ( α ) , ta có:

Trang8


r r
r
r r  −1 2 2 2 2 −1 
 n ⊥ a



⇔
n
=
a
r
r

 , b  =  −2 1 , 1 3 , 3 −2 ÷ = ( 3, 4, −1)
 n ⊥ b


r
Mặt phẳng ( α ) đi qua B ( 2, −1,1) có VTPT n ( 3, 4, −1)

( α ) : 3 ( x − 2 ) + 4 ( y + 1) − 1( z − 1) = 0 ⇔ ( α ) : 3 x + 4 y − z − 1 = 0
Ví dụ 2
Lập phương trình mặt phẳng ( α ) biết:
a. Mp ( α ) đi qua M ( 3, 2, −1) và song song với mặt phẳng ( β ) có phương trình
x − 5y + z = 0

b. Mặt phẳng ( α ) đi qua 2 điểm M ( 0,1,1) ; N ( −1, 0, 2 ) và vuông góc với mặt
phẳng x − y + z + 1 = 0
Giải:
a. Vì ( α ) // ( β ) : x − 5 y + z = 0 nên phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng:

( α ) : x − 5y + z + D = 0
Do M ( 3, 2, −1) ∈ ( α ) nên: 3 − 5.2 + (−1) + D = 0 ⇔ D − 8 = 0 ⇔ D = 8
Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) là: x − 5 y + z + 8 = 0
r


b. Đặt ( β ) : x − y + z + 1 = 0 ⇒ n = ( 1, −1,1) là VTPT của mp ( β )
r

Vì ( α ) ⊥ ( β ) nên n là VTCP của mp ( α ) .
Vì ( α ) đi qua hai điểm M , N và vuông góc với mp ( β ) nên mp ( α ) có cặp
uuuu
r

r

VTCP là: MN = ( −1, −1,1) và n = ( 1, −1,1)
uur

uuuu
r r

Suy ra: VTPT của mp ( α ) là nα =  MN , n  = ( 0, 2, 2 ) .
uur

Mặt phẳng ( α ) đi qua M ( 0,1,1) có VTPT nα = ( 0,1,1)
⇒ ( α ) : 0 ( x − 0 ) + 2 ( y − 1) + 2 ( z − 1) = 0 ⇔ ( α ) : y + z − 2 = 0

Ví dụ 3:
1. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB biết A ( 1,3, −2 ) và
B ( 1, 2,1) .

2. Lập phương trình mp ( α ) chứa đường thẳng AB và song song với CD ,
trong đó A ( 5,1,3) ; B ( 1, 6, 2 ) ; C ( 5, 0, 4 ) ; D ( 4, 0, 6 ) .
Trang9



3.Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 ( 1, 0, −2 ) và vuông góc với hai
mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − z − 2 = 0 và ( Q ) : x − y − z − 3 = 0
Giải
1. Gọi ( α ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Khi đó:
1+1

 xI = 2 = 1

3+ 2 5

=
 yI =
2
2

−2 + 1
1

 zI = 2 = − 2


 5 1
⇒ I  1, , − ÷
 2 2

Vì ( α ) là mặt phẳng trung trực của AB và I là trung điểm của AB nên
I = ( α ) ∩ AB
uuur

uuur
uuur
Ta có: AB ⊥ ( α ) ⇒ AB là VTPT của mp ( α ) , với AB = ( 0, −1,3)
uuur
VTPT AB = ( 0, −1,3)

Mặt phẳng ( α ) được xác định bởi: 
 5 1
 qua I  1, , − ÷
 2 2




5

1

 

uuur
uuur
2. Vì mp ( α ) chứa AB và ( α ) // CD nên AB và CD là

Phương trình mp ( α ) : 0 ( x − 1) − 1 y − ÷+ 3  z + ÷ = 0 ⇔ y − z − 4 = 0
2
2

cặp VTCP của mp ( α ) .
r


uuu
r uuur

Khi đó: VTPT của mp ( α ) là: nα =  AB, CD 
uuur

uuur

Ta có: AB = ( −4,5, −1) & CD = ( −1, 0, 2 )
r
⇒ nα = ( 10,9,5 )
r

Mặt phẳng ( α ) đi qua A ( 5,1, 3) có VTPT nα = ( 10,9,5 )
Phương trình mp ( α ) : 10 ( x − 5 ) + 9 ( y − 1) + 5 ( z − 3) = 0
⇔ ( α ) : 10 x + 9 y + 5 z − 74 = 0

3. Ta có:

( P ) : 2x + y − z − 2 = 0

uur
uur
⇒ nP = ( 2,1, −1) ; ( Q ) : x − y − z − 3 = 0 ⇒ nQ = ( 1, −1, −1)

Trang10


( α ) ⊥ ( P )

Vì 
( α ) ⊥ ( Q )

mà

uur uur

uur
uur
( α ) // nP
 n P ⊥ ( P )
⇒
uur
 uur
 n Q ⊥ ( Q )
( α ) // nQ

Do đó nP ; nQ là cặp VTCP của mp ( α )
uur uur uur
⇒ VTPT của mp ( α ) là: nα =  nP , nQ  = ( −2,1, −3)

Mặt

( α ) được

phẳng

xác

định


bởi:

uur
VTPT nα = ( 2,1, −3)

 qua M 0 = ( 1, 0, −2 )

Phương trình mp ( α ) : −2 ( x − 1) + 1( y − 0 ) − 3 ( z + 2 ) = 0
⇔ ( α ) : 2 x − y + 3z + 4 = 0

Bài toán 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
 Phương pháp: Sử dụng các kiến thức đã nêu ở trên.
 Các ví dụ cơ bản:
Ví dụ 1
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a. x + y + z − 1 = 0 và 2 x + 2 y + 2 z + 3 = 0
b. 3 x − 2 y + 3 z + 5 = 0 và 9 x − 6 y − 9 z − 5 = 0
c. x − y + 2 z − 4 = 0 và 10 x − 10 y + 20 z − 40 = 0
Giải:
a. Nhận xét rằng:

1 1 1
1
= = ≠−
⇒ Hai mặt phẳng song song với nhau.
2 2 2
3

b. Nhận xét rằng:


3 −2 3
=
≠
9 −6 −9

c. Nhận xét rằng:

1
−1
2
−4
=
=
=
10 −10 20 −40

⇒ Hai mặt phẳng cắt nhau.
⇒ Hai mặt phẳng trùng nhau.

Ví dụ 2:
Trong không gian cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) lần lượt có phương trình là:

( P ) : 2 x − my + 3z − 6 + m = 0 và ( Q ) : ( m + 3) x − 2 y + ( 5m + 1) z − 10 = 0 .
Với giá trị nào của m thì:
a. Hai mặt phẳng đó song song?
b. Hai mặt phẳng đó trùng nhau?
Trang11



c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau?
d. Hai mặt phẳng đó vuông góc nhau?
Giải:
a. Để hai mặt phẳng song song nhau thì:
 m = 1; m = −4
 m 2 + 3m − 4 = 0


2
m
3
6−m
6

= =
≠
⇔ 5m 2 + m − 6 = 0 ⇔  m = 1; m = − ⇒ vô nghiệm
m + 3 2 5m + 1
10
5
10m ≠ 12 − 2m


 m ≠ 1

Vậy không tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song.
b. Để hai mặt phẳng trùng nhau thì:
m 2 + 3m − 4 = 0

2

m
3
6−m
= =
=
⇔ 5m 2 + m − 6 = 9 ⇔ m = 1
m + 3 2 5m + 1
10
10m = 12 − 2m


Vậy với m = 1 thì hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) trùng nhau.
c. Để hai mặt phẳng cắt nhau thì
 −5m 2 − m + 6 ≠ 0
uur uur
r
r
 nP , nQ  ≠ 0 ⇔ −5m 2 − m + 6; −7m + 7; m 2 + 3m − 4 ≠ 0 ⇒ −7 m + 7 ≠ 0
⇔ m ≠1


 m 2 + 3m − 4 ≠ 0


(

)

Vậy với m ≠ 1 thì hai mặt phẳng cắt nhau.
uur


uur

d. Gọi nP và nQ lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
uur
uur
nP ( 2, − m, 3) và nQ = ( m + 3, −2, 5m + 1)
uur uur
Để ( P ) và ( Q ) vuông góc nhau thì: nP .nQ = 0
⇔ 2 ( m + 3) − m ( −2 ) + 3 ( 5m + 1) = 0 ⇔ 19m = −9 ⇔ m = −

Vậy với m = −

9
19

9
thì hai mặt phẳng trên vuông góc nhau.
19

Bài toán 3: Chùm mặt phẳng và ứng dụng
Phương trình chùm mặt phẳng có dạng:
m1 ( A1 x + B1 y + C1 z ) + m2 ( A2 x + B2 y + C2 z ) = 0

(1)

Ta có thể sử dụng kiến thức chùm mặt phẳng đã nêu trên để lập phương
trình mặt phẳng với các dạng sau:
Dạng 1: Mặt phẳng của chùm đi qua điểm M cho trước, khi đó:
Trang12



Bước 1: Thay tọa độ của điểm M vào (1) ta được mối liên hệ giữa m và n, kí
hiệu là: k1m = k2 m2 (2)
Bước 2: Thay (2) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm.
Dạng 2: Mặt phẳng của chùm song song với một mặt phẳng ( Q ) cho trước, khi
đó:

uur

Bước 1: Xác định VTPT n = ( a, b, c ) của ( Q )
Q

r uur

Bước 2: Mặt phẳng của chùm song song với ( Q ) khi n // nQ ⇔ k1m = k2 m2

(3)

Bước 3: Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm.
Dạng 3: Mặt phẳng của chùm vuông góc với một mặt phẳng ( Q ) cho trước, khi
đó:

uur

Bước 1: Bước 1: Xác định VTPT n = ( a, b, c ) của ( Q )
Q

Bước 2: Mặt phẳng của chùm song song với ( Q ) khi
r uur

r uur
n ⊥ nQ ⇔ n.nQ = 0 ⇔ k1m = k 2 m2

(4)

Bước 3: Thay (4) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm.
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm M ( x0 , y , z0 ) bất kì đến mặt phẳng của chùm
0

là h
Bước 1: d ( M , (α ) ) = h ⇔ k1m = k 2 m2

(5)

Bước 2: Thay (5) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm.
 Các ví dụ cơ bản:
Ví dụ 1:
Cho điểm M ( 1, 0,5 ) và hai mặt phẳng ( P ) & ( Q ) có phương trình:

( P ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0
( Q) : x + y − z + 5 = 0
a. Tính khoảng cách từ điểm ( M ) đến mặt phẳng ( P ) .
b. Lập phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến của ( P ) & ( Q ) đồng
thời vuông góc với mặt phẳng ( T ) có phương trình: 3 x − y + 1 = 0
Giải:
a. Khoảng cách từ M đến ( P ) là:

Trang13



d ( M ,( P) ) =

2.1 − 0 + 3.5 + 1
2 +1 + 3
2

2

2

=

18
14

b. Gọi ( d ) = ( P ) ∩ ( Q )
 Vì ( d ) ⊂ ( R ) nên ( R ) thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi đường thẳng ( d ) .
Khi đó phương trình mặt phẳng ( R ) có dạng:

( R ) : m ( 2 x − y + 3z + 1) + n ( x + y − z + 5 ) = 0

∀m, n : m 2 + n 2 > 0

⇔ ( 2m + n ) x − ( m − n ) y + ( 3m − n ) z + m + 5n = 0 (1)
uur
Khi đó: VTPT của mp ( R ) là: nR = ( 2m + n, − m + n,3m − n )
uu
r

 Vì ( R ) vuông góc với mặt phẳng ( T ) : 3 x − y + 1 = 0 có VTPT là: nT = ( 3, −1, 0 )

nên:

uur uu
r
uur uu
r
nR ⊥ nT ⇔ nR .nT = 0

⇔ 3 ( 2m + n ) − 1( − m + n ) + 0 ( 3m − n ) = 0

2
⇔ 7 m + 2n = 0 ⇔ m = − n
7

(2)

Thay (2) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng ( R )

( R) :

3
9
13
33
nx + ny − nz + = 0 ⇔ 3 x + 9 y − 13 z + 33 = 0 .
7
7
7
7


Ví dụ 2:
Cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) có phương trình:

( P ) : x + y + z − 2 = 0,

( Q) : 2x − 3y + z + 2 = 0

a. Chứng tỏ ràng hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với nhau.
b. Lập phương trình mặt phẳng ( R ) chứa giao tuyến của ( P ) và ( Q ) đồng thời đi
qua điểm M ( 1, 2,3) .
uur

uur

Giải

a. Gọi nP và nQ lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q )
uur
⇒ nP = ( 1,1,1)
uur
( Q ) : 2 x − 3 y + z + 2 = 0 ⇒ nQ = ( 2, −3,1)
uur uur
Khi đó: nP .nQ = 1.2 − 1.3 + 1.1 = 0
uur uur
⇔ nP ⊥ nQ ⇔ ( P ) ⊥ ( Q ) (đpcm).

Ta có: ( P ) : x + y + z − 2 = 0

Trang14



b. Ta có:
 Vì mp ( R ) chứa giao tuyến của ( P ) và ( Q ) nên phương trình mặt phẳng ( R ) có
dạng:

( R ) : m ( x + y + z − 2) + n ( 2x − 3 y + z + 2) = 0

∀m, n : m 2 + n 2 > 0

⇔ ( m + 2n ) x + ( m − 3n ) y + ( m + n ) − 2m + 2n = 0

(1)

 Vì mp ( R ) đi qua M ( 1, 2,3) nên:

( m + 2n ) .1 + ( m − 3n ) .2 + ( m + n ) .3 − 2m + 2n = 0 ⇔ 4m + n = 0 ⇔ n = −4m

(2)

 Thay (2) vào (1) ta được phương trình mp ( R ) cần tìm: 7 x − 13 y + 3z + 10 = 0 .
Ví dụ 3:
Cho hai mặt phẳng ( P ) và họ mặt phẳng ( Qα , β ) có phương trình:

( P) : x + y + z − 3 = 0
( Qα ,β ) : α ( x + y − 2 z − 5) + β ( x − 2 y + z + 4 ) = 0
a. Chứng tỏ rằng ( P ) và ( Qα , β ) luôn vuông góc với nhau với mọi α và β .
b. Xác định mặt phẳng thuộc họ ( Qα , β ) sao cho khoảng cách từ điểm M ( 1,1,1) tới
mặt phẳng đó bằng

1

.
6

Giải
a. Ta có:

( P ) : x + y + z − 3 = 0 có VTPT là

r
n = ( 1,1,1)

( Q ) : α ( x + y − 2 z − 5) + β ( x − 2 y + z + 4 ) = 0
α ,β

⇔ ( Qα , β ) : ( α + β ) x + ( α − 2 β ) y − ( 2α − β ) z − 5α + 4β = 0
ur

Khi đó ( Qα , β ) có VTPT là: n ' = ( α + β , α − 2β , −2α + β )
Ta thấy:

r ur
n.n ' = 1( α + β ) + 1( α − 2β ) + 1( −2α + β ) = 0

Suy ra: ( P ) ⊥ ( Qα , β ) với mọi α và β

(đpcm)

b. Gọi ( Q ) là mặt phẳng thuộc họ ( Qα , β ) sao cho d ( M , ( Q ) ) =

Trang15


1
. Khi đó:
6


( α + β ) .1 + ( α − 2β ) .1 − ( 2α − β ) .1 − 5α + 4β
1
=
2
2
2
6
( α + β ) + ( α − 2β ) + ( 2α − β )
(α + β )

⇔

2

+ ( α − 2 β ) + ( 2α − β ) = 6 −5α + 4 β
2

2

⇔ 6α 2 + 6 β 2 − 6αβ = 6 ( 25α 2 + 16β 2 − 40αβ )
⇔ 144α 2 + 90 β 2 − 234αβ = 0
β

α = β

α
⇔
⇔
 α
8α − 5β = 0

  β

=1
⇒ ( Q ) : 2x − y − z −1 = 0
=1
=5
⇒ ( Q ) : 13 x − 11 y − 2 z + 7 = 0
=8

Vậy có hai phương trình mặt phẳng ( Q ) cần tìm ( Q ) : 2 x − y − z − 1 = 0
và ( Q ) : 13x − 11 y − 2 z + 7 = 0
1.6. Bài tập tổng hợp
Bài 1:
Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a. Đi qua điểm G ( 1, 2, 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho
G là trọng tâm tam giác ABC.

b. Đi qua điểm H ( 2,1,1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho
H là trực tâm tam giác ABC.
c. Đi qua điểm M ( 1,1,1) cắt chiều dương của các trục tọa độ tại ba điểm
A,B,C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.
Giải:
a. Gọi ( P ) là mặt phẳng cần tìm. Với ba điểm A ( a , 0, 0 ) ; B ( 0, b, 0 ) ; C ( 0, 0, c )
phương


( P) :

trình

mặt

phẳng

( P)

viết

theo

đoạn

chắn

có

dạng:

x y z
+ + =1
a b c

3 xG = xA + xB + xC
a = 3



Để G là trọng tâm ∆ABC thì: 3 yG = y A + yB + yC ⇔ b = 6
3 z = z + z + z
c = 9

A
B
C
 G

Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) :

x y z
+ + = 1 ⇔ ( P ) : 6 x + 3 y + 2 z − 18 = 0
3 6 9

Trang16


b. Gọi ( Q ) là mặt phẳng cần tìm, khi đó phương trình mặt phẳng ( Q ) viết theo

( Q) :

đoạn chắn có dạng:

x y z
+ + =1
a b c

Để H là trực tâm ∆ABC thì

 uuur uuur

 HA.BC = 0
b − c = 0
 HA ⊥ BC
 uuur uuur

a = 3

 HB ⊥ AC ⇔  HB . AC = 0 ⇔ 2a − c = 0 ⇔ 
b = c = 6
H ∈ P
2 1 1
2 1 1
( )

 + + =1  + + =1
a b c
a b c

Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) :

x y z
+ + = 1 ⇔ 2x + y + z − 6 = 0
3 6 6

c. Gọi ( R ) là mặt phẳng cần tìm..Với ba điểm A ( a, 0, 0 ) ; B ( 0, b, 0 ) ; C ( 0, 0, c ) với
a , b, c > 0 , phương trình mặt phẳng ( R ) viết theo đoạn chắn có dạng:

( R) :


x y z
+ + =1
a b c

1 1 1
1 1 1 Cosi
1 1 1
Điểm M ∈ ( R ) nên + + = 1 ⇒ 1 = + + ≥ 3 3 . . ⇔ abc ≥ 27
a

b

c

a

b

c

a b c

Thể tích của tứ diện OABC được cho bởi công thức:
1
1
27 9
VOABC = OA.OB .OC = a .b.c ≥
=
6

6
6 2

Vậy

9
2

( VOABC ) min = ,

dấu

“=”

xảy

ra

khi

và

chỉ

khi:

1 1 1 1
= = = ⇔a =b = c =3
a b c 3


Khi đó phương trình mặt phẳng ( R ) :

x y z
+ + = 1 ⇔ ( R) : x + y + z − 3 = 0
3 3 3

Bài 2:
Trong không gian cho hai mặt phẳng

( α ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0 ; ( β ) : x + y − z + 5 = 0 và điểm

M ( 1, 0, 5 ) .

a. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α )
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến ( d ) của ( α ) và ( β ) đồng
thời vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : 3x − y + 1 = 0
Giải:
Trang17


a. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α ) :
2.1 − 1.0 + 3.5 + 1

d ( M ,( α ) ) =

=

4 +1+ 9

8

14

=

4 14
7

b. Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β )
đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( Q ) . Khi đó phương trình mặt phẳng

( P ) có dạng
( P ) : m ( 2 x − y + 3z + 1) + n ( x + y − z + 5) = 0
⇔ ( P ) : ( 2m + n ) x − ( m − n ) y + ( 3m − n ) z + m + 5n = 0
uur uur

uur

( 1)

uur

Vì ( P ) ⊥ ( Q ) nên nP .nQ = 0 (với nP và nQ là VTPT của mặt phẳng ( α ) và ( β ) )
⇔ 3 ( 2m + n ) + ( m − n ) = 0 ⇔ 7 m + 2n = 0

⇒ m = -2; n = 7

⇒ ( P ) : 3 x + 9 y − 13 z + 33 = 0

Bài 3:
Cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) có phương trình: ( P ) : 2 x − y + 2 z − 1 = 0 và


( Q) : x − 2 y + z = 0 .
a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( P ) ; ( Q ) cắt nhau theo một giao tuyến d.
b. Lập phương trình mặt phẳng ( R ) chứa đường thẳng d và cắt chiều dương
của trục tọa độ tại các điểm M, N và P sao cho tứ diện OMNP có thể tích
bằng

1
.
6

Giải:
a. Nhận xét rằng:
2 −1
≠
⇒ Hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cắt nhau theo giao tuyến d.
1 −2

Phương trình giao tuyến d của ( P ) và ( Q ) có dạng:

( d) :

2 x − y + 2 z − 1 = 0

 x − 2 y+ = 0

b. Ta có thể thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có:

Trang18



 Vì ( R ) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) nên phương trình mặt

( R ) có dạng: m ( 2 x − y + 2 z − 1) + n ( x − 2 y + z ) = 0

phẳng

( 1)

 Đặt M ( xM , 0, 0 ) là giao của ( R ) với Ox (với xM > 0 )
⇒ m. ( 2 xM − 1) + nxM = 0 ⇔ xM =

m
 m

⇒M
, 0, 0 ÷
2m + n
 2m + n


−m








m



, 0 ÷ và P  0, 0,
 Tương tự ta có: N  0,
2m + n ÷
 − m − 2n 



 Theo đề bài tứ diện OMNP có thể tích là
⇔ VOMNP =

1
6

1
1
1
⇔ OM .ON .OP = ⇔ OM .ON .OP = 1
6
6
6

m
m
m
.
.

= 1 ⇔ 5m3 + 12m 2 n + 9mn 2 + 2n3 = 0
2m + n − m − 2n 2m + n
m + n = 0
 m = 1; n = −1
2
⇔ ( m + n ) ( 5m + 2n ) = 0 ⇔ 
⇒
5m + 2n = 0  m = −2; n = 5
⇔

 Trường hợp 1:

( R ) : x + y + z −1 = 0

Khi đó mặt phẳng ( R ) cắt các trục tọa độ theo thứ tự M ( 1, 0, 0 ) ; N ( 0,1, 0 )
và P ( 0, 0,1) đều thuộc chiều dương của các trục tọa độ, thỏa yêu cầu bài

toán.
 Trường hợp 2: m = −2; n = 5 , ta suy ra xM = -2 < 0 , nên trường hợp này bị
loại bỏ.
Vậy phương trình mặt phẳng ( R ) : x + y + z − 1 = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2:
2 1





1 2


Chọn hai điểm A  , , 0 ÷ và B  0, , ÷ đều thuộc d .
3 3 
 3 3
Giả sử M ( a, 0, 0 ) ; N ( 0, b, 0 ) và P ( 0, 0, c ) với a , b, c > 0
 Vì ( R ) cắt ba trục tọa độ tại M , N và P nên phương trình mặt phẳng ( R )
có dạng: ( R ) :

x y z
+ + =1
a b c

 Theo đề bài ta có: VOMNP =

1
6

⇔ abc = 1

( 2)

 Vì ( R ) chứa đường thẳng ( d ) nên đi qua A và B , khi đó:
Trang19


2 1
 3a + 3b = 1
2 2
c
⇒
− = 0 ⇒ a = c và b =

( 3)

1
2
3
a
3
c
3
c
−
2
 + =1
 3b 3c

Thay ( 3) vào ( 2 ) ta được:
c.

c >0
c
2
.c = 1 ⇔ ( c − 1) ( c + 2 ) = 0 ⇔ c = 1 ⇒ a = b = c = 1
3c − 2

Vậy phương trình mặt phẳng ( R ) : x + y + z − 1 = 0
Bài 4:
a. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa trục Ox và cách điểm M ( 1, 2,1)
một khoảng bằng 2.
b. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) đi qua hai điểm A ( 1, 0, 0 ) và B ( 0, 2, 0 )
và cách điểm N ( 3, 3,1) một khoảng bằng 3.

Giải:
a. Mặt phẳng ( α ) chứa trục Ox nên phương trình có dạng:
By + Cz = 0 với B 2 + C 2 > 0 .

Từ giả thiết ta có: 2 = d ( M , ( α ) ) =

2B + C
B2 + C 2

(

)

⇔ 4 B2 + C 2 = ( 2B + C )

2

C = 0
C = 0
⇔ 4 BC − 3C 2 = 0 ⇔ 
⇒
 4 B − 3C = 0
 B = 3; C = 4

 Trường hợp 1: C = 0 ta được phương trình ( α ) : y = 0
 Trường hợp 2: B = 3; C = 4 ta được phương trình

( α ) : 3 y + 4z = 0

Vậy tồn tại hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

b. Mặt phẳng ( β ) đi qua A ( 1, 0, 0 ) ∈ O x và B ( 0, 2, 0 ) ∈ Oy và cách điểm
N ( 3, 3,1) một khoảng bằng 3 nên sẽ cắt trục Oz tại điểm C ( 0, 0, c ) với c ≠ 0 .

Khi đó phương trình mặt phẳng ( β ) có dạng:

(β) :

x y z
+ + = 1 ⇔ ( β ) : 2cx + cy + 2 z − 2c = 0
1 2 c

Từ giả thiết ta có: 3 = d ( N , ( β ) ) =

6c + 3c + 2 − 2
4c 2 + c 2 + 4

Trang20

(

)

⇔ 9 5c 2 + 4 = ( 7c + 2 )

2


c = 1 ⇒ ( β ) : 2 x + y + 2 z − 2 = 0
⇔ 4c 2 + 28c − 32 = 0 ⇔ 
c = −8 ⇒ ( β ) :8 x + 4 y − z + 8 = 0


Vậy tồn tại hai mặt phẳng ( β ) thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 5:
Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:
a. M cách đều điểm A ( 2, 3, 4 ) và mặt phẳng ( P ) , biết: ( P ) : 2 x + 3 y + z − 17 = 0
b. M cách đều hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) , biết:

( P1 ) : x + y − z + 1 = 0 và ( P2 ) : x − y + z + 5 = 0
Giải:
Điểm M ∈ Oz nên M ( 0, 0, z )
a. M cách đều điểm A và mặt phẳng ( P ) khi:
MA = d ( M , ( P ) ) ⇔ 22 + 32 + ( 4 − z ) =

z − 17

2

22 + 32 + 12

2
2
⇔ 14 13 + ( 4 − z )  = ( z − 17 ) ⇔ 13 z 2 − 78 z + 117 = 0 ⇔ z = 3



Vậy điểm M cần tìm là: M ( 0, 0, 3)
b. M cách đều hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) khi: d ( M , ( P1 ) ) = d ( M , ( P2 ) )
⇔

−z +1

1+1+1

=

z+5
1+1+1

⇔ 1 − z = ± ( z + 5 ) ⇔ z = −2

Vậy điểm M cần tìm là M ( 0, 0, −2 )
1.7 Bài tập đề nghị
Bài 1:
Cho tứ diện ABCD với A ( 5,1, 3) ; B ( 1, 6, 2 ) ; C ( 5, 0, 4 ) và D ( 4, 0, 6 ) .
a. Lập phương trình mặt phẳng ( ABC )
b. Viết phương trình mặt phẳng qua AB và song song với CD.
Bài 2:
2
2
2
2
Cho phương trình ( m + 2m ) x + ( m − m ) y + ( m + 1) z − 6m − 3 = 0 (1).

a. Chứng tỏ với mọi m, phương trình (1) là phương trình của một mặt phẳng.

Trang21


b. Tìm tọa độ điểm cố định mà (1) luôn đi qua.
Bài 3:
Trong không gian cho hai điểm A ( 1, −2, 2 ) và B ( −2, 0, 2 )

a. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
mặt phẳng ( Oxy )
b. Gọi

( α ) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với mặt phẳng

−2 x + 3 y + 2 z + 1 = 0 . Hãy lập phương trình mặt phẳng ( β ) qua gốc tọa độ

và song song với mặt phẳng ( α ) .
Bài 4:
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng

( α1 ) : y + 2 z − 4 = 0 và

( α 2 ) : x + y − z − 3 = 0 . Lập phương trình của mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng và song song với mặt phẳng x + y + z − 2 = 0 .
Bài 5:
Trong không gian Oxyz cho điểm M ( −4, −9,12 ) . Lập phương trình mặt phẳng
OC = OA + OB

qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho  4
1
1
 OC = OA + OB

Trang22


Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
2.1. Phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng

2.11. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng ( d ) đi qua
r

điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) và nhận a ( a1 , a2 , a3 ) làm VTCP có dạng:
 x = x0 + a1t
( d ) :  y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3


( 1)

 Chú ý: Khử tham số t của phương trình (1) ta được phương trình chính

tắc của đường thẳng :
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

2.1.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng ( d ) trong không gian Oxyz đều được xem là giao tuyến của
hai mặt phẳng ( α1 ) và ( α 2 ) nào đó, nên phương trình tổng quát của đường thẳng

( d ) có dạng


 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

( 1)
( 2)

với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 và (1), (2) lần lượt là pt của hai mặt phẳng ( α1 ) và ( α 2 ) .
r

Khi đó VTCP a của đường thẳng ( d ) được xác định bởi công thức:
r B
a = 1
  B2

C1   C1
;
C2  C2

A1   A1
;
A2   A2

B1  
÷
B2  

2.2. Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng
2.2.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxyz cho hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) :


( d1 ) :

r
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
đi qua điểm M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) có VTCP là a ( a1 ; a2 ; a3 ) .
a1
a2
a3

Trang23


( d2 ) :

r
x − x2 y − y2 z − z2
=
=
đi qua điểm M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) có VTCP là b ( b1 ; b2 ; b3 ) .
b1
b2
b3

Khi đó:
r r

r uuuuuur


r

a. d1 và d 2 trùng nhau ⇔  a, b  =  a, M 1M 2  = 0
r r
r
  a, b  = 0
 
b. d1 // d 2 ⇔  r uuuuuur r
  a, M 1M 2  ≠ 0
r r uuuuuur
  a, b  .M 1M 2 = 0
 
c. d1 và d 2 cắt nhau ⇔  r r r
  a, b  ≠ 0
r r uuuuuur
d. d1 và d 2 chéo nhau ⇔  a, b  .M 1M 2 ≠ 0

2.2.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho đường thẳng d và ( α ) có phương trình:
r
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
đi qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) và có VTCP a ( a1 , a2 , a3 )
a1
a2
a3
r
( α ) : A x + By + Cz + D = 0 có VTPT là n = ( A, B, C ) .

d:

Khi đó:

rr

a. d cắt mặt phẳng ( α ) ⇔ n.a ≠ 0 ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ 0
r r
a ⊥ n
 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0
⇔
b. d // ( α ) ⇔ 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0
 M ( x0 y0 , z0 ) ∉ ( α )
r r
 a ⊥ n
 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0
⇔
c. d ⊂ ( α ) ⇔ 
 A x0 + By0 + Cz0 + D = 0
 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( α )

d. d ⊥ ( α ) ⇔ a : b : c = A : B : C
2.3. Khoảng cách
2.3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
r

Khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng ∆ đi qua M 0 và có VTCP u
là:
uuuuuur r

 M 0 M1 , u 


d ( M1, ∆ ) =
r
u

Trang24


2.3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆ ' , trong đó ∆ đi qua
r

r

điểm M 0 và có VTCP u , còn ∆ ' đi qua M 0 ' và có VTCP là u ' là:
r r uuuuuur
u , u ' .M 0 M 0'


d ( ∆, ∆ ' ) =
r r
u , u '



2.4. Một số bài toán liên quan
Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng
 Phương pháp: Để lập phương trình đường thẳng ta sử dụng các kết quả sau:

r

1. Đường thẳng ( d ) đi qua một điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) và biết VTCP a = ( a1; a2 ; a3 )
Khi đó
 x = x0 + a1t

 Phương trình tham số của ( d ) có dạng: ( d ) :  y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3


 Phương trình chính tắc của ( d ) có dạng: ( d ) :

t ∈¡ .

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

2. Đường thẳng ( d ) đi qua hai điểm M 1 ( x1; y1; z1 ) và M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
 Qua M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
⇔ (d) : 
uuuuuur
 VTCP M 1M 2 ( x2 − x1 ; y 2 − y1 ; z 2 − z1 )

Khi đó:

 x = x1 + ( x2 − x1 ) t

 Phương trình tham số của đường thẳng ( d ) là:  y = y1 + ( y2 − y1 ) t

 z = z1 + ( z2 − z1 ) t

 Phương trình chính tắc của đường thẳng ( d ) là:

x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

3. Lập phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A và
vuông góc với hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) cho trước ta
thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1:

Trang25

; t ∈¡